2025年人教版七年級數(shù)學寒假預習 第03講 定義命題定理

第03講定義，命題，定理模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1.理解命題，定理及證明的概念，會區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論2.會判斷真假命題，知道證明的意義及必要性，了解反例的作用，通過討論、探究、交流等形式，使學生在辯論中獲得新知體驗1.命題定義：判斷一件事情的語句，叫做命題.組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項．表達形式：可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．2.真命題、假命題內(nèi)容舉例注意真命題如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題?對頂角不相等說明一個命題是真命題，需從已知出發(fā),經(jīng)過一步步推理，最后得出正確結(jié)論假命題命題中題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題?相等的角是對頂角判定一個命題是假命題，只要舉出一個例子(反例)，使它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可【注意】只要是對一件事情作出判斷的句子就是命題，與判斷的結(jié)果正確與否無關(guān)，命題一定是陳述句，但是陳述句不一定是命題，而祈使句和疑問句一定不是命題.如語句“對頂角相等”是一個命題，這里的事物是“對頂角”,對它的判斷是“相等”.又如語句“a的絕對值與b的絕對值”不是命題，這里沒有對事物進行任何判斷.3.公理、定理公理：如果一個命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.如：兩點之間線段最短.定理：如果一個命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理．【溫馨提示】1）公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據(jù)．2）由定理直接推出的結(jié)論，并且和定理一樣可作為進一步推理依據(jù)的真命題叫做推論．4.證明證明：從命題的題設(shè)出發(fā)，通過推理來判斷命題的結(jié)論是否成立的過穆叫做證明.【溫馨提示】1）一般地，要判定一個命題是真命題，必須加以證明，2）在證明過程中，推理的每一步都要合乎邏輯.考點一：判斷是否是命題1．（23-24七年級下·湖南湘西·期末）下列語句，不是命題的是（

）A．兩點之間線段最短 B．在同一個平面內(nèi)兩直線不平行就相交C．連接A，B兩點 D．對頂角相等2．（23-24七年級下·遼寧鞍山·期中）下面的語句中，哪個不是命題（

）A．任何一個三角形一定有一個角是直角B．對頂角相等C．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行D．過直線m外一點A作m的平行線QUOTE????AB3．（23-24七年級下·福建龍巖·期中）下列句子中，是命題的是（

）A．對頂角相等 B．a(chǎn)，b兩條直線平行嗎C．畫一個角等于已知角 D．過一點畫已知直線的垂線4．（23-24七年級下·山東東營·階段練習）下列句子，是命題的是（）A．今天的空氣好清新 B．QUOTE20212021年QUOTE66月QUOTE1717日，神舟十二號發(fā)射升空C．作一條長為QUOTE5cm5cm的線段 D．同旁內(nèi)角互補5．（20-21七年級下·全國·課后作業(yè)）下列句子：①爸爸你去哪兒呢?②舌尖上的中國；③中國好聲音是選秀節(jié)目；④邱波是喀山世錦賽十米跳臺的冠軍；⑤你不是調(diào)皮搗蛋的壞孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命題的有（只填序號）．6．（22-23七年級下·全國·假期作業(yè)）判斷下列語句是否是命題，如果是，改寫成“如果……那么……”的形式，并分別指出它們的題設(shè)和結(jié)論，同時判斷其真假（1）作直線AB的垂線．（2）相等的角是對頂角．（3）你喜歡數(shù)學嗎？（4）OC平分∠AOB．（5）兩直線平行，內(nèi)錯角相等．（6）同角的補角相等．考點二：寫出命題的題設(shè)與結(jié)論7．（20-21七年級下·全國·課后作業(yè)）把下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式：（1）內(nèi)錯角相等，兩直線平行．．（2）同角的補角相等．．8．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）把下列句子改寫成“如果……那么……”的形式，并回答題設(shè)是什么，結(jié)論是什么．(1)QUOTE和QUOTE互余；(2)兩個互補的角是鈍角；(3)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等．9．（23-24七年級下·陜西渭南·階段練習）請將下列命題改寫成“如果……那么……”的形式：(1)等角的補角相等；(2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行10．（23-24七年級下·河北滄州·階段練習）請指出下列命題的條件和結(jié)論，并判斷它們的真假．(1)如果兩個角是直角，那么這兩個角相等；(2)絕對值相等的兩個數(shù)相等；(3)兩個鈍角的和一定大于QUOTE．11．（22-23七年級下·河南駐馬店·期中）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個反例．(1)兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角；(2)內(nèi)錯角相等；(3)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．12．（20-21八年級上·全國·單元測試）把下列命題改寫成“如果…那么…”的形式．（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）同角的補角相等；（3）三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（4）等腰三角形的兩個底角相等．考點三：判斷命題的真假13．（21-22七年級下·北京延慶·期末）已知：在同一平面內(nèi)，三條直線a，b，c．下列四個命題為真命題的是．（填寫所有真命題的序號）①如果aQUOTEb，QUOTE，那么QUOTE；

②如果QUOTE，QUOTE，那么QUOTE；③如果aQUOTEb，cQUOTEb，那么aQUOTEc；

④如果QUOTE，QUOTE，那么bQUOTEc．14．（22-23七年級下·湖北武漢·期中）下列命題中：①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③若QUOTE的兩邊與QUOTE的兩邊分別平行，則QUOTE或QUOTE；④若QUOTE，則QUOTE．其中假命題的是（填寫序號）．15．（20-21七年級下·江蘇南京·階段練習）下列命題：①如果QUOTE????=????AC=BC，那么點QUOTE??C是線段QUOTE????AB的中點；②不相等的兩個角一定不是對頂角；③直角三角形的兩個銳角互余；④同位角相等；⑤兩點之間直線最短，其中是真命題的有．(填寫序號)16．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）下列四個命題：①對頂角相等；②同旁內(nèi)角互補；③鄰補角互補；④兩直線平行，同位角相等．其中是真命題的是（填序號）．17．（21-22七年級下·河北石家莊·期末）在長度為QUOTE22、QUOTE55、QUOTE66、QUOTE88的四條線段中，任取三條線段，可構(gòu)成個不同的三角形；如圖，有下列三個條件：①Q(mào)UOTE；②QUOTE；③QUOTE．若從這三個條件中任選兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論，組成一個命題，一共能組成個真命題．

