2022年九年級中考數(shù)學(xué)：幾何探究壓軸題專題突破訓(xùn)練

2022年九年級中考數(shù)學(xué)：幾何探究壓軸題專題突破訓(xùn)練

1.如圖，△48C為等邊三角形，。為AC邊上一點，連接8。，何為8。的中點，連接

AM.

(1)如圖1,若AB=26+2,ZABD=45°,求“IW的面積；

⑵如圖2,過點M作MN_LAM與4C交于點E,與的延長線交于點M求證：AD

=CN；

(3)如圖3,在(2)的條件下，將△4W沿AM翻折得歹連接叫N,當(dāng)6N取得

BN-DF

最小值時，直接寫出工的值.

MN

2.RQ4BC中，NACB=90。，AC=BC=6,動點P從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒

1個單位長度的速度向點C作勻速運動，到達(dá)點。停止運動.設(shè)運動時間為f秒

圖1

(1)如圖1,過點P作尸D_LAC,交A8于。，若△PBC與△必。的面積和是△ABC的

面積的(，求I的值；

(2)點Q在射線PC上，且PQ=2AP,以線段PQ為邊向上作正方形PQNM.在運動

過程中，若設(shè)正方形PQVM與△ABC重疊部分的面積為8,求,的值.

3.【證明體驗】

(I)如圖①，在“1BC和△ADE中，^BAC=^DAE,AB=AC,AO=AE,連接30,CE.

求證：BD=CE；

(2)【思考探究】如圖②，在①的條件下，若A6=4,BC=3,ZABD=90°,BD=DE,

求CE的長；

(3)【拓展延伸】如圖③，在四邊形488中，AB=AC,8c=4,8=8,80=10,

ZBAC=2ZADC,求r的值.

4.如圖1,己知矩形48CQ的邊長A8=3cm,BC=6cm.某一時刻，動點M從點A出

發(fā)，沿A8以lcm/s的速度向點B勻速運動：同時點N從點。出發(fā)，沿D4方向以2cm/s

(1)若“1MN是等腰直角三角形，貝"=(直接寫出結(jié)果).

⑵是否存在時刻/,使以A、M、N為頂點的三角形與AACO相似？若存在，求/的值,

若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,連接CN、CM,試求CV+2CW的最小值.

5.已知21A8C、都是等邊三角形，將ZAQE繞點A旋轉(zhuǎn).

⑴如圖1,當(dāng)點以。、E三點在同一直線上時，且/4BO=15。，AB=6,求AE的長;

(2)如圖2,連接CE并延長交AB于點M,N為。8延長線上一點，連接AN、BD,AN

與8。相交于點G,若G為AN的中點，求證：AM二BN；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若AB=6,AE=5,在zMOE旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)CM+MN

取得最小值時，把/A8O沿翻折，得zlAAZ九直線B少與CM交于點P,請直接寫

出線段O'P的長.

6.如圖1,在RGABC中，NC=90。，邊人C=6,BC=8,點A/、N分別在線段AC、BC

上，將△ABC沿直線MN翻折，點C的對應(yīng)點是點C

圖1圖2

(1)當(dāng)"、N分別是邊AC、BC的中點時，求出CC的長度;

⑵若CN=2,點(7到線段AB的最短距離是

⑶如圖2,當(dāng)點C在落在邊48上時,

①點C'運動的路程長度是一：

②當(dāng)AM書時，求出CN的長度.

7.在汝△ABC中，NABC=90。，A8=3,BC=4,點P是射線BC上的動點，連結(jié)AP,

將^A8P沿著AP翻折得到4ADP.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,當(dāng)點。在AC上時，求AAB尸的面積.

(2)如圖2,連結(jié)B。，CD,AC與。尸相交于點M,AP與8。相交于點N,當(dāng)NBOC=

90。時，求。M:PM的值.

(3)如圖3,在CO左側(cè)構(gòu)造一個矩形CQER使得CD:OE=1:2,當(dāng)點E、〃中有一點

落在直線48上時，求3P的長.

8.(1)如圖1,在等腰直角三角形4BC中，NC=90。，點O為A8的中點，點M為4C

上一點，將射線OM繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90。交BC于點N,則OM與ON的數(shù)量關(guān)系為

(2)如圖2,在等腰三角形ABC中，120。，點。為48的中點，點M為4C上一

點，將射線?！袄@點。順時針旋轉(zhuǎn)60。交BC于點M則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是否改

變，請說明理由：

(3)如圖3,點。為正方形ABC。對角線的交點，點P為。。的中點，點M為直線

上一點，將射線OM繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。交直線48于點N,若力8=4,當(dāng)APMN的

面積為冷時，直接寫出線段8N的長.

