第9章 平面彎曲內(nèi)力

第九章平面彎曲內(nèi)力工程力學(xué)第二部分材料力學(xué)本章主要介紹在平面彎曲情況下，受彎構(gòu)件橫截面上的內(nèi)力——剪力與彎矩的計(jì)算，剪力圖與彎矩圖的繪制方法，并在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出梁彎曲時(shí)的應(yīng)力與變形的計(jì)算，建立梁的強(qiáng)度和剛度條件。11.1.1電路的組成在工程實(shí)際中經(jīng)常會(huì)遇到像火車輪軸、橋式起重機(jī)的大梁這樣的桿件。這些桿件的受力特點(diǎn)為：在桿的軸線平面內(nèi)受到力偶或垂直于桿軸線的外力作用，桿的軸線由原來的直線變?yōu)榍€，這種形式的變形稱為彎曲變形。垂直與桿軸線的力稱為橫向力。以彎曲變形為主的桿件習(xí)慣上稱為梁。工程問題中，絕大多數(shù)受彎桿件的橫截面都有一根對稱軸(y軸)，如圖所示為常見的截面形狀。第一節(jié)平面彎曲的概念與實(shí)例2工程力學(xué)一、平面彎曲的概念與實(shí)例1.1.1電路的組成通過截面對稱軸與梁軸線確定的平面，稱為梁的縱向?qū)ΨQ面(如圖所示)。當(dāng)作用在梁上的所有外力(包括約束力)都作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則變形后的軸線將是在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲變形稱為平面彎曲。這是最常見、最簡單的彎曲變形。3工程力學(xué)1.1.1電路的組成1.載荷的簡化不論梁的截面如何復(fù)雜，通常取梁的軸線來表示實(shí)際的梁。作用在梁上的外力，包括載荷和約束力，可以簡化成三種形式。①集中載荷：通過微小梁段(梁的總長比可以忽略不計(jì))作用在梁上的橫向力。②分布載荷：沿梁的全長或部分長度連續(xù)分布的橫向力。③集中力偶：通過微小梁段作用在梁軸平面內(nèi)的外力偶。2.支座的簡化①活動(dòng)鉸支座：約束的情況是梁在支承點(diǎn)不能沿垂直于支承面的方向移動(dòng)，但可以沿著支承面移動(dòng)，也可以繞支承點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。與此相應(yīng)，只有一個(gè)垂直于支座平面的約束力?；瑒?dòng)軸承和橋梁下的滾動(dòng)支座等可簡化為活動(dòng)鉸支座。②固定鉸支座：約束情況是梁在支承點(diǎn)不能沿任何方向移動(dòng)，但可以繞支承點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以可用水平和垂直方向的約束力表示。③固定端約束：約束情況是梁在支承點(diǎn)不能向任何方向移動(dòng)，也不能轉(zhuǎn)動(dòng)，故約束力有三個(gè)：水平約束力、垂直約束力和力偶。長滑動(dòng)軸承和車刀刀架等可簡化為固定端支座。4工程力學(xué)二、梁的計(jì)算簡圖及分類1.1.1電路的組成3.靜定梁的基本形式根據(jù)支承情況，可將靜定梁簡化為三種情況。①簡支梁：一端固定端約束，另一端活動(dòng)鉸支座約束的梁，如圖(a)所示。②懸臂梁：一端為固定端支座，另一端自由的梁，如圖(b)所示。③外伸梁：具有一端或兩端外伸部分的簡支梁，如圖(c)所示。梁的約束力數(shù)目多于平衡方程數(shù)目，約束力不能完全由靜力學(xué)平衡方程確定，這種梁稱為超靜定梁。5工程力學(xué)1.1.1電路的組成為對梁進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計(jì)算，當(dāng)作用于梁上的外力確定后，可用截面法來分析梁任意截面上的內(nèi)力。內(nèi)力包括剪力和彎矩。如圖(a)所示懸臂梁，已知梁長為l，主動(dòng)力為F則該梁的約束力可由靜力平衡方程求得，第二節(jié)平面彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩6工程力學(xué)1.1.1電路的組成現(xiàn)欲求任意截面m－m上的內(nèi)力。可在m－m處將梁截開，取左段為研究對象，將該段上所有外力向截面m－m的形心O簡化，列平衡方程得即再由可得即7工程力學(xué)如取右段作為研究對象，如圖(c)所示，同理可求得截面m－m上的FS和M，與前者是等值、反向的。