高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】用空間向量研究直線、平面的的位置關(guān)系(3)-教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號2020QJ11SXRA009學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期上學(xué)期課題用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（3）教科書書名：選擇性必修第一冊數(shù)學(xué)（A版）出版社：人教社出版日期：年月教學(xué)人員姓名單位授課教師李健北京景山學(xué)校指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系．能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面垂直關(guān)系的判定定理．教學(xué)重點：用向量方法解決空間圖形的垂直問題．教學(xué)難點：建立空間圖形基本要素與向量之間的關(guān)系，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題．教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動今天我們繼續(xù)來學(xué)習(xí)用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系.上節(jié)課，我們討論了空間中直線、平面平行的向量表示并用它們解決了立體幾何中的一些平行問題.我們先回顧一下.問題1:由直線、平面的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量有什么關(guān)系呢？類似地，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量與平面的法向量之間有什么關(guān)系？本節(jié)課，我們就研究這些內(nèi)容.問題2：由直線與直線的垂直關(guān)系，可以得到這兩條直線的方向向量間有什么關(guān)系？如圖，設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量.由方向向量的定義可知，如果兩條直線垂直，那么它們的方向向量一定垂直；反過來，如果兩條直線的方向向量垂直，那么這兩條直線也垂直.又由向量的數(shù)量積運(yùn)算，可以得到問題3：由直線與平面的垂直關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間有什么關(guān)系？如圖，設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面的法向量.如果，根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的定義可知，u//n；反過來，如果u//n，那么.又由向量共線定理可知，問題4：由平面與平面的垂直關(guān)系，可以得到兩個平面的法向量間有什么關(guān)系？如圖，設(shè)n1，n2分別是平面的法向量.由法向量的定義可知，如果兩個平面垂直，那么它們的法向量一定垂直；反過來，如果兩個平面的法向量垂直，那么這兩個平面也垂直.由向量的數(shù)量積運(yùn)算，可以得到追問：前面的學(xué)習(xí)中，我們深刻感受到向量運(yùn)算的作用.你同意“向量是軀體，運(yùn)算是靈魂”“沒有運(yùn)算的向量只能起路標(biāo)的作用”“因為有了運(yùn)算，向量的威力無限”的說法嗎？我們知道，向量能夠表示空間中的點、直線、平面，但是空間圖形的位置關(guān)系，還有今后要學(xué)的距離、角度等度量問題，都可以通過向量的運(yùn)算來研究的.例如，直線與直線垂直可以用其方向向量的數(shù)量積為0表示，即l⊥m等價于a﹒b＝0．這樣我們就可以通過向量運(yùn)算研究空間圖形的位置關(guān)系．因此我們說向量的作用是通過其運(yùn)算來體現(xiàn)的．如果沒有運(yùn)算，那么向量僅能表示空間中的點、直線和平面，只是“路標(biāo)”，無法獲得空間圖形的幾何性質(zhì)．下面我們看一個例題，這個例題是前面我們學(xué)習(xí)的一個判定定理，當(dāng)時沒有給出證明.例1：證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.定理的條件和結(jié)論都很清楚，為了證明的方便和簡介，我們用符號語言、圖形語言表示這個定理中用自然語言表達(dá)的條件和結(jié)論.已知：如圖，求證：.這個判定定理我們上學(xué)期學(xué)習(xí)立體幾何的時候?qū)W過，當(dāng)時沒有給出證明.因為用面面垂直的定義證明這個判定定理，要用兩個平面所成的二面角，有一定的難度.現(xiàn)在我們有了空間向量這個工具，可以嘗試用平面的法向量來證明，完善立體幾何中定理的學(xué)習(xí).分析：要用向量法證明兩個平面是垂直的，就是要證明這兩個平面的法向量是互相垂直的，設(shè)平面的法向量為n.