9.已知。是等腰直角ZiAbC所在平面上的任意點，ZBAC=90",連接D4并延K到

點E,使得AE=04.連接BD,CD,以DB,OC為鄰邊作平行四邊形DBFC,連接EF.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當(dāng)點。在AABC的直角角平分線上時，石尸與8c的位置關(guān)系為,數(shù)量

關(guān)系為;

⑵如圖2,當(dāng)點。不在N8AC?的平分線上時，(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成

立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請說明理由；

DC

(3)將A。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/ACO=15。，NBR7=90。時，請直接寫出F的值.

AB

10.菱形ABC。的對角線交于點0.

(1)如圖1,過菱形48co的頂點A作AE_L8C于點E,交0B于點“，若A8=AC=6,

求四邊形O〃EC的面積；

(2)如圖2,過菱形48C。的頂點A作A/_L4>,且">=八尸，線段花交0B于點“，交

BC于息E,若。、C、尸三點共線，求證：OH+OC=^BH；

2

(3)如圖3,菱形A8CO中，ZABC=45^48=6,點P為射線AO上一動點，連接8/，

將8P繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60到B。，連接4Q,直接寫出線段4Q的最小值.

11.如圖，和々WE是等邊三角形，連接BE,BD,CD,EC.

⑴如圖1,若Z/SC=30°,若他=7,EC=9,求殖的長度;

⑵如圖2,點5在AADE內(nèi)，點廠是AO的中點，連接5F、BE、BD,若且

BE=2BF.求證：BE工EC；

(3)如圖3,的邊6c=6且過。點，&《=2如，%是直線45上一動點，連接。乂

將沿。N翻折得到AOMV,當(dāng)AH最大時，過“作A”的垂線，M是垂線上一動

點，連接MA,將線段MA繞點〃逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段MP,連接PH,直接寫出

PH的最小值.

12.如圖1矩形48C。中，點E是8邊上的動點（點E不與點C,Z）重合），連接AE,

過點A作A尸_LAE交CB延長線于點尸，連接"，點G為“'的中點，連接3G.

圖2

⑴求證：△ADESAMF；

（2）若A8=20,AO=10設(shè)。石=X點6到直線3C的距離為V.

①求y與X的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)F笠C=看?4時，X的值為______:

oG13

（3）如圖2,若AB=BC,設(shè)四邊形A3CO的面積為S,四邊形BCEG的面積為、當(dāng)

S1=1s時，DE：OC的值為______

4

13.AABC中，3。_LAC于點。，點P為射線80上任一點（點B除外）連接針，將

線段E4繞點尸順時針方向旋轉(zhuǎn)。，a=ZABC,得到PE,連接CE.

⑴觀察發(fā)現(xiàn):

如圖1,當(dāng)BA=BC,且N44C=60。時，3P與CE的數(shù)量關(guān)系是；BC與CE

的位置關(guān)系是;

(2)猜想證明：

如圖2,當(dāng)84=8C,且NABC=90°時，請寫出與CE的數(shù)量關(guān)系及BC與CE的位

置關(guān)系，并說明理由.

(3)拓展探究：

在(2)的條件下，若力8=8,AP=5式，請直接寫出CE的長

14.如圖，等腰直角△A3C中，AB=AC,ABAC=90°,過點A作A尸〃8C,連接CP

交A8于點0,連接8P.

⑴如圖1,若NBOP=75。,8c=66+6,求線段OC的長；

(2)如圖2,K為BC中點,連接AK,并延長至Q,使AP=AQ,連接CQ.若PB=PO,

求證：OC=6OP；

(3)如圖3,若AQ=BC,點O,E在AC邊上，連接OD,OE,且N4OO=g/AEO,點

G為AP邊上一個動點，連接。G,將AAOG沿OG翻折，得到△HOG,點”是線段

8尸的中點，連接A77,以A"為斜邊向左側(cè)作等腰直角直角邊所在直線

交PC于點N,連接PM,若。0=2折，0E=17,當(dāng)線段PM有最小值時，請直接寫

出與四邊形AG0E的面積之比.

15.定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這

樣的圖形稱為“直角等鄰對補''四邊形，簡稱"直等補'’四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列

問題：

(1)如圖1,正方形A8C。中，E是CO上的點，將&5CE繞8點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，

此時點E的對應(yīng)點E在D4的延長線上，則四邊形8EO尸為“直等補”四邊形，為什么？

⑵如圖2,已知四邊形A5co是直等補”四邊形，AB=BC=5,CD=lfAD>ABt點8到

直線AD的距離為BE.

①求6E的長.

②若M、N分別是48、A。邊上的動點，求AMNC周長的最小值.

16.在21ABe中，AB=ACfN8AC=90。，點。，E分別是4C,8c的中點，點P是直

線。石上一點，連接AP,將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PM,連接AM,CM.

