2025年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第08講 勾股定理

第08講勾股定理模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.2.勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.圖中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.圖中，所以。方法三：如圖所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.圖中，所以。3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果(a、b、c)是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以at、bt、ct為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形?？键c(diǎn)01：用勾股定理理解三角形例題1．（24-25八年級(jí)上·四川達(dá)州·期中）如圖，已知等腰的底邊，為腰上的高，且，求的周長(zhǎng)．【變式1-1】在中，斜邊，則的值為（

）A．15 B．25 C．50 D．60【變式1-2】（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖是一塊長(zhǎng)方形草坪，是一條被踩踏的小路，已知米，米．為了避免行人繼續(xù)踩踏草坪（走線段），小梅分別在A，B處各掛了一塊下面的牌子，則牌子上“？”處是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-3】如圖，在中，，，，垂足為，若，則的長(zhǎng)為．考點(diǎn)02：已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離例題2．（24-25八年級(jí)上·陜西寶雞·期中）閱讀一段文字，再回答下列問題：已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)，，則該兩點(diǎn)間距離公式為，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上或所在直線平行于x軸、平行于y軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可分別化簡(jiǎn)成和．(1)若已知兩點(diǎn)，，試求A，B兩點(diǎn)間的距離；(2)已知點(diǎn)M，N在平行于y軸的同一條直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為7，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，試求M，N兩點(diǎn)間的距離．【變式2-1】已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)和，那么．【變式2-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0，過軸上的點(diǎn)作垂直于軸，若，以為圓心，為半徑作圓弧交軸正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式2-3】已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，，其兩點(diǎn)間的距離．同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可簡(jiǎn)化為或．(1)已知點(diǎn)、，試求、兩點(diǎn)間的距離；(2)點(diǎn)在第一三象限角平分線上，且軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試求、兩點(diǎn)間的距離．考點(diǎn)03：勾股數(shù)問題例題3．（24-25八年級(jí)上·江蘇徐州·期中）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如6、8、10；8、15、17；…若此類勾股數(shù)的勾為12，則其弦是．【變式3-1】在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（

）A．，， B．5，6，7 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13【變式3-2】下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11【變式3-3】已知勾股數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別是40，，則勾股數(shù)的第三個(gè)數(shù)是．考點(diǎn)04：以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形的面積例題4．（24-25八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）勾股定理是數(shù)學(xué)中一顆璀璨的明珠，在人類的文明史上有杰出的貢獻(xiàn)．如圖1，在中，，，分別以的各邊為一邊向外部作正方形，把兩個(gè)較小正方形按圖2放置，若圖形①的面積是4，則圖形②的面積是．【變式4-1】圖中的四邊形均為正方形，三角形為直角三角形，最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則圖中A、B兩個(gè)正方形的面積之和為（

）A． B． C． D．【變式4-2】如圖所示，已知在中，，，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，，則的值等于．【變式4-3】（24-25七年級(jí)上·山東泰安·期中）如圖，在中，．若，則正方形和正方形的面積差為．考點(diǎn)05：勾股定理與網(wǎng)格問題例題5．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，在如圖所示的的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)寫出格點(diǎn)各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求出的周長(zhǎng)．【變式5-1】如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（24-25八年級(jí)上·山西朔州·期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，是格點(diǎn)三角形（每個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)），格點(diǎn)與全等（點(diǎn)D與點(diǎn)C不重合），滿足條件的共有個(gè)．【變式5-3】（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖：在長(zhǎng)度為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)、、在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)在圖中畫出與△關(guān)于直線成軸對(duì)稱的△；(2)的周長(zhǎng)為_________．考點(diǎn)06：勾股定理與折疊問題例題6．（24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，將沿直線翻折后，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在上，則線段的長(zhǎng)為．【變式6-1】（24-25八年級(jí)上·廣東揭陽·期中）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形折疊，使點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，點(diǎn)落在處，折痕為，則線段的長(zhǎng)是．【變式6-2】（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，將三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．，，則的值為．【變式6-3】（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)分別位于兩坐標(biāo)軸正半軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿所在直線翻折得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．考點(diǎn)07：勾股定理的證明例題7．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）用圖1中四個(gè)完全一樣的直角三角形可以拼成圖2的大正方形，解答下列問題：(1)根據(jù)圖2，利用圖形的面積關(guān)系，試說明．(2)利用（1）的關(guān)系式解答：如果大正方形的面積是25，且，求小正方形的面積．【變式7-1】利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示圖形，通過該圖形可以驗(yàn)證公式（

