第7章　機(jī)械振動(dòng)

第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)返回主目錄第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)

物體在一平衡位置附近作周期性的往返。1.彈簧振子簡(jiǎn)諧振動(dòng)如圖7-1所示，一個(gè)物體和一個(gè)輕彈簧連接，置于光滑桿面上，彈簧另一段固定，把物體拉離平衡后釋放，由于受到彈簧彈性力的作用，物體就會(huì)做周期性的振動(dòng)。由物體和彈簧構(gòu)成的這個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，稱為彈簧振子。2.振動(dòng)方程

振幅：在振動(dòng)過程中，物體偏離平衡位置達(dá)到的最大距離。

振動(dòng)周期：從任何一點(diǎn)開始直到物體下一次又回到這一狀態(tài)（位置、速度、加速度相同）所用的時(shí)間。用T表示。圖7-1彈簧振子做間諧振動(dòng)示意圖7-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間振動(dòng)的次數(shù)。有單位：赫茲（）或()（2）振動(dòng)方程由牛頓第二定律推出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程。在振動(dòng)過程中物體所受的彈性力為設(shè)物體質(zhì)量為，由牛頓第二定律，可得令，代入上式,得(7-1)第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)即物體的加速度與它離開平衡位置的位移成正比，方向與位移相反，這是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，通常也把具有上式這種特征的振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。上式改寫為（7-2）求解微分方程（7-2）得，和為待定常數(shù)。這就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式，簡(jiǎn)稱振動(dòng)方程。第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)（3）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度把物體的振動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得其速度隨時(shí)間的變化規(guī)律

3.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法如圖，長(zhǎng)度為A的矢量A，繞O點(diǎn)以角速度逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。在時(shí)刻，矢量A位于點(diǎn)，和x軸的夾角等于初相位，在時(shí)刻t到達(dá)Q點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)矢量A和x軸夾角為。把旋轉(zhuǎn)矢量A向x軸投影，則點(diǎn)在x軸上投影點(diǎn)P就在x軸上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖7-2間諧振動(dòng)的矢量圖示第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)因?yàn)镺P=

質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為對(duì)于質(zhì)量為m，勁度系數(shù)為k的彈簧振子來說，由可得其振動(dòng)周期為第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)7-2初始條件諧振子的能量1．初始條件

對(duì)于給定的諧振子，其振動(dòng)角頻率有確定的值，因而其振動(dòng)周期，振動(dòng)頻率就有確定的值。但其振幅A，初相位，必須有初始條件來決定。所謂初始條件，就是指初始時(shí)刻諧振子相對(duì)平衡位置的位移和初始速度。下面討論初始條件與振幅,初相位的關(guān)系第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)在時(shí)，由（7-4）和（7-5）式得（7-6）（7-7）（7-8）（7-9）2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)不僅有動(dòng)能，而且有勢(shì)能,t時(shí)刻彈簧振子的位移為，速度為，故t時(shí)刻的動(dòng)能為（7-10）第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)取質(zhì)點(diǎn)在平衡點(diǎn)勢(shì)能為0，則彈性勢(shì)能為將代入上式得故t時(shí)刻系統(tǒng)的機(jī)械能（亦即振動(dòng)能）為第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

即簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能與振幅的平方成正比。在振動(dòng)過程中，動(dòng)能、勢(shì)能不斷相互轉(zhuǎn)化，其和恒定不變，服從機(jī)械能守恒定律?？傊?，任一簡(jiǎn)諧振動(dòng)都有三個(gè)不可缺少的物理量。由振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)決定，A由振動(dòng)能量決定，由初始位置決定。當(dāng)已知時(shí)，A和可由初始條件決定。第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)7-3阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振1.阻尼振動(dòng)

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是理想化的振動(dòng)形式，作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)在振動(dòng)過程中所受的和外力為零，系統(tǒng)只受彈性內(nèi)力的作用，它是一種等幅振動(dòng)。事實(shí)上，阻力不可避免，系統(tǒng)抵抗阻力做功，其總能量不斷減小，振幅總是在逐漸減小，直到最終為零，這種振動(dòng)，稱為阻尼振動(dòng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，阻力和成正比而方向相反。第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