(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖(1),當(dāng)點P與點。重合時，線段CM與PE的數(shù)量關(guān)系是，4cM=

Q）探究證明

當(dāng)點P在射線EO上運動時（不與點七重合），（1）中結(jié)論是否一定成立？請僅就圖（2）

中的情形給出證明.

（3）問題解決

連接PC當(dāng)△PCM是等邊三角形時，請直接寫出A餐C的值.

17.如圖，在中，NB4C=9O。，ZABC=30°,點。是平面內(nèi)一動點（不與

點C重合），連接C。，將線段C。繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段。￡（點E不與點

8重合），連接BE.取CO的中點P,連接4P.

（1）如圖（1）,當(dāng)點E落在線段AC上時,

②直線AP與直線8E相交所成的較小角的度數(shù)為.請給予證明.

（2）如圖（2）,當(dāng)點E落在平面內(nèi)其他位置時，（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？若成

立，請就圖（2）的情形給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）若4c=6,CP=3,當(dāng)點8,E在同一條直線上時，請直線寫出線段4尸的長.

18.已知：在正方形ABC。中，點E是邊48上點，點G在邊4。上，連接EG,EG=

DG,作EF_LEG,交邊8。于點尸(圖1).

(1)求證：AE+CF=EF；

(2)連接正方形A8CD的對角線AC,連接。尸，線段AC與線段。尸相交于點K(圖2),

探究線段AE、A。、AK之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論；

⑶在(2)的條件下，連接線段DE與線段4c相交于點P,(圖3)若AK=8a.ABEF

的周長為24,求PK的長.

19.已知，B。是菱形ABCZ)的對角線，AOE尸是直角三角形,NED尸=90。，/DEF=

(1)當(dāng)NA=90。時，

①如圖1,若AOEF的頂點E落在線段CO上時，請直接寫出線段CG與線段8尸的數(shù)量

關(guān)系：

②如圖2,當(dāng)AOE尸的頂點E落在線段8。上時，①中線段CG與線段8”的數(shù)量關(guān)系是

否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由.

同學(xué)們經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路：

思路一：連接AC,記A與5。用交于點O,AC與5k相交于點M,再利用三角形全等

或相似的有關(guān)知識來解決問題.

思路二：記AD與EF交于點H,易知”是E尸的中點，連接C",將ACOH繞點C順時

針旋轉(zhuǎn)90。，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等或相似的有關(guān)知識來解決問題.請參考上

述思路，完成該問題的解答過程(一種方法即可)

(2)當(dāng)NA=120。時，如圖3,若ADE廣的頂點E落在線段CO上時，請直接寫出線段CG

與線段BF的數(shù)量關(guān)系.

20.在AABC中，AB=AC,ZBAC=\20°,點F在線段AC上，連接BF,延長CA至

點。，連接8。，滿足NABF=/ABO,"是線段BC上一動點(不與點8、。重合)，

連接DH交BF于點E,交力8于點G.

(1)如圖①，若NABF=NFBC,BD=2,求OC的長；

(2)如圖②，若NCDH+NBFD=；/DEF,猜想AD與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的

結(jié)論：

(3)如圖③，在(1)的條件下，P是ABCD內(nèi)一點,連接4P,DP,滿足N3PO=150。，

是否存在點P、H，使得2PH+CH最?。咳舸嬖?請直接寫出2PH+CH的最小值.

參考答案:

1.

(1)

解:如解圖1,過點。作。H_LAB,

■:ZABD=45°t

，BH=HD,

???在△ABC為等邊三角形中，N5AC=60。，

tanZfiAC=—=>/3,

AH

:?HD=+AH,

???AB=BH+AH=6AH+AH，

又?.,4B=26+2,

???x/3AH+AH=2y/3+2,

/.AH=2,

:,HD=SAH=20

：.S^ABD=1AB?HD=；(26+2)X26=6+26'

?.?M為80的中點，

S△刖=；S^&BDg0+2a=3+75：

(2)

如解圖2,過點A作AGJ.8C,委足為G,連接MG,

???△ABC為等邊三角形，

:,BG=GC,

?:BM=DM,

，MG//AC,

"GM=ZACB=60°,

，ZAGM=ZAGB-ZBGM=90°-60°=30°,

又AGJ,3C,

：.ZAMN=ZAGN=90°,

?"、M、G、N四點共圓，

AZAMW=Z4GA/=3O°,

???ZA^W=90°-ZAW=60°,

又：MP=AM,AM工MN,

:,AN=PN,

又???NM4N=60。，

???△APN為等邊三角形，AP=AN,

???N8AC=NR4N=60。，

:.NBAP+NPAC=ZPAC+ZCAN,

/.ZBAP=ZCW,

如解圖2,延長AM到P,使MP=AM,連接尸M

?:BM=DM,ZAMD=ZPMB,

AAAMD^APMB(SAS)