）A． B．C． D．【變式7-2】（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）已知直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c．請(qǐng)用兩種不同的方法證明：．【變式7-3】我們知道，有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角邊所對(duì)的邊叫斜邊（如圖①所示）．?dāng)?shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方．即如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是和，斜邊長(zhǎng)度是，那么．(1)直接填空：如圖①，若，則_________；若．則直角三角形的面積是_________．(2)觀察圖②，其中兩個(gè)相同的直角三角形邊在一條直線上，請(qǐng)利用幾何圖形的之間的面積關(guān)系，試說明．考點(diǎn)08：利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算或證明例題8．（23-24八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）在中，，D是的中點(diǎn)，以為腰向外作等腰直角連接，交AD于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)試判斷線段與三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式8-1】如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于．【變式8-2】RtABC中，斜邊，則的值為．【變式8-3】（23-24八年級(jí)下·河南商丘·期中）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，如圖，在“垂美”四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，若，則．考點(diǎn)09：以弦圖為背景的計(jì)算問題例題9．（24-25八年級(jí)上·浙江·期中）勾股定理的證明方法多種多樣，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽構(gòu)造“弦圖”證明了勾股定理，后人稱其為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形拼成．如圖1為趙爽弦圖，其中，連接交于點(diǎn)，連接，得到圖2，若．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【變式9-1】（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若圖中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為，大正方形的面積為，連接圖中四條線段得到如圖的新圖案，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B．10 C． D．【變式9-2】（24-25八年級(jí)上·浙江金華·期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（圖1），后人稱其為“趙爽弦圖”．由圖1變化得到圖2，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形，正方形，正方形的的面積分別為．若，則的值為．【變式9-3】（24-25八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）中國古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．中，，若，，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形解決下列問題：(1)試說明：；(2)如果大正方形的面積是15，小正方形的面積是4，求的值．考點(diǎn)10：勾股定理的應(yīng)用例題10．（24-25八年級(jí)上·浙江紹興·期中）如圖，一架米長(zhǎng)的梯子斜靠在豎直的墻上，這時(shí)底端到墻角的距離為米．(1)此時(shí)，這架梯子的頂端距離地面有多高？(2)如果梯子的底端向內(nèi)移動(dòng)米，則頂端沿墻向上移動(dòng)多少米？【變式10-1】（24-25八年級(jí)上·浙江·期中）如圖，一架的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距墻角，若梯子的頂端下滑，則梯足將滑動(dòng)．【變式10-2】（24-25八年級(jí)上·貴州貴陽·期中）一架云梯長(zhǎng)，按如圖所示的方式斜靠在一面墻上，云梯底端離墻的距離為．(1)求此架云梯的頂端到地面的距離；(2)如果云梯的頂端A下滑了到達(dá)E處，求它的底部B在水平方向移動(dòng)的距離的長(zhǎng)．【變式10-3】（24-25八年級(jí)上·江蘇泰州·期中）物理課上，老師帶著科技小組進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)．同學(xué)們將一根不可拉伸的繩子繞過定滑輪，一端拴在滑塊上，另一端拴在物體上，滑塊放置在水平地面的直軌道上，通過滑塊的左右滑動(dòng)來調(diào)節(jié)物體的升降．實(shí)驗(yàn)初始狀態(tài)如圖1所示，物體靜止在直軌道上，物體到滑塊的水平距離是6，物體到定滑輪的垂直距離是8．（實(shí)驗(yàn)過程中，繩子始終保持繃緊狀態(tài)，定滑輪、滑塊和物體的大小忽略不計(jì)．）(1)求繩子的總長(zhǎng)度；(2)如圖2，若物體升高7，求滑塊向左滑動(dòng)的距離．例題11．（24-25八年級(jí)上·山西太原·期中）為打造“宜居、宜業(yè)、宜游”的城市環(huán)境，迎澤大街于今年五月份啟動(dòng)改造，九月份正式竣工通車．此次改造新?lián)Q的路燈為“中華燈”，讓迎澤大街更顯古樸典雅．如圖是吊車安裝“中華燈”的示意圖，已知為吊車起重臂，長(zhǎng)為20米，點(diǎn)到路燈桿的水平距離為16米，點(diǎn)到地面的豎直距離為2米，則起重臂頂端離地面的高度為米．【變式11-1】（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端5m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約1m．如果設(shè)旗桿的高度為xm，那么根據(jù)題意可列方程（

