微擾理論課件

微擾理論返回（一）束縛態(tài)微擾理論（二）散射態(tài)微擾理論

微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運(yùn)行的天體物理學(xué)中，計(jì)算行星運(yùn)行軌道時(shí)，就是使用微擾方法。計(jì)算中需要考慮其他行星影響的二級(jí)效應(yīng)。 例如，地球受萬(wàn)有引力作用繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)，可是由于其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計(jì)算所使用的方法是：首先把太陽(yáng)和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個(gè)軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化?？删_求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設(shè)體系Hamilton量不顯含時(shí)間，而且可分為兩部分：（一）微擾體系方程

H(0)

所描寫的體系是可以精確求解的，其本征值En(0)

，本征矢|ψn(0)>滿足如下本征方程：另一部分H’是很小的（很小的物理意義將在下面討論）可以看作加于H(0)

上的微小擾動(dòng)?，F(xiàn)在的問題是如何求解微擾后Hamilton量H的本征值和本征矢，即如何求解整個(gè)體系的Schrodinger

方程：當(dāng)H’=0時(shí)，|ψn>=|ψn

(0)>,En=En

(0)

；當(dāng)H’≠0時(shí)，引入微擾，使體系能級(jí)發(fā)生移動(dòng)，由En

(0)→En，狀態(tài)由|ψn

(0)>→|ψn>。為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫為：其中λ是很小的實(shí)數(shù)，表征微擾程度的參量。因?yàn)镋n、|ψn>都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是λ的函數(shù)而將其展開成λ的冪級(jí)數(shù)：其中En(0),λEn(1),λ2En(1),...分別是能量的0級(jí)近似，能量的一級(jí)修正和二級(jí)修正等；而|ψn

(0)>,λ|ψn

(1)>,λ2|ψn

(2)>,...分別是狀態(tài)矢量0級(jí)近似，一級(jí)修正和二級(jí)修正等。代入Schrodinger方程得：乘開得：根據(jù)等式兩邊λ同冪次的系數(shù)應(yīng)該相等，可得到如下一系列方程式:整理后得：上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分別是|ψn(1)>和|ψn(2)>所滿足的方程，由此可解得能量和態(tài)矢的第一、二級(jí)修正?，F(xiàn)在我們借助于未微擾體系的態(tài)矢|ψn(0)>和本征能量En(0)來(lái)導(dǎo)出擾動(dòng)后的態(tài)矢|ψn

>和能量En的表達(dá)式。(1)能量一級(jí)修正λEn(1)根據(jù)力學(xué)量本征矢的完備性假定，H(0)的本征矢|ψn(0)>是完備的，任何態(tài)矢量都可按其展開，|ψn(1)>也不例外。因此我們可以將態(tài)矢的一級(jí)修正展開為：akn(1)=<ψk(0)|ψn(1)>代回前面的第二式并計(jì)及第一式得：左乘<ψm(0)|（二）態(tài)矢和能量的一級(jí)修正考慮到本征基矢的正交歸一性：考慮兩種情況

1.m=n2.m≠n準(zhǔn)確到一階微擾的體系能量：其中能量的一級(jí)修正等于微擾Hamilton量在0級(jí)態(tài)矢中的平均值（2）態(tài)矢的一級(jí)修正|ψn(1)>為了求出體系態(tài)矢的一級(jí)修正，我們先利用擾動(dòng)態(tài)矢|ψn>的歸一化條件證明上式展開系數(shù)中ann(1)=0（可以取為0）?；趞ψn>的歸一化條件并考慮上面的展開式，證：由于歸一，所以ann

(1)

的實(shí)部為0。ann

(1)是一個(gè)純虛數(shù)，故可令ann

(1)=i

（

為實(shí)）。

上式結(jié)果表明，展開式中，ann(1)|ψn(0)>項(xiàng)的存在只不過(guò)是使整個(gè)態(tài)矢量|ψn>增加了一個(gè)相因子，這是無(wú)關(guān)緊要的。所以我們可取

=0，即ann(1)=0。這樣一來(lái)，與求態(tài)矢的一階修正一樣，將|ψn(2)>按|ψn(0)>展開：與|ψn(1)>展開式一起代入關(guān)于