:,AD=BP,

在△84。和△CAN中，

AB=AC

<NBAP=/CAN,

AP=AN

?'.△BAPSCAN(SAS)

:?BP=CN,

：.AD=CN；

(3)

取4c的中點Q,連接8Q,取BO的中點K,連接KM,

■:將^A8M沿AM翻折得△AB'M.,

工ZfiAM=NMAE,Aff=AB=AC,

XVZBAM=ZCAN,

：.^MAB'=NCAN,

:,AMAN-NCAN=^MAN-AMAB^即：ZM4C=ZM4B\

又,：4ANM=3$,AQ=-AC=-AB\

22

,AMAQI

??"—,

ANAB12

:.△AMQ?△AMT,

:.B'N=2MQ,

又?：BM=MD,BK=KQ,

/.KM//。。，

又TAB=BC,

：.BQlACf

???BQtKM,

：.KQ<MQ,當(dāng)M點與K點重合時，MQ取最小值，此時&N=2M。取最小值,

，。點與Q點重合，即。為AC的中點時，？N取最小值，如解圖3-2；

設(shè)AD=a,

AABC是等邊三角形，。點是AC的中點，

:,ZADM=NMDE=90。,ZABD=30°

:?BD=?i,AB=BC=2a,

:,MD，BD=2(I,

22

，MN=AMtan/MAN=—,

22

VZM4￡=ZZ>W，ZAME=ZADM=90Q,

:.AAME-^ADM,

..MDDE

?而一麗’

3

/.DE=-a,

4

?：CN=AD=a,

3

.BN-DEBC+CN-DE3后

??MN-MN一^一14

-----a

B'

解圖3-1解圖3-2

(1)???RQ4BC中，N4CB=90。，AC=BC=6,

ASZJABC=^X6X6=18,

f：AP=t,CP=6-6

.,?△P4C與△以。的面積和=g"gx6x(6-/),

,:叢PBC與4以。的面積和是△48C的面積的］,

?*.-1^+yx6x(6-?)=18x§,

解之，得。=2,々=4；

(2)*：AP=t,PQ=2AP,

???PQ=2f,

①如圖1,當(dāng)OW吐2時，S=（2D2-；產(chǎn)=,產(chǎn)=8,

解得：幣，i2=-±近（不合題意，舍去），

77

②如圖2,當(dāng)2W也3時，S=；x6x6-；（6-202=\2t--^=8,

2225

4

解得：〃=4（不合題意，舍去），f2=］（不合題意，舍去），

③如圖3,當(dāng)3066時，s=-x6X6-^=8,

22

解得："=26，n=-26（不合題意，舍去），

3.

證明：如圖①中,

VZBAC=ZZME,

:.ZBAD=ZCAE,

在△84)和VC4E中,

AB=AC

<NBAD=ZCAE,

AD=AE

絲△C4E(5AS),

BD=CE；

⑵

^BAC=ZDAE,

:ABACS

.ABAD_4

'~BC~'DE~3

???可以假設(shè)AE=AO=4匕DE=3k,

?:BD=DE=3k,ZABD=9^

?*-AD2=AB2+BD2

，/.（4k）2=42+（3k）2

解得，2=生自（負(fù)根已經(jīng)舍去）,

7

.__12^

??BDDn—3Q/k--------

7

?：CE=BD

7

⑶

解：如圖③中，-AB=AC,

「?將△A8O繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG,連接。G,則5O=CG=10,

???ZBAC=ZDAG

'：AB=AC,AD=AG

???NABC=NACB=ZADG=NAGD

AABCs^AOG,

---=----,NABC=NADG

ADDG

*.*2ZABC+NBAC=180°

，^ABC+-^BAC=90(

2

VZADC=-ZBAC

2

:.NCDG=ZADC+/ADG=90°

???DG=JCG2-Of「JlO^二6

.ABBC42

9，~AD~~DG~~6~3

4.

(1)

,/NM4N=90。，

，若AAMN是等腰直角三角形時，只有AM=4V.

根據(jù)題意可知AW=，，DN=2t,則4V=4)-DV=6-2/,

/.f=6—2/,

解得r=2,

故答案為：2.

(2)

ZAWV=ZA￡>C=90o,

???以4、M、N為頂點的三角形與zMC。相似分為兩種情況，

①當(dāng)△ACD-A/VMA時，有線=黑，即裳~=3，

ANAM6-2/t

解得：rg

②當(dāng)VC4D:VNM4時，有爺=黑，即"Jr，

AMANt6-2r

解得：/=￡12.