稱為阻力系數(shù)，與物體的大小和周圍媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)。

設(shè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，在彈性力和阻力的作用下運(yùn)動(dòng)，加速度為，根據(jù)牛頓第二定律得和都是恒量，稱為阻尼因數(shù)，表示無阻尼時(shí)的固有頻率，則第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)上式就是阻尼振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。可以求出解，即圖7-3阻尼振動(dòng)中位移對(duì)時(shí)間曲線因此阻尼振動(dòng)的振幅以指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間衰減。阻尼振動(dòng)的周期為

第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

受迫振動(dòng)共振振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下發(fā)生的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。這種周期性外力稱為強(qiáng)迫力。假設(shè)系統(tǒng)在x方向振動(dòng)，考慮一種在x方向最簡(jiǎn)單的周期性強(qiáng)迫力，H為力幅，表示強(qiáng)迫力的最大值，P為強(qiáng)迫力的圓頻率，現(xiàn)在，系統(tǒng)受到彈性內(nèi)力，阻力，強(qiáng)迫力的作用，由牛頓第二定律，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方成為：此式的解為第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)此解表示，受迫振動(dòng)可以分成兩個(gè)部分：第一部分表示振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼振動(dòng)，因?yàn)樽枘嵴駝?dòng)以指數(shù)規(guī)律迅速衰減為零，所以，這一部分只在振動(dòng)初期能夠表現(xiàn)出來；第二部分是穩(wěn)定的，只要強(qiáng)迫力繼續(xù)作用，系統(tǒng)就繼續(xù)做這個(gè)振動(dòng)，其振幅和頻率就由它來決定，因而第二部分最重要。有一上分析知，受迫振動(dòng)由一個(gè)從最初比較復(fù)雜的非穩(wěn)定到后來的穩(wěn)定震動(dòng)過程，當(dāng)然，一旦強(qiáng)迫力取消，系統(tǒng)又回到阻尼振動(dòng)的形式直到振動(dòng)停止。穩(wěn)定的受迫振動(dòng)是一個(gè)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)同形的等幅振動(dòng)，其振動(dòng)頻率為強(qiáng)迫力的頻率，振幅A由下式?jīng)Q定可見，它與系統(tǒng)本身、阻尼力、強(qiáng)迫力三方面的因素有關(guān)

第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)圖7-4受迫振動(dòng)振幅和外力頻率的關(guān)系

如圖7-4，，受迫振動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)的振幅A，其它因素不變，將隨強(qiáng)迫力的頻率p變化，并且會(huì)有一個(gè)極大值，這時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生了共振。一般情況下，使系統(tǒng)發(fā)生共振的強(qiáng)迫力頻率和系統(tǒng)的固有頻率很接近。第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)7-4同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍1.同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)振動(dòng)方向都在軸的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率相同，振幅和初相位分別是及，則它們各自引起質(zhì)點(diǎn)在X軸上的位移為第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)則質(zhì)點(diǎn)的合位移為上式可以寫成

由此可見，兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后還是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，頻率保持不變，振幅和初相位由原來分振動(dòng)的振幅和初相位決定。第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法也可直觀的表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，如圖所示，矢量以同一速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它們?cè)趚軸上的投影和分別表示兩個(gè)分振動(dòng)，通過矢量合成后的合矢量A也以角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，該矢量在坐標(biāo)軸上的投影圖7-5兩同方向、同頻率間諧振動(dòng)合成的旋轉(zhuǎn)矢量示意圖A和可通過圖中幾何關(guān)系求解。特例：（1）（2）第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)2．同方向不同頻率的間諧振動(dòng)的合成拍兩個(gè)同方向間諧振動(dòng)在合成時(shí)，由于頻率的微小差別而造成的合振動(dòng)振幅時(shí)而加強(qiáng)，時(shí)而減弱的現(xiàn)象稱為拍。合振動(dòng)在單位時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)稱為拍頻。假設(shè)兩個(gè)分振動(dòng)的頻率分別為第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)7-5相互垂直的間諧振動(dòng)的合成設(shè)兩個(gè)同頻率間諧振動(dòng)分別在X和Y軸上振動(dòng)，振動(dòng)的位移方程分別為消去，得到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程第七章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)（1）兩間諧振動(dòng)同相位，

軌跡方程變?yōu)?/p>

在任一時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)離開平衡位移的位移（2）兩間諧振動(dòng)反相位，質(zhì)點(diǎn)在另一條直線

上做振幅也為