18．（22-23七年級下·河北邢臺·階段練習）命題：同位角相等(1)請將上述命題改寫：“如果······，那么·····”，并指出這個命題的條件與結(jié)論；(2)判斷這個命題是真命題還是假命題．19．（23-24七年級下·江西新余·階段練習）如圖，①Q(mào)UOTE，②QUOTE????BE平分QUOTE，③QUOTE，④QUOTE????DE平分QUOTE．(1)若以②③④為條件，①為結(jié)論組成一個命題，則這個命題是_______（“真”或“假”）命題；(2)證明（1）中的結(jié)論．考點四：舉例說明真假命題20．（2024·北京東城·二模）當QUOTE??=a=，QUOTE??=b=時，可以說明“若QUOTE??>??a>b，則QUOTE??2>??2a2>b2”是假命題（寫出一組QUOTE??a，QUOTE??b的值即可）．21．（23-24七年級下·河南駐馬店·階段練習）命題“如果QUOTE??2=??2x2=y2，那么QUOTE??=??x=y”是22．（23-24七年級下·江蘇泰州·期中）能說明命題“若QUOTE??>??a>b，則QUOTE??2>??2a2>b2”是假命題的一個反例可以是：QUOTE??=3a=3，QUOTE??=b=（請你填一個符合要求的QUOTE??b值）23．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）對于命題“若QUOTE??2>??2a2>b2，則QUOTE??>??a>b”，下面四組a，b的值中，能說明這個命題是假命題的是①Q(mào)UOTE；

②QUOTE；③QUOTE；

④QUOTE．24．（23-24七年級下·山西大同·開學考試）（1）判斷下列語句是不是命題，若是，寫成“如果……那么……”的形式，并判斷其是真命題還是假命題．①同位角相等，兩直線平行；②延長QUOTE????BA到點C；③同角的補角相等．（2）舉反例說明下列命題是假命題：①相等的角是同位角；②大于QUOTE的角為鈍角．QUOTE25．（23-24七年級下·陜西渭南·階段練習）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出個反例．(1)兩個角的和等于直角時，這兩個角互為余角；(2)同旁內(nèi)角互補．26．（2023七年級下·江蘇·專題練習）判斷下列語句是否是命題，若是，寫成“如果…那么…”的形式，并判斷其是真命題還是假命題．(1)同位角相等，兩直線平行；(2)延長QUOTE????BA到點QUOTE??C；(3)同角的補角相等；(4)平方后等于QUOTE11的數(shù)是QUOTE11．27．（22-23七年級下·河北保定·階段練習）將下列命題改寫成“如果…，那么…”的形式，并判斷它們是真命題還是假命題，若是假命題，請舉出反例．(1)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零；(2)同旁內(nèi)角互補；(3)等角的余角相等．QUOTE考點五：定理與證明28．（22-23七年級下·河北滄州·階段練習）“過平面上兩點，有且只有一條直線”屬于（

）A．定義 B．定理 C．基本事實 D．以上答案都不對29．（20-21八年級上·浙江寧波·期中）下列語句中，是定義的是（

）A．兩點確定一條直線 B．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線C．三角形的角平分線是一條線段 D．同角的余角相等30．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）下列說法不正確的是（）A．證實命題正確與否的推理過程叫做證明B．定理是命題，而且是真命題C．“對頂角相等”是命題，但不是定理D．要證明一個命題是假命題只要舉出一個反例即可31．（23-24七年級下·湖北黃石·階段練習）“同位角相等，兩直線平行”是（）A．公理 B．定理 C．定義 D．待證的命題考點六：寫出一個命題的已知、求證及證明過程32．（22-23七年級下·河北石家莊·階段練習）試說明“若QUOTE，QUOTE，QUOTE，則QUOTE”是真命題．以下是排亂的推理過程：①因為QUOTE（已知）；②因為QUOTE，QUOTE（已知）；③所以QUOTE，QUOTE（等式的性質(zhì)）；④所以QUOTE（等量代換）；⑤所以QUOTE（等量代換）．正確的順序是(

)A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④33．（21-22八年級上·廣西梧州·階段練習）如圖，點QUOTE??D在QUOTE????AB上，直線QUOTE????DG交QUOTE????AF于點QUOTE??E．請從①Q(mào)UOTE，②QUOTE????AF平分QUOTE，③QUOTE中任選兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，構(gòu)造一個真命題，并求證．已知：______，求證：______．（只須填寫序號）證明：QUOTE考點七：已知證明過程填寫理論依據(jù)34．（20-21八年級上·廣西百色·期中）補充完成下列證明過程，并填上推理的依據(jù)．已知：如圖，QUOTE．求證：QUOTE????ABQUOTE////QUOTE????CD．證明：延長QUOTE????BE交QUOTE????CD于點QUOTE??F，則QUOTE．（

）又∵QUOTE，∴QUOTE_______，（等量代換）∴QUOTE????ABQUOTE////QUOTE????CD．（

）

QUOTE????35．（23-24七年級下·江蘇宿遷·階段練習）補全下列推理過程：如圖，QUOTE，QUOTE，QUOTE，試說明QUOTE．解：∵QUOTE，QUOTE，（已知），∴QUOTE（垂直的定義），∴QUOTE（____________）．∴QUOTE（____________）．∵QUOTE（已知），∴____________（等量代換）．∴QUOTE（____________）．36．（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）補全下列推理過程：如圖，已知QUOTE，QUOTE，試說明：QUOTE，解：∵QUOTE（已知）QUOTE（______）QUOTE（已知）QUOTE（______）QUOTE（______）QUOTE（______）QUOTE（______）QUOTE37．（21-22七年級下·山東濟寧·期中）推理填空：如圖，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．求證：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．證明：∵∠B＝∠CGF（已知），∴ABQUOTECD（）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CDQUOTEEF（）．∴ABQUOTEEF（）．∴∠B＋∠F＝180°（）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（）．考點八：根據(jù)給出的論斷組命題并證明38．（22-23七年級下·吉林·階段練習）如圖，在三角形QUOTE??????ABC中，點QUOTE??D在邊QUOTE????BC的延長線上，射線QUOTE????CE在QUOTE鈭燚????????????鈭燚CAodod的內(nèi)部．給出下列信息：①Q(mào)UOTE；②QUOTE????CE平分QUOTE鈭燚????????????鈭燚CAodod；③QUOTE．請選擇其中的兩條信息作為條件，余下的一條信息作為結(jié)論組成一個真命題，并說明理由．39．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，給出三個論斷：①Q(mào)UOTE；②QUOTE；③QUOTE，試回答下列問題：(1)請用其中的兩個論斷作為條件，另一個作為結(jié)論，寫出所有的真命題（用序號寫出命題，如：如果*，*，那么*）．(2)選擇（1）中你寫出的任一命題，說明它的正確性．40．（21-22七年級下·江蘇泰州·期末）如圖，已知直線QUOTE????鈭??????????EF鈭ododH，給出下列信息：①Q(mào)UOTE????鈯??????????AC鈯ododC；②QUOTE????BC平分QUOTE鈭燚????????????鈭燚CHodod；③QUOTE．(1)請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個真命題，你選擇的條件是，結(jié)論是(只要填寫序號)，并說明理由．(2)在（1）的條件下，若QUOTE鈭燗????????????鈭燗CGodod比QUOTE鈭燘????????????鈭燘CHodod的QUOTE22倍少Q(mào)UOTE33度，求QUOTE鈭燚????????????鈭燚ACodod的度數(shù)．QUOTE59擄1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）下列四個命題：①相等的角是對頂角；②QUOTE(?4)2(?4)2的平方根是QUOTE?4?4；③經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；④同旁內(nèi)角互補；⑤有理數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；其中真命題的個數(shù)是（

