備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第七章-§7-1-不等關(guān)系與不等式

§7.1不等關(guān)系與不

等式第七章不等式、推理與證明1.掌握等式性質(zhì).2.會(huì)比較兩個(gè)數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法>＝<2.等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性：如果a＝b，那么

；性質(zhì)2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么

；性質(zhì)3可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝

.b＝aa＝c3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性：a>b?

；性質(zhì)2傳遞性：a>b，b>c?

；性質(zhì)3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質(zhì)4可乘性：a>b，c>0?

；a>b，c<0?

；性質(zhì)5同向可加性：a>b，c>d?

；性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?

；性質(zhì)7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1).性質(zhì)8同正可開方性：a>b>0?(n∈N，n≥2).b<aa>cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bd判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種.(

)(2)若

>1，則b>a.(

)(3)若x>y，則x2>y2.(

)(4)若

，則b<a.(

)√×××1.如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是A.ac2>bc2

B.a>bC.a＋c>b＋c

√若c<0，則a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均錯(cuò)；2.已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，則M，N的大小關(guān)系是________.M>N∵M(jìn)－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，∴M>N.3.若1<a<2,2<b<3，則

的取值范圍是________.由2<b<3，又1<a<2，第二部分探究核心題型例1

(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，則M，N的大小關(guān)系為A.M<N

B.M>NC.M≤N

D.M≥N題型一數(shù)(式)的大小比較√因?yàn)镸－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關(guān)系是A.P>Q

B.P＝QC.P<Q

D.不能確定√比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論.(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知a，b為不相等的實(shí)數(shù)，記M＝a2－ab，N＝ab－b2，則M與N的大小關(guān)系為A.M>N

B.M＝NC.M<N

D.不確定√因?yàn)镸－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.M>N∴M>N.顯然f(x)是R上的減函數(shù)，∴f(2021)>f(2022)，即M>N.例2

(1)已知a>b>c>0，下列結(jié)論正確的是A.2a<b＋c

B.a(b－c)>b(a－c)C.

D.(a－c)3>(b－c)3題型二不等式的性質(zhì)√∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A錯(cuò)誤；取a＝3>b＝2>c＝1>0，則a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B錯(cuò)誤；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，(2)若<0，則下列不等式正確的是______.(填序號(hào))①③①中，因?yàn)閎<a<0，所以a＋b<0，ab>0，②中，因?yàn)閎<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②錯(cuò)誤；④中，因?yàn)閎<a<0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上單調(diào)遞減，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以lnb2>lna2，故④錯(cuò)誤.判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證.(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng).(3)作差法.(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.跟蹤訓(xùn)練2

(1)十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若a，b，c∈R，則下列命題正確的是A.若a>b，則ac2>bc2B.若

，則a<bC.若a<b<c<0，則

D.若a>b，則a2>b2√對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)c＝0時(shí)不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由不等式性質(zhì)知，

兩邊同時(shí)乘以c2>0，可得a>b，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故錯(cuò)誤.(2)已知a<b<0<c，下列不等式正確的是A.

B.a2<c2C.2a<2c

D.logc(－a)<logc(－b)√當(dāng)a＝－2，c＝1時(shí)，a2<c2不成立，故B錯(cuò)誤；由a<0<c，得0<2a<1<2c，故C正確；由a<b<0，得－a>－b>0，當(dāng)c>1時(shí)，有l(wèi)ogc(－a)>logc(－b)，故D錯(cuò)誤.例3

(1)已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是_______，3x＋2y的取值范圍是_______.題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用(－4,2)(1,18)∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.延伸探究若將本例(1)中條件改為－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍.設(shè)3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，(2)已知3<a<8,4<b<9，則

的取值范圍是________.又3<a<8，求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍.跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，則a－2b的取值范圍是A.[－7,4] B.[－6,9] C.[6,9] D.[－2,8]√因?yàn)椋?≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.(2)已知實(shí)數(shù)a，b，c，滿足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么

