高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系(2)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)2020QJ11SXRA008學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期上學(xué)期課題用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（2）教科書(shū)書(shū)名：選擇性必修第一冊(cè)數(shù)學(xué)（A版）出版社：人教社出版日期：年月教學(xué)人員姓名單位授課教師李健北京景山學(xué)校指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系．能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理．教學(xué)重點(diǎn)：用向量方法解決空間圖形的平行問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)：建立空間圖形基本要素與向量之間的關(guān)系，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了如何用空間向量表示空間中的直線和平面，我們發(fā)現(xiàn)，直線的方向向量和平面的法向量是表示和確定空間中的直線和平面的關(guān)鍵量.上學(xué)期，我們還學(xué)過(guò)空間中直線、平面的各種位置關(guān)系，你能用直線的方向向量、平面的法向量的位置關(guān)系刻畫(huà)空間直線、平面的平行、垂直關(guān)系嗎？進(jìn)一步將立體幾何與空間向量聯(lián)系起來(lái).我們先看平行問(wèn)題.問(wèn)題1：由直線與直線的平行關(guān)系，可以得到這兩條直線的方向向量有什么關(guān)系呢？如圖，設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量.由方向向量的定義可知，如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過(guò)來(lái)，如果兩條直線的方向向量平行，那么這兩條直線也平行.所以l1//l2?u1//u2，而且由向量的共線定理可以得到問(wèn)題2：由直線與平面的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量有什么關(guān)系呢？如圖，設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面的法向量，.如果，根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的定義可知，；反過(guò)來(lái)，如果，且，那么.所以.由向量的數(shù)量積運(yùn)算，可以得到問(wèn)題3：由平面與平面的平行關(guān)系，可以得到這兩個(gè)平面的法向量有什么關(guān)系呢？如圖，設(shè)n1，n2分別是平面的法向量.由法向量的定義可知，如果兩個(gè)平面平行，那么它們的法向量一定平行；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面的法向量平行，那么這兩個(gè)平面也平行.所以α//β?n1//n2.由共線向量定理，可以得到下面我們看一個(gè)例題，這個(gè)例題是前面我們學(xué)習(xí)的一個(gè)判定定理，當(dāng)時(shí)沒(méi)有給出證明，例1證明“平面與平面平行的判定定理”：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.已知：如圖，求證：.分析：證明兩個(gè)平面平行，如果我們用兩個(gè)平面平行的定義，就是要證明這兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，要用反證法，有難度.這也是前面學(xué)習(xí)時(shí)沒(méi)有給出證明的原因.今天，我們學(xué)習(xí)了用向量的位置關(guān)系刻畫(huà)平面的位置關(guān)系，我們考慮用向的方法解決這個(gè)問(wèn)題，從而完善立體幾何定理的學(xué)習(xí).用向量法證明兩個(gè)平面平行，就是要證明這兩個(gè)平面的法向量平行，或者這兩個(gè)平面是以同一個(gè)向量為法向量的.下面我們就沿著這條思路證明這個(gè)定理.設(shè)平面的法向量為n，平面內(nèi)的兩條相交直線a，b的方向向量分別為u，v，由已知條件可得即n與平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量都垂直，由平面向量基本定理可知，平面β內(nèi)的任意向量都可以由u，v的線性組合表示.因此可以通過(guò)向量的運(yùn)算證明n與平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都垂直，即n也是平面的法向量.所以α//β.證明：設(shè)平面的法向量為n，直線a，b的方向向量分別為u，v.因?yàn)?，所以u(píng)⊥n，v⊥n，所以因?yàn)椋詫?duì)任意點(diǎn)，由平面向量基本定理可知，存在，使得.從而.即.又因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的任意一個(gè)向量，所以，向量n也是平面β的法向量.所以.例1小結(jié)：在解決問(wèn)題過(guò)程中，通過(guò)向量運(yùn)算，我們可以證明平面α的法向量與垂直，即與平面β內(nèi)的任意一個(gè)向量都垂直.所以，平面α的法向量也就是平面β的法向量.這樣，我們證明了這兩個(gè)平面平行.在這個(gè)過(guò)程中，我們通過(guò)向量的運(yùn)算，證明垂直關(guān)系.由有限個(gè)垂直關(guān)系，得到直線與平面內(nèi)所有的直線都垂直.這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的方法.向量法可以解決很多立體幾何問(wèn)題，我們?cè)倏匆粋€(gè)問(wèn)題..例2：如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.線段B1C上是否存在點(diǎn)P，使得A1P//平面ACD1？分析：?jiǎn)栴}是是否存在滿足條件的點(diǎn)P，如何找呢？P在哪兒？根據(jù)題目條件，點(diǎn)P是否在B1C上？那么，如何表示P？一般情形下，我們假設(shè)線段B1C上存在點(diǎn)P，使得A1P//平面ACD1.這樣，根據(jù)向量共線定理，我們有存在λ∈R如何確定λ?由條件“A1P//面ACD1”,可得A1P?n=0.利用向量運(yùn)算，確定與平面ACD1的法向量的數(shù)量積等于0的向量.進(jìn)而求λ，如果λ證明：在長(zhǎng)方體中，由同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直，所以以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.，依題意，有A(3,0,0),C(0,4,0),D(0,0,2),計(jì)算可得.設(shè)是平面ACD1的法向量.則有，所以所以取z=6，則x=4，y=3.于是是平面ACD1的一個(gè)法向量.又由于A1(3,0,2),C(0,4,0),B1(3,4,2),所以.設(shè)點(diǎn)P滿足，則.所以.令，得，解得.所以，當(dāng)，即P為B1C的中點(diǎn)時(shí)，A1P//平面ACD1.例2小結(jié)：通過(guò)本道例題，我們初步體會(huì)了用向量法解決立體幾何問(wèn)題的步驟：（一）建系；（二）設(shè)點(diǎn)；（三）表示相關(guān)向量；（四）進(jìn)行向量運(yùn)算；（加減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算）（五）把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”為幾何結(jié)論.課堂小結(jié)：知識(shí)內(nèi)容：直線、平面的位置關(guān)系向量的位置關(guān)系向量的運(yùn)算向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示方法：我們通過(guò)例題，梳理了用向量法解決立體幾何問(wèn)題的步驟.在此過(guò)程中，提高了同學(xué)們數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象