2024-2025學年山東省濟南市高三上學期12月診斷數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年山東省濟南市高三上學期12月診斷數(shù)學檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。1．（5分）復數(shù)52+iA．2﹣i B．﹣2﹣i C．﹣2+i D．2+i2．（5分）已知A={?1，12}，B＝{x|ax+1＝0}，若A∩B＝BA．{﹣1，2} B．{﹣2，1} C．{﹣2，0，1} D．{﹣1，0，2}3．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a2，a7為函數(shù)f(x)=12x2+lnx?3x+1的兩個極值點，則aA．1 B．3 C．5 D．3+4．（5分）已知點O為△ABC外接圓的圓心，AB→+AC→=2AO→A．BC→ B．BO→ C．CB→5．（5分）已知α，β為兩個不同的平面，l，m為兩條不同的直線，則m⊥β的一個充分不必要條件可以是（）A．m與β內(nèi)所有的直線都垂直 B．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l C．m與β內(nèi)無數(shù)條直線垂直 D．l⊥α，l⊥β，m⊥α6．（5分）把函數(shù)y＝f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移π3個單位長度，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，且y＝g（x）的圖象關(guān)于點(π4，0)中心對稱，則函數(shù)y＝A．f(x)=sin(x2?7πC．f(x)=sin(2x?7π12)7．（5分）已知函數(shù)f(x)=2x，0≤x＜32f(x?3)，x≥3，則A．2538 B．2534 C．2538．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域是R，其導函數(shù)f'（x）滿足f'（x）＝f'（x+1），且有f（0）＝0，f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（22）+…+f（29）＝（）A．1022 B．1024 C．2046 D．2048二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）已知a＞b＞0，c為實數(shù)，則下列不等式正確的是（）A．a(chǎn)3＞b3 B．a(chǎn)c2＞bc2 C．a(chǎn)b+ba＞2 D．a(chǎn)﹣sin（多選）10．（6分）已知函數(shù)f（x）＝sin（sinx）﹣cos（cosx），則下列說法正確的是（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）是周期函數(shù) C．f（x）關(guān)于直線x=π2D．當x∈（0，π）時，﹣1＜f（x）＜0（多選）11．（6分）如圖，在三棱錐O﹣ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直且OA＝OB＝OC＝1，M，N分別為線段OB，AC上異于端點的動點，滿足OMOB=λ，A．三棱錐O﹣ABC的外接球的表面積是3π B．當λ＝μ時，線段MN的最小值是22C．當λμ＝1時，三棱錐O﹣AMN的體積是定值 D．若空間中的點P滿足PA⊥PO且PB⊥PC，則滿足條件的點P所形成的軌跡長度為6三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知sin(α+π2)=1213．（5分）已知圓錐的表面積為π，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為．14．（5分）已知△ABC外接圓的半徑為2，S是△ABC的面積，a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若不等式a2+b2+c2≥λS恒成立，則λ的最大值為；點P為△ABC外接圓上的任意一點，當λ取得最大值時，PA→?PB四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知數(shù)列{an}為正項數(shù)列，且a1＝1，an+12?an2=2（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn＝（﹣1）nan+3an，求數(shù)列{bn}的前2n項和S2n．16．（15分）已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且bcosC+3（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且有c＝1，求△ABC面積的取值范圍．17．