2025高考數(shù)學一輪復習-第7章-第1節(jié) 基本立體圖形及幾何體的表面積與體積【課件】

第七章立體幾何與空間向量第1節(jié)基本立體圖形及幾何體的表面積與體積1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構.2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.空間幾何體的結構特征 (1)多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相____且____多邊形互相____且____側棱____________相交于_____，但不一定相等延長線交于____側面形狀____________________梯形平行全等平行相似平行且相等一點一點平行四邊形三角形(2)旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，______于底面相交于______延長線交于______

軸截面__________________等腰梯形圓側面展開圖____________扇環(huán)

垂直一點一點矩形等腰三角形矩形扇形2.直觀圖的斜二測畫法(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為______________，z′軸與x′軸、y′軸所在平面______.(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別________坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度______，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼腳_____.45°(或135°)垂直平行于不變一半3.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側＝_______S圓錐側＝_____S圓臺側＝___________2πrlπrlπ(r1＋r2)lSh4πR2常用結論與微點提醒1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)×××解析(1)不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線，(1)錯誤.(2)反例：如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐，(2)錯誤.(1)在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線.(

)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)(3)菱形的直觀圖仍是菱形.(

)(4)兩個球的體積之比等于它們的半徑比的平方.(

)×(3)用斜二測畫法畫水平放置的菱形的直觀圖是平行四邊形，但鄰邊不一定相等，(3)錯誤.(4)球的體積之比等于半徑比的立方，故(4)錯誤.2.(必修二P106T8改編)如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′∥FG，則剩下的幾何體是(

)A.棱臺 B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱C解析由于平面ABFEA′∥平面DCGHD′，且AD，BC，F(xiàn)G，EH，A′D′相互平行且相等，所以剩下的幾何體是五棱柱.

B解析設圓錐的母線長為l，4.(必修二P120T5改編)一個長方體的頂點都在球面上，且長方體的棱長分別為1，2，3，則球的表面積為________.14π解析設球的半徑為R，考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一基本立體圖形角度1結構特征例1(多選)下列說法中正確的是(

)A.以直角梯形垂直于底面的腰所在直線為旋轉軸，其余邊旋轉一周形成的幾何體是圓臺B.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱C.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D.棱臺的各側棱延長后必交于一點AD解析由圓臺定義知，以直角梯形垂直于底邊的腰為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成的旋轉體是圓臺，故A正確；由棱柱定義可知，棱柱是有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，且每相鄰兩個平行四邊形的公共邊都互相平行的幾何體，故B錯誤；底面是正多邊形的棱錐，但不能保證頂點在底面上的射影為底面正多邊形的中心，故C錯誤；棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺的各側棱延長后必交于一點，故D正確.感悟提升空間幾何體結構特征的判斷技巧(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據(jù)條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.(2)通過反例對結構特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.角度2直觀圖例2(1)對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述不正確的是(

)A.三角形的直觀圖仍然是一個三角形B.90°的角的直觀圖一定會變?yōu)?5°的角C.與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话隓.由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同B解析對于A，根據(jù)斜二測畫法，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因此三角形的直觀圖仍是一個三角形，故A正確；對于B，90°的角的直觀圖可以變?yōu)?5°或135°的角，故B錯誤；C，D顯然正確.A解析因為斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，感悟提升角度3展開圖例3(2024·郴州模擬)已知圓臺的上、下底面圓半徑分別為10和5，側面積為300π，AB為圓臺的一條母線(點B在圓臺的上底面圓周上)，M為AB的中點，一只螞蟻從點B出發(fā)，繞圓臺側面爬行一周到點M，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為(

) A.30 B.40 C.50 D.60C解析圓臺上底面半徑為10，下底面半徑為5，設母線長為l，∴側面積S＝πl(wèi)(10＋5)＝15πl(wèi)＝300π，解得l＝20.線段M1B就是螞蟻經(jīng)過的最短距離.設OA＝R，扇形的圓心角是α，則由題意知2×5π＝αR，①2×10π＝α(20＋R)，②感悟提升在解決空間曲線或折線(段)最短問題時一般要考慮幾何體的側面展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化.訓練1(1)(2024·棗莊調研)給出下列四個命題，正確的是(

)A.有兩個側面是矩形的立體圖形是直棱柱B.側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C.側面都是矩形的直四棱柱是長方體D.底面為正多邊形，且有相鄰兩個側面與底面垂直的棱柱是正棱柱D解析對于A，平行六面體的兩個相對側面也可能是矩形，故A錯；對于B，等腰三角形的腰不是側棱時不一定成立(如圖)，故B錯；對于C，若底面不是矩形，則C錯；對于D，可知側棱垂直于底面，故D正確.B解析根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，(3)(2023·福州檢測)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F(xiàn)是線段A1B1上的動點，則AF＋FC1的最小值為__________.解析將正三棱柱ABC－A1B1C1(如圖1)中的△A1B1C1沿A1B1翻折至平面ABB1A1上，如圖2所示，在圖2中，連接AC1，則AF＋FC1≥AC1，因為AA1＝A1C1＝2，且∠AA1C1＝90°＋60°＝150°，＝2×2sin75°＝4sin(30°＋45°)＝4×(sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°)考點二面積與體積解析設圓錐的底面半徑為R，母線長為l，則R＝1，如圖，作出圓錐、圓臺的軸截面，(2)(2024·蘭州診斷)攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，蘭州市著名景點三臺閣(如圖1)的屋頂部分是典型的攢尖結構.如圖2所示是某研究性學習小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體，已知正四棱臺上底邊、下底邊、側棱的長度(單位：dm)分別為2，6，4，正三棱柱各棱長均相等，則該結構的表面積為________dm2.解析法一如圖所示，設點O1，O分別為正四棱臺ABCD－A1B1C1D1上、下底面的中心，連接B1D1，BD，則O1，O分別為B1D1，BD的中點.連接O1O，則O1O即正四棱臺ABCD－A1B1C1D1的高.過點B1作B1E⊥BD，垂足為E，則B1E＝O1O.因為AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分別為PA，PB，PC，PD的中點，(2)(2024·南寧質檢)木楔子在傳統(tǒng)木工中運用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足.楔子是一種簡單的機械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長為2的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝4，則該木楔子的體積為________.解析如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH.(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點，則三棱錐A1－D1MN的體積為________.1解析如圖，由正方體棱長為2及M，N分別為BB1，AB的中點，得感悟提升1.空間幾何體表面積的求法(1)旋轉體的表面積問題注意其軸截面及側面展開圖的應用，并弄清底面半徑、母線長與對應側面展開圖中邊的關系.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.2.求空間幾何體的體積的常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解；(2)割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體；(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.訓練2(1)在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因為六、八是中國人的吉利數(shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形.如圖為一個正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為18.7cm，底面邊長為7cm(數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù))，用一層絨布將其側面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為(

