2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)試題專(zhuān)題02 函數(shù)與方程 （解析版）

專(zhuān)題02函數(shù)與方程

一、核心先導(dǎo)

二、考點(diǎn)再現(xiàn)

【考點(diǎn)1】函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于一般函數(shù)y=f(x),xeD,我們把使/(x)=O成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

y=/(%),%的零點(diǎn).注

意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)2】函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系

函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=/(X)的圖象與X軸

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

即方程/。)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象與1軸有交點(diǎn)<=>函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

【考點(diǎn)3】零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間3,切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/3>/S)vO,

那么，函數(shù)y=F(x)在區(qū)間(兄坊內(nèi)有零點(diǎn)，即存在C￡(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)C也

就是方程f(x)=o的根.

注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)4】二分法

對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且/(〃),/(份<0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)不斷地把函數(shù)的零

點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做

二分法.求方程/(x)=0的近似解就是求函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值.

【考點(diǎn)5】高頻考點(diǎn)技巧

①若連續(xù)不斷的函數(shù)/(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；

②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；

③函數(shù)尸(X)=/(x)-g(x)有零點(diǎn)Q方程/(X)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=f(x)與

必=g(x)的圖象有交點(diǎn)；

④函數(shù)尸(x)=/(X)-a有零點(diǎn)=方程廠(幻=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù),二f(x)與%=。的

圖象有交點(diǎn)04￡{yly=/(%)),其中〃為常數(shù).

三、解法解密

方法一：確定函數(shù)f(力零點(diǎn)個(gè)數(shù)［方程Ax)=0的實(shí)根個(gè)數(shù))的方法：

(1)判斷二次函數(shù)F(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般由對(duì)應(yīng)的二次方程/'(?=()的判別式小

>0,A=0,AV。來(lái)完成；對(duì)于一些不便用判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的二次函數(shù)，則要結(jié)合二

次函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷.

(2)對(duì)于一般函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，不僅要用到零點(diǎn)存在性定理，還必須結(jié)合函數(shù)的圖

象和性質(zhì)才能確定，如三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

(3)若函數(shù)FJ)在S，⑸上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且是單調(diào)函數(shù)，又M-f(b)

<0,則尸f(x)在區(qū)間(搐6)內(nèi)有唯一零點(diǎn).

方法二：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象交點(diǎn)及零點(diǎn)問(wèn)題

利用導(dǎo)數(shù)來(lái)探討函數(shù)y=/(為的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，有以下幾個(gè)步驟:

①構(gòu)造函數(shù)〃(x)=f(x)-g(x);

②求導(dǎo)”(x);

③研究函數(shù)以X)的單調(diào)性和極值(必要時(shí)要研究函數(shù)圖象端點(diǎn)的極限情況)；

④畫(huà)出函數(shù)人。)的草圖，觀察與X軸的交點(diǎn)情況，列不等式；

⑤解不等式得解.

探討函數(shù)y=/(幻的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，往往從函數(shù)的單調(diào)性和極值入手解決問(wèn)題，結(jié)合零點(diǎn)

存在性定理求解.

四、考點(diǎn)解密

題型一:判斷零點(diǎn)所在區(qū)間

例1.(1)、(新疆疏勒縣八一中學(xué)2018.2019學(xué)年高二上期末)

2

函數(shù)/(x)=ln(x+l)--的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

X

A.(0,1)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

2

【解析】由題得/(l)=ln2—,=ln2—2<0,

2

/(2)=ln3--=ln3-l>0.

所以“1)/(2)<0,

2

所以函數(shù)"x)=ln(x+l)-嚏的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).

故選：B

(2)、(2022?北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中)函數(shù)f0)=9-丁零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是

x

()

A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.

【詳解】令〃不)=；-爐=0,解得：x=61>0,只有一個(gè)零點(diǎn).

M/(l)=y-l=5>0,/(2)=|-4=-1<0,

由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)〃幻=9--零點(diǎn)所在的.個(gè)區(qū)間是(1,2).

x

故選：C.

【變式訓(xùn)練1-11.(2019?浙江湖州高一期中)函數(shù)/(%)=lnx+2x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間

是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】

函數(shù)y=lnx是(0,+8)上的增函數(shù),y=2x-3是R上的增函數(shù)，

故函數(shù)/W=lnx+2x-3是（0,+8）上的增函數(shù).

/（l）=lnl+2-3=-l<0,/（2）=ln2+2x2-3=ln24-l>0,

則xw（0,1）時(shí)J（x）<0；XG（2,-oo）時(shí)J（x）>0,

因?yàn)?（I）?/（2）<0,所以函數(shù)/（x）=lnx+2x-3在區(qū)間（1,2）上在任零點(diǎn).