2的第三式（三）能量的二階修正左乘態(tài)矢

<ψm(0)|1.當(dāng)m=n時(shí)在推導(dǎo)中使用了微擾矩陣的厄密性正交歸一性2.當(dāng)m≠n時(shí)能量的二級(jí)修正在計(jì)及二階修正后，擾動(dòng)體系能量本征值由下式給出：總結(jié)上述，在非簡(jiǎn)并情況下，受擾動(dòng)體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：欲使二式有意義，則要求二級(jí)數(shù)收斂。由于不知道級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，無(wú)法判斷級(jí)數(shù)的收斂性，我們只能要求級(jí)數(shù)已知項(xiàng)中，后項(xiàng)遠(yuǎn)小于前項(xiàng)。由此我們得到微擾理論適用條件是：這就是本節(jié)開始時(shí)提到的關(guān)于H’很小的明確表示式。當(dāng)這一條件被滿足時(shí)，由上式計(jì)算得到的一級(jí)修正通?？山o出相當(dāng)精確的結(jié)果。（四）微擾理論適用條件微擾適用條件表明：（2）|En(0)–Ek(0)|要大，即能級(jí)間距要寬。例如：在庫(kù)侖場(chǎng)中，體系能量（能級(jí)）與量子數(shù)n2成反比，即En=-μZ2e2/2

2n2(n=1,2,3,...)由上式可見，當(dāng)n大時(shí)，能級(jí)間距變小，因此微擾理論不適用于計(jì)算高能級(jí)（n大）的修正，而只適用于計(jì)算低能級(jí)（n小）的修正。（1）|H’kn|=|<ψk(0)|H’|ψn(0)>|要小，即微擾矩陣元要??；表明擾動(dòng)態(tài)矢|ψn>可以看成是未擾動(dòng)態(tài)矢|ψk(0)>的線性疊加。（2）展開系數(shù)H’kn/(En(0)-Ek(0))表明第k個(gè)未擾動(dòng)態(tài)矢|ψk(0)>對(duì)第n個(gè)擾動(dòng)態(tài)矢|ψn>的貢獻(xiàn)有多大。展開系數(shù)反比于擾動(dòng)前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)|ψk(0)>混合的也越強(qiáng)。因此態(tài)矢一階修正無(wú)須計(jì)算無(wú)限多項(xiàng)。（3）由En=En(0)+Hnn可知，擾動(dòng)后體系能量是由擾動(dòng)前第n態(tài)能量En(0)加上微擾Hamilton量H’在未微擾態(tài)|ψn(0)>中的平均值組成。該值可能是正或負(fù)，引起原來(lái)能級(jí)上移或下移。（4）對(duì)滿足適用條件微擾的問題，通常只求一階微擾其精度就足夠了。如果一級(jí)能量修正H’nn=0就需要求二級(jí)修正，態(tài)矢求到一級(jí)修正即可。（5）在推導(dǎo)微擾理論的過(guò)程中，我們引入了小量λ，令：H’=λH(1)只是為了便于將擾動(dòng)后的定態(tài)Schrodinger方程能夠按λ的冪次分出各階修正態(tài)矢所滿足的方程，僅此而已。一旦得到了各階方程后，λ就可不用再明顯寫出，把H(1)

理解為H’

即可，因此在以后討論中，就不再明確寫出這一小量。（1）在一階近似下：（五）討論例1.一電荷為e的線性諧振子，受恒定弱電場(chǎng)ε作用。電場(chǎng)沿x正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。解：（1）電諧振子Hamilton量將Hamilton量分成H0+H’兩部分，在弱電場(chǎng)下，上式最后一項(xiàng)很小，可看成微擾。（2）寫出H0的本征值和本征函數(shù)E(0),ψn(0)（3）計(jì)算En(1)上式積分等于0是因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)所致。（六）實(shí)例（4）計(jì)算能量 二級(jí)修正欲計(jì)算能量二級(jí)修正，首先應(yīng)計(jì)算H’kn矩陣元。利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：對(duì)諧振子有；En(0)-En-1(0)=