（15分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面邊長是1，點E，F(xiàn)，G分別在側(cè)棱BB1，CC1，DD1上，且A，E，F(xiàn)，G四點共面．設直線AE、AG與平面ABCD所成的角分別為α、β．（1）設平面AEFG與平面ABCD相交于直線l，求證：當BD∥l時，α＝β；（2）當α+β=π2時，求平面AEFG與平面18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣2）（ex﹣ax），a∈R．（1）求函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過的所有的定點坐標，并寫出函數(shù)y＝f（x）的一條以上述一個定點為切點的切線；（2）討論函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性；（3）當a＝0時，證明：f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0．19．（17分）一般地，對于無窮數(shù)列{an}：a0，a1，a2，…an，…，我們稱冪級數(shù)f（x）=n=0∞anxn即f（x）＝a0+a1x+a2x2+…+a例如：數(shù)列1，3，5，…，2n+1，…的母函數(shù)為f（x）＝1+3x+5x2+…+（2n+1）xn+…附公式：1(1?x)k（1）已知數(shù)列{an}，a0＝0，an＝2an﹣1+1（n≥1），求無窮數(shù)列{an}的母函數(shù)f（x）；（2）已知無窮數(shù)列{an}的母函數(shù)為g（x），記Sn＝a0+a1+a2+…+an，請用g（x）表示數(shù)列S0，S1，S2，…，Sn，…的母函數(shù)G（x）；（3）已知數(shù)列{an}，an＝（n+2）（n+1）2n（n≥0），記Sn＝a0+a1+a2+…+an，求Sn．

答案與試題解析題號12345678答案DCBBDCAC一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。1．（5分）復數(shù)52+iA．2﹣i B．﹣2﹣i C．﹣2+i D．2+i【分析】無求出復數(shù)52+i，由此能求出復數(shù)5解：復數(shù)52+i=5(2?i)∴復數(shù)52+i的共軛復數(shù)是2+i故選：D．【點評】本題考查復數(shù)的運算，考查復數(shù)的模、復數(shù)相等的定義等基礎知識，考查運算求解能力等數(shù)學核心素養(yǎng)，是基礎題．2．（5分）已知A={?1，12}，B＝{x|ax+1＝0}，若A∩B＝BA．{﹣1，2} B．{﹣2，1} C．{﹣2，0，1} D．{﹣1，0，2}【分析】由A∩B＝B可得B?A，分a＝0和a≠0兩種情況討論，分別求出a的值即可．解：由A∩B＝B可得B?A，當a＝0時，B＝?，符合題意，當a≠0時，B＝{?1所以?1a=?解得a＝1或a＝﹣2，綜上所述，實數(shù)a的取值構(gòu)成的集合是{0，1，﹣2}．故選：C．【點評】本題主要考查了集合間的包含關(guān)系，屬于基礎題．3．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a2，a7為函數(shù)f(x)=12x2+lnx?3x+1的兩個極值點，則aA．1 B．3 C．5 D．3+【分析】由題意可得a2，a7為導函數(shù)方程x2﹣3x+1＝0的兩根，由韋達定理可得a2+a7，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a4+a5即可．解：∵a2，a7是函數(shù)f（x）=12x2+lnx﹣3x+1的極值點，∴a2，a7是導函數(shù)方程f′（對函數(shù)求導數(shù)可得f′（x）＝x+1x?∴a2，a7為方程x2﹣3x+1＝0的兩根，由韋達定理可得a2+a7＝3，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a4+a5＝a2+a7＝3．故選：B．【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，等差數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．4．（5分）已知點O為△ABC外接圓的圓心，AB→+AC→=2AO→A．BC→ B．BO→ C．CB→【分析】由題意知，△ABC是等腰直角三角形，且BC為外接圓的直徑，由此得出向量BA→在向量BC解：O為△ABC外接圓的圓心，AB→+AC→=2AO所以△ABC是等腰直角三角形，且BC為外接圓的直徑，所以向量BA→在向量BC→上的投影向量為故選：B．【點評】本題考查了投影向量的定義與應用問題，是基礎題．5．（5分）已知α，β為兩個不同的平面，l，m為兩條不同的直線，則m⊥β的一個充分不必要條件可以是（）A．m與β內(nèi)所有的直線都垂直 B．