2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第10章-第9節(jié) 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題【課件】

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第9節(jié)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題1.會(huì)從統(tǒng)計(jì)圖表中提取有效信息，用以解決概率問(wèn)題.2.能夠解決概率與回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問(wèn)題．考點(diǎn)一

統(tǒng)計(jì)圖表與概率例1(12分)為了解決家長(zhǎng)接送孩子放學(xué)的問(wèn)題，教育部提出推行課后服務(wù)“5＋2”模式，即學(xué)校每周5天都要開(kāi)展課后服務(wù)，每天至少開(kāi)展2h，結(jié)束時(shí)間要與當(dāng)?shù)卣Ｏ掳鄷r(shí)間相銜接，且不得利用課后服務(wù)時(shí)間講新課.為了課后服務(wù)的有序開(kāi)展，某教育局就課后服務(wù)的時(shí)長(zhǎng)在網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行意見(jiàn)征集，并從中隨機(jī)抽取了100份調(diào)查表，以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)從樣本中隨機(jī)抽取2份調(diào)查表，若其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)200min，求另一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)也超過(guò)200min的概率；(2)為了進(jìn)一步了解課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的需求情況，從樣本中建議課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)180min的人中分層抽取10人，再?gòu)倪@10人中任取3人，記建議課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)在[180，200)的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.[思路分析]

(1)先根據(jù)頻率分布直方圖求出課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)200min的調(diào)查表份數(shù)，再設(shè)出相關(guān)事件并求概率，最后根據(jù)條件概率的概率計(jì)算公式求解即可；(2)先根據(jù)題意及分層隨機(jī)抽樣的知識(shí)求出X的所有可能取值，然后求解相應(yīng)的概率，列出分布列，求得數(shù)學(xué)期望.[規(guī)范解答]

解(1)依題意，課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)200min的調(diào)查表共有100×(0.0075＋0.0025)×20＝20(份)①，(1分)設(shè)事件A為其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)200min，事件B為另一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)也超過(guò)200min，(2)根據(jù)題意及分層隨機(jī)抽樣的知識(shí)可知，抽取的10人中，建議課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)在[180，200)內(nèi)的有6人，則X的所有可能取值為0，1，2，3④，(7分)[滿(mǎn)分規(guī)則]?得步驟分①②⑤每列一個(gè)式子并計(jì)算正確可得1分；?得關(guān)鍵分③是條件概率公式得2分，④隨機(jī)變量取值不要多寫(xiě)也不能漏寫(xiě)；?得計(jì)算分⑥正確計(jì)算期望可得2分.訓(xùn)練1

某社區(qū)為了了解居民收看杭州亞運(yùn)會(huì)的情況，隨機(jī)調(diào)查了100名居民，獲得他們?nèi)站湛春贾輥嗊\(yùn)會(huì)的時(shí)長(zhǎng)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分成6組：[0，0.5]，(0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替．(1)試估計(jì)該社區(qū)居民日均收看杭州亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長(zhǎng)的平均值；解根據(jù)題意，估計(jì)該社區(qū)居民日均收看杭州亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長(zhǎng)的平均值為(0.5×0.1＋1×0.3＋1.5×0.4＋2×0.6＋2.5×0.4＋3×0.2)×0.5＝1.875小時(shí)．(2)以頻率估計(jì)概率，從該社區(qū)居民中隨機(jī)抽取3人，以X表示其中日均收看杭州亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長(zhǎng)在(1.5，2.5]的居民人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；解由條件可知，從該社區(qū)居民中隨機(jī)抽取1人，其日均收看杭州亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長(zhǎng)在(1.5，2.5]的概率估計(jì)為(0.6＋0.4)×0.5＝0.5，所以X的分布列為(3)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這100名居民收看杭州亞運(yùn)會(huì)的方式有：①收看新聞或收看比賽集錦，②收看比賽轉(zhuǎn)播或到現(xiàn)場(chǎng)觀看．他們通過(guò)這兩種方式收看的日均時(shí)長(zhǎng)與其日均收看杭州亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長(zhǎng)的比值如下表：日均收看杭州亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長(zhǎng)在[0，0.5]，(0.5，1.5]，(1.5，3]的居民通過(guò)方式①收看的平均時(shí)長(zhǎng)分別記為μ1，μ2，μ3，寫(xiě)出μ1，μ2，μ3的大小關(guān)系．(結(jié)論不要求證明)解μ1＝0.5×1＝0.5小時(shí)，因?yàn)?0.5，1]，(1，1.5]的人數(shù)之比為3∶4，因?yàn)?1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]的人數(shù)之比為3∶2∶1，所以μ2＞μ3＞μ1.考點(diǎn)二