）.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2024七年級上·全國·專題練習）有下列說法：①在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、垂直三種；②平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；④同角或等角的補角相等.其中正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個QUOTEB3．（2025七年級下·全國·專題練習）能說明命題“對于任何有理數(shù)QUOTE??a，QUOTE??>???a>?a”是假命題的一個反例可以是（

）A．QUOTE??=?2a=?2 B．QUOTE??=13a=13 C．QUOTE??=1a=1 D．QUOTE??=3.14a=3.144．（2025七年級下·全國·專題練習）給出下列命題：①數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應(yīng)；②同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行；③兩點之間，線段最短．其中是假命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2025七年級下·全國·專題練習）下列命題的逆命題是真命題的是（

）A．如果兩個角是直角，那么它們相等 B．若QUOTE??2>??2a2>b2，則QUOTE??>??C．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 D．對頂角相等6.（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）下列命題中真命題的個數(shù)是（

）①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；②對頂角相等；③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④從直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離；⑤在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（23-24八年級下·重慶南岸·期中）對于命題“如果QUOTE，那么QUOTE”，能說明它是假命題的反例是（

）A．QUOTE B．QUOTEC．QUOTE D．QUOTEQUOTE8．（2025七年級下·全國·專題練習）命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角相等”是（填“真”或“假”）命題．9．（23-24七年級下·全國·單元測試）（1）兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．（2）垂直于同一直線的兩條直線平行．（3）一個角的余角一定小于這個角的補角．（4）如果QUOTE和QUOTE互余，QUOTE與QUOTE的余角互補，那么QUOTE和QUOTE互補．（5）兩個無理數(shù)相加一定是無理數(shù)．（6）實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)．其中是假命題的是．10．（23-24七年級下·甘肅金昌·期中）把命題“兩直線平行，同位角相等”改寫成“如果…那么…”的形式：如果，那么．11．（23-24七年級下·北京·階段練習）對于命題“若QUOTE??>??a>b，則QUOTE??2>??2a2>b2”，舉出能說明這個命題是假命題的一組a，b的值，則QUOTE??=a=，QUOTE??=b=．12．（23-24七年級下·湖北黃岡·期中）“兩條直線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行”這是一個命題．（填“真”、“假”）13．（23-24七年級下·吉林松原·期末）下列命題是真命題的個數(shù)為．①對頂角相等；②若QUOTE，QUOTE，則QUOTE；③同位角相等；④互補的兩個角是鄰補角．14．（2025七年級下·全國·專題練習）已知命題“對頂角相等”．(1)此命題是真命題還是假命題？如果是真命題．請給予說明；如果是假命題，請舉出反例．(2)寫出此命題的逆命題，并判斷逆命題的真假．如果是真命題，請給予說明；如果是假命題，請舉出反例．15．（23-24七年級下·全國·階段練習）如圖，有三個論斷：①Q(mào)UOTE；②QUOTE；③QUOTE????鈭??????????AB鈭ododD．(1)請你從中任選兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論，寫出所有的命題，并指出這些命題是真命題還是假命題；(2)選擇（QUOTE11）中的一個真命題加以證明．16．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，①Q(mào)UOTE，②QUOTE????BE平分QUOTE鈭燗????????????鈭燗BDodod，③QUOTE????DE平分QUOTE鈭燘????????????鈭燘DCodod，④QUOTE．(1)若以①②③為條件，④為結(jié)論組成一個命題，則這個命題是________（“真”或“假”）命題；(2)若（1）為真命題，證明（1）中的結(jié)論：若（1）為假命題，請舉出反例．17．（23-24七年級下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）探究：如圖①，②，QUOTE鈭燗????????????鈭燗BCodod與QUOTE鈭燛????????????鈭燛DFodod，QUOTE????BC與QUOTE????ED交于點QUOTE??H，這兩個角的兩邊分別平行，即QUOTE．(1)分別猜想圖①，圖②中QUOTE鈭燗????????????鈭燗BCodod與QUOTE鈭燛????????????鈭燛DFodod的大小關(guān)系，并給予證明；(2)一般地，本題“探究”的命題是真命題，請把這個命題寫成“如果……，那么……”的形式．18．（23-24七年級下·河北邯鄲·階段練習）已知命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”．(1)寫出該命題的題設(shè)和結(jié)論，并將其改寫成“如果……那么……”的形式；(2)嘉淇想證明該命題，下面是她的解題過程，請將其補全，并在括號內(nèi)填上推理的根據(jù)．如圖，已知直線QUOTE????鈭??????????AB鈭ododD，直線QUOTE????EF截QUOTE????AB，QUOTE????CD于點M，N．求證QUOTE鈭燗????????????+鈭燗MNodod+QUOTE=180擄????=180擄dd．證明：∵QUOTE????鈭??????????AB鈭ododD（已知），∴QUOTE（）．∵QUOTE鈭燗????????????+鈭燗MEodod+QUOTE=180擄????=180擄dd（平角的定義），∴QUOTE鈭燗????????????+鈭燗MNodod+QUOTE=180擄????=180擄dd（）．

第03講定義，命題，定理模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1.理解命題，定理及證明的概念，會區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論2.會判斷真假命題，知道證明的意義及必要性，了解反例的作用，通過討論、探究、交流等形式，使學生在辯論中獲得新知體驗1.命題定義：判斷一件事情的語句，叫做命題.組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項．表達形式：可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．2.真命題、假命題內(nèi)容舉例注意真命題如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題?對頂角不相等說明一個命題是真命題，需從已知出發(fā),經(jīng)過一步步推理，最后得出正確結(jié)論假命題命題中題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題?相等的角是對頂角判定一個命題是假命題，只要舉出一個例子(反例)，使它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可【注意】只要是對一件事情作出判斷的句子就是命題，與判斷的結(jié)果正確與否無關(guān)，命題一定是陳述句，但是陳述句不一定是命題，而祈使句和疑問句一定不是命題.如語句“對頂角相等”是一個命題，這里的事物是“對頂角”,對它的判斷是“相等”.又如語句“a的絕對值與b的絕對值”不是命題，這里沒有對事物進行任何判斷.3.公理、定理公理：如果一個命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.如：兩點之間線段最短.定理：如果一個命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理．【溫馨提示】1）公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據(jù)．2）由定理直接推出的結(jié)論，并且和定理一樣可作為進一步推理依據(jù)的真命題叫做推論．4.證明證明：從命題的題設(shè)出發(fā)，通過推理來判斷命題的結(jié)論是否成立的過穆叫做證明.【溫馨提示】1）一般地，要判定一個命題是真命題，必須加以證明，2）在證明過程中，推理的每一步都要合乎邏輯.考點一：判斷是否是命題1．（23-24七年級下·湖南湘西·期末）下列語句，不是命題的是（

