《走向高考》2021屆高三二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)(人教A版)課時(shí)作業(yè)-專題2-三角函數(shù)與平面向量-第1講

專題二第一講一、選擇題1．(2021·北京海淀期中)下列四個(gè)函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間(eq\f(π,2)，π)上為減函數(shù)的是()A．y＝sin2x B．y＝2|cosx|C．y＝coseq\f(x,2) D．y＝tan(－x)[答案]D[解析]逐個(gè)推斷，用排解法．y＝coseq\f(x,2)的最小正周期為4π，故C排解；函數(shù)y＝sin2x在區(qū)間(eq\f(π,2)，π)上不具有單調(diào)性，故A排解；函數(shù)y＝2|cosx|在區(qū)間(eq\f(π,2)，π)上是增函數(shù)，故B排解；D正確．2．假如sinα＝eq\f(4,5)，那么sin(α＋eq\f(π,4))－eq\f(\r(2),2)cosα等于()A.eq\f(2\r(2),5) B．－eq\f(2\r(2),5)C.eq\f(4\r(2),5) D．－eq\f(4\r(2),5)[答案]A[解析]sin(α＋eq\f(π,4))－eq\f(\r(2),2)cosα＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)－eq\f(\r(2),2)cosα＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2\r(2),5).3．(文)(2022·唐山市二模)已知sinα＋eq\r(2)cosα＝eq\r(3)，則tanα＝()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2)C．－eq\f(\r(2),2) D．－eq\r(2)[答案]A[解析]∵sinα＋eq\r(2)cosα＝eq\r(3)，∴sin2α＋2eq\r(2)sinαcosα＋2cos2α＝3，∴eq\f(sin2α＋2\r(2)sinαcosα＋2cos2α,sin2α＋cos2α)＝3，∴eq\f(tan2α＋2\r(2)tanα＋2,tan2α＋1)＝3，∴2tan2α－2eq\r(2)tanα＋1＝0，∴tanα＝eq\f(\r(2),2).(理)(2021·浙江理，6)已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，則tan2α＝()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)[答案]C[解析]本題考查三角函數(shù)同角間的基本關(guān)系．將sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)兩邊平方可得，sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝eq\f(5,2)，∴4sinαcosα＋3cos2α＝eq\f(3,2).將左邊分子分母同除以cos2α得，eq\f(3＋4tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,2)，解得tanα＝3或tanα＝－eq\f(1,3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4).4．(文)(2022·浙江理，4)為了得到函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖像，可以將函數(shù)y＝eq\r(2)sin3x的圖像()A．向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位 B．向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位C．向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位 D．向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位[答案]D[解析]本題考查三角函數(shù)圖象變換．y＝sin3x＋cos3x＝eq\r(2)sin(3x＋eq\f(π,4))，只需將函數(shù)y＝eq\r(2)sin3x的圖象向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位，選D.(理)(2022·福建文，7)將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，則下列說法正確的是()A．y＝f(x)是奇函數(shù)B．y＝f(x)的周期為πC．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱D．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－eq\f(π,2)，0)對(duì)稱[答案]D[解析]本題考查了正弦函數(shù)圖象平移變換、余弦函數(shù)圖象性質(zhì)．平移后圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)為y＝sin(x＋eq\f(π,2))，即y＝cosx，則由y＝cosx圖象性質(zhì)知D正確．5．(2022·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝cosxsin2x，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)B．f(x)最大值是1C．f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(eq\f(π,2)，0)對(duì)稱D．f(x)的圖像關(guān)于直線x＝π對(duì)稱[答案]B[解析]f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝cosxsin2x＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．f(x＋2π)＝cos(x＋2π)sin2(x＋2π)＝cosxsin2x，∴2π是f(x)一個(gè)周期，故A選項(xiàng)正確．f(x)＝cosxsin2x＝－cos3x＋cosx，令t＝cosx則t∈[－1,1]，g(t)＝－t3＋t，g′(t)＝－3t2＋1令g′(t)＝0，則t＝±eq\f(\r(3),3)，易知f(x)在區(qū)間[－1，－eq\f(\r(3),3))上單調(diào)遞減，在(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3))上單調(diào)遞增，在(eq\f(\r(3),3)，1]上單調(diào)遞減，g(－1)＝0，g(eq\f(\r(3),3))＝eq\f(2\r(3),9)，∴g(t)max＝eq\f(2\r(3),9)≠1，故B項(xiàng)錯(cuò)誤．6．(文)(2021·天津文，6)函數(shù)f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上的最小值為()A．－1 B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D．