當(dāng)1=31或r=不12時，以A、M、N為頂點的三角形與△ACO相似；

(3)

如圖，取CN中點E,作E點關(guān)于CD的對稱點E,連接C￡.作M點關(guān)于BC的對稱點

連接C”，EM'.

根據(jù)作圖可知CE=CE,CM'=CMt

CN+2cM=2(CE+CAf)=2c+CM'),

，當(dāng)CE+CM'最小時CV+2CW最小，

VCE+CM，NEM，,

:.C￡+C”的最小值為￡”的長，即CV+2cM的最小值為2的長.

如圖，連接并延長，交CD于點、F,A4于點G.

V作E點關(guān)于CD的對稱點￡,

:?EFHAD,EF=EF.

又二石為中點，

:?EF=EF=：DN=i,G為A8中點，

13

/.E,G=E,F+AD=t+6,8G=一AG二二.

22

???作M點關(guān)于BC的對稱點M',

：.BM1=BM=AB-AM=3-(,

39

:.GM,=BG+BM,=-+3-t=--t.

22

在RNEGM，中，￡AT=4E,G1+GM,2=^J(6+t)2+(^-t)2=小2(/+扣+手,

Vr>0,2>0

???f=0時，,2(/+1)2+等最小，即￡時，=j2x(》2+*=’.

:?CN+2cM=2EM'='5.

5.

⑴

解:過點M作如圖,

A

E

???△88。和4ADE都是等邊三角形

JZACB=ZABC=ZAED=60°

*/ZABD=15°

ZA/BC=45°

設(shè)CN=xt則CM=2x,MN=6X,

:,BN=&,BM=&

?：BC=AB=6

：.BN+CN=j3x+x=6

?；NACB=NAEM=60。,NAME=NBMC

???△AMES^BMC

.AE_AM

??茄=~BM

即絲=6-2k3(出-1)

6-76x3(73-1)

***AE=3\/2—>/6

(2)

過點A作A////8C,如圖,

HA

VAH//BC

：.ZN=ZHAN

又,：NG=AG,4AGH=/NGB

:?△NGBW4AGH(ASA)

:?BN=AH

■:NDAE=NBAC=60。

：.ZDAB=ZEAC

y,*：AD=AE,AB=AC

???△AECdAOB(SAS)

AZACM=ZABH

?:AHHBN

：.ZHAB=ZAfiC=ZBAC=60°

又???AC=48

，△ACM也△48〃

：.AH=AM

:?AM=BN

(3)

過點M作M〃〃AC,如圖,

A

VMH//AC

，NMaB=NACB=60。

,:N4BG60。

???△MBH是等邊二角形

：.MH=MB=BHZABN=ZMHC=[20°

*：AB=BC

：.AM=CH

,:AM=BN

:,CH=BN

:?CM=MN

???當(dāng)CM_LAB時，CM+M22cM最小

在等邊△ABC中，CM_LAB,AB=6,

：.ZACE=30°,AM=MB=3,MC=30

在AAME中，ME=，仍_力,=’52—32=4

**?EC=3y—4

VZBAC=ZDAE=60°

：.ZDAB=ZCAE

^*：AD=AE,AB=AC

：./\AEC^/^ABD

???』A8O沿AB翻折，ABD'

,ZMBP=ZACE=30°,BD=EC=3應(yīng)-4

在RtAMBP中，MP=6,BP=23

:."P=BP-BD』2瓜飛瓜一止4-應(yīng)

6.

(I)

解：如圖，設(shè)MN交CC于0,

VAM=CM,CN=BN,

：.MN//AB,

?:MC=MC,NC=NC,

???MN垂直平分線段CC,

：.CCLAB,且點C落在48上，

在Rm48c中，

AB=>JAC2+BC2=10?

*：-ABxCC'=-ACxBC,

22

105

(2)

解：如圖，過點N作/VHJMB于從

?：NC=NC'=2,8c=8,

:.RN=BC-CN=8-2=6,

...NHAC

?sinZB=-----=------

BNAB

.HN6

??----=---

6109

；?NH=*

IOQ

???當(dāng)點C落在線段N”上時，點。到線段AB的距離最短，最短距離彳-2=丁

Q

故答案為：-

⑶

解：①如圖，當(dāng)N與B重合時，3。的值最大，最大值=BC=8,

如下圖，當(dāng)點M與A重合時，8。的值最小,

最小值三48-AC=A8-AC=10-6=4,

觀察圖形可知，當(dāng)點'C在落在邊AB上時，點C運動的路程長度=8-4=4,

故答案為：4；

②如下圖，過點M作于當(dāng)過點可作內(nèi)入LA8于尸，

34

設(shè)CN=x,則8N=8大7VF=-（8-x）,5F=-（8-x）,

???NA=NA,NAEM=ZACB=90°，

???△MEA也△BC4,

.AMAEEM

9~AB~~AC~~BC

36

/.11_AE_EM,

144108

ME=—AE=

55t55

30

?：MC=MC=6--=

11~T7

??.EC=dMCJME'-=J(臥償)42

55

.“go-理-絲」(8一卜竺，(8T),

55555V7115V7

FMEC

由AMECSAC'FN,可得丁

CFFN

14442

3?55

TI-I(8"X)鄒t)

解得：x=—,

經(jīng)檢驗，X=與是分式方程的解,

：,CN=—.