故選:B.

【變式訓(xùn)練1-2】、（2020?內(nèi)蒙古?北方重工集團(tuán)第五中學(xué)高一階段練習(xí)（文））函數(shù)

/（X）=g-10g2X的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（3,4）D.（4,+8）

【答案】C

【分析】先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后得出/（3）,/（4）的函數(shù)符號(hào)，從而得出答案

【詳解】由y=2在（0,y。）上單調(diào)遞減，丁=182彳在（。,入）上單調(diào)遞增，

X

所以函數(shù)f（x）=gTog2X在（0,物）上單調(diào)遞減，

431

又〃3）=2-唾23=嚏27>0,〃4）=5-陛24=-5<0,

所以由零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在（3,4）之間存在零點(diǎn)，

故選：C

題型二:零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

例2.（1）、（2008?湖北?高考真題（文））方程2-*+/=3的實(shí)數(shù)解的人數(shù)為.

【答案】2

【詳解】因?yàn)?-'=3-爐,作出函數(shù)）,=2一二y=3-/的圖像，從圖像可以觀察到兩函數(shù)的圖

像有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以方程2-*+/=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2.

（2）、（2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理即得.

【詳解】由于函數(shù)/（X）在（0,+R）上是增函數(shù)，K/（l）=-4<0,/（3）=ln3>0,

故函數(shù)在（1,3）上有唯一零點(diǎn)，也即在（0,”）上有唯一零點(diǎn).

故選：B.

【變式訓(xùn)練2-1】?(2020?張家口市第一中學(xué)高一月考)函數(shù)llgxl的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

由題意可知零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為5=旭H的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖象即可求解

【詳解】

函數(shù)/(x)=J-|igx|,由/(同=0,可得/-ligM，作出y=9和y=|lgH的圖象,

由圖象可得它們有2個(gè)交點(diǎn)，則“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,

故選：C.

X2+2xx40

【變式訓(xùn)練2-2】.(2021?陜西?西安中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)卜?,則函

|lgr|,x>0

數(shù)g(x)=〃l-x)T的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為().

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】通過(guò)解法方程g(x)=0來(lái)求得g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】由g(x)=O可得=

當(dāng)xWO時(shí),x2+2x=\=>x=-\-\f2或x=-1+&(舍去)，

當(dāng)x>0時(shí)，忸4=1=工=10或%=\.

故l-x=-l-垃nx=2+右是g(%)的零點(diǎn)，

1T=10=X=-9是g(x)的零點(diǎn)，

1n

I—"=而="=正是屋"的零點(diǎn).

綜上所述，g(x)共有3個(gè)零點(diǎn).

故選：C

題型三:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解析式中參數(shù)的范圍

例3.(1)、(2021?廣東?東莞市東方明珠學(xué)校模擬預(yù)測(cè))若關(guān)于x的方程2^-3/+。=0

在區(qū)間[-2,2]上僅有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[-4,0]B.(1,28]C.[T0)J(l,28]D.[<0)51,28)

【答案】C

【分析】設(shè)/*)=2丁-3/+。，可得函數(shù)遞增遞減區(qū)間，由函數(shù)在區(qū)間[-2,2]上僅有一個(gè)零

點(diǎn)，列出方程可得。的取值范圍.

【詳解】解：設(shè)/(幻=21一3f+a,可得/'(%)=6/-61=6工(％-1),工￡[一2,2],

令/'(x)之0,可得一24xW0」Wx《2,令/'(x)<0,可得Ovxvl,

可得函數(shù)遞增區(qū)間為“2,0),(1,2],遞減區(qū)間為(0,1),

由函數(shù)在區(qū)間卜2,2]上僅有一個(gè)零點(diǎn)，/(-2)=a-28J(O)=aJ(l)=a-1,

〃2)=a+4,若/(O)=a=O,則八幻二/0^一①，顯然不符合題意，故/(0)/0,

/(-2)=a-28<0

f(0)=a<0

-/(0)=a>0或

/(2)=?+4>0

f(l)=a-l>0

可得lva?28或TWavO,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中

檔題.

(2)、(2022?山西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃力=二十八：出4：1，若函數(shù)y=/(,r)_2有三

lnx+l,x>l,

個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是：)

A.(-co⑵B.(-3,4)C.(-3,6)D.(-3,+oo)

【答案】C

【分析】先求出xNl時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故x<l時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，令

g(x)=x2+4x+a-2,由g⑴>0且g(-2)<0解出。的取值范圍即可.