）A．兩點之間線段最短 B．在同一個平面內(nèi)兩直線不平行就相交C．連接A，B兩點 D．對頂角相等【答案】C【分析】本題考查了命題：判斷一件事情的語句叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題．命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的．根據(jù)命題的定義對各選項進行判斷即可．【詳解】解：A．兩點之間線段最短，是命題；B．在同一個平面內(nèi)兩直線不平行就相交，是命題；C．連接A，B兩點，為描述性語言，不是命題；D．對頂角相等，是命題．故選：C．2．（23-24七年級下·遼寧鞍山·期中）下面的語句中，哪個不是命題（

）A．任何一個三角形一定有一個角是直角B．對頂角相等C．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行D．過直線m外一點A作m的平行線QUOTEABAB【答案】D【分析】本題考查了命題的定義，根據(jù)判斷一件事情的語句，叫做命題，命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由題設(shè)事項推出的事項，逐一判斷即可．【詳解】解：A、如果一個圖形是三角形，那么一定有一個角是直角，是一個假命題，故不符合題意；B、如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等，是一個真命題，故不符合題意；C、如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，是一個真命題，故不符合題意；D、過直線m外一點A作m的平行線QUOTEABAB，這不是命題，故符合題意；故選：D．3．（23-24七年級下·福建龍巖·期中）下列句子中，是命題的是（

）A．對頂角相等 B．a(chǎn)，b兩條直線平行嗎C．畫一個角等于已知角 D．過一點畫已知直線的垂線【答案】A【分析】本題考查了命題的定義：一般的，在數(shù)學中我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．分析是否是命題，需要分別分析各選項是否是用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句即可．【詳解】解：A、對頂角相等，符合命題的概念，故本選項符合題意；B、a，b兩條直線平行嗎，是問句，未做判斷，故本選項不符合題意；C、畫一個角等于已知角，不符合命題的概念，故本選項不符合題意，D、過一點畫已知直線的垂線，不符合命題的概念，故本選項不符合題意；故選A．4．（23-24七年級下·山東東營·階段練習）下列句子，是命題的是（）A．今天的空氣好清新 B．QUOTE20212021年QUOTE66月QUOTE1717日，神舟十二號發(fā)射升空C．作一條長為QUOTE5cm5cm的線段 D．同旁內(nèi)角互補【答案】D【分析】本題考查命題的判斷，熟知命題的定義：判斷一件事情的句子叫做命題，數(shù)學中的命題常可以寫成：如果…，那么…，據(jù)此逐項判斷即可．【詳解】解：A、今天的空氣好清新，沒有作出判斷，不是命題，不符合題意；B、QUOTE20212021年QUOTE66月QUOTE1717日，神舟十二號發(fā)射升空，沒有作出判斷，不是命題，不符合題意；C、作一條長為QUOTE5cm5cm的線段，沒有作出判斷，不是命題，不符合題意；D、同旁內(nèi)角互補，作出判斷，是命題，符合題意；故選：D．5．（20-21七年級下·全國·課后作業(yè)）下列句子：①爸爸你去哪兒呢?②舌尖上的中國；③中國好聲音是選秀節(jié)目；④邱波是喀山世錦賽十米跳臺的冠軍；⑤你不是調(diào)皮搗蛋的壞孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命題的有（只填序號）．【答案】③④⑤【分析】直接根據(jù)命題的定義進行判斷．【詳解】①是疑問句，沒有判斷；②沒有對事情作出判斷；⑥是祈使句，不含判斷的意思；只有③④⑤是對某一件事情作出判斷的語句．故答案為：③④⑤．【點睛】本題考查命題的判斷，熟練掌握命題是對一件事情作出判斷的語句是解題的關(guān)鍵．6．（22-23七年級下·全國·假期作業(yè)）判斷下列語句是否是命題，如果是，改寫成“如果……那么……”的形式，并分別指出它們的題設(shè)和結(jié)論，同時判斷其真假（1）作直線AB的垂線．（2）相等的角是對頂角．（3）你喜歡數(shù)學嗎？（4）OC平分∠AOB．（5）兩直線平行，內(nèi)錯角相等．（6）同角的補角相等．【答案】（1）是作圖語言，不符合命題的定義，不是命題；（2）是命題；如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角；題設(shè)是兩個角相等；結(jié)論是這兩個角是對頂角；此命題是假命題；（3）表示疑問的句子，沒有對事情做出判斷，所以此語句不是命題；（4）陳述了一個事情，沒有做出判斷，不是命題；（5）是命題；如果兩平行線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯角相等；題設(shè)是兩平行線被第三條直線所截，結(jié)論是內(nèi)錯角相等；此命題是真命題；（6）是命題；如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等；題設(shè)是兩個角是同一個角的補角，結(jié)論是這兩個角相等；此命題是真命題．【分析】判斷語句是否為命題要緊扣兩條：（1）命題必須是一個完整的陳述句；（2）必須對某件事情做出肯定或否定的判斷．這二者缺一不可．【詳解】（1）是作圖語言，不符合命題的定義，不是命題；（2）是命題；改寫：如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角；題設(shè)：兩個角相等；結(jié)論：這兩個角是對頂角；此命題是假命題；（3）表示疑問的句子，沒有對事情做出判斷，所以此語句不是命題；（4）陳述了一個事情，沒有做出判斷，不是命題；（5）是命題改寫：如果兩平行線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯角相等；題設(shè)：兩平行線被第三條直線所截；結(jié)論：內(nèi)錯角相等；此命題是真命題；（6）是命題改寫：如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等；題設(shè)：兩個角是同一個角的補角；結(jié)論：這兩個角相等；此命題是真命題．【點睛】本題考查了命題的概念，判斷語句是否為命題的兩個條件是做題的關(guān)鍵．考點二：寫出命題的題設(shè)與結(jié)論7．（20-21七年級下·全國·課后作業(yè)）把下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式：（1）內(nèi)錯角相等，兩直線平行．．（2）同角的補角相等．．【答案】如果兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線互相平行如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等【分析】找出原命題的條件和結(jié)論即可得出答案．【詳解】（1）“兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等”是命題的條件，“這兩條直線互相平行”是條件的結(jié)論．（2）“兩個角是同一個角的補角”是命題的條件，“這兩個角相等”是條件的結(jié)論．故答案為：（1）如果兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線互相平行．（2）如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等．【點睛】本題主要考查了將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論，比較簡單．8．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）把下列句子改寫成“如果……那么……”的形式，并回答題設(shè)是什么，結(jié)論是什么．(1)QUOTE和QUOTE互余；(2)兩個互補的角是鈍角；(3)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等．【答案】(1)如果QUOTE，那么QUOTE和QUOTE互余；題設(shè)是QUOTE，結(jié)論是QUOTE和QUOTE互余(2)如果兩個角互補，那么這兩個角是針角；題設(shè)是兩個角互補，結(jié)論是這兩個角是鈍角(3)如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個數(shù)的絕對值相等；題設(shè)是兩個數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)論是這兩個數(shù)的絕對值相等【分析】本題主要考查命題，熟練掌握命題的形式是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意找出題設(shè)和結(jié)論即可求解；（2）根據(jù)題意找出題設(shè)和結(jié)論即可求解；（3）根據(jù)題意找出題設(shè)和結(jié)論即可求解【詳解】（1）解：如果QUOTE，那么QUOTE和QUOTE互余；題設(shè)是QUOTE，結(jié)論是QUOTE和QUOTE互余．（2）如果兩個角互補，那么這兩個角是針角；題設(shè)是兩個角互補，結(jié)論是這兩個角是鈍角．（3）如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個數(shù)的絕對值相等；題設(shè)是兩個數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)論是這兩個數(shù)的絕對值相等．9．（23-24七年級下·陜西渭南·階段練習）請將下列命題改寫成“如果……那么……”的形式：(1)等角的補角相等；(2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行【答案】(1)如果兩個角是相等的角的補角，那么這兩個角相等（或如果兩個角相等，那么這兩個角的補角相等）(2)如果在同一平面內(nèi)，兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行【分析】本題主要考查了將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論，比較簡單．根據(jù)命題的概念解答即可．【詳解】（1）如果兩個角是相等的角的補角，那么這兩個角相等（或如果兩個角相等，那么這兩個角的補角相等）；（2）如果在同一平面內(nèi)，兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．10．（23-24七年級下·河北滄州·階段練習）請指出下列命題的條件和結(jié)論，并判斷它們的真假．(1)如果兩個角是直角，那么這兩個角相等；(2)絕對值相等的兩個數(shù)相等；(3)兩個鈍角的和一定大于QUOTE．【答案】(1)條件：兩個角是直角；結(jié)論：這兩個角相等；真命題(2)條件：兩個數(shù)絕對值相等；結(jié)論：這兩個數(shù)相等；假命題(3)條件：兩個角是鈍角；結(jié)論：這兩個角的和一定大于QUOTE；真命題【分析】本題考查命題的真假性，熟知相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，寫出條件和結(jié)論，再進行判斷真假即可；（2）根據(jù)題意，寫出條件和結(jié)論，再進行判斷真假即可；（3）根據(jù)題意，寫出條件和結(jié)論，再進行判斷真假即可．【詳解】（1）解：條件：兩個角是直角；結(jié)論：這兩個角相等；直角為QUOTE，故原命題是真命題；（2）解：條件：兩個數(shù)絕對值相等；結(jié)論：這兩個數(shù)相等；絕對值相等的兩個數(shù)，還可以互為相反數(shù)，不一定相等，故原命題是假命題；（3）解：條件：兩個角是鈍角；結(jié)論：這兩個角的和一定大于QUOTE；鈍角大于QUOTE，故兩個鈍角的和一定大于QUOTE，故原命題是真命題．11．（22-23七年級下·河南駐馬店·期中）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個反例．(1)兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角；(2)內(nèi)錯角相等；(3)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．【答案】(1)題設(shè)：如果兩個角的和等于平角時，結(jié)論：那么這兩個角互為補角；是真命題(2)題設(shè)：如果兩個角是內(nèi)錯角，結(jié)論：這兩個角相等；是假命題，舉反例見解析；(3)題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么同旁內(nèi)角互補．是真命題【分析】（1）如果引出的部分就是命題的題設(shè)，那么引出的部分就是命題的結(jié)論，題設(shè)成立，結(jié)論也成立命題是真命題，否則是假命題，據(jù)此結(jié)合補角的定義判定即可；（2）兩直線平行，內(nèi)錯角才相等，畫出不平行的直線形成的內(nèi)錯角即可；（3）利用平行線的性質(zhì)判定即可；【詳解】（1）解：題設(shè)：如果兩個角的和等于平角時，結(jié)論：那么這兩個角互為補角；是真命題；（2）解：題設(shè)：如果兩個角是內(nèi)錯角，結(jié)論：這兩個角相等；是假命題，如圖QUOTE與QUOTE是內(nèi)錯角，QUOTE；