的取值范圍是____________.由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，課時(shí)精練第三部分1.(2023·長(zhǎng)春模擬)已知a>0，b>0，

，則M與N的大小關(guān)系為A.M>NB.M<NC.M≤ND.M，N大小關(guān)系不確定12345678910111213141516基礎(chǔ)保分練√M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2)∴M<N.2.已知a，b∈R，若a>b，

同時(shí)成立，則A.ab>0 B.ab<0C.a＋b>0 D.a＋b<012345678910111213141516√又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.3.已知－3<a<－2,3<b<4，則

的取值范圍為12345678910111213141516√因?yàn)椋?<a<－2，所以a2∈(4,9)，123456789101112131415164.(2023·汕頭模擬)已知a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是A.ac(a－c)>0 B.c(b－a)>0C.cb2<ab2

D.ab<ac√因?yàn)閍，b，c滿足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac.123456789101112131415165.設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a>b>0>c>d，則下列不等式正確的有A.c2>cd

B.a－c<b－dC.ac<bd

D.√12345678910111213141516對(duì)于A，因?yàn)?>c>d，由不等式的性質(zhì)可得c2<cd，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，則a－c＝3，b－d＝3，ac＝－2，bd＝－2，所以a－c＝b－d，ac＝bd，故選項(xiàng)B，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閍>b>0，d<c<0，則ad<bc，123456789101112131415166.若－π<α<β<π，則α－β的取值范圍是A.－2π<α－β<2π B.0<α－β<2πC.－2π<α－β<0 D.{0}√∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.7.已知x，y∈R，且x>y>0，則A.cosx－cosy>0B.cosx＋cosy>0C.lnx－lny>0D.lnx＋lny>012345678910111213141516√12345678910111213141516對(duì)于A，y＝cosx在(0，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)，故cosx－cosy>0不一定成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)x＝π，y＝

時(shí)，cosx＋cosy＝－1<0，B不一定成立；對(duì)于C，y＝lnx在(0，＋∞)上為增函數(shù)，若x>y>0，則lnx>lny，必有l(wèi)nx－lny>0，C正確；對(duì)于D，當(dāng)x＝1，y＝

時(shí)，lnx＋lny＝ln<0，D不一定成立.8.若0<a<1，b>c>1，則12345678910111213141516C.ca－1<ba－1

D.logca<logba√12345678910111213141516故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；則bc－ab>bc－ac，即a(c－b)>0，這與0<a<1，b>c>1矛盾，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵0<a<1，∴a－1<0.∵b>c>1，∴ca－1>ba－1，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；12345678910111213141516對(duì)于D，∵0<a<1，b>c>1，∴l(xiāng)ogca<logba，故選項(xiàng)D正確.9.已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，則M_____N.(填“>”“<”或“＝”)12345678910111213141516>M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N.10.能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù).若a2>b2>c2，則a＋b>c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為________________________.12345678910111213141516－3，－1,0(答案不唯一)令a＝－3，b＝－1，c＝0，則a2>b2>c2，此時(shí)a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命題.11.若1<α<3，－4<β<2，則2α＋|β|的取值范圍是________.12345678910111213141516(2,10)∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10.12.eπ·πe與ee·ππ的大小關(guān)系為__________.12345678910111213141516eπ·πe<ee·ππ13.(2022·沈陽模擬)已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足a>|b|＋1，則下列不等關(guān)系不一定成立的是A.a2>b2＋1 B.2a>2b＋1C.a2>4b

D.>b＋112345678910111213141516綜合提升練√12345678910111213141516對(duì)于非零實(shí)數(shù)a，b滿足a>|b|＋1，則a2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；因?yàn)閍>|b|＋1≥b＋1?2a>2b＋1，故B一定成立；又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；令a＝5，b＝3，滿足a>|b|＋1，14.實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足下列三個(gè)條件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.那么a，b，c，d的大小關(guān)系是____________.12345678910111213141516b>d>c>a由題意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化簡(jiǎn)得a<c④，由②式a＋b＝c＋d