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l C．m與β內(nèi)無數(shù)條直線垂直 D．l⊥α，l⊥β，m⊥α【分析】根據(jù)空間中各要素的位置關(guān)系及充分與必要條件的概念，即可求解．解：∵m與β內(nèi)所有的直線都垂直的充要條件為m⊥β，∴A選項錯誤；∵α⊥β，α∩β＝l，m⊥l不能得到m⊥β，∴B選項錯誤；∵m與β內(nèi)無數(shù)條直線垂直不能得到m⊥β，∴C選項錯誤；∵l⊥α，l⊥β，可得α∥β，又m⊥α，∴m⊥β，但反過來m⊥β，不一定能得到l⊥α，l⊥β，m⊥α，∴D選項正確．故選：D．【點評】本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，充分與必要條件的概念，屬基礎題．6．（5分）把函數(shù)y＝f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移π3個單位長度，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，且y＝g（x）的圖象關(guān)于點(π4，0)中心對稱，則函數(shù)y＝A．f(x)=sin(x2?7πC．f(x)=sin(2x?7π12)【分析】直接利用函數(shù)圖象的伸縮變換和平移變換求出結(jié)果．解：對于選項A：假設函數(shù)為f（x）＝sin（x2?7π12）時，圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝sin（14得到函數(shù)y＝g（x）＝sin（14x?π2）的圖象，當x=π4時，對于選項B：假設函數(shù)為f(x)=sin(x2+π12)時，圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)得到函數(shù)y＝g（x）＝sin（14x+π6）的圖象，當x=π4時，g對于選項C：假設函數(shù)為f（x）＝sin（2x?7π12）時，圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝sin（x?7π得到函數(shù)y＝g（x）＝sin（x?π4）的圖象，當x=π4時，g（對于選項D：假設函數(shù)為f（x）＝sin（2x+π12）時，圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝sin（x+π得到函數(shù)y＝g（x）＝sin（x+5π12）的圖象，當x=π4時，g（故選：C．【點評】本題考查的知識點：函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．7．（5分）已知函數(shù)f(x)=2x，0≤x＜32f(x?3)，x≥3，則A．2538 B．2534 C．253【分析】將x的值代入函數(shù)解析式，即可求解．解：10＝log21024＜log22024＜log＝11，f（log22024）＝23f（log22024﹣9）=8×2故選：A．【點評】本題主要考查函數(shù)的值，屬于基礎題．8．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域是R，其導函數(shù)f'（x）滿足f'（x）＝f'（x+1），且有f（0）＝0，f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（22）+…+f（29）＝（）A．1022 B．1024 C．2046 D．2048【分析】根據(jù)已知條件，設出函數(shù)，代點求出函數(shù)解析式，再結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式，即可求解．解：導函數(shù)f'（x）滿足f'（x）＝f'（x+1），設f（x）＝ax+b，f（0）＝0，f（1）＝2，則b=0a+b=2，解得a＝2，b故f（x）＝2x，f（1）+f（2）+f（22）+...+f（29）＝2+22+23+...+210=2×(1?故選：C．【點評】本題主要考查基本初等函數(shù)的導數(shù)，屬于基礎題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）已知a＞b＞0，c為實數(shù)，則下列不等式正確的是（）A．a(chǎn)3＞b3 B．a(chǎn)c2＞bc2 C．a(chǎn)b+ba＞2 D．a(chǎn)﹣sin【分析】對A，由不等式的性質(zhì)可得；對B，取c＝0即可得；對C，由基本不等式可得；對D，設f（x）＝x﹣sinx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得．