2025年滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第09講 因式分解

第09講因式分解模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過(guò)二次)進(jìn)行因式分解(指數(shù)是正整數(shù))；知識(shí)點(diǎn)1因式分解的概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.注意：(1)因式分解是針對(duì)多項(xiàng)式，而不是單項(xiàng)式；是針對(duì)多項(xiàng)式的整體，而不是部分.(2)因式分解的結(jié)果是整式的積的形式，積中幾個(gè)相同因式的積要寫成冪的形式.(3)因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.(4)因式分解與整式乘法是方向相反的變形，二者不能混淆，知識(shí)點(diǎn)2提公因式法1.公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.注意：(1)公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式，(2)公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.(3)公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.2.提公因式法如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示為其中稱為這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。知識(shí)點(diǎn)3公式法1.平方差公式，即兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積.注意：(1)左邊是兩個(gè)數(shù)(整式)的平方，且符號(hào)相反.(2)右邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.(3)與既可以是單項(xiàng)式也可以是多項(xiàng)式.2.完全平方公式(1)定義：/即兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.注意：(1)公式左邊是三項(xiàng)式，其中首、末兩項(xiàng)分別是兩個(gè)數(shù)(或兩個(gè)式子)的平方，且這兩項(xiàng)的符號(hào)相同，中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或兩個(gè)式子)的積的2倍，符號(hào)正、負(fù)均可.(2)公式右邊是這兩個(gè)數(shù)(或兩個(gè)式子)的和(或差)的平方.當(dāng)中間的乘積項(xiàng)與首、末兩項(xiàng)符號(hào)相同時(shí)，是和的平方；當(dāng)中間的乘積項(xiàng)與首、末兩項(xiàng)的符號(hào)相反時(shí)，是差的平方.考點(diǎn)01：公因式例題1．整式各項(xiàng)的公因式是．【變式1-1】多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的公因式是在（

）A． B． C． D．【變式1-2】多項(xiàng)式與的公因式是．【變式1-3】（23-24七年級(jí)下·河北秦皇島·期末）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的公因式是．考點(diǎn)02提公因式法分解因式例題2.因式分解：【變式2-1】因式分解：．【變式2-2】因式分解：【變式2-3】分解因式：考點(diǎn)03：平方差公式分解因式例題3.分解因式：【變式3-1】因式分解：【變式3-2】因式分解：．【變式3-3】分解因式：．考點(diǎn)04：完全平方公式分解因式例題4.因式分解：；【變式4-1】因式分解：．【變式4-2】分解因式：【變式4-3】因式分解：．考點(diǎn)05：綜合運(yùn)用公式法分解因式例題5.因式分解：．【變式5-1】因式分解：．【變式5-2】分解因式：(1)．(2)．【變式5-3】（23-24七年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）因式分解(1)；(2)．考點(diǎn)06：綜合提公因式和公式法分解因式例題6.因式分解：．【變式6-1】因式分解：【變式6-2】因式分解：【變式6-3】因式分解：．考點(diǎn)07：分組分解法分解因式例題7.分解因式：．【變式7-1】因式分解：．【變式7-2】分解因式：．【變式7-3】因式分解：．考點(diǎn)08：因式分解的應(yīng)用例題8.因?yàn)椋@說(shuō)明多項(xiàng)式有一個(gè)因式為，我們把代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)能使多項(xiàng)式的值為0．利用上述規(guī)律，回答下列問(wèn)題：(1)若是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，求k的值．(2)若和是多項(xiàng)式的兩個(gè)因式，試求m、n的值，并將該多項(xiàng)式因式分解．(3)分解因式：．【變式8-1】已知，，求的值．【變式8-2】已知，，是的三邊，且滿足，判斷的形狀并說(shuō)明理由．【變式8-3】請(qǐng)閱讀下面材料，并解答問(wèn)題：閱讀材料：利用多項(xiàng)式乘法法則可知，所以因式分解．例如：．利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者．(1)因式分解：①．②．(2)利用因式分解求方程的解．一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·期末）下列各式從左邊到右邊的變形，是因式分解且分解正確的是（）A． B．C． D．2．