根據(jù)已知條件，所以l的方向向量u就是平面的法向量.要證明α⊥β，就是要證明n⊥u，而直線l恰好是平面內(nèi)的一條直線，平面的法向量為n，根據(jù)法向量的定義，它垂直于平面內(nèi)任意一條直線的方向向量，所以l的方向向量u與n垂直，也就是說，平面的法向量與平面的法向量垂直.所以，這兩個平面垂直.證明：取直線l的方向向量為u，平面的法向量為n.因為，所以u是平面的法向量.因為，而n是平面的法向量，所以.即平面的法向量互相垂直.所以.例題小結(jié)：在本例中，我們體會到了，要解決立體幾何中面面垂直問題的時候，可以轉(zhuǎn)化為證明這兩個平面的法向量的垂直關(guān)系，再將向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”為幾何結(jié)論.用向量法證明兩個平面的垂直關(guān)系回避了找這兩個平面的二面角，利用向量運(yùn)算容易判定向量的位置關(guān)系，從而確定兩個平面的位置關(guān)系.這也是用向量法判定立體幾何問題中圖形位置關(guān)系的通性通法.當(dāng)題目中有明顯的線面垂直關(guān)系時，我們要利用好直線的方向向量作為平面的法向量，引入的符號越少越好，解決問題就越方便.當(dāng)沒有明顯的線面垂直關(guān)系時，我們再去設(shè)這個平面的法向量.下面我們再來看一個問題.例2：如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，.求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.分析：證明線面垂直，到目前為止，有兩種方法：一種是應(yīng)用上學(xué)期我們在必修里面學(xué)過的“線面垂直的判定定理”，即找到平面BDD1B1內(nèi)的兩條相交直線，都是與A1C垂直的,即可得到結(jié)論.而這個垂直關(guān)系也可以轉(zhuǎn)化為兩個向量的數(shù)量積為0來判斷.另一種方法就是我們今天學(xué)習(xí)的通過判斷直線的方向向量和平面的法向量是平行的來證明.第一種方法我們比較熟悉，留給大家課后作為練習(xí)，我們現(xiàn)在考慮用第二種方法證明.剛剛我們說過，為了證明線面垂直，只需要證明直線的方向向量和平面的法向量是平行的.或轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量就是平面的法向量.由于本題的前提條件是在平行六面體中考慮問題，沒有明顯的垂直關(guān)系，這個時候我們就不能像上節(jié)課的例題一樣，通過建系，寫點的坐標(biāo)，表示向量的坐標(biāo)，再通過向量運(yùn)算的的坐標(biāo)表示求解.由于平行六面體中由一個頂點A出發(fā)的三條棱有相應(yīng)的長度和夾角關(guān)系，所以我們可以用作為這個空間的基底，用這三個基向量表示空間中的任意一個向量，再對向量進(jìn)行運(yùn)算，看看能否解決問題.證明：為了敘述方便，設(shè)，由于a，b，c是不在同一平面內(nèi)的，則為空間的一個基底，且.因為AB=AD=AA1=1，，所以a2=b2=c2=1，.在平面BDD1B1上，取向量BD，向量BB1為基向量，則對于平面BDD1B1上任意一點P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使得.所以，所以是平面BDD1B1的法向量.所以.例題小結(jié)：前面我們講過，判斷直線與平面垂直，可以轉(zhuǎn)化為判斷直線的方向向量與平面的法向量平行，或證明直線的方向向量就是平面的法向量，兩者是一致的.此時，我們可以結(jié)合平面的向量表示和直線的方向向量與平面內(nèi)任意向量的數(shù)量積為0，得到結(jié)論.值得注意的是，我們是利用基向量進(jìn)行計算，而不是利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示進(jìn)行運(yùn)算，這種方法比坐標(biāo)法具有一般性.當(dāng)問題中沒有明顯的線線垂直關(guān)系時，即不具備建系的條件時，我們可以考慮尋找一組適當(dāng)?shù)幕?，用基向量來表示直線的方向向量和平面的法向量，再通過向量的運(yùn)算解決問題.課堂小結(jié)：問題5：本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了哪些知識內(nèi)容？其中，u,u1,u2分別是直線l,l結(jié)合上節(jié)課直線、平面的平行關(guān)系：我們完成了用向量表示直線、平面的位置關(guān)系的學(xué)習(xí).問題6：本節(jié)課的地位和作用是什么？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們學(xué)會了用直線的方向向量和平面的法向量表示直線和平面，進(jìn)行的向量運(yùn)算，由運(yùn)算結(jié)果研究向量的位置關(guān)系，再將所得的結(jié)果“翻譯”為幾何體中線面的位置關(guān)系.后續(xù)我們還會繼續(xù)研究如何用向量及其運(yùn)