【詳解】函數(shù)<,，二’當(dāng)xNl時(shí)，方程/(力=2.可得lnx+l=2.解得x=e,

lnx+l,x^l,

函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn),

則當(dāng)XV1時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即/+44+。=2,在XV1時(shí)有兩個(gè)解.

設(shè)g(x)=x2+4x+a-2,其開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為：x=-2,g(x)在(-oc,-2)上單調(diào)遞減，在

(-2,+00)上單調(diào)遞增，所以g⑴>0,且g(-2)<0,解得-3<a<6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于?？?/p>

題型.

【變式訓(xùn)練3-1】,(2020?湖南?雅禮中學(xué)模擬預(yù)測(cè))己知定義在R上的函數(shù)

In1

/(X)=|I,,若函數(shù)="力-"恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A*2一斗1

A.(―,ljB.(-

C.(f-l)jgl)u{0}D.(-l,0)U{0}ugl)

【答案】C

【分析】把函數(shù)交點(diǎn)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，作出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象和直

線，利用導(dǎo)數(shù)求出相應(yīng)切線的斜率，由圖象觀察出。的范圍.

【詳解】/(x)-av=0=>/(x)=ar,所以函數(shù)y=/(%)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

Inx,x>1

作出函數(shù)〃力=?2_I〈［的圖象，如下圖，

\x-,X—1

由f(x)=lnx得八x)=L設(shè)直線丁=以與，Cv)=lnX圖象切點(diǎn)為P(x。,%),則。=，=比=11殳,

Xo=e,所以"=；=

由/(x)=x-f得f<x)=l-2x,/(0)=1,y="與y=x-彳2在原點(diǎn)相切時(shí)，々=1,

由/(x)=f一”得r(x)=2x-l,/\0)=-1,y=?與y="2-%在原點(diǎn)相切時(shí)，a=-\,

所以直線丁二%，y=f,y與曲線/(x)相切，

e

由直線產(chǎn)勿與曲線丁=/(外的位置關(guān)系可得:

當(dāng)aw(-oo,一點(diǎn),即函數(shù)y=&(%)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，解題方法是把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解的個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)

化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)，匕出函數(shù)圖象與直線通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想求解.

/、］—|1_X|,0KXK2

【變式訓(xùn)練3-2】、(2022?云南保山?模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/")=、，'o-Q,

Lj(X—ZI,Z<XSo

若方程"X)=心恰好有四個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

【答案】D

【分析】畫(huà)出〃力的圖象，根據(jù)/(力與g*)=丘的圖象有4個(gè)交點(diǎn)來(lái)求得女的取值范圍.

(x04x?1

【詳解】當(dāng)*W0,2］時(shí)，-一八,『3的圖象向右平移2個(gè)單位，

［2-x,l<x<2

再把縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到2f(x-2)的圖象，也即外可在區(qū)間［2,4］上的圖象.

以此類(lèi)推，則f(x)在區(qū)間［0,8］上的圖象如圖所示.

記ga)=日，若方程/(燈=點(diǎn)恰好有四個(gè)實(shí)根，

則函數(shù)/(*)與g(x)的圖象有且只有四個(gè)公共點(diǎn)，

248

由圖得，點(diǎn)41,1),B(3,2),C(5,4),。(7,8),則七.=1,Aoe=1,味=］，%=］，則

所以/(⑼與g(x)的圖象有且只有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)VI.

故選：D

題型四:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)所在區(qū)間，求零點(diǎn)之間的關(guān)系

3x

ex<0

例4.（1）.（2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/。）=J-,J?（X）=-X2+2X

3xtx>0

（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程網(wǎng)幻=葭/（為）-切恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)

外,在再，且王<々<X3，則3%-與+3玉的最大值為（）

34

A.1+ln-B.l+ln-C.3-ln3D.3+ln3

43

【答案】A

【分析】根據(jù)解析式研究/⑴、雙幻的函數(shù)性質(zhì)，由尸（%）零點(diǎn)個(gè)數(shù)知g。）與￥=帆的交點(diǎn)

橫坐標(biāo)一個(gè)在（OJ上，另一個(gè)在。,內(nèi)）上，數(shù)形結(jié)合可得Ovmvl,g（Q=g&）=加且

0<r,<l<r2<2,r,+r2=2,進(jìn)而可得玉=竽芻=鼻=全代入目標(biāo)式，再構(gòu)造函數(shù)研究

最值即可得解.

