2024-2025學(xué)年山東省德州市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省德州市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線(xiàn)，，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．直線(xiàn)與以點(diǎn)為圓心的圓相交于兩點(diǎn)，且，則圓的方程為（

）A． B．C． D．3．與橢圓有相同焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓的方程是（

）A． B． C． D．4．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是B．若直線(xiàn)l的方向向量為，平面的法向量為，則C．已知O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且A，B，C，P中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，若，則D．若直線(xiàn)l的方向向量與平面的法向量的夾角為30°，則直線(xiàn)l與平面所成的角為30°5．已知平面，的法向量分別為，，則平面，的夾角的大小為（）A． B． C． D．6．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A．240 B．225 C．120 D．307．已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若弦的長(zhǎng)為8，則直線(xiàn)l的方程為（）A．或 B．或C．或 D．或8．空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.已知平面的方程為，直線(xiàn)l是平面與平面的交線(xiàn)，則直線(xiàn)l與平面所成角的大小為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且，則（）A．公差 B．C． D．當(dāng)時(shí)，最大10．雙曲線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支相交于兩點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支相交于，兩點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，則（

）A．B．C．平行四邊形各邊所在直線(xiàn)斜率均不為D．11．如圖，在正方體中，P為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線(xiàn)段C．存在點(diǎn)，使得平面D．若直線(xiàn)與平面所成角的正切值為2，那么點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半棱長(zhǎng)為半徑的圓弧三、填空題（本大題共3小題）12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，則.13．在平行六面體中，，，，點(diǎn)在上，且，用表示，則.14．已知橢圓，且，直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn).若點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則橢圓的半焦距.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求直線(xiàn)的方程；(2)若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3，求直線(xiàn)的方程．16．如圖，在四棱柱中，四邊形是正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)用向量表示；(2)求線(xiàn)段的長(zhǎng)及直線(xiàn)與所成角的余弦值．17．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，，，數(shù)列滿(mǎn)足，．(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列并求其通項(xiàng)公式．(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，問(wèn)是否存在最小值？若存在，求的最小值及取得最小值時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，M為棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，①求二面角的余弦值；②在棱上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．19．設(shè)分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)，是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，(1)求橢圓的方程.(2)如圖，是橢圓上不重合的三點(diǎn)，原點(diǎn)是的重心.（i）當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；（ii）求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值.

答案1．【正確答案】B【詳解】由，得，化簡(jiǎn)得，解得或．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)．綜上所述：等價(jià)于或．故甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要不充分條件．故選：B．2．【正確答案】A【詳解】因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離，所以圓的半徑，所以圓的方程為．故選：A．3．【正確答案】C【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以所求橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)其方程為，則．因?yàn)樗髾E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，即，所以，所以，所以所求橢圓的方程是．故選：C．4．【正確答案】B【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)規(guī)則可判斷A錯(cuò)誤，利用向量共線(xiàn)的條件可得，可得B正確，由共面定理可知C錯(cuò)誤，再由線(xiàn)面角定義可得D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線(xiàn)l的方向向量為，平面的法向量為，因?yàn)?，所以，則，故B正確；對(duì)于C.已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且A，B，C，P中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，若，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若直線(xiàn)l的方向向量與平面的法向量的夾角為30°，則直線(xiàn)l與平面所成的角為，故D錯(cuò)誤.故選：B.5．【正確答案】C【分析】直接由兩平面夾角的向量公式計(jì)算可求.【詳解】由向量與，得，又，則，所以平面，的夾角的大小為.故選：C.6．【正確答案】A【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，即，又因?yàn)?，可得，則等差數(shù)列公差，可得，所以.故選：A.7．【正確答案】B【分析】求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線(xiàn)的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線(xiàn)定義求解即得.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，依題意，直線(xiàn)l的斜率存在，且不為0，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，，，由消去y，整理得，，于是，解得，，所以直線(xiàn)l的方程為或.故選：B8．【正確答案】B【分析】根據(jù)平面方程對(duì)應(yīng)的法向量，由三個(gè)平面方程得出法向量，由線(xiàn)面角的向量求法計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】依題意，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為，，，，即令，則.設(shè)直線(xiàn)l與平面所成的角為，則，.故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，則，則，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；由于，，則時(shí)，；時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，最大，故D正確.故選：ACD.10．【正確答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可判定A，由平行四邊形與雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性及雙曲線(xiàn)定義可判定B，利用雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可判定C，設(shè)直線(xiàn)方程，聯(lián)立雙曲線(xiàn)利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判定D.【詳解】由題意可得，，則，故A錯(cuò)誤．由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和平行四邊形的對(duì)稱(chēng)性可知：，則，B正確．設(shè)任一邊所在直線(xiàn)為（斜率存在時(shí)），聯(lián)立雙曲線(xiàn)，聯(lián)立得，則，即，C正確．由，設(shè)：；，，，聯(lián)立得，∴，，則，設(shè)，則，∴，又單調(diào)遞減，則，∴，故，D錯(cuò)誤．故選：BC11．【正確答案】ABD【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為．對(duì)選項(xiàng)A，三棱錐的體積即三棱錐的體積，因?yàn)榈拿娣e為定值，點(diǎn)到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值．故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，如圖，分別取的中點(diǎn)，連接．由且，知四邊形是平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．同理可得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，則點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，則．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即，得取，則．若平面，則，即存在，使得，則，解得，與矛盾，故不存在點(diǎn)使得平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫?，所以即為直線(xiàn)與平面所成的角．因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成角的正切值為2，所以．因?yàn)辄c(diǎn)為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半棱長(zhǎng)為半徑的圓?。ㄕ叫蝺?nèi)），且其圓心角為，故D正確．故選：ABD．12．【正確答案】10【分析】由公式，將代入即可得結(jié)果.【詳解】由題得.故10.13．【正確答案】【分析】利用空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】如下圖所示：

