3年高考2年模擬2025版新教材高考數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2基本不等式第1課時(shí)基本不等式講義新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE11第1課時(shí)基本不等式課標(biāo)解讀課標(biāo)要求核心素養(yǎng)1.駕馭基本不等式ab≤a+b22.能敏捷運(yùn)用基本不等式解決一些證明、比較大小的問題.(難點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)并駕馭基本不等式,培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.借助基本不等式的簡(jiǎn)潔應(yīng)用,提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng).填寫下表:ababa+bab與a+b2111141622……1115ab<a+b1115ab<a+b416810ab<a+b2222ab=a+b……………問題1:視察ab與a+b2答案視察得到結(jié)論:一般地,假如a>0,b>0,那么ab≤a+b問題2:你能給出它的證明嗎?答案用比較法證明:a+b=12[(a)2+(b)2-2a·b=12(a-b)2當(dāng)且僅當(dāng)a=b,即a=b時(shí)取“=”.1.假如a>0,b>0,那么ab①≤a+b2其中,a+b22.變形:ab≤a+a+b≥2ab,a,b都是正數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.思索:不等式a2+b2≥2ab與不等式ab≤a+提示不一樣.a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R,ab≤a+b探究一對(duì)基本不等式ab≤a+b2例1(多選)下面給出的四個(gè)推導(dǎo)過程正確的是()A.∵a、b為正實(shí)數(shù),∴ba+ab≥2B.∵a∈R,a≠0,∴4a+a≥24C.∵x、y∈R,xy<0,∴xy+yx=--xD.不等式a+1a≥2a×1答案AC解析A.∵a、b為正實(shí)數(shù),∴ba、abB.∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的條件,∴B的推導(dǎo)錯(cuò)誤.C.由xy<0,得xy、yx均為負(fù)數(shù),但在推導(dǎo)過程中將整體xy+yx提出負(fù)號(hào)后,-D.不等式a+1a≥2a故選AC.思維突破1.基本不等式ab≤a+2.對(duì)基本不等式的精確駕馭要抓住以下兩個(gè)方面:(1)定理成立的條件是a、b都是正數(shù);(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義:當(dāng)a=b時(shí),ab≤a+b2的等號(hào)成立,即a=b?a+b2=ab;僅當(dāng)a=b時(shí),a+b1.下列不等式的推導(dǎo)過程正確的是(填序號(hào)).

①若x>1,則x+1x≥2x②若x<0,則x+4x=-(-x)③若a,b∈R,則ba+ab≥2答案②解析①中忽視了基本不等式等號(hào)成立的條件,當(dāng)x=1x,即x=1時(shí),x+1x≥2的等號(hào)成立,因?yàn)閤>1,所以x+1x>2.③中忽視了利用基本不等式時(shí)每一項(xiàng)探究二利用基本不等式比較大小例2若0<a<1,0<b<1,且a≠b,試找出a+b,a2+b2,2ab,2ab中的最大者.解析∵0<a<1,0<b<1,且a≠b,∴a+b>2ab,a2+b2>2ab,∴最大者應(yīng)從a+b,a2+b2中選擇.∵a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)<0,b(b-1)<0,∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b,∴a+b最大.思維突破利用基本不等式比較實(shí)數(shù)大小時(shí)的留意事項(xiàng)1.利用基本不等式比較大小,要留意視察其形式(和與積).2.利用基本不等式時(shí),肯定要留意條件要滿意a>0,b>0.2.比較大小:x2+2答案≥解析x2+2x2+1=x2+1+探究三利用基本不等式證明不等式例3(易錯(cuò)題)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:1+1易錯(cuò)辨析:利用基本不等式證明不等式時(shí),易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè),一是不留意基本不等式的運(yùn)用條件;二是證明步驟不完整,如例3中簡(jiǎn)潔忘掉說明等號(hào)成立的條件.