【詳解】由/⑺解析式，在（Y,0］上八X）單調(diào)遞增且值域?yàn)椋?中，在?E）上J3單調(diào)遞

增且值域?yàn)?。?nèi)），

所以，/（*）的值域在（01］上任意函數(shù)值都有兩個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，值域在―）上任意函數(shù)值

都有一個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，

要使尸*）=g（/。））一加恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)不與，七，則g。）與y=〃，的交點(diǎn)橫坐標(biāo)一個(gè)在

9,1］上，另一個(gè)在（1,竹）上，

由上圖知：0cMvl,此時(shí)g（G=g（，2）=機(jī)且0<4<1<，2<2,%+q=2,

結(jié)合/（x）圖象及玉v々〈占有e''=3勺=八，3X3=t2,則用=3、'2=jj,

=

所以3%一x?+3xjIn/|—=In/)—+2,且0</t<1,

4I43—4x

令〃(x)=lnx——x+2且Ovxvl,則〃(x)=----=-----,

3x33x

當(dāng)xe(O,3=)時(shí)〃*)>0,僦功遞增；當(dāng)"￡(3=』)時(shí)"0<0,力(功遞減；

44

333

所以人(x)a=M-)=ln-+l,故3%-超+3玉最大值為111了+1.

444

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知函數(shù)的性質(zhì)判斷g(x)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)Z"2的范圍，進(jìn)

而得到與4石的關(guān)系，代入目標(biāo)式并構(gòu)造函數(shù)研究最值.

(2).(2021?普寧市第二中學(xué)高三月考)已知函數(shù)=。若

/(君)=/(毛)=/(不)=/(/)(8"2，"3，后互不相等)，則為+/+X3+玉的取值范圍是()

A.卜網(wǎng)B.一；,0

C?［礙D.(0,1

【答案】D

【分析】

先畫(huà)函數(shù)圖象，再進(jìn)行數(shù)形結(jié)合得到石+勺=-2和加氏天|二|隆2%|，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性

解得,+總的范圍，即得結(jié)果.

【詳解】

作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖所示：

設(shè)小吃＜工3〈心，則％+“2X(-1)=-2.

因?yàn)閨log2W卜|log2.q|,所以一108/3=1。82七，

fiffWlog2+log2x4=log2(XjX4)=0,所以工3%=1,即

當(dāng)|k）g2M=l時(shí)，解得x=T或x=2,所以1VZK2.

因?yàn)楹瘮?shù)y=x+9E（E）上單調(diào)遞增，所以；+廿+232,即2%+凡《

所以O(shè)v^+W+W+x4KB.

故選：D.

3w-l,（x<l）

【變式訓(xùn)練4?1】.（2021?云南紅河?模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)216,「

--^-4x+y,（x>,）

若為<々<與<%，且/（內(nèi)）=/&）=〃毛）=〃七），則笠&的取值范圍是（）

A.（—8,—5）B.（5,8）C.（8,11）D.（—11,—8）

【答案】A

【分析】作出圖形，設(shè)/（幻二〃%）=/（玉）=/（七）=3則0</<2,分析得出為=-2,

七工4=與主，結(jié)合一次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得弩?的取值范圍.

2x\

【詳解】如下圖所示，〃x）=〃毛）=/（毛）=〃七）=，則0<z<2,

_1_6_f

且與、勺是方程9-4x+?=f的兩個(gè)根，所以演“吃一=智里

3

一1.xx-.x16-3/3c/c

所以47A4=__—=-Z-8G(-8,-5).

人14乙

故選：A.

【變式訓(xùn)練4-2】.（2020?全國(guó)?高三零模（文））已知函數(shù)若函數(shù)

[4r,x>0

了=/（幻-。有3個(gè)不同的零點(diǎn)和巴,毛（為〈占〈七），則N+天+一■的取值范圍是.

【答案】（-2,0]

【詳解】作出函數(shù)y=/（x）的圖象及直線y=a,如下圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)

不同的零點(diǎn)內(nèi)，與，&aV&<工3），所以由圖象可知玉+工2=-2,0V當(dāng)4，a=/（x3）=4xj,所

題型五:根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間，求解析式中參數(shù)的范圍

例5.（1）、（2017?江蘇南通?一模）已知函數(shù)f（x）=x+lnx-4的零點(diǎn)在區(qū)間（2,%+1）內(nèi)，

則正整數(shù)2的值為.

【答案】2

【詳解】由函數(shù)的解析式可得函數(shù)在（0,+8）上是增函數(shù)，且f（2）=ln2+2-4<0,

/（3）=ln3+3-4>0,故有/（2）〃3）v0,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性可得函數(shù)在區(qū)間（2,3）上存

在零點(diǎn)，結(jié)合所給的條件可得，故攵=2,故答案為2.