)A.120cm2 B.162.7cm2C.785.4cm2 D.1570.8cm2C解析根據(jù)正六棱柱的底面邊長為7cm，得正六棱柱的側面積為6×7×18.7＝785.4(cm2)，所以至少需要絨布的面積為785.4cm2.解析由圖可知，五邊形ABCDE可看作正方形BCDF切去一個等腰直角三角形AEF，將五邊形ABCDE繞直線AB旋轉一周得到的幾何體是一個圓柱挖去一個圓錐.課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANB2.下面關于空間幾何體的敘述正確的是(

)A.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C.直平行六面體是長方體D.存在每個面都是直角三角形的四面體D解析A中，不一定，當以斜邊所在直線為旋轉軸時，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體，A不正確；B中，當平面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分，B不正確；C中，直平行六面體是平行六面體的側棱與底面垂直，所以底面可以是平行四邊形，它不是長方體，C不正確；D中，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的四面體C1－ABC，四個面都是直角三角形，D正確.3.(2024·沈陽質監(jiān))刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容.由曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.則如圖所示正八面體(八個面均為正三角形)的總曲率為(

)BA.2π B.4π C.6π D.8πD解析設圓臺的母線長為l，C解析由題意，設直角圓錐SO的底面圓的半徑為r，則直角圓錐SO的高為r，又在直角圓錐SO中，點S與底面圓O都在同一個球面上，設球的半徑為R，則r＝R，又因為球的表面積為4π，則4πR2＝4π，解得R＝1，即r＝1，C解析設圓柱的母線長為2a，且圓柱的軸截面為正方形，則圓柱的底面圓的半徑為a，連接O1C，O1D，O1O2，如圖，由題意可知A解析如圖，取AB的中點D，連接PD，CD，因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD?平面ABC，所以PD⊥平面ABC，B9.如圖是水平放置的正方形ABCO，在直角坐標系xOy中，點B的坐標為(2，2)，則由斜二測畫法畫出的正方形的直

觀圖中，頂點B′到x′軸的距離為________.解析利用斜二測畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖，在坐標系x′O′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.10.(2024·佛山調研)如圖，有一個圓錐形糧堆，其軸截面是邊長為8m的等邊三角形ABC，糧堆母線AC的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時小貓正在B處，它要沿圓錐側面到達P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是________m.解析如圖所示，根據(jù)題意可得△ABC是邊長為8m的正三角形，所以BC＝8m，所以圓錐底面周長為π×8＝8π(m).設圓錐側面展開后的扇形圓心角為θ，點B在展開圖中對應的點為B′，連接AB′，B′P.根據(jù)底面圓的周長等于展開后扇形的弧長，可得8θ＝8π，11.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中B，C分別是上、下底面圓的圓心，且AC＝3AB＝3BD，則該陀螺下半部分的圓柱的側面積與上半部分的圓錐的側面積的比值是________.因為AC＝3AB＝3m，所以BC＝2m，則圓柱的側面積S1＝2π·BD·BC＝4πm2，12.某同學的通用技術作品如圖所示，該作品由兩個相同的正四棱柱組成.已知正四棱柱的底面邊長為3cm，則這兩個正四棱柱的公共部分構成的多面體的面數(shù)為________，體積為________cm3.8解析易知兩個正四棱柱的公共部分為兩個正四棱錐拼接而成，且兩個正四棱錐的底面重合，所以公共部分構成的多面體的面數(shù)為8，C解析連接BD，在圓內接四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，所以BD是四邊形ABCD外接圓的直徑，所以∠DCB＝90°，則∠ABC＝135°.延長AB，過點C作CE垂直AB的延長線于點E，過點C作CF⊥AD，垂足為F，則∠CBE＝45°，所以△BCE是等腰直角三角形，所以BE＝CE＝2.作出四邊形ABCD關于直線AB對稱的圖形，如圖所示.由于CE∥AF，AE∥CF，∠DAB＝90°，所以四邊形AECF是矩形，AF＝CE＝2，DF＝CF＝AE＝4，BD解析

因為PA⊥平面ABCD，BE∥PA，所以BE⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以BC⊥BE.因為四邊形ABCD為矩形，所以BC⊥AB，又AB∩BE＝B，AB，BE?平面ABEP，所以BC⊥平面ABEP，同理可證得CD⊥平面PAD，如圖，取PA的中點為F，連接EF，F(xiàn)C，F(xiàn)