）A． B．C． D．【變式11-2】（23-24八年級(jí)上·陜西咸陽·期中）如圖，用兩根木棒、加固小樹，木棒、與小樹在同一平面內(nèi)，且小樹與地面垂直，點(diǎn)在地面上的同一水平線上，，，，求小樹的高度．【變式11-3】如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度為，將它往前推送6（水平距離）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度為，秋千的繩索始終拉得很直．若踏板垂直高度差，求繩索的長(zhǎng)．例題12．（24-25八年級(jí)上·江西撫州·期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高5米，兩樹相距24米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，小鳥至少飛行米．【變式12-1】如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地距離米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開，一個(gè)身高米的學(xué)生剛走到離門間距米的地方時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開，則該感應(yīng)器感應(yīng)長(zhǎng)度為（）A．米 B．米 C．米 D．米【變式12-2】（24-25八年級(jí)上·浙江·期中）如圖，一條路的兩邊有兩棵樹，一棵樹高為11米，另一棵樹高為6米，兩樹的距離為12米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少要飛行米．【變式12-3】（24-25七年級(jí)上·山東東營(yíng)·期中）如圖，小明操縱無人機(jī)從樹尖飛向旗桿頂端，已知樹高，旗桿高，樹與旗桿之間的水平距離為，則無人機(jī)飛行的最短距離為多少？例題13．（24-25八年級(jí)上·江蘇常州·期中）2024年第13號(hào)臺(tái)風(fēng)“貝碧嘉”于9月16日17時(shí)前后經(jīng)過常州，給當(dāng)?shù)卦斐闪司薮髶p失．如圖，一棵垂直于地面并且高9米的銀杏樹被臺(tái)風(fēng)折斷，樹頂A落在離樹底部C的6米處，求這棵樹在離地面多高處被折斷．【變式13-1】（24-25八年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期中）《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長(zhǎng)各幾何？這道題的意思是：有一個(gè)正方形的池塘，邊長(zhǎng)為1丈，有一棵蘆葦生長(zhǎng)在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，則蘆葦?shù)母叨葹槌撸?丈＝10尺）【變式13-2】如圖，某人欲垂直橫渡一條河，由于水流的影響，他實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離了想要到達(dá)的B點(diǎn)（即），其結(jié)果是他在水中實(shí)際游了（即），則該河處的寬度是．【變式13-3】（24-25八年級(jí)上·江蘇淮安·期中）淮安某大酒店為了迎接“淮揚(yáng)美食文化節(jié)”，要在高5米，長(zhǎng)13米的一段臺(tái)階面上鋪上地毯，臺(tái)階的剖面如圖，則地毯的長(zhǎng)度至少需要米．例題14．如圖所示，緝毒警方在基地B處獲知有販毒分子分別在P島和M島進(jìn)行毒品交易后，緝毒艇立即出發(fā)，已知甲艇沿北偏東方向以每小時(shí)36海里的速度前進(jìn)，乙艇沿南偏東方向以每小時(shí)32海里的速度前進(jìn)，15分鐘后甲到M島，乙到P島，則M島與P島之間的距離是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）【變式14-1】（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）一艘輪船以3海里/時(shí)的速度從港口出發(fā)向北航行，另一艘輪船以4海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口出發(fā)向東航行，離開港口1小時(shí)，兩船相距（

）A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里【變式14-2】（24-25八年級(jí)上·四川·期中）一艘帆船由于風(fēng)向原因先向正東方向航行了，然后向正北方向航行了，這時(shí)他離出發(fā)點(diǎn)．【變式14-3】如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明坐車從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東方向走了到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西方向走了到達(dá)目的地C點(diǎn)，求出A、C兩點(diǎn)之間的距離．一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期中）已知的三個(gè)角度數(shù)的比，，則為（）A． B．4 C．2 D．2．（22-23八年級(jí)下·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為(

)A．1 B． C． D．33．（23-24八年級(jí)下·安徽阜陽·期中）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的為（

）A． B． C． D．4．（23-24八年級(jí)下·安徽六安·期中）如圖是一個(gè)圍棋棋盤的局部，若棋盤是由邊長(zhǎng)均為1的小正方形組成的，則黑、白兩棋子的距離為（

）A．4 B．5 C．7 D．255．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期中）如圖，在中，，點(diǎn)D是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接交于點(diǎn)F，當(dāng)是直角時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A．5 B．3 C． D．二、填空題6．（22-23八年級(jí)下·安徽馬鞍山·期中）如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)，則斜邊的長(zhǎng)是．7．（23-24八年級(jí)上·安徽宿州·期中）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形草坪上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊．已知米，米，該木塊的較長(zhǎng)邊與平行，橫截面是邊長(zhǎng)為2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)爬過木塊到達(dá)處需要走的最短路程是米．三、解答題8．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期中）已知：直角三角形約三邊長(zhǎng)為，，，且的平方根分別為與，求的值．9．（22-23八年級(jí)下·安徽阜陽·期中）如圖，某地有兩條筆直的公路，，它們相交成角，沿公路方向離點(diǎn)的處是一所學(xué)校，當(dāng)拖拉機(jī)沿公路方向行駛時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到拖拉機(jī)噪音的影響，且拖拉機(jī)與學(xué)校的距離越近影響越大．若拖拉機(jī)行駛的速度為．(1)求對(duì)學(xué)校A的影響最大時(shí)，拖拉機(jī)B與學(xué)校A之間的距離．(2)求拖拉機(jī)B沿公路行駛一次給學(xué)校A帶來噪音影響的時(shí)間．10．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期中）（1）如圖，在中，，求證：；（）在中，，，邊上的高，求邊的值．第08講勾股定理模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.2.勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.圖中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.圖中，所以。方法三：如圖所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.圖中，所以。3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果(a、b、c)是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以at、bt、ct為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形?？键c(diǎn)01：用勾股定理理解三角形例題1．（24-25八年級(jí)上·四川達(dá)州·期中）如圖，已知等腰的底邊，為腰上的高，且，求的周長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)勾股定理得出，設(shè)，則，再勾股勾股定理求出即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)．【解析】解：∵為腰上的高，∴，∵，，∴，∵是等腰三角形，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，∴的周長(zhǎng)為．【變式1-1】在中，斜邊，則的值為（