（2）、（2021?江西上饒?二模（文））已知函數(shù)，（幻=1門(mén)-白2+],若/（X）-履>0恰有3

個(gè)正整數(shù)解，則k的取值范圍為（）

In27In37、rln27In37

---.-''——B.---------.-

24'36,<24,36

In27In37"-In27In37

D.

24'3624'36

【答案】A

【分析】不等式有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)運(yùn)算

進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，/（刈-米>0恰有3個(gè)正整數(shù)解,轉(zhuǎn)換為y=lnx的圖象與y=-]+奴

的圖象交點(diǎn)問(wèn)題,

9

ln3>--l+3k

則需滿足：2

ln4^7+4k

解得:**號(hào)］

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式解和方程根的問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合

思想進(jìn)行求解.

16/-24x+9,E

【變式訓(xùn)練5-1】.(2022?新疆昌吉?二模(文))已知函數(shù)〃x)=|..

若關(guān)于X的方程“同=〃7(〃好我)有三個(gè)不同的實(shí)根，則機(jī)的取值范圍為.

【答案】6,1)

【分析】由條件作函數(shù)/⑶的圖象，根據(jù)方程“行=〃?(〃?￡馬有三個(gè)不同的實(shí)根結(jié)合圖象

求參數(shù)陽(yáng)的范圍.

【詳解】由已知當(dāng)X41時(shí)，/(X)=16X2-24X+9,

當(dāng)1cxK2時(shí)，fW=1/(^-1)=1[16(A:-1)2-24*-1)+9J=1(16x2-56x+49),

當(dāng)2<xW3時(shí)，

/(x)=^/(x-l)=^-/(x-2)=^-ri6(x-2)2-24(x-2)+9]=^-(16x2-88x+121)

9o1o1o1

因?yàn)殛P(guān)于x的方程/(力=加(m￡&)有三個(gè)不同的實(shí)根,

所以函數(shù)y=/(x)的圖象與的圖象有二?個(gè)交點(diǎn)，

觀察圖象可得［＜加＜1,

故答案為：g,i).

【變式訓(xùn)練5?2】.(2019?安徽?三模(文))已知函數(shù)/&)=lnx-g)i+〃有唯一的零點(diǎn)

而，且與w(2.3),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.(--In3,--In2)B.(--In3,--In2)

4234

C.(—+In2,—+In3)D.(—+In2,-+In3)

2443

【答案】A

【解析】將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合圖象詢定滿足的條件，解得

結(jié)果.

【詳解】令/(力=0即：lnx=(g

在同一坐標(biāo)系中分別作出y=lnx與y

的圖象知，y=Inx為增函數(shù)，而y=a為減函數(shù)，要是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)落在區(qū)間(2,3)內(nèi),

必須:

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合思想方法以及基本分析求解能力，屬中檔題.

題型六:復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題(自我嵌套)

例6.(1)、(2021?吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(理))已知函數(shù)/(力=若關(guān)于/

log2x,x>0

的方程/[/(力]=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)"的取值范圍是()

A.(F,O)B.(fo,0)U(0,l)

C.(0,1)D.(0J)J(l,-H?)

【答案】B

【分析】

分。=0、。工0兩種情況討論，由/[〃x)]=0可得出"力的值或取值范圍，再分“?0、

x>0兩類(lèi)討論，利用代數(shù)法或數(shù)形結(jié)合思想，利用關(guān)于x的方程/[/(力]=0有且只有一個(gè)

實(shí)數(shù)根可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

令〃="力，則/(〃)=0.

□當(dāng)a=0時(shí)，若/(w)=0：若〃〉0,/(w)=log2w=0,得u=l.

所以，由(切=0可得〃力40或””)=1.

如下圖所示:

滿足/(x)WO的“有無(wú)數(shù)個(gè)，方程/(力=1只有一個(gè)解，不合乎題意；

□當(dāng)時(shí)，若則/(")=a-2"*0；若〃>0,/(?)=Iog2M=0,得〃=1.

所以，由/[/3]=0可得〃x)=l,

當(dāng)x>0時(shí)，由/(x)=log2X=l,可得x=2,

因?yàn)殛P(guān)于x的方程/[f(x)]=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則方程外力=1在XW(YO,0]時(shí)無(wú)解,

若a>0且xWO時(shí)，/(x)=a-2re(O,a],故0<a<l；

若。<0且x?0時(shí)，/(x)=a-2x<0,合乎題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(-8,0)U(0,l).