為使取左段和取右段得到的同一截面上的內(nèi)力符號(hào)一致，特規(guī)定如下：凡使所取梁段具有作順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢的剪力為正，反之為負(fù)(如左圖所示)。凡使梁段產(chǎn)生下凹彎曲變形的彎矩為正，反之為負(fù)(如右圖所示)。工程力學(xué)結(jié)合上述剪力和彎矩的符號(hào)規(guī)定，可以根據(jù)梁上的外力直接確定某橫截面上剪力和彎矩的符號(hào)：截面左段梁上向上作用的橫向外力或右段梁上向下作用的橫向外力在該截面上產(chǎn)生的剪力為正，反之產(chǎn)生的剪力為負(fù)；截面左段梁上的橫向外力(或外力偶)對截面形心的力矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向或截面右段梁上的橫向外力(或外力偶)對截面形心的力矩為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)在該截面上產(chǎn)生的彎矩為正，反之產(chǎn)生負(fù)彎矩。上述結(jié)論可歸納為一個(gè)簡單的口訣：“左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正”。這樣，計(jì)算梁某橫截面上的剪力和彎矩，就不需要畫分離體受力圖，列平衡方程了。我們計(jì)算時(shí)按下面步驟進(jìn)行：(1)先求大小。梁上任一截面的剪力大小等于截面之左(或右)梁段上所有外力的代數(shù)和；彎矩大小等于截面之左(或右)梁段上所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和。(2)再判斷正負(fù)。一般情況下，剪力和彎矩方向均先假設(shè)為正，如計(jì)算結(jié)果為正，表明實(shí)際的剪力和彎矩與假設(shè)方向相同；如計(jì)算為負(fù)，則表明與假設(shè)相反。1.1.1電路的組成從上面的討論可以看出，一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置的不同而變化。為表示剪力和彎矩沿梁軸的變化情況，可根據(jù)FS(x)和M(x)兩函數(shù)(即剪力方程和彎矩方程)，分別取x為橫坐標(biāo)軸，F(xiàn)S(x)和M(x)為縱坐標(biāo)軸繪制的圖形，稱為剪力圖和彎矩圖。1.剪力、彎矩與載荷集度的微分關(guān)系如前所述，一般情況下，梁上不同截面的FS和M是不同的。為描述內(nèi)力沿梁軸變化的規(guī)律，用x軸表示梁橫截面的位置，則梁上各橫截面上的剪力和彎矩可表示成x的函數(shù)，即為剪力方程和彎矩方程研究表明：任一截面上的剪力、彎矩和作用于該截面處的載荷集度之間存在著一定的關(guān)系。第三節(jié)剪力圖和彎矩圖10工程力學(xué)一、剪力圖和彎矩圖二、剪力、彎矩與載荷集度的關(guān)系如圖所示，軸線為直線的梁，以軸線為x軸，y軸向上為正。梁上作用著任意載荷，梁上分布載荷的集度q(x)是x的連續(xù)函數(shù)。從x截面處截取微段dx進(jìn)行分析,如圖(b)所示。由平衡條件可得工程力學(xué)將上式忽略去二階微分量后，化簡得彎矩M對截面位置坐標(biāo)x的倒數(shù)等于在同一截面上的剪力FS；彎矩M對截面位置坐標(biāo)x的二階倒數(shù)等于在同一截面上的分布載荷集度q(x)(向上為正)；剪力FS對截面位置坐標(biāo)x的倒數(shù)等于在同一截面上的分布載荷集度q(x)。載荷集度、剪力圖、彎矩圖三者間相互之間的幾何關(guān)系：(1)剪力圖上某點(diǎn)處的斜率為相應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度。(2)彎矩圖上某點(diǎn)處的斜率為相應(yīng)截面上的剪力。(3)彎矩圖上某點(diǎn)處斜率的變化率等于相應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度。工程上常利用剪力、彎矩和載荷集度三者之間的微分關(guān)系，以及在相應(yīng)圖形上的反映來繪制剪力圖、彎矩圖。工程力學(xué)2.載荷集度和剪力圖的關(guān)系梁上某段沒有均布載荷，即q＝0時(shí)，剪力圖相應(yīng)段圖線上各點(diǎn)的切線斜率為0，即為一水平直線。梁上某段有向上的均布載荷，即q>0時(shí)，剪力圖相應(yīng)段圖線上各點(diǎn)的切線斜率為一正值常數(shù)，即為一段向右上方傾斜的直線。反之為一段向右下方傾斜的直線。