湖北省十堰市2024-2025年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析

十堰市2025年高三年級(jí)元月調(diào)研考試數(shù)學(xué)本試題卷共4頁，共19道題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考號(hào)填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將考號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答在試題卷?草稿紙上無效.3.非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆將答案直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).答在試題卷?草稿紙上無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式與分式不等式可化簡(jiǎn)集合A，B，然后由交集定義可得答案.【詳解】不等式.所以，又，所以.故選：D2.下列雙曲線，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)各項(xiàng)雙曲線方程確定焦點(diǎn)位置并寫出漸近線方程，即可得答案.【詳解】由、的焦點(diǎn)在軸上，A、B錯(cuò)；由的焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為，C對(duì)；由的焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為，D錯(cuò).故選：C3.如圖，在中，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的基本定理求解即可.【詳解】.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，可得答案.【詳解】，則，又，所以.故選：D.5.已知，且的中位數(shù)為1，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意判斷出，再分別討論和即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，又的中位?shù)為1，所以，當(dāng)時(shí)，分別為，則中位數(shù)為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則中位數(shù)為，解得.故選：B6.已知正三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取正三棱錐的底面中心為，設(shè)外接球的球心為，先由三棱錐的體積求出正三棱錐的高為，再由勾股定理求出球的半徑，最后求出表面積即可.【詳解】設(shè)正三棱錐的底面中心為，外接球的球心為，顯然球心在直線上.設(shè)正三棱錐的高為，外接球的半徑為，由，可得正三角形的面積為，所以，解得.球心到底面的距離為，由，得，所以外接球表面積為.故選：D.7.在中，為上一點(diǎn)，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等面積法結(jié)合余弦定理解三角形，結(jié)合三角形的面積公式求解即可.【詳解】記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，因?yàn)?，所?由余弦定理可知，得，又，所以，則的面積為.故選：B.8.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)、、滿足，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，可知，求出的取值范圍，根據(jù)求出的值，由此可得出的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖：由圖可知，，即，得，即，由，即，可得，得，即，所以.所以，，故的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)圖形確定、、的范圍，結(jié)合圖形以及代數(shù)運(yùn)算求出為定值，再結(jié)合的范圍求解.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知虛數(shù)滿足，則（）A.的實(shí)部為 B.的虛部為C. D.可能為純虛數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法以及共軛復(fù)數(shù)的概念，建立方程方程，可得答案.【詳解】設(shè)，由，可得，所以，解得，則，所以的實(shí)部為的虛部為不可能為純虛數(shù).故選：AC.10.已知，函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若為奇數(shù)，則是的極小值點(diǎn)B.若為奇數(shù)，則是的極大值點(diǎn)C.若為偶數(shù)，則是的極小值點(diǎn)D.若為偶數(shù)，則是的極大值點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)再分奇數(shù)偶數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得出極值點(diǎn)即可.詳解】由題可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，令，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，B正確；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，C正確.故選：BC.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線就是其中之一，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且關(guān)于直線對(duì)稱B.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2C.若是曲線上的任意一點(diǎn)，則的最大值為D.已知，直線與曲線交于兩點(diǎn)，則為定值【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)曲線上任意點(diǎn)，結(jié)合曲線方程判斷是否在曲線上判斷A；令第一象限點(diǎn)在曲線上，得，應(yīng)用基本不等式求的范圍判斷B；根據(jù)題意位于第二象限時(shí)取得最大值，令得，利用求的范圍判斷C；設(shè)第一象限點(diǎn)，則且，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式求判斷D.【詳解】根據(jù)曲線方程，若點(diǎn)在曲線上，易知點(diǎn)都滿足曲線的方程，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且關(guān)于直線對(duì)稱，A正確；令第一象限點(diǎn)在曲線上，則，因?yàn)?，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，B正確；由曲線的對(duì)稱性知，當(dāng)位于第二象限時(shí)，取得最大值，所以，令，將代入，可得，故，解得，即的最大值為6，C錯(cuò)誤；由題，知點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)第一象限點(diǎn)，則且，則，，所以為定值，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)曲線方程的特征判斷曲線的對(duì)稱性，結(jié)合各項(xiàng)描述并應(yīng)用特殊象限點(diǎn)、基本不等式、兩點(diǎn)距離公式、方程法判斷各項(xiàng)正誤為關(guān)鍵.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若，，則__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義代入求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，故.故答案為：.13.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值為__________.【答案】10【解析】【分析】設(shè)，可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性可得，再根據(jù)分析求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，設(shè)，可知在上單調(diào)遞減，則，解得，且，則，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為10.故答案為：10.14.由數(shù)字1，2構(gòu)成一個(gè)9位的數(shù)字序列，含有連續(xù)子序列1221的數(shù)字序列有__________個(gè).（例如122122211，212112211符合題意）【答案】174【解析】【分析】考慮子序列1221可能出現(xiàn)的位置，再將其中重復(fù)的去掉，即可得答案.【詳解】考慮出現(xiàn)子序列1221時(shí)，可能出現(xiàn)的位置有6個(gè)，依次對(duì)應(yīng)序列放入集合，中，記為集合中元素個(gè)數(shù)，則，再考慮重復(fù)的序列，，又注意到任意多于2個(gè)集合的交集均為空集，所以含有連續(xù)子序列1221的數(shù)學(xué)序列有個(gè).