11

7.

⑴

由翻折可知，PD=PB,AD=AB=3fNAZ>P=NAB￡)=90°.

在R/AABC中，AC=VAB2+BC2=5?

：.CD=AC-AD=2.

設(shè)PD=PB=x,貝ijCP=4—x,

在RfACPD中,PC2=PD1+CD2，EP(4-X)2=X2+22,

3

解得：x=1,

3

???PD=PB=-,

2

1139

???^P=2^?=2X3X2=4?

(2)

由翻折可知BN=DN,

，BN=DN=-BD.

2

,:N3￡JC=90°,

:.APHDC,

:?ABNPfBDC,

.BPBN1BP1

>?---=----=—,即niI----=—

BCBD242

ABP=2,

，在心aABP中，AP=ylAB2+BP2=V32+22=5^3-

VAP//DC,

：.ZAPB=^BCD.

又VZABP=Z.BDC=90°,

/.AABPfBDC,

工”=空,即巫=2

BCCD4CD

.?_8V13

??CD=?

13

?:APHDC,

：.^CDMfAPM,

8V13

???DMCD="[5-二8；

~PM~~AP~V13~V3

(3)

分類討論：①當(dāng)點E在直線AB上時，如圖，過點。作8c的垂線，交BC于點M,延長OM

至點N,使EN_LZ)N.

由題意可知NC7)E=90。,

/.NCDM+ZEDN=90°.

ZCDiW+ZBCD=90°,

???4EDN=4BCD.

VsinZBCA=—=-

AC5

EN3

???sinZEDN=—

DE5

9：CD:DE=\:2,^DE=2CD,

.EN

g|JE/V=-CD.

'2CD55

由作圖可知E7V+MC=8M+MC=BC=4,

：.-CD+MC=4.

5

BC4

cosNDCM=cosZACB=-=-

AC5

?CM4

)?=—，

CD5

-CD+MC=4

5

即

CM4

CD-5

CD=2

解得:8,

CM

5

ADa

,/tanZBCA=—=-=tanNDCP,

BC4

.?3"D3

CD424

33

APD=-,即8P=2；

22

②當(dāng)點尸在直線AB上時，如圖，過點。作8c的垂線，交BC于點。，連接B。，設(shè)8。和

AP交于點0.

A

根據(jù)①同理可得NCDQ=NBCF.

VcosZBCF=—,8P4=CF-COSZBCF,cosZCD0=—

CFCD

???43組

CD

'：CF=2CD,

，4=2CO型，

CD

：.DQ=2.

設(shè)BP=y,

在汝△A3。中，AP=y/AB、Bp2=19+9,

BPy

?sinZBAP=—

?AP\/9+y2

BO=ABsinNBAO=ABsinZBAP=2

'9+y

?BD=2BO=,6y

?標(biāo).

?.?/8AP+N8以=90°,/尸30+N4PA=90。，

/BAP=NPBO,即NBAP=NQBD,

sin/.BAP=sinZ.QBD,

y-2

y_DQ

即匹了6y

??、/9+y2BD'

j9+y2

解得：y/?。?一當(dāng)（舍）

：,RP=也.

2

綜上可知的長為?；蝈?

22

8.

解：（1）結(jié)論：OM=ON.

如圖1中，

圖1

理由：連接。C.

?.?CA=CB,ZACB=90°,AO=OB,

CO=OA=OB.OCVAB,ZA=Z5=45°,ZBCO=ZACO=45°

:.ZAOC=AMON=9Q°,

:.ZAOM=ZCON,

仁NCON,

.?.△AOM%COMASA),

:.OM=ON.

故答案為：OM=ON.

(2)數(shù)量關(guān)系不變.

理由：如圖2中，過點O作OK_LAC于K,OJLBC于J,連接OC.

圖2

vZACB=120°,ZOKC=ZOJC=90°,

:.ZKOJ=(^°=ZMON,

?：CA=CB,OA=OB,

???。。平分/4。8,

,OK±CA,OJ±CB,

：.OK=OJ,

?：4OKM=/OJN=%。,

:.QKMROJN(AAS),

:.OM=ON.

(3)如圖3中，過點尸作PG_L4B于G,PH工BC于H.