（3）解：題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么同旁內(nèi)角互補．是真命題．【點睛】本題考查了命題，掌握命題的概念和真假命題的判定方法是解題的關(guān)鍵．12．（20-21八年級上·全國·單元測試）把下列命題改寫成“如果…那么…”的形式．（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）同角的補角相等；（3）三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（4）等腰三角形的兩個底角相等．【答案】（1）如果兩直線平行，那么內(nèi)錯角相等；（2）如果兩個角是同角的補角，那么在兩個角相等；（3）如果兩個三角形三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；（4）如果一個三角形是等腰三角形，那么它的兩個底角相等．【分析】根據(jù)如果后面是題設(shè)，那么后面是結(jié)論把各個命題寫成“如果…那么…”的形式．【詳解】解：（1）如果兩直線平行，那么內(nèi)錯角相等；（2）如果兩個角是同角的補角，那么在兩個角相等；（3）如果兩個三角形三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；（4）如果一個三角形是等腰三角形，那么它的兩個底角相等．【點睛】本題考查將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解題關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論．考點三：判斷命題的真假13．（21-22七年級下·北京延慶·期末）已知：在同一平面內(nèi)，三條直線a，b，c．下列四個命題為真命題的是．（填寫所有真命題的序號）①如果aQUOTEb，QUOTE，那么QUOTE；

②如果QUOTE，QUOTE，那么QUOTE；③如果aQUOTEb，cQUOTEb，那么aQUOTEc；

④如果QUOTE，QUOTE，那么bQUOTEc．【答案】①③④【分析】分別根據(jù)每種情況畫出符合條件的圖形，再結(jié)合垂直的定義，平行線的判定逐一判斷即可．【詳解】解：如圖，aQUOTEb，QUOTE，則QUOTE，故①符合題意；如圖，QUOTE，QUOTE，則QUOTE故②不符合題意；④符合題意；如圖，aQUOTEb，cQUOTEb，則aQUOTEc；故③符合題意；故答案為：①③④【點睛】本題考查的是平面內(nèi)直線與直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，命題真假的判斷，掌握“平行公理，平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行”是解本題的關(guān)鍵．14．（22-23七年級下·湖北武漢·期中）下列命題中：①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③若QUOTE的兩邊與QUOTE的兩邊分別平行，則QUOTE或QUOTE；④若QUOTE，則QUOTE．其中假命題的是（填寫序號）．【答案】①②【分析】逐個判斷各個命題的真假即可．【詳解】解：①兩條平行，同位角相等，故①為假命題，符合題意；②過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；故②為假命題，符合題意；③若QUOTE鈭?=40擄,鈭?鈭?=40擄,鈭?的兩邊與QUOTE的兩邊分別平行，如圖：則QUOTE或QUOTE；故③為真命題，不符合題意；④若QUOTE，則QUOTE，故④為真命題，不符合題意；綜上：假命題有①②，故答案為：①②．【點睛】本題主要考查了判斷命題的真假，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)．15．（20-21七年級下·江蘇南京·階段練習）下列命題：①如果QUOTEAC=BCAC=BC，那么點QUOTECC是線段QUOTEABAB的中點；②不相等的兩個角一定不是對頂角；③直角三角形的兩個銳角互余；④同位角相等；⑤兩點之間直線最短，其中是真命題的有．(填寫序號)【答案】②③/③②【分析】利用線段中點的定義、對頂角的定義、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及線段的性質(zhì)分別判斷后，即可確定正確的選項．【詳解】解：①如果QUOTEAC=BCAC=BC，那么點QUOTECC是線段QUOTEABAB的中點，或點QUOTECC在線段QUOTEABAB的垂直平分線上，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；②不相等的兩個角一定不是對頂角，正確，是真命題，符合題意；③直角三角形的兩個銳角互余，正確，是真命題，符合題意；④兩直線平行，同位角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；⑤兩點之間線段最短，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意，真命題有②③．故答案為：②③．【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解線段中點的定義、對頂角的定義、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及線段的性質(zhì)等知識，難度不大．16．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）下列四個命題：①對頂角相等；②同旁內(nèi)角互補；③鄰補角互補；④兩直線平行，同位角相等．其中是真命題的是（填序號）．【答案】①③④【解析】略17．（21-22七年級下·河北石家莊·期末）在長度為QUOTE22、QUOTE55、QUOTE66、QUOTE88的四條線段中，任取三條線段，可構(gòu)成個不同的三角形；如圖，有下列三個條件：①Q(mào)UOTE；②QUOTE；③QUOTE．若從這三個條件中任選兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論，組成一個命題，一共能組成個真命題．