由題意可知，，可得，所以，，故答案為.14．【正確答案】【分析】利用點(diǎn)差法來(lái)求解橢圓方程中的值，然后根據(jù)橢圓中a,b,c的關(guān)系求出半焦距.【詳解】設(shè)，，因?yàn)樵跈E圓上，所以.兩式相減得，即.因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，.斜率，得，即,解得.當(dāng)時(shí)，橢圓方程為，可得，所以.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率為．因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以直線(xiàn)的斜率為．又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為，整理得．（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，滿(mǎn)足題意．當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即．根據(jù)題意及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，得，所以．兩邊平方，化簡(jiǎn)得，解得．此時(shí)直線(xiàn)的方程為，整理得．綜上，直線(xiàn)的方程為或．16．【正確答案】(1)(2)；【詳解】（1）方法一：由題意知方法二：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．故.（2）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，，所以，所以，即線(xiàn)段的長(zhǎng)為．因?yàn)?，所以．又，所以，即直線(xiàn)與所成角的余弦值為．故線(xiàn)段的長(zhǎng)為，直線(xiàn)與所成角的余弦值為.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析，；(2)存在，，.【詳解】（1）由，得，又，則，即，整理得，由，得，所以是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，.（2）由（1）知，數(shù)列是遞增等差數(shù)列，由，得，因此前3項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第4項(xiàng)起為正數(shù)，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值，此時(shí)，.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②存在；【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接．為棱的中點(diǎn)，．，四邊形是平行四邊形，．又平面平面平面．（2）解：．平面平面，平面平面平面，平面．又平面．又兩兩垂直．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則．為棱的中點(diǎn)，．①，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，則，令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以為平面平面的一個(gè)法向量，所以，根據(jù)圖形得二面角為銳角，則二面角的余弦值為．②假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是．設(shè)，則．由①知平面的一個(gè)法向量為，，點(diǎn)到平面的距離是，解得．在中，．19．【正確答案】(1)；(2)，.【分析】（1）根據(jù)已知可得，，再結(jié)合求出橢圓方程.（2）（i）設(shè)出三點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)重心坐標(biāo)公式和已知條件列出方程得到的縱坐標(biāo)為，從而解出橫坐標(biāo)，進(jìn)而解出結(jié)果.（ii）討論直線(xiàn)有無(wú)斜率兩種情況，有斜率時(shí)設(shè)出直線(xiàn)的方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，重心坐標(biāo)表示出的坐標(biāo)，代入橢圓得到一個(gè)關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離并化簡(jiǎn)，結(jié)合式子結(jié)構(gòu)，綜合兩種情況解出結(jié)果.【詳解】（1）令橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為，得，，由的面積為，得，因此，所以橢圓的方程為.（2）（i）設(shè)，