故選：B.

(2).(2022?全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)aeR,函數(shù)/(力二若函數(shù))，=/上(切

(-x~+ar,x<0

恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的值為.

【答案】-2&

【分析】

分〃之0和a<0兩種情況討論，由f[/a)]=O解出/(力的值，然后分壯0、x<0解關(guān)于x

的方程，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】

□當(dāng)aNO時(shí)，由/[/(1)]=0,可得/(力=2,

當(dāng)工20時(shí)，rtl/(x)=|x-2|=2,可得x=0或4，

當(dāng)x<0時(shí)，/(大)=-丁+如<0.

即當(dāng)。之0時(shí)，函數(shù)產(chǎn)/[/(")]只有2個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；

□當(dāng)"0時(shí)，由，[/(力]=0,可得〃力=2或〃x)=a.

當(dāng)xNO時(shí)，由/?(x)=|x-2|=2,可得工=0或4,方程|x-2|=。無(wú)解.

當(dāng)x<0時(shí)，由/（同二一/+雙=。，即彳2_以+々=0，A=a2-4a>0，

解方程x2-av+a=O可得”=〃±\力一4a,

其中x=a-Ja?-4?vO合乎題意，x=a+\la2-4a>0舍去，

所以，方程-/+妙=2在x<0時(shí)有唯一解，

函數(shù)/（力=*+〃在卜嗚）上單調(diào)遞增，在e,0）上單調(diào)遞減，

當(dāng)avx<0時(shí)，/（x）>0,當(dāng)x<。時(shí)，/（x）<0,

故/圖4=2,解得〃=_2垃.

綜上所述，a=-2y/2■

故答案為：-2&-

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)都是研究函

數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，求解此類(lèi)問(wèn)題的一般步驟：

（1）轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；

（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；

（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍.

.x+l,x40,

【變式訓(xùn)練6-1】?（2022?全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知函數(shù)/（外=?八則函數(shù)

Iog2x,x>0

y=f[f（x）]的所有零點(diǎn)之和為.

【答案】y

【分析】

利用分段函數(shù)，分類(lèi)討論，即可求出函數(shù)），=/[/（力]的所有零點(diǎn)，從而得解.

【詳解】

解：&0時(shí)，x+1=0,x=-l,由/（x）=-l,可得x+1=—1或log2X=-l,/.x=-2或x=g；

x>0時(shí)，log2x=0,x=l,由=可得x+1=1或log2%=l,口=0或x=2；

函數(shù)y=的所有零點(diǎn)為-2,I，0,2,所以所有零點(diǎn)的和為-2+g+0+2=g

故答案為：4-

Inx—x>0

【變式訓(xùn)練6-2】、（2022?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）={J，貝IJ函

X2+2X,X<0

數(shù)y=/"(幻+1］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】令￡=/(力+1,根據(jù)，>0八0分別求出函數(shù)〃。的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間，再作出

函數(shù)f=f(x)+l的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合即可求出函數(shù)丁=/［/。)-1］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

\nx—+l,x>0

【詳解】令f=/(x)+l=1X,

(x+l)',x<0

U當(dāng)CO時(shí)，/(r)=lnr-j,則函數(shù)f⑺在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

由于/(l)=T<0J(2)=ln2-g>0,由零點(diǎn)存在定理可知，存在461.2),使得/&)=0；

2

匚當(dāng)YO時(shí)，f(t)=t+2tt由％)=產(chǎn)+2工=0,解得，2=-2,)=0,

由圖象可知，直線，=4與函數(shù)，=/(幻+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；

直線，=0與函數(shù)，=/*)+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線才=-2與函數(shù)，=/*)+1的圖象有且只

有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述，函數(shù)y=/［/(H+i］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.

故選：D.

題型七:復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題(與二次函數(shù)嵌套)

例7.(1)、(2022?陜西?銅川市耀州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))設(shè)函數(shù)f(x)=I+丁,1，

［|log4x|,x>0

若關(guān)于X的方程［/(刈丁―(a+2)〃x)+3=0恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)4的取值范

國(guó)為()

A.(-273-2,2^-2)

D.(26-2,+8)

【答案】B

【分析】畫(huà)出f(x)的圖象，由圖象求得力與有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，的取值范圍.結(jié)合

一元二次方程零點(diǎn)分布的知識(shí)列不等式組，由此求得。的取值范圍.

【詳解】畫(huà)出函數(shù)/(、)=卜；-八的圖象如下圖所示，

|log4x|.x>0

令f(x)=f，則方程［/(X)了-(a+2)/(x)+3=0可化為*-(a+2)f+3=0.