圖3

丁四邊形ABC。是正方形，

AB=AD=4tZBAD=90°,

BD=y/2AB=4y/2，

..00=08=2夜，PO=OP=&，

:.PB=3叵,

丁四邊形PG8H是正方形，

：,PG=PH=3,

?.ZMON=NCOB=90。,

:.ZMOC=ZNOB,

?.0M=0N,0C=0B,

:.△MOCW^NOIKSAS),

:.CM=BN,設(shè)CM=BN=m,

_25_

S"MN2S&PBM+SdBMN-SeBN?

/.-(4+/n)-3+—?m?(4+/〃)-—?3=—,

2222

*,?整理得：/?2+4/77-13=0?

解得m=JI7-2或-舊-2（舍去），

.??8N=717-2.

當(dāng)點”在C8的延長線上時，同法可得BN=JT7+2.

綜上所述，滿足條件的助V的值為J萬-2或如+2.

圖1

解：如圖1,EF交BC于點G,

\*AB=AC,Ar平分/R4C,

：.EF±BCf

VZBAC=90°,

?"G-gBC-BG-CG,

2

???四邊形DBFC是平行四邊形，

:?FG=DG,

^AE=DA,

:.EF=AG^AE+FG=AG+DA+DG=AG+AG=-BC+-BC=BC,

22

故答案為：EFLBC,EF=BC.

(2)

解：成立,

E

圖2

證明：如圖2,EF交BC于點H,連接。F交BC于點G,連接AG,

???四邊形O8FC是平行四邊形，

：.GF=DG,BG=CG.

???AB=AC,

?"G"L8C,

.,.ZBAC=90°,

VAG=^BC,

：.AE=DA,

：.AG//EF,AG=-EF

2t

:?NEHB=NAGB=90。,^EF=^BC,

：.EFrBC,EF=BC.

(3)

解:如圖3,點。與點8在直線4c的異側(cè)，

VZACfl=ZABC=45°,ZACD=15°,

ZBCD=45°+15o=60°,

???四邊形D8FC是平行四邊形，且NBFC=90。，

/.ZBDC=ZBFC=90°,

.*.DC=fiC*cosZfiCD=BC*cos600=ifiC,

2

AB=BC?cosZABC=80cos45。=—BC,

2

DCQBCa

布二西］三；

----oC

2

如圖4,點。與點5在直線AC的同側(cè),

VZACB=ZABC=45°,ZACD=15°,

???N8CO=45。-15°=30°,

;四邊形。BFC是平行四邊形，且NBFC=90。,

???N8OC=NMC=90°,

:.DC=BC*cosZBCD=BC*cos30c=巫BC,

2

;A8=BC?cosNA8C=BC?cos450=也BC,

2

八廠—BCf7

DC2____V6

----oC

2

綜上所述,言的值釁釁.

圖3

圖4

10.

解：:四邊形ABC。是菱形

JAB=BC=CD=AD,AC與BD互相垂直平分

'：AB=AC

???△43C是等邊三角形

AZABC=ZACB=ZBAC=60°,AB=BC=AC=6

???NC8O=gN48C=30。,OC=AC=3

在RsBOC中，由勾股定理得

OB=VfiC2-OC-=V62-32=3g

■:AELBC

：,BE=^BC=3

設(shè)EH=x,則8〃=2盯

在R仙BEH中,由勾股定理得

BE2+EH2=BH2

即32+X2=(2X)2

解得工二百

:?EH=^

*,?§四邊形OHEC~SgOC~S&BEH

=-OB?OC--BE?EH

22

=-x35/3x3--x3x-^

22

=3>/3

???四邊形OHEC的面積是36

(2)

證明：9：AFA.AD,

JN陰0=90°

*：AD=AF

???△人。尸是等腰直角三角形

ZADC=ZF=45°

???四邊形A8CO是菱形

:.ZABC=ZADC=45°AD=CD=AB=BCAC垂直平分BDAD//BC

：.ZCAD=ZACD=^(180°-Z/1DC)=67.5°ZABC=ZADC=45°

JZCAF=ZMD-N040=22.5°,ZAEC=ZAEB=90°

???△ABE是等腰直角三角形

:,AE=BE

VZEBH+ZACE=ZEAC+ZACE=90°

/./EBH=/EAC

：./\REH^AAEC(ASA)

：.BH=AC

如圖4,連接C”，

二?AC垂直平分8力

工CH=AH

:.ZACH=ZCAF=22.5°

：.ZFHC=ZCAF+ZACT=45°

???△CEH是等腰直角三角形

設(shè)CE=EH=m,

在RQCEH中，

由勾股定理得AH=CH=ylcE2+EH2=42m

在Rt^ACE中，

AC2=BH2=CE2+AE2=m2+[(0+1)加]?=(4+2應(yīng))而

'：AO=-AC

2

AAO2=OC2=-AC2=-BH2=—(>/2+l)w2

442

???吟BH-OC)2=[(&-1)OC『=(&-IfOC2

=(72-I)2X—(V2+1)w2=—(x/2-1)w2

22

在RfZkAO”中，

Py

OH2=AH2-AO2=(x/2w)2--(V2+l)/n2=—(5/2-1)/n2

22

AOH=-BH-OC,即OH+OC=叵BH

22

(3)