解：對于A，因為a＞b＞0，所以a3＞b3，故A正確；對于B，若c＝0，所以ac2＝bc2，故B錯誤；對于C，因為a＞b＞0，所以ab+b對于D，設f（x）＝x﹣sinx，f′（x）＝1﹣cosx≥0，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，又a＞b＞0，所以a﹣sina＞b﹣sinb，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎題．（多選）10．（6分）已知函數(shù)f（x）＝sin（sinx）﹣cos（cosx），則下列說法正確的是（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）是周期函數(shù) C．f（x）關(guān)于直線x=π2D．當x∈（0，π）時，﹣1＜f（x）＜0【分析】由f(π2)≠f(?π2)，可判斷選項A；由f（x+2π）＝f（x）可判斷選項B；由f（π﹣x）＝f（x）可判斷選項C；對于選項D，只需判斷當解：f(πf(?π則f(π所以f（x）不是偶函數(shù)，故選項A錯誤；f（x+2π）＝sin（sin（x+2π））﹣cos（cos（x+2π））＝sin（sinx）﹣cos（cosx）＝f（x），所以f（x）是以2π為周期的周期函數(shù)，故選項B正確；f（π﹣x）＝sin（sin（π﹣x））﹣cos（cos（π﹣x））＝sin（sinx）﹣cos（cos（﹣x））＝f（x），所以f（x）關(guān)于直線x=π2對稱，故選項對于選項D，由f（x）關(guān)于直線x=π2對稱，只需看當x∈(0，π2]當x∈(0，π2]時，0＜sinx≤1，0≤cosx＜1，0＜sin（sinx）≤sinl，cosl所以sin（sinx）﹣cos（cosx）＞﹣1，又因為sinx+cosx=2所以0＜sinx＜π所以sin(sinx)＜sin(π所以﹣1＜f（x）＜0，故選項D正確．故選：BCD．【點評】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．（多選）11．（6分）如圖，在三棱錐O﹣ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直且OA＝OB＝OC＝1，M，N分別為線段OB，AC上異于端點的動點，滿足OMOB=λ，A．三棱錐O﹣ABC的外接球的表面積是3π B．當λ＝μ時，線段MN的最小值是22C．當λμ＝1時，三棱錐O﹣AMN的體積是定值 D．若空間中的點P滿足PA⊥PO且PB⊥PC，則滿足條件的點P所形成的軌跡長度為6【分析】A選項：根據(jù)三棱錐O﹣ABC的外接球是棱長為1的正方體的外接球，得到半徑R=3B選項：利用勾股定理求出MN，再利用二次函數(shù)求最值即可：C選項：利用等體積轉(zhuǎn)換法求解即可；D選項：先確定點P的軌跡是分別以OA，BC為直徑的球相交所得的圓，再求解即可．解：A選項，三棱錐O﹣ABC的外接球是棱長為1的正方體的外接球，其半徑R=3所以表面積為4πR2=4π×(B選項，在三棱錐O﹣ABC中，由OA，OB，OC兩兩垂直可得OA⊥底面OBC，如圖所示，在線段OC上取一點D，使得ODOC=ANAC=μ，即得DN∥OA再由OA⊥底面OBC，可得ND⊥底面OBC，而MD?平面OBC，故ND⊥DM，又因為OMOB所以DM∥BC且DM=2所以可得MN=DM2C選項，因為λ?μ＝1，所以ODOC=AN又因為OMOB=λ，所以OM＝λOB＝再由DN∥OA可得，點N到平面OAM的距離等于點D到平面OAM的距離，故有VO﹣AMN＝VN﹣OAM＝VD﹣OAM＝VA﹣ODM，因為OA⊥底面OBC，所以OA即為三棱錐A﹣ODM的高，從而VO?AMN=VD選項，滿足PA⊥PO且PB⊥PC的點P的軌跡是分別以OA，BC為直徑的球相交所得的圓，如圖下左所示，其軸截面如下右圖所示，該圓的直徑為線段HG，OA的中點E是OA為直徑的球的球心，BC中點F是BC為直徑的球的球心，可得EG=12，F(xiàn)G=22，點P所形成的軌跡長度為2π×66=故選：ACD．【點評】本題考查立體幾何綜合問題，屬于難題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知sin(α+π2)=12，則cos2α【分析】根據(jù)二倍角公式即可得．解：sin(α+π2)=1則cos2α＝2cos2α﹣1=1故?1【點評】本題考查二倍角公式，屬于基礎題．13．（5分）已知圓錐的表面積為π，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為π9【分析】設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，由題意列式求解r，進一步求出圓錐的高，代入體積公式得答案．解：設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，由題意，πrl+πr2＝π，2πr＝πl(wèi)，則r=33，l∴?=l∴圓錐的體積為V=1故π9【點評】本題考查圓錐體積與側(cè)面積的求法，是基礎題．14．（5分）已知△ABC外接圓的半徑為2，S是△ABC的面積，a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若不等式a2+b2+c2≥λS恒成立，則λ的最大值為43；點P為△ABC外接圓上的任意一點，當λ取得最大值時，PA→?