回歸分析與概率(1)在所統(tǒng)計(jì)的5個(gè)年借閱量中任選2個(gè)，記其中低于平均值的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；所以模型①的殘差平方和大于模型②的殘差平方和，所以模型②的擬合效果更好.感悟提升高考常將回歸模型與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，求解時(shí)注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問(wèn)題所屬的事件類(lèi)型是關(guān)鍵．訓(xùn)練2

擊鼓傳花，也稱(chēng)傳彩球，是中國(guó)古代傳統(tǒng)民間酒宴上的助興游戲，屬于酒令的一種，又稱(chēng)“擊鼓催花”，在唐代時(shí)就已出現(xiàn)．杜牧《羊欄浦夜陪宴會(huì)》詩(shī)句中有“球來(lái)香袖依稀暖，酒凸觥心泛艷光”，可以得知唐代酒宴上擊鼓傳花助興的情景．游戲規(guī)則為：鼓響時(shí)，開(kāi)始傳花(或一小物件)，鼓響時(shí)眾人開(kāi)始依次傳花，至鼓停為止，此時(shí)花在誰(shuí)手中(或其序位前)，誰(shuí)就上臺(tái)表演節(jié)目(多是唱歌、跳舞、說(shuō)笑話(huà)或回答問(wèn)題、猜謎、按紙條規(guī)定行事等)．某單位組織團(tuán)建活動(dòng)，9人一組，共9組，玩擊鼓傳花，組號(hào)x(前五組)與組內(nèi)女性人數(shù)y統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：x12345y22344若女性人數(shù)y與組號(hào)x(組號(hào)變量x依次為1，2，3，4，5，…)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．(2)從前5組中隨機(jī)抽取3組，若3組中女性人數(shù)不低于3人的有X組，求X的分布列與期望．解由題可知X的所有可能取值為1，2，3，則X的分布列為考點(diǎn)三

獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率例3(2024·廣州模擬)某高校為調(diào)查學(xué)生性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，在全校范圍內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的等高堆積條形圖.(1)根據(jù)等高堆積條形圖，填寫(xiě)下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以認(rèn)為該校學(xué)生的性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián)；性別是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)是否男生

女生

解由等高堆積條形圖知，2×2列聯(lián)表為性別是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)是否男生3070女生6040感悟提升高考常將獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，由2×2列聯(lián)表解決相關(guān)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確理解2×2列聯(lián)表，能利用2×2列聯(lián)表正確計(jì)算出各組數(shù)據(jù)．訓(xùn)練3

(2024·杭州模擬)在杭州亞運(yùn)會(huì)的志愿者選拔工作中，某高校承辦了亞運(yùn)會(huì)志愿者選拔的面試工作，面試成績(jī)滿(mǎn)分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績(jī)分五組，第一組[45，55)，第二組[55，65)，第三組[65，75)，第四組[75，85)，第五組[85，95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右前三個(gè)組的頻率成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同.(1)求a，b的值，并估計(jì)這80名候選者面試成績(jī)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.1)；解由題意知20b＝10a＋0.45，(2a＋b＋0.065)×10＝1，解得a＝0.005，b＝0.025，所以平均值為50×0.05＋60×0.25＋70×0.45＋80×0.2＋90×0.05＝69.5，解補(bǔ)全2×2列聯(lián)表：所以依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為參加寧波賽區(qū)志愿者服務(wù)的候選人與性別有關(guān).解X的所有可能取值為2，3，4，微點(diǎn)突破概率與函數(shù)、數(shù)列在概率與統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率.決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，這往往借助于函數(shù)、不等式、數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)去實(shí)現(xiàn).例1

某盒子內(nèi)裝有60個(gè)小球(除顏色之外其他完全相同)，其中有若干個(gè)黑球，其他均為白球.為了估計(jì)黑球的數(shù)目，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)：從盒子中有放回地抽取4個(gè)球，記錄該次所抽取的黑球數(shù)目X，作為一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果.進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)共5次，記錄下第i次實(shí)驗(yàn)中實(shí)際抽到黑球的數(shù)目xi.已知從該盒子中任意抽取一個(gè)球，抽到黑球的概率為p(0<p<1). (1)求X的分布列；解從盒子中有放回地抽取4個(gè)球，記錄該次所抽取的黑球數(shù)目X，∵從該盒子中任意抽取一個(gè)球，抽到黑球的概率為p(0<p<1).∴X～B(4，p)，∴X的分布列為X01234P(1－p)44p(1－p)36p2(1－p)24p3(1－p)p4②據(jù)①估計(jì)該盒子中黑球的數(shù)目，并說(shuō)明理由.解估計(jì)盒子中黑球的數(shù)目為60p0＝39.理由如下：例2

