高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.1函數(shù)的平均變化率筆記新人教B版選修

函數(shù)的平均變化率例子:

假設(shè)下圖是一座山的剖面示意圖，并在上面建立平面直角坐標系。A是出發(fā)點，H是山頂。爬山路線用函數(shù)y=f(x)表示。H

自變量x表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值y=f(x)表示此時旅游者所在的高度。想想看，如何用數(shù)量表示此旅游者登山路線的平緩及陡峭程度呢？

某旅游者從A點爬到B點，假設(shè)這段山路是平直的。設(shè)點A的坐標為(x0，y0)，點B的坐標為(x1，y1)，自變量x的改變量為x1－x0，記作△x，函數(shù)值的改變量為y1－y0，記作△y，即△x=x1－x0，△y=y1－y0，假設(shè)向量對x軸的傾斜角為θ，直線AB的斜率為k，容易看出于是此人從點A爬到點B的位移可以用向量來表示，顯然，“線段”所在直線的斜率的絕對值越大，山坡越陡。這就是說，豎直位移與水平位移之比的絕對值越大，山坡越陡；反之，山坡越平緩?，F(xiàn)在擺在我們面前的問題是：山路是彎曲的，怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度呢？一個很自然的想法是將彎曲的山路分成許多小段，每一小段的山坡可視為平直的。例如，山坡DE可近似的看作線段DE，再用對平直山坡AB分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻畫。注意各小段的是不盡相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均變化都可以用起點、終點的縱坐標之差與橫坐標之差的比值來度量。由此我們引出函數(shù)平均變化率的概念。平均變化率的概念：一般地，已知函數(shù)y=f(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點，記△x=x1－x0，△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).則當(dāng)△x≠0時，商稱作函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均變化率。說明：1.函數(shù)y=f(x)在處有定義；2.式子中△x、△y的值可正、可負，但的△x值不能為0，△y的值可以為0；3.若函數(shù)f(x)為常函數(shù)時，△y=0；

4.變式:函數(shù)平均變化率的幾何意義過曲線上的點割線的斜率。例1．求函數(shù)y=x2在區(qū)間[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均變化率。解：函數(shù)y=x2在區(qū)間[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均變化率為例2．求函數(shù)在區(qū)間[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均變化率(x0≠0，且x0+△x≠0).解：函數(shù)的平均變化率為達標練習(xí)1.設(shè)函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量x由x0改變到x0+△x時，函數(shù)的改變量為（）A．f(x0+△x)

B．f(x0)+△x

C．f(x0

)

·△x

D．f(x0+△x)－f(x0)D2.一質(zhì)點運動的方程為s=1－2t2，則在一段時間[1，2]內(nèi)的平均速度為（）

A．－4

B．－8

C．－6

D．6C3.將半徑為R的球加熱，若球的半徑增加△R，則球的表面積增加△S等于（）A．B．

C．D．B4、在附近，取，在四個函數(shù)：①②

④

中，平均變化率最大的是（）A、④B、③C、②D、①③B5、過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當(dāng)Δx=0.1時割線的斜率.課堂小結(jié)1、平均變化率的概念：

一般地，已知函數(shù)y=f(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點，記△x=x1－x0，△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).則當(dāng)△x≠0時，商稱作函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x0，x0+△x](