由圖可知:當(dāng)fe(l,2］時(shí)，y=/(力與丁=，有3個(gè)交點(diǎn)，

要使關(guān)于x的方程［“X)丁-(a+2)/(x)+3=0恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

則方程*-(a+2)f+3=0在(1,2］內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，

A=(?+2)2-12>0

1<—<2

□J2,

l2-(a+2)xl+3>0

22-(a+2)x2+3>0

解得26-

實(shí)數(shù)°的取值范圍為(26-2,|.

(2)、(2021?江西省樂(lè)平中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(6=［四：匕4：：°，的值域?yàn)镽,

—X+1,XsU

且讓1,若關(guān)于X的方程產(chǎn)⑺一加+2)/(力+*=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則6的取值范

圍為()

A.(YO,1)B.(-00,e)C.[0,1]D.[0,e]

【答案】A

【分析】

函數(shù)=+的值域要為R,則又故。=1,畫(huà)出函數(shù)/(X)圖象，

-x-+1,x<0

利用數(shù)形結(jié)合的方法即可求解

【詳解】

根據(jù)該分段函數(shù)的圖象，函數(shù)的值域要為R,則at,

-x2+L<0

但aN1,\a=1,

當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)/(幻圖象如圖2所示：

關(guān)于x的方程/-(機(jī)+2)/(x)+2m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

即(/(x)-m)(/(x)-2)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

由圖象可知/*)=2有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則〃幻=，〃有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

/."2<1,

【變式訓(xùn)練7-1】、(2021?吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知函數(shù)〃[)=￥|；；(?的，

則關(guān)于x的函數(shù)y="2(x)-13/(x)+9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.8B.7C.5D.2

【答案】B

【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為要求方程4/。)-13/a)+9=0的解的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)于函數(shù)〃刈=1或

人幻=”的解的個(gè)數(shù).故先根據(jù)題意作出〃“)的簡(jiǎn)圖，由圖可知，函教/3=1或f(x)宅的

44

解的個(gè)數(shù)，可以得出答案.

【詳解】根據(jù)題意，令”2(X)-13/(X)+9=0,

得/(X)=1或/(X)=2

4

作出了(X)的簡(jiǎn)圖：

故關(guān)于X的函數(shù)y=4/2(x)—13/(x)+9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7.

故選：B.

ln(|^+l),x<0

【變式訓(xùn)練7-2】.(2021?黑龍江鶴崗一中(理))已知函數(shù)〃力=x，若

方程f2(x)+2帆?/(x)+〃_|=o恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是()

A.(-2,-1)B.(0,2)

【答案】A

【分析】

方程左邊先進(jìn)行因式分解得(/(幻+〃2+1)?(/。)+6-1)=0,作出函數(shù)/W的圖象如圖所示,

可得<,I，解不等式即可得到答案；

【詳解】

f2(x)+2m-/(x)+/n2-1=0=>(/(x)+m+1)-(/(x)+/??-1)=0,

fW=一6—1或f(x)=-tn+1,

作出函數(shù)/(?的圖象如圖所示，

當(dāng)x=l,/*)極大值=1,

1>1

1］，解得：-2<〃<一1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題求解的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想作出函數(shù)的圖象，再通過(guò)圖象得到兩條直線與曲線分別

要有1個(gè)交點(diǎn)和3個(gè)交點(diǎn).

題型八:高考?jí)狠S真題訓(xùn)練

例8.(1)、(2007?湖北?高考真題)關(guān)于4的方程卜2一1)2_卜2_］卜攵=0,給出下列四個(gè)

命題：

□存在實(shí)數(shù)3使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；

口存在實(shí)數(shù)3使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

口存在實(shí)數(shù)3使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

□存在實(shí)數(shù)3使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.

其中假命題的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】令則左=一產(chǎn)+/?20),作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用兩個(gè)函數(shù)的圖象

可得結(jié)果.

【詳解】令則攵=_/+/。20),

作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖：

當(dāng)欠<0時(shí)，火=一"+，只有一個(gè)大于1的根，則方程，=|/一1|恰有兩個(gè)實(shí)根；故為真命題；

當(dāng)斤=0時(shí)，由2=-r+,得，=0或，=1,

當(dāng)￡=0時(shí)，x=±l?當(dāng)f=l時(shí)，x=0或x=±&,此時(shí)原方程恰有5個(gè)實(shí)根，故為真命題：

當(dāng)0<女<!時(shí)，2=一/+,有兩個(gè)實(shí)根，兩個(gè)實(shí)根在(0,1)內(nèi)，此時(shí)原方程有8個(gè)實(shí)根，故【

為真命題；

當(dāng)時(shí)，由女=得f=g,則方程川TI恰有4個(gè)實(shí)根；此時(shí)原方程恰有4個(gè)實(shí)

根，故」為真命題.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)的圖象求解是本題的解題關(guān)鍵.