【答案】QUOTE22QUOTE33【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到能組成三角形的個數(shù)；根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷第一個和第二個命題，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義及平行線的判定可判斷第三個命題．【詳解】解：∵從長度分別為QUOTE22、QUOTE55、QUOTE66、QUOTE88的四條線段中任取三條，一共有四種情況：①Q(mào)UOTE22、QUOTE55、QUOTE66，因為QUOTE2+5>62+5>6，則此三條線段能構(gòu)成三角形；②QUOTE22、QUOTE55、QUOTE88，因為QUOTE2+5<82+5<8，則此三條線段不能構(gòu)成三角形；③QUOTE22、QUOTE66、QUOTE88，因為QUOTE2+6=82+6=8，則此三條線段不能構(gòu)成三角形；④QUOTE55、QUOTE66、QUOTE88，因為QUOTE5+6>85+6>8，則此三條線段能構(gòu)成三角形；∴能組成不同三角形的有：QUOTE22、QUOTE55、QUOTE66；QUOTE55、QUOTE66、QUOTE88，共兩種情況，故答案為：QUOTE22；在條件①Q(mào)UOTE；②QUOTE；③QUOTE任選兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論，組成一個命題，一共能組成三個命題：第一個：如果QUOTE，QUOTE，那么QUOTE；∵QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，則該命題是真命題；第二個：如果QUOTE，QUOTE，那么QUOTE；∵QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，則該命題是真命題；第三個：如果QUOTE，QUOTE，那么QUOTE；∵QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，則該命題是真命題；∴一共能組成QUOTE33個真命題，故答案為：QUOTE33．【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，命題的定義和真命題的定義，平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．掌握命題的定義，三角形的三邊關(guān)系及平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（22-23七年級下·河北邢臺·階段練習）命題：同位角相等(1)請將上述命題改寫：“如果······，那么·····”，并指出這個命題的條件與結(jié)論；(2)判斷這個命題是真命題還是假命題．【答案】(1)如果兩個角是同位角，那么這兩個角相等；條件是：兩個角是同位角，結(jié)論是：這兩個角相等；(2)假命題【分析】（1）根據(jù)如果后面為條件，那么后面為結(jié)論，進行改寫即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】（1）解：如果兩個角是同位角，那么這兩個角相等；條件是：兩個角是同位角，結(jié)論是這兩個角相等；（2）解：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，所以此命題為假命題．【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷，命題條件，結(jié)論的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，同位角相等．19．（23-24七年級下·江西新余·階段練習）如圖，①Q(mào)UOTE，②QUOTEBEBE平分QUOTE，③QUOTE，④QUOTEDEDE平分QUOTE．(1)若以②③④為條件，①為結(jié)論組成一個命題，則這個命題是_______（“真”或“假”）命題；(2)證明（1）中的結(jié)論．【答案】(1)真(2)證明見解析【分析】本題主要考查了判斷命題真假，平行線的判定，角平分線的定義：（1）由角平分線的定義得到QUOTE，再根據(jù)已知條件可證明QUOTE，即可證明QUOTE，據(jù)此可得結(jié)論；（2）同（1）證明即可．【詳解】（1）解：當以②③④為條件，①為結(jié)論組成一個命題時，∵QUOTEBEBE平分QUOTE，QUOTEDEDE平分QUOTE∴QUOTE，又∵QUOTE鈭?+鈭?=90擄鈭?+鈭?=90擄∴QUOTE，∴QUOTE；∴以②③④為條件，①為結(jié)論組成一個命題，這個命題是真命題；故答案為：真；（2）證明：∵QUOTEBEBE平分QUOTE，QUOTEDEDE平分QUOTE∴QUOTE又∵QUOTE鈭?+鈭?=90擄鈭?+鈭?=90擄，∴QUOTE，∴QUOTE．考點四：舉例說明真假命題20．（2024·北京東城·二模）當QUOTEa=a=，QUOTEb=b=時，可以說明“若QUOTEa>ba>b，則QUOTEa2>b2a2>b2”是假命題（寫出一組QUOTEaa，QUOTEbb的值即可）．【答案】QUOTE11（答案不唯一）QUOTE?2?2（答案不唯一）【分析】本題考查了舉例說明命題的真假，由當QUOTEa=1a=1，QUOTEb=?2b=?2時，得出QUOTEa>ba>b，但QUOTEa2=1a2=1，QUOTEb2=4b2=4，即QUOTEa2<b2a2<b2，即可得解．【詳解】解：當QUOTEa=1a=1，QUOTEb=?2b=?2時，QUOTEa>ba>b，但QUOTEa2=1a2=1，QUOTEb2=4b2=4，即QUOTEa2<b2a2<b2，故當QUOTEa=1a=1，QUOTEb=?2b=?2時，可以說明“若QUOTEa>ba>b，則QUOTEa2>b2a2>b2”是假命題，故答案為：QUOTE11，QUOTE?2?2（答案不唯一）．21．（23-24七年級下·河南駐馬店·階段練習）命題“如果QUOTEx2=y2x2=y2，那么QUOTEx=yx=y”是【答案】假【分析】本題考查了命題的真假，如果能找出一個反例，就能證明是假命題，即可作答．【詳解】解：∵QUOTE?22=4=22?22=4=22，滿足QUOTEx但QUOTE，與QUOTEx=yx=y相矛盾∴“如果QUOTEx2=y2x2=y2，那么QUOTEx=y故答案為：假22．（23-24七年級下·江蘇泰州·期中）能說明命題“若QUOTEa>ba>b，則QUOTEa2>b2a2>b2”是假命題的一個反例可以是：QUOTEa=3a=3，QUOTEb=b=（請你填一個符合要求的QUOTEbb值）【答案】QUOTE?4?4（答案不唯一）【分析】本題考查了命題與定理，熟記：要判斷一個命題是假命題，舉出一個反例即可．作為反例，要滿足條件但不能得到結(jié)論，然后根據(jù)這個要求求解即可．【詳解】解：當QUOTEa=3a=3，QUOTEb=?4b=?4時，有QUOTEa>ba>b，但QUOTEa2<b2a2<b故答案為：QUOTEa=3a=3，QUOTEb=?4b=?4．23．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）對于命題“若QUOTEa2>b2a2>b2，則QUOTEa>ba>b”，下面四組a，b的值中，能說明這個命題是假命題的是①Q(mào)UOTE；