ω,En(0)-En+1(0)=-

ω，代入由此式可知，能級(jí)移動(dòng)與n無(wú)關(guān)，即與擾動(dòng)前振子的狀態(tài)無(wú)關(guān)。（6）討論：1.電諧振子問題亦可在粒子數(shù)表象中求解微擾矩陣元計(jì)算二級(jí)修正：代入能量二級(jí)修正公式：2.電諧振子的精確解實(shí)際上這個(gè)問題是可以精確求解的，只要我們將體系Hamilton量作以下整理：其中x’=x–[eε/μω2]，可見，體系仍是一個(gè)線性諧振子。它的每一個(gè)能級(jí)都比無(wú)電場(chǎng)時(shí)的線性諧振子的相應(yīng)能級(jí)低{e2ε2/2μω2}，而平衡點(diǎn)向右移動(dòng)了{(lán)eε/μω2}距離。

由于勢(shì)場(chǎng)不再具有空間反射對(duì)稱性，所以波函數(shù)沒有確定的宇稱。這一點(diǎn)可以從下式擾動(dòng)后的波函數(shù)ψn已變成ψn(0),ψn+1(0),ψn-1(0)的疊加看出。例2.設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：（1）設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級(jí)近似；（2）求H的精確本征值；（3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。解：（1）c<<1，可取0級(jí)和微擾Hamilton量分別為：H0是對(duì)角矩陣，是HamiltonH0在自身表象中的形式。所以能量的0級(jí)近似為：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非簡(jiǎn)并微擾公式得能量一級(jí)修正：能量二級(jí)修正為：準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量本征值為：設(shè)H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(3)將準(zhǔn)確解按c(<<1)展開：

比較（1）和（2）之解，可知，微擾論二級(jí)近似結(jié)果與精確解展開式不計(jì)c4及以后高階項(xiàng)的結(jié)果相同。(2)精確解：（一）簡(jiǎn)并微擾理論（二）實(shí)例（三）討論§2散射態(tài)微擾理論返回假設(shè)En(0)是簡(jiǎn)并的，那末屬于H(0)的本征值En(0)有k個(gè)歸一化本征函數(shù)：|n1>,|n2>,......,|nk><n

|n

>=

滿足本征方程：于是我們就不知道在k個(gè)本征函數(shù)中究竟應(yīng)取哪一個(gè)作為微擾波函數(shù)的0級(jí)近似。所以在簡(jiǎn)并情況下，首先要解決的問題是如何選取0級(jí)近似波函數(shù)的問題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級(jí)修正。0級(jí)近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個(gè)|n

>中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按

冪次分類得到的方程：共軛方程（一）簡(jiǎn)并微擾理論根據(jù)這個(gè)條件，我們選取0級(jí)近似波函數(shù)|ψn(0)>的最好方法是將其表示成k個(gè)|n

>的線性組合，因?yàn)榉凑?級(jí)近似波函數(shù)要在|n

>(

=1,2,...,k)中挑選。|ψn(0)>已是正交歸一化系數(shù)c

由

一次冪方程定出左乘<n

|得：得：上式是以展開系數(shù)c

為未知數(shù)的齊次線性方程組，它有不含為零解的條件是系數(shù)行列式為零，即

解此久期方程可得能量的一級(jí)修正En(1)的k個(gè)根：En

(1),

=1,2,...,k.因?yàn)镋n

=En(0)+E(1)n

所以，若這k個(gè)根都不相等，那末一級(jí)微擾就可以將k度簡(jiǎn)并完全消除；若En

(1)有幾個(gè)重根，則表明簡(jiǎn)并只是部分消除，必須進(jìn)一步考慮二級(jí)修正才有可能使能級(jí)完全分裂開來(lái)。為了確定能量En

所對(duì)應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)，可以把E(1)n

之值代入線性方程組從而解得一組c

(

=1,2,...,k.)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)。為了能表示出c

是對(duì)應(yīng)與第

個(gè)能量一級(jí)修正En

(1)的一組系數(shù)，我們?cè)谄渖霞由辖菢?biāo)