(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃；若未命中，則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5. (1)求第2次投籃的人是乙的概率；解第2次投籃的人是乙分為兩種情況：第1次投籃的人是甲且投籃未命中，其概率為0.5×(1－0.6)＝0.2；第1次投籃的人是乙且投籃命中，其概率為0.5×0.8＝0.4，所以第2次投籃的人是乙的概率為0.2＋0.4＝0.6.(2)求第i次投籃的人是甲的概率；解設(shè)第i次投籃的人是甲為事件Ai，(2)從學(xué)生中隨機(jī)抽取n人(n∈N*)，記這n人的合計(jì)得分恰為n＋1的概率為Pn，求P1＋P2＋…＋Pn.解因?yàn)檫@n人的合計(jì)得分為n＋1分，所以其中只有1人計(jì)劃選擇校本課程二，課時(shí)分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.(2024·西安調(diào)研)某市為了解本市初中生周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了3000名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們的周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)按照分層隨機(jī)抽樣，從[40，50)和[80，90)中隨機(jī)抽取了9名學(xué)生.現(xiàn)從已抽取的9名學(xué)生中隨機(jī)推薦3名學(xué)生參加體能測(cè)試.記推薦的3名學(xué)生來(lái)自[40，50)的人數(shù)為X，求X的分布列；解運(yùn)動(dòng)時(shí)間在[40，50)的人數(shù)為3000×0.02×10＝600.運(yùn)動(dòng)時(shí)間在[80，90)的人數(shù)為3000×0.01×10＝300.按照分層隨機(jī)抽樣共抽取9人，則在區(qū)間[40，50)內(nèi)抽取的人數(shù)為6，在區(qū)間[80，90)內(nèi)抽取的人數(shù)為3.∴隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，2.(2024·長(zhǎng)沙調(diào)研)隨著生活水平的提高，人們對(duì)水果的需求量越來(lái)越大，為了滿(mǎn)足消費(fèi)者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地開(kāi)花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜軟，低酸爽口深受市民的喜愛(ài).某“鬧鬧”水果店對(duì)某品種的“湖南沃柑”進(jìn)行試銷(xiāo)，得到一組銷(xiāo)售數(shù)據(jù)，如下表所示：試銷(xiāo)單價(jià)x(元)34567產(chǎn)品銷(xiāo)量y件201615126(1)經(jīng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r≈－0.97，變量x，y線(xiàn)性相關(guān)程度很高，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；3.為落實(shí)十三五規(guī)劃節(jié)能減排的國(guó)家政策，某職能部門(mén)對(duì)市場(chǎng)上兩種設(shè)備的使用壽命進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取A型和B型設(shè)備各100臺(tái)，得到如下頻率分布直方圖：(1)將使用壽命超過(guò)2500小時(shí)和不超過(guò)2500小時(shí)的臺(tái)數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過(guò)2500小時(shí)不超過(guò)2500小時(shí)合計(jì)A型

B型

合計(jì)

根據(jù)上面的列聯(lián)表，依據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為使用壽命是否超過(guò)2500小時(shí)與型號(hào)有關(guān)？解由頻率分布直方圖可知，A型超過(guò)2500小時(shí)的有100×(0.0006＋0.0005＋0.0003)×500＝70臺(tái),則A型不超過(guò)2500小時(shí)的有30臺(tái),同理,B型超過(guò)2500小時(shí)的有100×(0.0006＋0.0003＋0.0001)×500＝50臺(tái),則B型不超過(guò)2500小時(shí)的有50臺(tái)．列聯(lián)表如下：

超過(guò)2500小時(shí)不超過(guò)2500小時(shí)合計(jì)A型7030100B型5050100合計(jì)12080200零假設(shè)為H0：使用壽命是否超過(guò)2500小時(shí)與型號(hào)無(wú)關(guān)，所以依據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為使用壽命是否超過(guò)2500小時(shí)與型號(hào)有關(guān)．(2)用分層隨