②QUOTE；③QUOTE；

④QUOTE．【答案】②【分析】本題考查了舉例說明假（真）命題，將四組a，b的值代入命題進行驗證即可求解．【詳解】解：①Q(mào)UOTE，滿足QUOTEa2>b2a2>b2，QUOTEa>ba>b，不能說明命題是假命題．

②QUOTE，滿足QUOTEa2>b2a2>b2，但不滿足QUOTEa>ba>b，能說明命題是假命題．③QUOTE，滿足QUOTEa2>b2a2>b2，QUOTEa>ba>b，不能說明命題是假命題．④QUOTE，不滿足QUOTEa2>b2a2>b2，不能說明命題是假命題．故答案為：②．24．（23-24七年級下·山西大同·開學考試）（1）判斷下列語句是不是命題，若是，寫成“如果……那么……”的形式，并判斷其是真命題還是假命題．①同位角相等，兩直線平行；②延長QUOTEBABA到點C；③同角的補角相等．（2）舉反例說明下列命題是假命題：①相等的角是同位角；②大于QUOTE的角為鈍角．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】本題考查了命題：（1）先判斷命題的真假，若是真命題，寫成“如果……那么……”的形式；（2）根據(jù)每個命題寫出反例即可．【詳解】解：（1）①是命題、且是真命題，寫成“如果……那么……”的形式為：如果兩條直線被第三條直線所截得的同位角相等，那么這兩條直線平行．②不是命題．③是命題，且是真命題，寫成“如果……那么……”的形式為：如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等．（2）①反例：對頂角相等，但不是同位角．②反例：QUOTE的角不是鈍角．25．（23-24七年級下·陜西渭南·階段練習）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出個反例．(1)兩個角的和等于直角時，這兩個角互為余角；(2)同旁內(nèi)角互補．【答案】(1)題設(shè)：兩個角的和等于直角時，結(jié)論：這兩個角互為余角．這個命題是真命題(2)題設(shè)：兩個角是同旁內(nèi)角，結(jié)論：這兩個角互補，這個命題是假命題；詳見解析【分析】本題主要考查了將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論，比較簡單．（1）根據(jù)命題的概念解答即可；（2）根據(jù)命題的概念解答即可．【詳解】（1）題設(shè)：兩個角的和等于直角時，結(jié)論：這兩個角互為余角．這個命題是真命題．（2）題設(shè)：兩個角是同旁內(nèi)角，結(jié)論：這兩個角互補，這個命題是假命題．反例：如圖中QUOTE與QUOTE是同旁內(nèi)角，QUOTE，26．（2023七年級下·江蘇·專題練習）判斷下列語句是否是命題，若是，寫成“如果…那么…”的形式，并判斷其是真命題還是假命題．(1)同位角相等，兩直線平行；(2)延長QUOTEBABA到點QUOTECC；(3)同角的補角相等；(4)平方后等于QUOTE11的數(shù)是QUOTE11．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】（1）根據(jù)命題的定義和平行線的判定方法進行判斷；（2）根據(jù)命題的定義進行判斷；（3）根據(jù)命題的定義和補角的定義進行判斷；（4）根據(jù)命題的定義得到平方后等于QUOTE11的數(shù)是QUOTE11是命題，然后利用QUOTE?1?1的平方等于QUOTE11判斷它為假命題．【詳解】（1）解：同位角相等，兩直線平行是真命題，寫成“如果…那么…”的形式為：如果兩直線被第三條直線所截，同位角相等，那么這兩直線平行；（2）延長QUOTEBABA到點QUOTECC不是命題；（3）同角的補角相等是真命題；寫成“如果…那么…”的形式為∶如果兩個角都是同一個角的補角，那么這兩個角相等；（4）∵QUOTE12=112=1，QUOTE?12=1?12∴平方后等于QUOTE11的數(shù)是QUOTE11是假命題，寫成“如果…那么…”的形式為：如果一個數(shù)的平方等于QUOTE11，那么這個數(shù)為QUOTE11．【點睛】本題考查命題：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題．掌握命題的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．27．（22-23七年級下·河北保定·階段練習）將下列命題改寫成“如果…，那么…”的形式，并判斷它們是真命題還是假命題，若是假命題，請舉出反例．(1)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零；(2)同旁內(nèi)角互補；(3)等角的余角相等．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】分析題意，先找出各個命題的條件和結(jié)論，再根據(jù)如果+條件，那么+結(jié)論，即可進行改寫，再判斷真假．【詳解】（1）解：如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；是真命題；（2）如果兩個角是同旁內(nèi)角，那么它們互補；是假命題，反例：如圖，QUOTE和QUOTE是同旁內(nèi)角，但兩直線不平行，故QUOTE和QUOTE不互補；（3）如果兩個角相等，那么它們的余角也相等；是真命題．【點睛】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．考點五：定理與證明28．（22-23七年級下·河北滄州·階段練習）“過平面上兩點，有且只有一條直線”屬于（

）A．定義 B．定理 C．基本事實 D．以上答案都不對【答案】C【分析】根據(jù)定義、定理、基本事實的概念判斷即可．【詳解】“過平面上兩點，有且只有一條直線”屬于基本事實．故選：C．【點睛】本題主要考查定義、定理、基本事實的區(qū)分，牢記定義、定理、基本事實的概念是解題的關(guān)鍵．29．（20-21八年級上·浙江寧波·期中）下列語句中，是定義的是（