（23-24七年級(jí)下·安徽亳州·期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級(jí)下·安徽淮北·期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題4．（23-24七年級(jí)下·安徽合肥·期末）分解因式：．5．（23-24七年級(jí)下·安徽滁州·期末）因式分解：．三、解答題6．（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期末）把下列各式進(jìn)行因式分解：(1)(2)7．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·期末）（1）計(jì)算：（2）分解因式：8．（22-23七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）長(zhǎng)為的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2），回答下列問(wèn)題：(1)觀察并說(shuō)明上述操作能驗(yàn)證的等式．(2)已知，求的值．9．（22-23七年級(jí)下·安徽安慶·期末）閱讀與思考整式乘法與因式分解是方向相反的變形．得．利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，我們把這種方法稱為“十字相乘法”．例如：將式子分解因式．解：.請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問(wèn)題：(1)分解因式：．(2)分解因式：．(3)若可分解為兩個(gè)一次因式的積，求整數(shù)p所有可能的值．10．（23-24七年級(jí)下·河北唐山·期末）材料1：將一個(gè)形如的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足且，則可以把因式分解成．材料2：分解因式：解：將“”看成一個(gè)整體，令，則原式，再將“A”還原，得：原式上述解題用到“整體思想”和“換元思想”，整體思想和換元思想是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的兩種思想方法．結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題：(1)分解因式：；(2)分解因式：．

第09講因式分解模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過(guò)二次)進(jìn)行因式分解(指數(shù)是正整數(shù))；知識(shí)點(diǎn)1因式分解的概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.注意：(1)因式分解是針對(duì)多項(xiàng)式，而不是單項(xiàng)式；是針對(duì)多項(xiàng)式的整體，而不是部分.(2)因式分解的結(jié)果是整式的積的形式，積中幾個(gè)相同因式的積要寫成冪的形式.(3)因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.(4)因式分解與整式乘法是方向相反的變形，二者不能混淆，知識(shí)點(diǎn)2提公因式法1.公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.注意：(1)公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式，(2)公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.(3)公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.2.提公因式法如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示為其中稱為這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。知識(shí)點(diǎn)3公式法1.平方差公式，即兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積.注意：(1)左邊是兩個(gè)數(shù)(整式)的平方，且符號(hào)相反.(2)右邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.(3)與既可以是單項(xiàng)式也可以是多項(xiàng)式.2.完全平方公式(1)定義：/即兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.注意：(1)公式左邊是三項(xiàng)式，其中首、末兩項(xiàng)分別是兩個(gè)數(shù)(或兩個(gè)式子)的平方，且這兩項(xiàng)的符號(hào)相同，中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或兩個(gè)式子)的積的2倍，符號(hào)正、負(fù)均可.(2)公式右邊是這兩個(gè)數(shù)(或兩個(gè)式子)的和(或差)的平方.當(dāng)中間的乘積項(xiàng)與首、末兩項(xiàng)符號(hào)相同時(shí)，是和的平方；當(dāng)中間的乘積項(xiàng)與首、末兩項(xiàng)的符號(hào)相反時(shí)，是差的平方.考點(diǎn)01：公因式例題1．整式各項(xiàng)的公因式是．【答案】【解析】解：各項(xiàng)的公因式是．故答案為：．【變式1-1】多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的公因式是在（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，，∴多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的公因式是，故選：A．【變式1-2】多項(xiàng)式與的公因式是．【答案】【解析】解：∵，，∴多項(xiàng)式與的公因式是．故答案為：．