【分析】根據(jù)余弦定理與三角形的面積公式化簡不等式a2+b2+c2≥λS，得到a2+b22ab≥λ8sinC+12cosC，結(jié)合基本不等式可得a2+b22ab≥1，所以λ8sinC+12cosC≤1恒成立，從而可得λ解：根據(jù)余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，所以不等式a2+b2+c2≥λS可化為2a2+2b2﹣2abcosC≥λ2absin即2a2+2b2≥λ2absinC+2abcosC，整理得因為a、b為正數(shù)，a2+b2≥2ab，所以a2+b22ab若要使不等式a2+b2+c2≥λS恒成立，則λ8sinC+12所以λ264+14≤1，解得λ2≤48，即?43當λ=43時，λ8sinC+12cosC=32sinC+而C∈（0，π），可知C=π3，結(jié)合a＝b，可得△因為△ABC外接圓的半徑R＝2，所以正△ABC的邊長等于2Rsinπ3作出△ABC的外接圓O，設過C點的直徑為CE，AB交CE于點D，則D為AB的中點，連接PD，則PA→?PB→=（PD→+DA→）?（PD→+DB→）＝|PD→|2點P在圓O上運動，當點P與C重合時，|PD→|＝|CD→|=3當點P與E重合時，|PD→|＝2R﹣|CD所以|PD→|∈[1，3]，可得|PD→|2﹣3∈[﹣2，6]，即故43【點評】本題考查了解三角形及其應用、基本不等式、三角恒等變換公式、平面向量數(shù)量積的定義與運算性質(zhì)等知識，考查了計算能力、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知數(shù)列{an}為正項數(shù)列，且a1＝1，an+12?an2=2（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn＝（﹣1）nan+3an，求數(shù)列{bn}的前2n項和S2n．【分析】（1）利用累加法求解；（2）利用分組求和法和并項求和法求解．解：（1）因為an+12?an2所以an2=a12+（a22?a12）+（a又因為數(shù)列{an}為正項數(shù)列，所以an＝n；（2）由（1）可知an＝n，所以bn＝（﹣1）nn+3n，所以S2n＝（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）+3+32+33+…+32n＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣2n+1+2n）]+3×(1?32n)1?3=【點評】本題主要考查了累加法求數(shù)列的通項公式，考查了分組求和法和并項求和法的應用，屬于中檔題．16．（15分）已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且bcosC+3（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且有c＝1，求△ABC面積的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡所給等式，可得sinBcosC+3sinBsinC＝sinA+sinC，結(jié)合sinA＝sin（B+C）利用兩角和的正弦公式化簡，可得3sinB﹣cosB＝1，進而可得sin（B?π6）=12，結(jié)合B∈（2）根據(jù)c＝1，利用正弦定理算出a=sinAsinC，結(jié)合sinA＝sin（2π3?C），利用三角恒等變換公式化簡出a=32tanC+12，然后根據(jù)△ABC是銳角三角形，算出角C的取值范圍，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求出a∈解：（1）由bcosC+3bsinCa+c=1，可得bcosC+3bsinC根據(jù)正弦定理，得sinBcosC+3sinBsinC＝sinA+sinC因為△ABC中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，所以sinBcosC+3sinBsinC＝（sinBcosC+cosBsinC）+sinC整理得sinC（3sinB﹣cosB﹣1）＝0，結(jié)合sinC≠0，可得3sinB﹣cosB＝1，即2sin（B?π6）＝1，sin（B?π而B為三角形的內(nèi)角，可知B?π6=π（2）△ABC中，c＝1，B=π3，由正弦定理可得a=csinA因為△ABC是銳角三角形，所以0＜C＜π2A=2π3?C∈(0，π2)，解得C∈（π6可得1tanC∈（0，3），a=32tanC因此，△ABC的面積S=12acsinB=34a【點評】本題主要考查三角恒等變換公式、正弦定理與三角形的面積公式、正切函數(shù)的性質(zhì)等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．