梁上某點(diǎn)有集中力作用時(shí)，剪力圖有突變，突變量為集中力F；某點(diǎn)有集中力偶作用時(shí)，對剪力圖無影響。3.載荷集度與彎矩圖的關(guān)系梁上某段沒有均布載荷，即q＝0時(shí)，彎矩圖中相應(yīng)段各點(diǎn)的斜率無變化，即為一直線。梁上某段有向上的均布載荷，即q>0時(shí)，彎矩圖中相應(yīng)段各點(diǎn)切線的斜率變化率為正值，即為一段開口向上的拋物線；反之為開口向下的拋物線。利用這種關(guān)系可繪制和校核剪力圖和彎矩圖，步驟為：(1)正確的求梁的約束力。(2)分段。(3)標(biāo)值。工程力學(xué)1.1.1電路的組成在平面彎曲的梁的橫截面上，一般情況下，梁的橫截面上同時(shí)存在剪力和彎矩兩種內(nèi)力。剪力FS是橫截面切向分布內(nèi)力的合力；彎矩M是橫截面法向分布內(nèi)力的合力偶矩。所以橫彎梁橫截面上將同時(shí)存在剪應(yīng)力τ和正應(yīng)力σ，它們分別由剪力和彎矩所引起。實(shí)踐證明，其中彎矩是影響梁的強(qiáng)度和變形的主要因素。如圖所示一矩形等截面簡支梁AD，受力如圖所示，從梁的剪力圖和彎矩圖可看出：梁中間的BC段只有彎矩而無剪力的彎曲變形稱為純彎曲；梁AB段及CD段既受剪力又受彎矩的變形稱為剪切彎曲。第四節(jié)梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算14工程力學(xué)一、實(shí)驗(yàn)觀察與假設(shè)為了了解純彎曲時(shí)梁的變形，取一矩形等截面梁做純彎曲變形實(shí)驗(yàn)，如圖(a)所示，在梁的表面畫上與軸線平行的縱向線和與軸線垂直的橫向線，然后在梁的兩端加上一對外力偶M，使梁發(fā)生純彎曲如圖(b)所示。此時(shí)可觀察到：①縱向線變形后成為相互平行的曲線，靠近凹邊的縮短，靠近凸邊的伸長。②橫向線變形后仍然為直線，只是相對轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。③縱向線與橫向線變形后仍然保持正交關(guān)系。工程力學(xué)根據(jù)上述梁表面變形的特征，可以做出以下假設(shè)：梁變形后，其橫截面仍保持平面，并垂直于變形后梁的軸線，只是繞著梁上某一軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度。這一假設(shè)稱平面假設(shè)。此外，還假設(shè)：梁的各縱向?qū)踊ゲ粩D壓，即梁的縱截面上無正應(yīng)力作用。根據(jù)以上假設(shè)，靠近凹邊纖維縮短，靠近凸邊纖維伸長，根據(jù)變形的連續(xù)性，它們之間有一層縱向纖維既不伸長又不縮短，這一層稱為中性層，中性層與橫截面的交線稱為中性軸。如圖(c)所示。中性層將橫截面分為受拉區(qū)和受壓區(qū)，其變形與到中性軸的距離成正比。工程力學(xué)1.1.1電路的組成1.正應(yīng)力的分布由平面假設(shè)可知，矩形截面梁在純彎曲時(shí)的應(yīng)力分布有如下特點(diǎn)：(1)中性軸上的線應(yīng)變?yōu)榱悖云湔龖?yīng)力亦為零。(2)距中性軸距離相等的各點(diǎn)，其線應(yīng)變相等。由胡克定律，這些點(diǎn)上的正應(yīng)力也相等。(3)在如圖(b)所示的受力情況下，中性軸上部各點(diǎn)正應(yīng)力為負(fù)值(受壓)，中性軸下部各點(diǎn)正應(yīng)力為正值(受拉)。17工程力學(xué)二、彎曲正應(yīng)力的計(jì)算(4)正應(yīng)力沿y軸線性分布，即σ＝Ky，或K＝σ/y,K為待定常數(shù)，如圖所示。2.正應(yīng)力的計(jì)算在純彎曲梁的橫截面上任取一微面積dA(如圖，見下頁)，微面積上的微內(nèi)力為σdA。由于橫截面上的內(nèi)力只有彎矩M，所以由橫截面上的微內(nèi)力構(gòu)成的合力必為零，而梁橫截面上的微內(nèi)力對中性軸z的合力矩就是彎矩M。工程力學(xué)即將σ＝Ky代入以上兩式，得以上兩式可寫做工程力學(xué)將K＝σ/y代入式(9.5)，得計(jì)算梁橫截面上的最大正應(yīng)力，可定義WZ為抗彎截面系數(shù)，式(9.6)可寫做式(9.6)是由純彎曲梁變形推導(dǎo)出來的，工程實(shí)踐證明，只要梁具有縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則梁的跨度較大時(shí)，橫力彎曲時(shí)也可應(yīng)用。當(dāng)梁橫截面上的最大應(yīng)力大于比例極限時(shí)，此式不再適用。工程力學(xué)3.常見截面的慣性矩圖矩形截面（1）矩形截面(h為高，b為寬)①對z軸，如圖所示工程力學(xué)取平行于z軸的狹長條作為微面積dA，則所以②對y軸，同理工程力學(xué)（2）圓形截面(對任