）A．15 B．25 C．50 D．60【答案】C【分析】本題考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值．【解析】解：∵在中，斜邊，∴，∴，故選：C．【變式1-2】（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖是一塊長(zhǎng)方形草坪，是一條被踩踏的小路，已知米，米．為了避免行人繼續(xù)踩踏草坪（走線段），小梅分別在A，B處各掛了一塊下面的牌子，則牌子上“？”處是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解析】解：米，米，（米），（米），故選：D．【變式1-3】如圖，在中，，，，垂足為，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，易得為等腰直角三角形，得到，勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，在中，，∴，∴；故答案為：．考點(diǎn)02：已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離例題2．（24-25八年級(jí)上·陜西寶雞·期中）閱讀一段文字，再回答下列問題：已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)，，則該兩點(diǎn)間距離公式為，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上或所在直線平行于x軸、平行于y軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可分別化簡(jiǎn)成和．(1)若已知兩點(diǎn)，，試求A，B兩點(diǎn)間的距離；(2)已知點(diǎn)M，N在平行于y軸的同一條直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為7，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，試求M，N兩點(diǎn)間的距離．【答案】(1)(2)9【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是巧妙的運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出任意兩點(diǎn)間的距離．（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)點(diǎn)，在平行于軸的直線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為7，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，可以利用垂直于軸的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）解：點(diǎn)，，，即，兩點(diǎn)間的距離是；（2）解：點(diǎn)，在平行于軸的直線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為7，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，即，兩點(diǎn)間的距離是9．【變式2-1】已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)和，那么．【答案】【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式，熟知若兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則這兩點(diǎn)的距離是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式直接計(jì)算即可．【解析】解：∵直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)和，∴．故答案為：．【變式2-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過軸上的點(diǎn)作垂直于軸，若，以為圓心，為半徑作圓弧交軸正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題主要考查了已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離，勾股定理，線段的和與差等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能加以綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．先求出，的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出的長(zhǎng)，于是可得的長(zhǎng)，利用線段的和與差可求得的長(zhǎng)，于是即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】解：，，，，，又，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【變式2-3】已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，，其兩點(diǎn)間的距離．同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可簡(jiǎn)化為或．(1)已知點(diǎn)、，試求、兩點(diǎn)間的距離；(2)點(diǎn)在第一三象限角平分線上，且軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試求、兩點(diǎn)間的距離．【答案】(1)A、B兩點(diǎn)間的距離為13；(2)A、B兩點(diǎn)間的距離為6．【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，關(guān)鍵是掌握并運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式．（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得；（2）因?yàn)辄c(diǎn)在第一三象限角平分線上，所以，解得的值，可得點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)檩S，所以、兩點(diǎn)間的距離，可得、兩點(diǎn)間的距離．【解析】（1）解：，答：、兩點(diǎn)間的距離為13；（2）解：點(diǎn)在第一三象限角平分線上，，解得：，，軸，，答：、兩點(diǎn)間的距離為6．考點(diǎn)03：勾股數(shù)問題例題3．（24-25八年級(jí)上·江蘇徐州·期中）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如6、8、10；8、15、17；…若此類勾股數(shù)的勾為12，則其弦是．【答案】37【分析】本題考查勾股定理，根據(jù)勾為偶數(shù)，弦與股相差為2，設(shè)弦為，則：股為，利用勾股定理，列出方程進(jìn)行求解即可．【解析】解：設(shè)弦為，則：股為，由勾股定理，得：，解得：；故答案為：37．【變式3-1】在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（

）A．，， B．5，6，7 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13【答案】D【分析】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，熟練掌握能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可求解．【解析】解：A．不是正整數(shù)，則，，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．，則5，6，7不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C．不是正整數(shù)，則0.3，0.4，0.5不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D．因?yàn)?，所?，12，13是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式3-2】下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11【答案】B【分析】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，熟練掌握能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可求解．【解析】解：A、∵，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；B、∵，∴3，4，5是勾股數(shù)，符合題意；C、∵都不是整數(shù)，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；D、∵，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：B．【變式3-3】已知勾股數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別是40，，則勾股數(shù)的第三個(gè)數(shù)是．【答案】【分析】此題考查了勾股數(shù)，構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三邊的一組正整數(shù)，叫做勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義列式計(jì)算即可，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【解析】解：設(shè)第三個(gè)數(shù)為，∵是一組勾股數(shù)，則，∴，是整數(shù)，符合題意；，∴，不是整數(shù)，不符合題意；綜上可知：勾股數(shù)的第三個(gè)數(shù)是，故答案為：．考點(diǎn)04：以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形的面積例題4．（24-25八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）勾股定理是數(shù)學(xué)中一顆璀璨的明珠，在人類的文明史上有杰出的貢獻(xiàn)．如圖1，在中，，，分別以的各邊為一邊向外部作正方形，把兩個(gè)較小正方形按圖2放置，若圖形①的面積是4，則圖形②的面積是．【答案】5【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)得出答案．【解析】解：根據(jù)勾股定理，得，∴．∵①的面積是4，∴②的面積是5．故答案為：5．【變式4-1】圖中的四邊形均為正方形，三角形為直角三角形，最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則圖中A、B兩個(gè)正方形的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．根據(jù)正方形的面積公式，運(yùn)用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：2個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積．【解析】解∶由圖形可知2個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積，故正方形A，B的面積之和．故選：D．【變式4-2】如圖所示，已知在中，，，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，，則的值等于．【答案】【分析】此題考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)圖形得到，，根據(jù)勾股定理推出即可求解.【解析】解：由題意，得，，所以，故答案為：.【變式4-3】（24-25七年級(jí)上·山東泰安·期中）如圖，在中，．若，則正方形和正方形的面積差為．【答案】4【分析】本題考查勾股定理與面積，解題關(guān)鍵是將勾股定理和正方形的面積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用．由勾股定理可得出答案．【解析】解：，，，正方形和正方形的面積差為．故答案為：4．考點(diǎn)05：勾股定理與網(wǎng)格問題例題5．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，在如圖所示的的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)寫出格點(diǎn)各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求出的周長(zhǎng)．【答案】(1)，，(2)【分析】本題主要考查了勾股定理和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．（1）根據(jù)圖形直接寫出答案；（2）由勾股定理求得三角形的三邊長(zhǎng)度，進(jìn)而得到其周長(zhǎng)．【解析】（1）解：，，；（2）解：由勾股定理知：，，．所以，的周長(zhǎng)為；【變式5-1】如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可證，得到，則有，由網(wǎng)格的性質(zhì)可得是等腰直角三角形，，由此即可求解．【解析】解：如圖所示，∵網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，∴，，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故選：A．【變式5-2】（24-25八年級(jí)上·山西朔州·期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，是格點(diǎn)三角形（每個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)），格點(diǎn)與全等（點(diǎn)D與點(diǎn)C不重合），滿足條件的共有個(gè)．【答案】3【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格，全等三角形的判定，掌握勾股定理的判定方法是解題的關(guān)鍵．運(yùn)用勾股定理可得的長(zhǎng)，根據(jù)全等三角形的判定方法作圖分析即可求解．【解析】解：如圖所示，∵，是公共邊，，∴運(yùn)用邊邊邊可證：，∴滿足條件的共有3個(gè)，故答案為：3．【變式5-3】（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖：在長(zhǎng)度為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)、、在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)在圖中畫出與△關(guān)于直線成軸對(duì)稱的△；(2)的周長(zhǎng)為_________．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了作圖?軸對(duì)稱變換以及求三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，找出關(guān)鍵點(diǎn)、，作圖即可即可；（2）利用網(wǎng)格及勾股定理確定，然后求周長(zhǎng)即可．【解析】（1）解：關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的如下圖，