(2)、(2019?江蘇?高考真題)i殳/3),g*)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為

4,g(x)的周期為2,且是奇函數(shù).當(dāng)xe(0,2］時(shí)，f(x)=y］l-(x-1)2，

攵(x+2),0<x41

g(x)=1..,其中4>0.若在區(qū)間(0,9］上，關(guān)于X的方程f(x)=g(x)有8個(gè)不

——J<x^2

2

同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是.

142]

【答案】

3,-r

Z

【分析】分別考查函數(shù)“X)和函數(shù)g(x)圖像的性質(zhì)，考查臨界條件確定上的取值范圍即可.

【詳解】當(dāng)％?0,2］時(shí),f(x)=J_(X-1)2,即("-1)2+丁=1,”0.

又/(X)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其周期為4,如圖，函數(shù)/(X)與g(x)的圖象，要使

/(x)=g(x)在(0,9］上有8個(gè)實(shí)根，只需二者圖象有8個(gè)交點(diǎn)即可.

當(dāng)g(x)=-g時(shí)，函數(shù)/(X)與g(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)g(x)=A(x+2)時(shí)，g(x)的圖象為恒過(guò)點(diǎn)(-2,0)的直線，只需函數(shù)/⑶與g(x)的圖象有6個(gè)

交點(diǎn).當(dāng)"X)與g(x)圖象相切時(shí)，圓心。,0)到直線區(qū)-y+2&=0的距離為1,即號(hào)冷=1,

得％=變，函數(shù)/(幻與g(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)g(x)=%(x+2)過(guò)點(diǎn)(1,1)時(shí)，函數(shù)/⑶與

4

g(4)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)1=3鼠得4=；.

綜上可知，滿足/*)=g(x)在(0,9]上有8個(gè)實(shí)根的人的取值范圍為9

【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為參數(shù)的取值范圍，側(cè)重函數(shù)方程的多個(gè)實(shí)根，難度較大.不能正確畫(huà)出

函數(shù)圖象的交點(diǎn)而致誤，根據(jù)函數(shù)的周期性平移圖象，找出兩個(gè)函數(shù)圖象相切或相交的臨界

交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而確定參數(shù)的取值范圍.

X<0

【變式訓(xùn)練8-1】?(2018?全國(guó)?高考真題(理))已知函數(shù)/(X)={'-；

lnx>x>0>

g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

A.[-1,0)B.[0?+oG)C.[-1,+oo)D.[1,+oo)

【答案】C

【詳解】分析：首先根據(jù)g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，得到方程f(x)+x+a=0有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)

化為7l(x)=r-a有兩個(gè)解，即直線y=與曲線y=f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題中所給的

函數(shù)解析式，畫(huà)出函數(shù)/(x)的圖像(將8">0)去掉)，再畫(huà)出直線了=-3并將其上下移

動(dòng)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，滿足y=-x-a與曲線y=/(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得

結(jié)果.

詳解：畫(huà)出函數(shù)Ax)的圖像，)，="在y軸右側(cè)的去掉，

再畫(huà)出直線y=一%之后上下移動(dòng)，

可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

并且向下可以無(wú)限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),

即方程，a)=T-。有兩個(gè)解，

也就是函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

此時(shí)滿足即“NT,故選C.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)己知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，

解題的思路是將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，將式子哆項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為兩條

曲線交點(diǎn)的問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)的圖像以及相應(yīng)的直線，在直線移動(dòng)的過(guò)程中，利用數(shù)形結(jié)合思

想，求得相應(yīng)的結(jié)果.

【變式訓(xùn)練8-2】.(2021?北京?高考真題)已知函數(shù)〃幻=|棺力履-2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

口若k=0,/(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)；

口存在負(fù)數(shù)左，使得f(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)；

□存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)；

口存在正數(shù)2,使得/(x)恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】□□口

【分析】由〃X)=0可得出|修聞=點(diǎn)+2,考查直線丁=辰+2與曲線8(力=|愴H的左、右支

分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于口，當(dāng)無(wú)=0時(shí)，由〃司=旭聞一2=0,可得x=工或)=100,正確：

對(duì)于口，考查直線y=h+2與曲線y=-lgM0〈xvl)相切于點(diǎn)P(，，Tgf