證明∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+1a=1+a+b同理,1+1b=2+a∴1+1a1+1b∴1+1a1+1b≥9當(dāng)且僅當(dāng)a=b=易錯(cuò)點(diǎn)撥利用基本不等式證明不等式的策略與留意事項(xiàng)(1)策略:從基本不等式和問題的已知條件動(dòng)身,借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過逐步的邏輯推理,最終轉(zhuǎn)化為所求問題,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.(2)留意事項(xiàng):①多次運(yùn)用基本不等式時(shí),要留意等號(hào)能否成立;②累加法是不等式證明中的一種常用方法;③對(duì)不能干脆運(yùn)用基本不等式的證明可重新組合,形成基本不等式模型后再運(yùn)用.3.(1)(變結(jié)論)例3的條件不變,證明:1a+1b+(2)(變結(jié)論)例3的條件不變,證明:a+1a2+證明(1)1a+1b+1ab=1a+1b+∵a+b=1,a>0,b>0,∴1a+1b=a+ba+a+bb=2+ab∴1a+1b+1ab≥8當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12(2)由a2+b2-(a+b得a2+b2≥(a∵a+b=1,∴a+1a2=1+a+≥3+2ba·ab22=∴a+1a2+b+1b21.下列不等式成立的是()A.ab≤a2+C.a+b≥2ab D.a+b≤2ab答案Aa2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab,ab≤a2+2.設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是()A.a<b<ab<a+b2 B.a<abC.a<ab<b<a+b2 D.ab答案B因?yàn)?<a<b,所以由基本不等式得ab<a+b2,且a+又a=aa<ab,故a<ab<a+3.不等式9xA.x=3 B.x=-3 C.x=5 D.x=-5答案C易知不等式等號(hào)成立的條件為9x-4.已知a,b是不相等的正數(shù),x=a+b2,y=a答案x<y解析x2=a+b+2ab2,y∵a+b>2ab(a>0,b>0,且a≠b),∴x2<y2,又易知x>0,y>0,∴x<y.5.已知a,b,c∈R,求證:a2+b2+c2≥ac+ab+bc.證明a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”),b2+c2≥2bc(當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí),取“=”),c2+a2≥2ac(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),取“=”).以上三式相加,得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2≥ac+ab+bc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),取“=”).邏輯推理——利用基本不等式證明不等式已知a、b、c為不全相等的三個(gè)正數(shù),求證:b+c-aa素養(yǎng)探究:在利用基本不等式證明不等式時(shí),要進(jìn)行整體考慮,即先將不等式化簡(jiǎn)或變形,再依據(jù)已知條件構(gòu)造出基本不等式.該類題目能夠很好地提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).證明b+c-aa=ba+ca+cb+ab+=ba+ab+∵a、b、c都是正數(shù),∴ba+ab≥2ba·a同理可證:ca+acb+b①②③兩邊分別相加得ba+ab+又a、b、c不全相等,∴①②③不能同時(shí)取到等號(hào),∴④取不到等號(hào).∴ba+ab+即ba+ca+cb+ab+∴b+c-aa已知a>0,b>0,求證:a2b+證明∵a>0,b>0,∴a2b+b≥2a2b·b∴a2b+b+b2a+a≥2a+2b,∴1.(多選)下列條件可使ba+aA.ab>0 B.ab<0C.a>0,b>0 D.a<0,b<0答案ACD2.若b>a>0,且a+b=1,則12,2ab,a2+b2A.b B.a2+b2 C.2ab D.1答案A取b=34,a=14,則2ab=38,a2+b2=1016,b=33.若t=a+2b,s=a+b2+1,則t與s的大小關(guān)系是()A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t答案At-s=a+2b-(a+b2+1)=-(b-1)2≤0,∴s≥t.4.a,b∈R,則a2+b2與2|ab|的大小關(guān)系是()A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab|C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab|答案A∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時(shí),等號(hào)成立).5.