；（2）由網(wǎng)格得：，的周長(zhǎng)為：．故答案為：．考點(diǎn)06：勾股定理與折疊問題例題6．（24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，將沿直線翻折后，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在上，則線段的長(zhǎng)為．【答案】5【分析】本題考查了勾股定理，折疊問題，根據(jù)勾股定理列方程求解是解題的關(guān)鍵；由勾股定理可求，由翻折可得，則，，根據(jù)勾股定理可得，解方程即可得解．【解析】解：，，將沿直線翻折后，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在上，，，，在中，，，解得：，故答案為：5．【變式6-1】（24-25八年級(jí)上·廣東揭陽·期中）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形折疊，使點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，點(diǎn)落在處，折痕為，則線段的長(zhǎng)是．【答案】/3厘米【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，由折疊的性質(zhì)可得：，設(shè)，則，再由勾股定理計(jì)算即可得解．【解析】解：由題意可得：，，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得：，∴，解得：，∴，故答案為：．【變式6-2】（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，將三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．，，則的值為．【答案】9【分析】本題考查了翻折變換，勾股定理，由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)，，求出，根據(jù)勾股定理可求的值．【解析】解：將三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，，，，在中，，在中，，，故答案為：9．【變式6-3】（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)分別位于兩坐標(biāo)軸正半軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿所在直線翻折得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理與折疊問題，先由題意求出，再由折疊的性質(zhì)得到，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，在中，由勾股定理建立方程求出的長(zhǎng)即可得到答案．【解析】解；由題意得，軸，軸，∵的坐標(biāo)為，∴，∴，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸時(shí)，如圖所示：由折疊的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理得，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，②當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸時(shí)，如圖所示：由折疊的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理得，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故答案為：或．考點(diǎn)07：勾股定理的證明例題7．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）用圖1中四個(gè)完全一樣的直角三角形可以拼成圖2的大正方形，解答下列問題：(1)根據(jù)圖2，利用圖形的面積關(guān)系，試說明．(2)利用（1）的關(guān)系式解答：如果大正方形的面積是25，且，求小正方形的面積．【答案】(1)見解析；(2)小正方形的面積等于1．【分析】本題考查了對(duì)勾股定理的證明，掌握三角形和正方形面積計(jì)算公式是解決問題的關(guān)鍵．（1）方法1、根據(jù)圖2是由4個(gè)完全一樣的直角三角形和1個(gè)小正方形構(gòu)成的，所以其面積個(gè)正方形的面積個(gè)三角形的面積；方法2、觀察圖形發(fā)現(xiàn)圖2是一個(gè)正方形，所以其面積邊長(zhǎng)；寫出、、之間的等量關(guān)系；（2）直接用（1）的結(jié)論求出結(jié)果．【解析】（1）證明：，，，；（2）解：大正方形的面積是25，，，，，．由（1）得，，小正方形的面積等于1．【變式7-1】利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示圖形，通過該圖形可以驗(yàn)證公式（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，大正方形是邊長(zhǎng)為c的正方形，則其面積為，大正方形面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上中間小正方形的面積，則大正方形的面積為，根據(jù)兩種表示方法表示的面積相等即可得到結(jié)論．【解析】解：大正方形是邊長(zhǎng)為c的正方形，則其面積為，中間的小正方形是邊長(zhǎng)為的正方形，則其面積為，大正方形面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上中間小正方形的面積，則大正方形的面積為，∴，即，故選：C．【變式7-2】（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）已知直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c．請(qǐng)用兩種不同的方法證明：．【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，對(duì)于方法1，根據(jù)三個(gè)直角三角形其面積和等于直角梯形的面積列出等式，再整理即可；對(duì)于方法2，根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形面積加上小正方形的面積等于大正方形的面積．【解析】方法1：如圖，有三個(gè)直角三角形其面積分別為ab，ab和，直角梯形的面積為．由圖形可知：，整理得，∴．故結(jié)論為：直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊為c的直角三角形中．方法2：先做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．由圖1可以得到，整理，得．所以．【變式7-3】我們知道，有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角邊所對(duì)的邊叫斜邊（如圖①所示）．?dāng)?shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方．即如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是和，斜邊長(zhǎng)度是，那么．(1)直接填空：如圖①，若，則_________；若．則直角三角形的面積是_________．(2)觀察圖②，其中兩個(gè)相同的直角三角形邊在一條直線上，請(qǐng)利用幾何圖形的之間的面積關(guān)系，試說明．【答案】(1)5；(2)見詳解【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)梯形的面積等于三個(gè)直角三角形面積之和即可求解．