【變式1-3】（23-24七年級(jí)下·河北秦皇島·期末）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的公因式是．【答案】【解析】解：，，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的公因式是，故答案為：．考點(diǎn)02提公因式法分解因式例題2.因式分解：【答案】【解析】．【變式2-1】因式分解：．【答案】【解析】解：、．故答案為：．【變式2-2】因式分解：【答案】【解析】解：原式；故答案為．【變式2-3】分解因式：【答案】【解析】解：．考點(diǎn)03：平方差公式分解因式例題3.分解因式：【答案】【解析】解：．【變式3-1】因式分解：【答案】【解析】解：；故答案為：．【變式3-2】因式分解：．【答案】【解析】解：．故答案為．【變式3-3】分解因式：．【答案】．【解析】解：．考點(diǎn)04：完全平方公式分解因式例題4.因式分解：；【答案】【解析】．【變式4-1】因式分解：．【答案】【解析】解：故答案為：．【變式4-2】分解因式：【答案】【解析】解：．【變式4-3】因式分解：．【答案】【解析】解：．考點(diǎn)05：綜合運(yùn)用公式法分解因式例題5.因式分解：．【答案】【解析】解：，故答案為：．【變式5-1】因式分解：．【答案】【解析】解：．【變式5-2】分解因式：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：（2）解：【變式5-3】（23-24七年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）因式分解(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）解：；（2）解：．考點(diǎn)06：綜合提公因式和公式法分解因式例題6.因式分解：．【答案】．【解析】解：．【變式6-1】因式分解：【答案】【解析】解：原式；故答案為．【變式6-2】因式分解：【答案】【解析】解：故答案為：．【變式6-3】因式分解：．【答案】【解析】解：原式．故答案為：．考點(diǎn)07：分組分解法分解因式例題7.分解因式：．【答案】【解析】解：故答案為：．【變式7-1】因式分解：．【答案】【解析】解：．【變式7-2】分解因式：．【答案】【解析】解：．【變式7-3】因式分解：．【答案】【解析】解：．考點(diǎn)08：因式分解的應(yīng)用例題8.因?yàn)?，這說(shuō)明多項(xiàng)式有一個(gè)因式為，我們把代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)能使多項(xiàng)式的值為0．利用上述規(guī)律，回答下列問(wèn)題：(1)若是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，求k的值．(2)若和是多項(xiàng)式的兩個(gè)因式，試求m、n的值，并將該多項(xiàng)式因式分解．(3)分解因式：．【答案】(1)；(2)m、n的值分別為和0；(3)【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∵是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴（2）解：∵和是多項(xiàng)式的兩個(gè)因式，∴當(dāng)或時(shí)，，∴或時(shí)，，∴，解得，∴原多項(xiàng)式為；（3）解：．【變式8-1】已知，，求的值．【答案】528【解析】解：∵，，∴．【變式8-2】已知，，是的三邊，且滿足，判斷的形狀并說(shuō)明理由．【答案】等腰三角形，理由見(jiàn)解析【解析】解：，，，，或，，，是的三邊，，為等腰三角形．【變式8-3】請(qǐng)閱讀下面材料，并解答問(wèn)題：閱讀材料：利用多項(xiàng)式乘法法則可知，所以因式分解．例如：．利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者．(1)因式分解：①．②．(2)利用因式分解求方程的解．【答案】(1)①；②(2)或【解析】（1）解：①，②；（2），，或，或，方程的解是或．一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·期末）下列各式從左邊到右邊的變形，是因式分解且分解正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A．，從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；C．，故本選項(xiàng)不符合題意；D．，等式的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（23-24七年級(jí)下·安徽亳州·期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，，，故選：D．3．（23-24七年級(jí)下·安徽淮北·期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C二、填空題4．（23-24七年級(jí)下·安徽合肥·期末）分解因式：．【答案】【解析】解：；故答案為：．5．（23-24七年級(jí)下·安徽滁州·期末）因式分解：．【答案】【解析】解：；故答案為：．三、解答題6．（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期末）把下列各式進(jìn)行因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）原式（2）原式7．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·期末）（1）計(jì)算：（2）分解因式：【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）計(jì)算：；（2）分解因式：．8．（22-23七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）長(zhǎng)為的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形（如圖1），