已知a>0,b>0,且ab=2,那么()A.a+b≥4 B.a+b≤4C.a2+b2≥4 D.a2+b2≤4答案C∵a>0,b>0,∴a+b≥2ab=22,故A,B均錯(cuò)誤.a2+b2≥2ab=4,故選C.6.已知函數(shù)y=4x+ax(x>0,a>0)在x=3時(shí)取得最小值,則a=答案36解析y=4x+ax≥24x·ax=4a(x>0,a>0),當(dāng)且僅當(dāng)4x=ax,即x=a7.已知a>b>c,則(a-b)(b7.答案(a-b解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0.∴a-c2=(當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b-c,即2b=a+c時(shí)取等號(hào).8.若a>0,b>0,則1a+1b

8.答案≥解析∵a>0,b>0,∴1a+1b≥21ab=2ab,4a+b≤2ab9.已知a>0,b>0,c>0,求證:a2b+b29.證明∵a,b,c,a2b,b2c∴a2b+b≥2a2b2c+c≥2b2c2a+a≥2c2相加得a2b+b+b2∴a2b+b210.(多選)已知a>0,b>0,則下列不等式恒成立的是()A.a2+1>a B.a+1aC.(a+b)1a+1b10.答案ABC由于a2+1-a=a-122由于a+1ab+1b=ab+1ab+ba由于(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2當(dāng)a=3時(shí),a2+9=6a,故D不恒成立.故選ABC.11.已知a>0,b>0,a+b=4,則下列各式中正確的是()A.4ab≥1 B.1a+C.ab≥2 D.1a+1b11.答案A∵a>0,b>0,∴4=a+b≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取“=”),∴0<ab≤4,∴1ab≥14,∴4ab1a+1b=a+b4a+a+12.已知a>0,b>0,則下列不等式中不成立的是()A.a+b+1ab≥22 B.(a+b)1C.a2+b2ab≥212.答案Da+b+1ab≥2ab+1ab≥22當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22(a+b)1a+1b=2+ba當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,故B成立;∵a2+b2≥2ab>0,∴a2+b∵a+b≥2ab,a>0,b>0,∴2aba+b≤1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,故D不成立.13.某公司第一年產(chǎn)值增長(zhǎng)率為p,其次年產(chǎn)值增長(zhǎng)率為q,這兩年的平均增長(zhǎng)率為x,那么x與p+q213.答案x≤p+解析設(shè)公司最初產(chǎn)值為a(a>0),則a+ap+a(1+p)q=a(1+x)2,∴a(1+p)(1+q)=a(1+x)2,∴1+x=(1+p)(1+q)≤1+p14.如圖,C為線段AB上的點(diǎn),且AC=a,CB=b,O為AB中點(diǎn),以AB為直徑作半圓.過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D,連接OD,AD,BD.過點(diǎn)C作OD的垂線,垂足為E.則圖中線段OD的長(zhǎng)度是a,b的算術(shù)平均數(shù),線段的長(zhǎng)度是a,b的幾何平均數(shù).

14.答案DC解析由已知得tan∠DAC=tan∠CDB,則DCAC=CBDC,所以DC2=AC·CB,所以DC=AC·CB即線段DC的長(zhǎng)度是a,b的幾何平均數(shù).15.已知a,b都是正數(shù),求證:21a+1b≤ab15.證明∵1a+1b≥21ab,∴11即21a+又∵a+b22=a2∴a+b2≤a2+∴21a+1b≤ab16.(2024山東泰安第四中學(xué)高一月考)我們學(xué)習(xí)了二元基本不等式:設(shè)a>0,b>0,a+b2(1)對(duì)于三元基本不等式請(qǐng)猜想:設(shè)a>0,b>0,c>0,a+b+(2)設(shè)a>0,b>0,c>0,利用(1)中猜想的三元基本不等式證明:(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc;(3)設(shè)a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,利用(1)中猜想的三元基本不等式求(1-a)(1-b)(1-c)的