一軸)，如圖所示取平行于z軸的微面積dA，則工程力學(xué)z軸和y軸都與圓的直徑重合，又由于對稱，所以有所以對圓心的極慣性矩（3）環(huán)形截面(對任一軸)，如圖所示工程力學(xué)設(shè)圓環(huán)的直徑比d/D＝α，同理可得4.平行軸公式如遇到由若干個(gè)簡單圖形組成的組合截面，要用平行移軸公式。同一平面圖形對于平行的兩對坐標(biāo)軸的慣性矩是不相同的，如果其中有一對是平面圖形的形心軸，則它們的關(guān)系為若平面圖形是由幾個(gè)簡單圖形組合而成的，則平面圖形對形心軸的慣性矩等于各部分圖形對平面圖形形心軸慣性矩的代數(shù)和，即工程力學(xué)5.彎曲切應(yīng)力簡介對跨度較短的，采用薄腹板梁，使用抗剪能力較差的各向異性材料等情況需校核其切應(yīng)力。(1)橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力方向和剪力FS的方向一致。(2)切應(yīng)力大小與距中性軸z的距離y有關(guān)，到中性軸距離相等的點(diǎn)上的切應(yīng)力大小相等。對于矩形截面梁，其橫截面上最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上（即y＝0處），為同樣，工字形截面梁、圓形截面梁和圓環(huán)截面梁的最大切應(yīng)力，也發(fā)生在各自的中性軸上。對于工字形截面梁對于圓形截面梁，對于圓環(huán)截面梁工程力學(xué)1.1.1電路的組成為了保證梁能安全的工作，需使梁具備足夠的強(qiáng)度。所以應(yīng)首先確定梁的危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)。梁在載荷作用下，對于等截面直梁，其危險(xiǎn)點(diǎn)在彎矩最大的截面的上下邊緣處，即最大正應(yīng)力所在處；對于短梁、載荷靠近支座的梁以及薄壁截面梁，則還要考慮其最大切應(yīng)力所在的面。危險(xiǎn)點(diǎn)的最大工作應(yīng)力應(yīng)不大于材料在單向受力時(shí)的許用應(yīng)力，強(qiáng)度條件為梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為在設(shè)計(jì)梁的截面時(shí)，一般只進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算就可以了，必要時(shí)再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核。同樣也可以由強(qiáng)度條件進(jìn)行三方面的計(jì)算：強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面和確定許用載荷的計(jì)算。27工程力學(xué)三、梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算1.1.1電路的組成梁滿足強(qiáng)度條件，表明梁在工作中安全，不會(huì)破壞。但過大的變形也會(huì)影響機(jī)器的正常工作。機(jī)械加工中刀桿或工件的變形（如圖（b）所示），將導(dǎo)致較大的制造誤差；如果起重機(jī)橫梁（如圖（a）所示）的變形過大，會(huì)使吊車移動(dòng)困難。所以，構(gòu)件正常的工作條件，不僅要滿足強(qiáng)度條件，還要滿足剛度條件，即構(gòu)件在工作中的變形不能過大。第五節(jié)梁的剛度計(jì)算28工程力學(xué)一、梁的彎曲變形概述曲線AB1表示了全梁各截面的撓度值，稱為撓曲線。撓曲線是梁截面位置x的函數(shù)，記作此式稱為撓曲線方程。因?yàn)檗D(zhuǎn)角很小，所以此式稱為轉(zhuǎn)角方程，其中θ的單位為rad。2.梁的剛度條件梁的剛度條件為在設(shè)計(jì)梁時(shí)，一般先按照強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)，再校核剛度條件。如所選截面不能滿足剛度條件時(shí)，再考慮重新選擇。工程力學(xué)1.1.1電路的組成工程上為了快速求梁的變形，把常見梁及常見簡