【解析】（1）解：∵，，∴；∵，∴，∴，∴該直角三角形的面積為；故答案為5；；（2）解：由圖可知：，整理得：．考點(diǎn)08：利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算或證明例題8．（23-24八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）在中，，D是的中點(diǎn)，以為腰向外作等腰直角連接，交AD于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)試判斷線段與三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形綜合問題以及勾股定理，證是解題關(guān)鍵．（1）證得，結(jié)合、可得，即可求證；（2）由得，結(jié)合，得，根據(jù)勾股定理即可求解.【解析】（1）證明：∵，D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，由題意得：，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴．【變式8-1】如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于．【答案】69【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【解析】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2），＝132?102，＝69．故答案為：69．【變式8-2】RtABC中，斜邊，則的值為．【答案】16【分析】由勾股定理得＝＝8，則，即可得出結(jié)論．【解析】解：∵在中，斜邊BC＝，∴＝＝8，∴＝＝16．故答案為：16．【變式8-3】（23-24八年級(jí)下·河南商丘·期中）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，如圖，在“垂美”四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，若，則．【答案】625【分析】本題考查的是垂直的定義，勾股定理的應(yīng)用，正確理解“垂美”四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可．【解析】解：由題意得：，由勾股定理得，故答案為：625．考點(diǎn)09：以弦圖為背景的計(jì)算問題例題9．（24-25八年級(jí)上·浙江·期中）勾股定理的證明方法多種多樣，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽構(gòu)造“弦圖”證明了勾股定理，后人稱其為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形拼成．如圖1為趙爽弦圖，其中，連接交于點(diǎn)，連接，得到圖2，若．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理；（1）根據(jù)等角對(duì)等邊得出，進(jìn)而可得，根據(jù)三線合一，即可得證；（2）由（1）得：，可以求得，進(jìn)而證明，得出，再根據(jù)勾股定理，即可求解．【解析】（1）證明：（2）由（1）得：，趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形拼成，∴，在中，∴，在中，【變式9-1】（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若圖中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為，大正方形的面積為，連接圖中四條線段得到如圖的新圖案，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B．10 C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得，，，，進(jìn)而由勾股定理可得，即得，可得，最后用大正方形的面積減去個(gè)空白部分三角形的面積即可求解，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖，根據(jù)題意得，，，，，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積，故選：．【變式9-2】（24-25八年級(jí)上·浙江金華·期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（圖1），后人稱其為“趙爽弦圖”．由圖1變化得到圖2，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形，正方形，正方形的的面積分別為．若，則的值為．【答案】12【分析】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵掌握勾股定理．根據(jù)面積加減關(guān)系求解減即可得到答案；【解析】解：設(shè)這八個(gè)全等的直角三角形的面積都是，∵，∴，∴，故答案為：12．【變式9-3】（24-25八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）中國古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．中，，若，，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形解決下列問題：(1)試說明：；(2)如果大正方形的面積是15，小正方形的面積是4，求的值．【答案】(1)見解析(2)26【分析】此題考查了勾股定理的證明和應(yīng)用．（1）大正方形的面積=四個(gè)直角三角形的面積+小正方形的面積，據(jù)此列式計(jì)算即可得到結(jié)論；（2）由大正方形的面積=四個(gè)直角三角形的面積+小正方形的面積列式求出，由題意知，即可求出的值．【解析】（1）由圖形可知，大正方形的面積=四個(gè)直角三角形的面積+小正方形的面積．，，．（2）由圖形可知，大正方形的面積=四個(gè)直角三角形的面積+小正方形的面積．大正方形的面積是15，小正方形的面積是4，，，由題意知，．考點(diǎn)10：勾股定理的應(yīng)用例題10．（24-25八年級(jí)上·浙江紹興·期中）如圖，一架米長(zhǎng)的梯子斜靠在豎直的墻上，這時(shí)底端到墻角的距離為米．(1)此時(shí)，這架梯子的頂端距離地面有多高？(2)如果梯子的底端向內(nèi)移動(dòng)米，則頂端沿墻向上移動(dòng)多少米？【答案】(1)這架梯子的頂端到地面的距離為；(2)梯子的頂端沿墻向上移動(dòng)了．【分析】（）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（）先求出，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，然后即可求解；本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，勾股定理在直角三角形中的正確運(yùn)用，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：在中，由勾股定理得，即，所以，即這架梯子的頂端到地面的距離為；（2）解：，，在中，由勾股定理得，即，∴，∴，即梯子的頂端沿墻向上移動(dòng)了．【變式10-1】（24-25八年級(jí)上·浙江·期中）如圖，一架的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距墻角，若梯子的頂端下滑，則梯足將滑動(dòng)．【答案】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求解即可．掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖所示：根據(jù)題意得，根據(jù)勾股定理可得，，如果梯子的頂度端下滑2米，則．在直角三角形中，，根據(jù)勾股定理得到：，則梯子滑動(dòng)的距離就是，故答案為：．【變式10-2】（24-25八年級(jí)上·貴州貴陽·期中）一架云梯長(zhǎng)，按如圖所示的方式斜靠在一面墻上，云梯底端離墻的距離為．(1)求此架云梯的頂端到地面的距離；(2)如果云梯的頂端A下滑了到達(dá)E處，求它的底部B在水平方向移動(dòng)的距離的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理直接求解即可．（2）如果云梯的頂端A下滑了到達(dá)E處，則，再利用勾股定理求出，再根據(jù)求解即可．【解析】（1）解：，則此架云梯的頂端到地面的距離為.（2）解：如果云梯的頂端A下滑了到達(dá)E處，則，則，∴【變式10-3】（24-25八年級(jí)上·江蘇泰州·期中）物理課上，老師帶著科技小組進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)．同學(xué)們將一根不可拉伸的繩子繞過定滑輪，一端拴在滑塊上，另一端拴在物體上，滑塊放置在水平地面的直軌道上，通過滑塊的左右滑動(dòng)來調(diào)節(jié)物體的升降．實(shí)驗(yàn)初始狀態(tài)如圖1所示，物體靜止在直軌道上，物體到滑塊的水平距離是6，物體到定滑輪的垂直距離是8．（實(shí)驗(yàn)過程中，繩子始終保持繃緊狀態(tài)，定滑輪、滑塊和物體的大小忽略不計(jì)．）(1)求繩子的總長(zhǎng)度；(2)如圖2，若物體升高7，求滑塊向左滑動(dòng)的距離．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性即可.（1）計(jì)算即可求解；（2）計(jì)算即可求解；【解析】（1）解：由題意得6，．∴，∴，即：繩子的總長(zhǎng)度為（2）解：如圖所示：由題意得，6，8．∴，∴，即：滑塊向左滑動(dòng)的距離為例題11．（24-25八年級(jí)上·山西太原·期中）為打造“宜居、宜業(yè)、宜游”的城市環(huán)境，迎澤大街于今年五月份啟動(dòng)改造，九月份正式竣工通車．此次改造新?lián)Q的路燈為“中華燈”，讓迎澤大街更顯古樸典雅．如圖是吊車安裝“中華燈”的示意圖，已知為吊車起重臂，長(zhǎng)為20米，點(diǎn)到路燈桿的水平距離為16米，點(diǎn)到地面的豎直距離為2米，則起重臂頂端離地面的高度為米．【答案】14【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出米，然后計(jì)算米求解即可．【解析】解：∵米，米，∴米，∵點(diǎn)到地面的豎直距離為2米，∴米，∴起重臂頂端離地面的高度為14米．故答案為：14．【變式11-1】（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端5m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約1m．如果設(shè)旗桿的高度為xm，那么根據(jù)題意可列方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；由題意可直接進(jìn)行求解【解析】解：由題意可得方程為；故選D【變式11-2】（23-24八年級(jí)上·陜西咸陽·期中）如圖，用兩根木棒、加固小樹，木棒、與小樹在同一平面內(nèi)，且小樹與地面垂直，點(diǎn)在地面上的同一水平線上，，，，求小樹的高度．【答案】小樹的高度為．【分析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．在和中，分別運(yùn)用勾股定理表示出的長(zhǎng)，建立方程求解即可．【解析】解：在中，，在中，，∴，解得：，所以，即小樹的高度為．【變式11-3】如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度為，將它往前推送6（水平距離）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度為，秋千的繩索始終拉得很直．若踏板垂直高度差，求繩索的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．由題意知，，，由勾股定理得，，即，計(jì)算求解即可．【解析】解：由題意知，，，由勾股定理得，，即，解得，，∴繩索的長(zhǎng)為．例題12．（24-25八年級(jí)上·江西撫州·期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高5米，兩樹相距24米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，小鳥至少飛行米．【答案】25【分析】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出即可．【解析】解：如圖，設(shè)大樹高為米，小樹高為米，連接，平移到，則米，，兩樹相距米，∴（米），在中，（米），故小鳥至少飛行米．故答案為：25．【變式12-1】如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地距離米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開，一個(gè)身高米的學(xué)生剛走到離門間距米的地方時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開，則該感應(yīng)器感應(yīng)長(zhǎng)度為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理求解即可．【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，四邊形是長(zhǎng)方形，米，米，米，（米，（米．故選：B．【變式12-2】（24-25八年級(jí)上·浙江·期中）如圖，一條路的兩邊有兩棵樹，一棵樹高為11米，另一棵樹高為6米，兩樹的距離為12米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少要飛行米．【答案】13【分析】本題考查了勾股定理，過C作平行地面，連接，由題意得米，米，由勾股定理可得的長(zhǎng)，即小鳥至少要飛行的距離．【解析】解：過C作平行地面，連接，由題意得，米，米，米，由勾股定理得，米，故答案為：13．【變式12-3】（24-25七年級(jí)上·山東東營(yíng)·期中）如圖，小明操縱無人機(jī)從樹尖飛向旗桿頂端，已知樹高，旗桿高，樹與旗桿之間的水平距離為，則無人機(jī)飛行的最短距離為多少？【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，作于，連接，由題意得：，，，求出，最后由勾股定理計(jì)算即可，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖，作于，連接，，由題意得：，，，，．即：無人機(jī)飛行的最短距離為．例題13．（24-25八年級(jí)上·江蘇常州·期中）2024年第13號(hào)臺(tái)風(fēng)“貝碧嘉”于9月16日17時(shí)前后經(jīng)過常州，給當(dāng)?shù)卦斐闪司薮髶p失．如圖，一棵垂直于地面并且高9米的銀杏樹被臺(tái)風(fēng)折斷，樹頂A落在離樹底部C的6米處，求這棵樹在離地面多高處被折斷．【答案】這棵樹在離地面米高處被折斷【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)圖示知大樹折斷部分、下部、地面恰好構(gòu)成直角三角形，標(biāo)注相應(yīng)點(diǎn)后，則有，，利用勾股定理求解即可．【解析】解：設(shè)離地面高度x米處折斷，則，，∵∴，∴