17．（15分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面邊長是1，點E，F(xiàn)，G分別在側(cè)棱BB1，CC1，DD1上，且A，E，F(xiàn)，G四點共面．設直線AE、AG與平面ABCD所成的角分別為α、β．（1）設平面AEFG與平面ABCD相交于直線l，求證：當BD∥l時，α＝β；（2）當α+β=π2時，求平面AEFG與平面【分析】（1）先證明直線AE、AG與平面ABCD所成的角分別為∠EAB，∠GAD，結(jié)合BE＝DG，AB＝AD即可得證；（2）建立空間直角坐標系，求出平面AEFG的法向量，利用向量法結(jié)合基本不等式求解即可．解：（1）證明：由BD∥l，BD?平面AEFG，l?平面AEFG可得，BD∥平面AEFG，再由BD?平面BB1D1D，平面BB1D1D∩平面AEFG＝EG，所以BD∥EG，又因為BE∥DG，所以四邊形BDGE為平行四邊形，所以BE＝DG，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1，DD1均垂直于平面ABCD，所以直線AE、AG與平面ABCD所成的角分別為∠EAB，∠GAD，即α＝∠EAB，β＝∠GAD，又因為BE＝DG，AB＝AD，所以tanα＝tanβ，從而α＝β；（2）以A為坐標原點，分別以AB→，AD→，AA1→的方向為x則E（1，0，tanα），G（0，1，tanβ），所以AE→=(1，0，tanα)，設平面AEFG的法向量n1則有AE→令z＝﹣1，則有x＝tanα，y＝tanβ，所以n1易知平面ABCD的法向量為n2所以cosθ=|cos＜=1當且僅當tan2α=即平面AEFG與平面ABCD所成角的余弦值的最大值為33【點評】本題考查線面角以及向量法的應用，屬于難題．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣2）（ex﹣ax），a∈R．（1）求函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過的所有的定點坐標，并寫出函數(shù)y＝f（x）的一條以上述一個定點為切點的切線；（2）討論函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性；（3）當a＝0時，證明：f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0．【分析】（1）先確定f（x）的圖象經(jīng)過的所有定點的坐標為（2，0）和（0，﹣2），然后分別求切線即可；（2）利用導數(shù)分情況求解即可；（3）根據(jù)f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0?ex（xlnx+x2﹣x）+1≥0，令g（x）＝ex（xlnx+x2﹣x）+1，利用導數(shù)求解即可．解：（1）顯然y＝f（x）的圖象經(jīng)過（2，0），當x＝0時，y＝﹣2，所以f（x）的圖象經(jīng)過的所有定點的坐標為（2，0）和（0，﹣2），由題知f'（x）＝ex﹣ax+（x﹣2）（ex﹣a）＝（x﹣1）（ex﹣2a），若以（2，0）為切點，f'（2）＝e2﹣2a，切線為y＝（e2﹣2a）（x﹣2）；若以（0，﹣2）為切點，f'（0）＝2a﹣1，切線為y＝（2a﹣1）x﹣2；（2）①當a≤0時，ex﹣2a＞0恒成立，所以當x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）單調(diào)遞減，當x＞1時，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增；②當a＞0時，由f'（x）＝0，得x1＝1或x2＝ln（2a），當ln（2a）＝1，即a=e2時，f'（x）≥0恒成立，則f（x）在當ln（2a）＞1時，即a＞e2時，當x＜1時，f'（x）＞0，f（當1＜x＜ln（2a）時，f'（x）＜0，f（x）在（1，ln（2a））單調(diào)遞減；當x＞ln（2a）時，f'（x）＞0，f（x）在（ln（2a），+∞）單調(diào)遞增；當ln（2a）＜1時，即0＜a＜e當x＜ln（2a）時，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，ln（2a））單調(diào)遞增；當ln（2a）＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）在（ln（2a），1）單調(diào)遞減；當x＞1時，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增；綜上所述：當a≤0時，f（x）在（﹣∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；當0＜a＜e2時，f（x）在（﹣∞，ln（2a））單調(diào)遞增，在（ln（2當a=e2時，f（x）在當a＞e2時，f（x）在（﹣∞