故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.現(xiàn)在很多市民都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不喜歡.為了調(diào)查人們是否喜歡這種交通方式，某同學(xué)從交通擁堵嚴(yán)重的A城市和交通擁堵不嚴(yán)重的B城市隨機(jī)調(diào)查了100名市民，得到了一個(gè)市民是否喜歡騎“共享單車”的樣本，具體數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：AB總計(jì)喜歡401050不喜歡203050總計(jì)6040100（1）根據(jù)列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜歡騎“共享單車”與城市的擁堵情況有關(guān)聯(lián)？（2）為進(jìn)一步了解A城市的擁堵情況，該同學(xué)從樣本中A城市的市民中按是否喜歡利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，并從這6人中選出2人代表發(fā)言，記代表發(fā)言中喜歡騎“共享單車”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.附表格及參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）認(rèn)為市民喜歡騎“共享單車”與城市的擁堵情況有關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的相關(guān)計(jì)算方法，可得答案；（2）根據(jù)超幾何分布列以及期望的計(jì)算方法，可得答案.【小問1詳解】零假設(shè)為：市民是否喜歡騎“共享單車”與城市的擁堵情況無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民是否喜歡騎“共享單車”與城市的擁堵情況有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.【小問2詳解】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的知識(shí)可知，隨機(jī)抽取的6人中喜歡騎“共享單車”的有4人，不喜歡騎“共享單車”的有2人，所以隨機(jī)變量的所有可能取值為，，所以的分布列為012所以.16.如圖，在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱，點(diǎn)、分別在側(cè)棱、上，且.（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）已知為底面的中心，在上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在，且【解析】【分析】（1）解法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值；解法二：延長(zhǎng)、，設(shè)，連接，分析可知，為平面與平面夾角，計(jì)算出、的長(zhǎng)，即可求得的余弦值，即為所求；（2）解法一：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)空間向量法得出，求出的值，即可得出結(jié)論；解法二：當(dāng)時(shí)，平面，連接，取為的中點(diǎn)，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可得出結(jié)論.【小問1詳解】解法一：因?yàn)樵谥彼睦庵校酌媸沁呴L(zhǎng)為正方形，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，易知是平面的一個(gè)法向量，所以，即平面與平面夾角的余弦值為.解法二：延長(zhǎng)、，設(shè)，連接，過在平面內(nèi)作的垂線，垂足為，連接.因?yàn)槠矫?，平面，則，又因?yàn)椋?、平面，，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，所以為平面與平面的夾角.因?yàn)?，所以，則，則為的中點(diǎn)，所以，，在中，，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫矫?，則，則，所以，，即平面與平面夾角的余弦值為.【小問2詳解】解法一：由（1）可得、，，假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)，所以，因?yàn)槠矫妫?，解?故當(dāng)時(shí)，平面.解法二：當(dāng)時(shí)，平面.證明過程如下：連接，取為的中點(diǎn)，連接、.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為梯形的中位線，即，且，因?yàn)?，且，所以，，所以為平行四邊形，所?因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解法一：根據(jù)作差得到，即可求出公比，再求出，即可得解；解法二：設(shè)數(shù)列的公比為，令、，即可求出、，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求出，參變分離可得，令，利用作商法判斷的單調(diào)性，即可求出的最大值，即可得解.【小問1詳解】解法一：由，可得，兩式相減可得，則，即數(shù)列的公比為.當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以.解法二：設(shè)數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以.【小問2詳解】由（1）可得，所以，則，所以，即，解得，由，可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，1，所以，所以，所以的取值范圍為.18.已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，是上的三個(gè)點(diǎn).（1）求的方程；（2）已知，且直線經(jīng)過點(diǎn)，，求直線的方程；（3）已知在軸的兩側(cè)，過點(diǎn)分別作拋物線的切線，且與交于點(diǎn)，直線與和分別交于點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)在直線上求解即可；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，直線的方程為，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合求解即可；（3）設(shè)出直線的方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和判別式得到，利用導(dǎo)數(shù)分別求出點(diǎn)和點(diǎn)處的切線方程，求出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，得到面積的表達(dá)式，令，則，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值.【小問1詳解】由題可知，所以，解得，所以的方程為；【小問2詳解】設(shè)，由題可知，依題意知直線的斜率必存在，設(shè)直線的方程為.由整理得，則，，，，因?yàn)椋?，所以，，解得，所以直線的方程為；【小問3詳解】設(shè)，因?yàn)樵谳S的兩側(cè)，所以直線的斜率一定存在，不妨設(shè)，直線的方程為，由整理得，則，，由得.設(shè)切線的斜率分別為，又，所以，則，，所以的方程為，即，同理可得的方程為.由解得即.令，可得，，.點(diǎn)到直線的距離為，故的面積為，（當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）令，記，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增；令，則，在上單調(diào)遞減，所以，故面積的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（3）問的關(guān)鍵點(diǎn)之一在于利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在點(diǎn)，處的切線，進(jìn)而得到面積的表達(dá)式，關(guān)鍵點(diǎn)之二在于利用得到，再利用換元法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.19.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對(duì)任意，都滿足，則稱函數(shù)在區(qū)間上為級(jí)速增函數(shù).（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上是否為1級(jí)速增函數(shù)，說明理由；（2）若函數(shù)在區(qū)間上為2級(jí)速增函數(shù)，且，證明：對(duì)任意，恒成立；（3）若在區(qū)間上為級(jí)速增函數(shù)，求的取值范圍.【答案】（1）是，理由見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)新定義作差比較判斷即可；（2）根據(jù)函數(shù)新定義作差結(jié)合累加