．∴答：這棵樹在離地面2.5米高處被折斷．【變式13-1】（24-25八年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期中）《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長(zhǎng)各幾何？這道題的意思是：有一個(gè)正方形的池塘，邊長(zhǎng)為1丈，有一棵蘆葦生長(zhǎng)在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，則蘆葦?shù)母叨葹槌撸?丈＝10尺）【答案】13【分析】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【解析】解：1丈尺設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度（尺），故答案為：13．【變式13-2】如圖，某人欲垂直橫渡一條河，由于水流的影響，他實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離了想要到達(dá)的B點(diǎn)（即），其結(jié)果是他在水中實(shí)際游了（即），則該河處的寬度是．【答案】480【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；根據(jù)勾股定理求出即可．【解析】解：，即該河處的寬度是；故答案為：480．【變式13-3】（24-25八年級(jí)上·江蘇淮安·期中）淮安某大酒店為了迎接“淮揚(yáng)美食文化節(jié)”，要在高5米，長(zhǎng)13米的一段臺(tái)階面上鋪上地毯，臺(tái)階的剖面如圖，則地毯的長(zhǎng)度至少需要米．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用—求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度，利用平移解決實(shí)際問題等知識(shí)點(diǎn)，利用平移的知識(shí)，把要求的所有線段平移到一條直線上進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，結(jié)合圖形，先把臺(tái)階的橫豎面向上向左平移，構(gòu)成一個(gè)矩形，再求矩形的長(zhǎng)，則可求出地毯的長(zhǎng)度至少需要多少米．【解析】解：如圖，利用平移線段，把臺(tái)階的橫豎面向上向左平移，構(gòu)成一個(gè)矩形，則矩形的長(zhǎng)為：（米），地毯的長(zhǎng)度為：（米），故答案為：．例題14．如圖所示，緝毒警方在基地B處獲知有販毒分子分別在P島和M島進(jìn)行毒品交易后，緝毒艇立即出發(fā)，已知甲艇沿北偏東方向以每小時(shí)36海里的速度前進(jìn)，乙艇沿南偏東方向以每小時(shí)32海里的速度前進(jìn)，15分鐘后甲到M島，乙到P島，則M島與P島之間的距離是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】M島與P島之間的距離是海里．【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．根據(jù)條件可以證得是直角三角形，求得與的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)．【解析】解：由題意得：，∴為直角三角形，（海里），（海里），在中，由勾股定理得：（海里），答：M島與P島之間的距離是海里．【變式14-1】（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）一艘輪船以3海里/時(shí)的速度從港口出發(fā)向北航行，另一艘輪船以4海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口出發(fā)向東航行，離開港口1小時(shí)，兩船相距（

）A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵；根據(jù)兩艘輪船出發(fā)的方向，可以得到，結(jié)合勾股定理求解即可．【解析】解：根據(jù)題意，如圖所示，可知，，海里，海里，在中，（海里），故兩船相距海里故選：C．【變式14-2】（24-25八年級(jí)上·四川·期中）一艘帆船由于風(fēng)向原因先向正東方向航行了，然后向正北方向航行了，這時(shí)他離出發(fā)點(diǎn)．【答案】26【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．兩段航行的路線正好互相垂直，構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理即可解答．【解析】解：根據(jù)題意，這艘船航行路線可以構(gòu)成一個(gè)直角三角