而改寫成c

。這樣一來(lái)，線性方程組就改寫成：例1.氫原子一級(jí)Stark效應(yīng)（1）Stark效應(yīng)氫原子在外電場(chǎng)作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為Stark效應(yīng)。我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫(kù)侖場(chǎng)作用，造成第n個(gè)能級(jí)有n2度簡(jiǎn)并。但是當(dāng)加入外電場(chǎng)后，由于勢(shì)場(chǎng)對(duì)稱性受到破壞，能級(jí)發(fā)生分裂，簡(jiǎn)并部分被消除。Stark效應(yīng)可以用簡(jiǎn)并情況下的微擾理論予以解釋。（2）外電場(chǎng)下氫原子Hamilton量取外電場(chǎng)沿z正向。通常外電場(chǎng)強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度小得多，例如,強(qiáng)電場(chǎng)≈107伏/米，而原子內(nèi)部電場(chǎng)≈1011

伏/米，二者相差4個(gè)量級(jí)。所以我們可以把外電場(chǎng)的影響作為微擾處理。（二）實(shí)例（3）H0的本征值和本征函數(shù)下面我們只討論n=2的情況，這時(shí)簡(jiǎn)并度n2=4。屬于該能級(jí)的4個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)是：（4）求H’在各態(tài)中的矩陣元由簡(jiǎn)并微擾理論知,求解久期方程,須先計(jì)算出微擾Hamilton量H’在以上各態(tài)的矩陣元。我們碰到角積分<Yl'm'|cosθ|Ylm>需要利用如下公式：于是:欲使上式不為0，由球諧函數(shù)正交歸一性要求量子數(shù)必須滿足如下條件：僅當(dāng)Δ

=±1,Δm=0時(shí)，H’的矩陣元才不為0。因此矩陣元中只有H’12,H’21不等于0。因?yàn)樗裕?）能量一級(jí)修正將H’的矩陣元代入久期方程：解得4個(gè)根：由此可見，在外場(chǎng)作用下，原來(lái)4度簡(jiǎn)并的能級(jí)E2(0)在一級(jí)修正下，被分裂成3條能級(jí)，簡(jiǎn)并部分消除。當(dāng)躍遷發(fā)生時(shí)，原來(lái)的一條譜線就變成了3條譜線。其頻率一條與原來(lái)相同，另外兩條中一條稍高于一條稍低于原來(lái)頻率。（6）求0級(jí)近似波函數(shù)分別將E2(1)的4個(gè)值代入方程組：得四元一次線性方程組E2(1)=E21

(1)=3eεa0

代入上面方程，得：所以相應(yīng)于能級(jí)E2(0)+3eεa0的0級(jí)近似波函數(shù)是：E2(1)=E22(1)=-3eεa0

代入上面方程，得：所以相應(yīng)于能級(jí)E(0)2-3eεa0的0級(jí)近似波函數(shù)是：E2(1)=E23(1)=E24(1)=0，代入上面方程，得：因此相應(yīng)與E2(0)的0級(jí)近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成：我們不妨仍取原來(lái)的0級(jí)波函數(shù)，即令：（7）討論上述結(jié)果表明，若氫原子處于0級(jí)近似態(tài)ψ1(0),ψ2(0),ψ3(0),ψ4(0),那末，氫原子就好象具有了大小為3ea0的永久電偶極矩一般。對(duì)于處在ψ1(0),ψ2(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場(chǎng)方向平行和反平行；而對(duì)于處在ψ3(0),ψ4(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場(chǎng)方向垂直。例2.有一粒子，其Hamilton量的矩陣形式為：H=H0+H’， 其中求能級(jí)的一級(jí)近似和波函數(shù)的0級(jí)近似。解：H0的本征值問題是三重簡(jiǎn)并的，這是一個(gè)簡(jiǎn)并微擾問題。E(1)[(E(1))2-α2]=0解得：E(1)=0,±α.記為：E1(1)=-αE2(1)=0E3(1)=+α故能級(jí)一級(jí)近似：簡(jiǎn)并完全消除(1)求本征能量由久期方程|H’-E(1)I|=0得：(2)求解0級(jí)近似波函數(shù)將E1(1)=–α代入方程，得：由歸一化條件：則將E2(1)=0代入方程，得：則由歸一化條件：（1）新0級(jí)波函數(shù)的正交歸一性1.正交性取復(fù)共厄改記求和指標(biāo)，

，

（三）討論對(duì)應(yīng)于En

=En(0)+En

(1)和En

=En(0)+E