解：如圖5,以A8為邊向下做等邊AABK,連接PK,在PK上取一點T,使得4代水,

:?NPBQ=/ABK=60。

J/ABQ=/PBK

,:BP=BQ,BK=BA,

???△ABQgaKB尸(SAS)

:.PK=AQ

當(dāng)KP_LA。時，線段KP有最小值，此時AQ有最小值,

;四邊形A8CO是菱形

J.AD//BC

VNABC=45。

AZBAC=135°

/.NDAK=/BAC—NBAK=75°

ZAPK=90°

???ZAKP=\50

*：AT=TK,

：.ZTAK=ZTKA=\5°

：.ZATP=Z7AK+ZTKA=30°

設(shè)AP=〃，AT=TK=2ci,

由勾股定理得PT=4AT2一AP2=Qa，

在R/A4PK中，AK=AB=6,PK=PT+TK=2。+扃

由勾股定理得AK2=AP2+PK2

/?62=a2+(2a+>/3a)2

解得”3(必⑶

2

PK=PT+TK=2。+&=3(?+業(yè)

2

???AQ的最小值為亞巫

2

II.

(1)

解：???△ABC和“IPE是等邊三角形，

..AC=AB,AE=AD,ZADE=Of,NEW=NC4B=60。

.-.ZEZX?=90°

vZ4Z)C=30o,AE=7,EC=9,

:.ED=AE=/

在RtACDE中,CDAEd-ED?=再-7?=40，

?.?ZE4D=ZC4B=60°

/.ZEAD+ZDAB=/DAB+ZAC

BPZCAD=Z5AE

.-.AEAB^AZMC

?EB=CD=4丘

圖1

(2)

解：如圖2,延長班'至G,使得F6=8產(chǎn)

圖2

?.?〃點是AO的中點，

:.FD=DA

???四邊形ABQG是平行四邊形

:.DB=AG

???△A8C和“IDE是等邊三角形，

CA=BA,EA=DA,ZCAB=ZE4D

ZCAB-ZEAB=ZEAD-ZEAB

NCAE=NBAD

..^CAE^^BAD

：.DB=AC

\DB=AG

:.AC=AG

?;BG=2BF,BE=2BF

:.BE=BG

在AEBC與AGB4中

DE-BG

BC=BA

EC=AG

：.AEBC注￡,GBA

ZAGB=/BEC

■.?四邊形48DG是平行四邊形，

?.DB//AG

??DBLBF

..AG±BG

:.ZAGB=90°

ZBEC=90°

即3E_LEC

(3)

解：???△ABC和“IPE是等邊三角形，

/.AC=AB,AE=AD,ZADE=(￡f,NEW=NC4B=60。，ZACB=60°

vZE4D=ZC4B=60°

/.NEAD+NDAB=ZDAB+ZAC

即NC4￡>=NH4E

???AEAB^AZMC

??ZACB=60°

..EB=DC,ZABE=Z4CD

設(shè)比）=2x,

如圖，延長砥至K,使得EK=BD=2x,連接心,CK,過點E作/_LKC于點S,AB與

KC交于點。，

..KB=BC=AB,ZABK=ZACB=60°

「.△ABK是等邊三角形

：.AK=KB=AB=BC=AC,ZAKB=6O°

，四邊形AK8C是菱形

NSKE」NAKB=30。

2

SE=—KE=—BD=x,KS=x/Ir

22

AC=AB=6

KC=2OC=24CxsinNBAC=6G

:.CS=6y/3-yf3x

在心ACSE中，CS=66-Gx,SE=x,CE=2曬

:.SC2+SE2=EC2

即(673-x/3x)2+/=(2炳丫

解得％=1,%2=T(舍)

..80=2

vN是直線AB上一動點，連接ON,將沿ON翻折得到△力”N,

DB=DH=2

點在以。為圓心，2為半徑的圓上，

\AH<AD+DH

.?.當(dāng)AD,"三點共線，且。在線段A"上時，A"最大，最大值為AH,如圖,

過點A作A7_LBC,

???△A8c是等邊三角形，AJLBC

:.BJ=^BC=3tAJ=ABsin60。=35

?.班）=2,

：.JD=\t

在中，AD=《AJ?+JD?=43埒+1=20

:.AH=AD+DH=2+2y/l

如圖，連接AP,延長AE至7,使得ET=O〃=2,連