）A．兩點確定一條直線 B．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線C．三角形的角平分線是一條線段 D．同角的余角相等【答案】B【分析】任何定義都由被定義項、定義項和定義聯(lián)項三部分組成。被定義項是需要明確的概念，定義項是用來明確被定義項的概念，定義聯(lián)項則是用來聯(lián)接被定義項和定義項的按定義三項進行排查即可．【詳解】A.兩點確定一條直線是畫圖語句不是定義，B.在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線是定義，平行線是被定義項，不相交的兩條直線是定義項，叫做是定義聯(lián)項，C.三角形的角平分線是一條線段說明角平分線的形狀不是定義，D.同角的余角相等是定理不是定義．故選擇：B．【點睛】本題考查定義問題，掌握定義是由三部分組成被定義項、定義項和定義聯(lián)項三，能區(qū)別語句中的定義，定理，作圖語句是解題關(guān)鍵．30．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）下列說法不正確的是（）A．證實命題正確與否的推理過程叫做證明B．定理是命題，而且是真命題C．“對頂角相等”是命題，但不是定理D．要證明一個命題是假命題只要舉出一個反例即可【答案】C【分析】本題考查了定理于命題的相關(guān)知識點，掌握命題，定理和證明的概念是關(guān)鍵.【詳解】解：證實命題正確與否的推理過程叫做證明，故A正確，不符合題意；定理是命題，而且是真命題，故B正確，不符合題意；對頂角相等”是命題，此命題是通過推理證實得出的真命題，所以它是定理，故C錯誤，符合題意；要證明一個命題是假命題只要舉出一個反例即可，故D正確，不符合題意；故選：C31．（23-24七年級下·湖北黃石·階段練習）“同位角相等，兩直線平行”是（）A．公理 B．定理 C．定義 D．待證的命題【答案】A【分析】本題考查的是命題和定理，根據(jù)公理的概念判斷即可．【詳解】解：“同位角相等，兩直線平行”是基本事實，是公理，故選：A．考點六：寫出一個命題的已知、求證及證明過程32．（22-23七年級下·河北石家莊·階段練習）試說明“若QUOTE，QUOTE，QUOTE，則QUOTE”是真命題．以下是排亂的推理過程：①因為QUOTE（已知）；②因為QUOTE，QUOTE（已知）；③所以QUOTE，QUOTE（等式的性質(zhì)）；④所以QUOTE（等量代換）；⑤所以QUOTE（等量代換）．正確的順序是(

)A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④【答案】C【分析】寫出正確的推理過程，進行排序即可．【詳解】證明：因為QUOTE，QUOTE（已知），所以QUOTE，QUOTE（等式的性質(zhì)）；因為QUOTE（已知），所以QUOTE（等量代換）．所以QUOTE（等量代換）．∴排序順序為：②→③→①→⑤→④．故選C．【點睛】本題考查推理過程．熟練掌握推理過程，是解題的關(guān)鍵．33．（21-22八年級上·廣西梧州·階段練習）如圖，點QUOTEDD在QUOTEABAB上，直線QUOTEDGDG交QUOTEAFAF于點QUOTEEE．請從①Q(mào)UOTE，②QUOTEAFAF平分QUOTE，③QUOTE中任選兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，構(gòu)造一個真命題，并求證．已知：______，求證：______．（只須填寫序號）證明：【答案】①②，③，證明見解析．（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得QUOTE，再由角平分線的性質(zhì)可得QUOTE，再利用等量代換可得QUOTEQUOTE【詳解】解：已知①②，求證∶③，證明∶∵QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTEAFAF平分QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE．故答案為∶①②；③．【點睛】此題主要考查了角平分線的定義、證明以及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等．考點七：已知證明過程填寫理論依據(jù)34．（20-21八年級上·廣西百色·期中）補充完成下列證明過程，并填上推理的依據(jù)．已知：如圖，QUOTE．求證：QUOTEABABQUOTE////QUOTECDCD．證明：延長QUOTEBEBE交QUOTECDCD于點QUOTEFF，則QUOTE．（

）又∵QUOTE，∴QUOTE_______，（等量代換）∴QUOTEABABQUOTE////QUOTECDCD．（

）

【答案】三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；QUOTE；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】第一個空是三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，第二個空根據(jù)等量代換得出QUOTE，第三個空是平行線的判定．【詳解】解：延長QUOTEBEBE交QUOTECDCD于點QUOTEFF，則QUOTE．（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）又∵QUOTE，∴QUOTEQUOTE，（等量代換）∴QUOTEABABQUOTE////QUOTECDCD．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）【點睛】本題考查推理與證明，解題的關(guān)鍵是掌握推理與證明過程中理由的書寫，平行線的性質(zhì)和三角形外角的定理．35．（23-24七年級下·江蘇宿遷·階段練習）補全下列推理過程：如圖，QUOTE，QUOTE，QUOTE，試說明QUOTE．解：∵QUOTE，QUOTE，（已知），∴QUOTE（垂直的定義），∴QUOTE（____________）．∴QUOTE（____________）．∵QUOTE（已知），∴____________（等量代換）．∴QUOTE（____________）．【答案】答案見詳解；【分析】本題考查證明補充條件，根據(jù)條件與結(jié)論因果關(guān)系直接填寫即可得到答案；【詳解】解：∵QUOTE，QUOTE（已知），∴QUOTE（垂直的定義），∴QUOTE（同位角相等，兩直線平行），∴QUOTE（兩直線平行，同位角相等），∵QUOTE（已知），∴QUOTE（等量代換），∴QUOTE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．36．（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）補全下列推理過程：如圖，已知QUOTE，QUOTE，試說明：QUOTE，解：∵QUOTE（已知）QUOTE（______）QUOTE（已知）QUOTE（______）QUOTE（______）QUOTE（______）QUOTE（______）【答案】答案見詳解；【分析】本題考查證明補充條件，平行線的性質(zhì)與判定，根據(jù)條件及結(jié)論逐個寫明理由即可得到答案；【詳解】解：∵QUOTE（已知），QUOTE鈭粹垹A=鈭燗DC鈭粹垹A=鈭燗DC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），QUOTE（已知），QUOTE鈭粹垹E=鈭燗DC鈭粹垹E=鈭燗DC（等量代換），QUOTE（同位角相等，兩直線平行），QUOTE（兩直線平行，同位角相等），QUOTE（對頂角相等），QUOTE．37．（21-22七年級下·山東濟寧·期中）推理填空：如圖，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．求證：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．證明：∵∠B＝∠CGF（已知），∴ABQUOTECD（）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CDQUOTEEF（）．∴ABQUOTEEF（）．∴∠B＋∠F＝180°（）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（）．【答案】同位角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；平行公理的推論；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；平角的定義；等量代換【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行解答即可．【詳解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；∴ABQUOTECD（同位角相等，兩直線平行），∵∠BGC＝∠F（已知）；∴CDQUOTEEF（同位角相等，兩直線平行），∴ABQUOTEEF（平行公理的推論）∴∠B＋∠F＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定義），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代換）．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)及推理論證，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理．考點八：根據(jù)給出的論斷組命題并證明38．（22-23七年級下·吉林·階段練習）如圖，在三角形QUOTEABCABC中，點QUOTEDD在邊QUOTEBCBC的延長線上，射線QUOTECECE在QUOTE鈭燚CAodod鈭燚CAodod的內(nèi)部．給出下列信息：①Q(mào)UOTE；②QUOTECECE平分QUOTE鈭燚CAodod鈭燚CAodod；③QUOTE．請選擇其中的兩條信息作為條件，余下的一條信息作為結(jié)論組成一個真命題，并說明理由．【答案】答案見詳解【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)及判定，角平分線定義及等量代換即可得到證明；【詳解】解：選擇①②作為條件，③作為結(jié)論．理由如下：∵QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∵Q