0[答案]B[解析]本題考查正弦型函數(shù)的最值.令t＝2x－eq\f(π,4)，由于x∈[0，eq\f(π,2)]，所以t∈[－eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]，f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))變?yōu)閥＝sint，由正弦函數(shù)的圖象可知，當(dāng)t＝－eq\f(π,4)，即x＝0時(shí)，f(x)取得最小值為－eq\f(\r(2),2).(理)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)圖時(shí)，若所得五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為x1、x2、x3、x4、x5且x1＋x5＝eq\f(3π,2)，則x2＋x4()A.eq\f(π,2) B．πC.eq\f(3π,2) D．2π[答案]C[解析]由函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象性質(zhì)可知x1、x5關(guān)于x3對(duì)稱，x2、x4也關(guān)于x3對(duì)稱，∴x2＋x4＝x1＋x5＝eq\f(3π,2)，故選C.二、填空題7．(2022·陜西文，13)設(shè)0<θ<eq\f(π,2)，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，則tanθ＝________.[答案]eq\f(1,2)[解析]本題考查向量垂直、向量坐標(biāo)運(yùn)算等．∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.又0<θ<eq\f(π,2)，∴cosθ≠0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝eq\f(1,2).8．(2021·寶雞二模)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示，則f(x)＝________.[答案]eq\r(2)sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(π,4))[解析]由題意得A＝eq\r(2)，函數(shù)的周期為T＝16，又T＝eq\f(2π,ω)?ω＝eq\f(π,8)，此時(shí)f(x)＝eq\r(2)sin(eq\f(π,8)x＋φ)，又f(2)＝eq\r(2)，即sin(eq\f(π,8)×2＋φ)＝sin(eq\f(π,4)＋φ)＝1，解得eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)?φ＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4).所以函數(shù)的解析式為f(x)＝eq\r(2)sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(π,4))．9．假如兩個(gè)函數(shù)的圖象平移后能夠重合，那么稱這兩個(gè)函數(shù)為“互為生成”函數(shù)．給出下列四個(gè)函數(shù)：①f(x)＝sinx＋cosx;②f(x)＝eq\r(2)(sinx＋cosx)；③f(x)＝sinx;④f(x)＝eq\r(2)sinx＋eq\r(2).其中為“互為生成”函數(shù)的是________(填序號(hào))．[答案]①④[解析]首先化簡(jiǎn)題中的四個(gè)解析式可得：①f(x)＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))，②f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,4))，③f(x)＝sinx，④f(x)＝eq\r(2)sinx＋eq\r(2)，可知③f(x)＝sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合，單純經(jīng)過平移不能完成，必需經(jīng)過伸縮變換才能實(shí)現(xiàn)，所以③f(x)＝sinx不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù)，同理①f(x)＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))的圖象與②f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,4))的圖象也必需經(jīng)過伸縮變換才能重合，而④f(x)＝eq\r(2)sinx＋eq\r(2)的圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位，再向下平移eq\r(2)個(gè)單位即可得到①f(x)＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))的圖象，所以①④為“互為生成”函數(shù)．三、解答題10．(文)(2021·北京文，15)已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq\f(\r(2),2)，求a的值．[解析](1)由于f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x＝cos2xsin2x＋eq\f(1,2)cos4x＝eq\f(1,2)(sin4x＋cos4x)＝eq\f(\r(2),2)sin(4x＋eq\f(π,4))所以f(x)的最小正周期為eq\f(π,2)，最大值為eq\f(\r(2),2).(2)由于f(α)＝eq\f(\r(2),2)，所以sin(4α＋eq\f(π,4))＝1.由于α∈(eq\f(π,2)，π)，所以4α＋eq\f(π,4)∈(eq\f(9π,4)，eq\f(17π,4))，所以4α＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,2)，故α＝eq\f(9π,16).(理)(2022·甘肅三診)已知f(x)＝eq\r(3)sinωx－2sin2eq\f(ωx,2)(ω>0)的最小正周期為3π.(1)當(dāng)x∈[eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．[解析]∵f(x)＝eq\r(3)sin(ωx)－2·eq\f(1－cosωx,2)＝eq\r(3)sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))－1，由eq\f(2π,ω)＝3π得ω＝eq\f(2,3)，∴f(x)＝2sin(eq\f(2,3)x＋eq\f(π,6))－1.(1)由eq\f(π,2)≤x≤eq\f(3π,4)得eq\f(π,2)≤eq\f(2,3)x＋eq\f(π,6)≤eq\f(2π,3)，∴當(dāng)sin(eq\f(2,3)x＋eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),2)時(shí)，f(x)min＝2×eq\f(\r(3),2)－1＝eq\r(3)－1.(2)由f(C)＝2sin(eq\f(2,3)C＋eq\f(π,6))－1及f(C)＝1，得sin(eq\f(2,3)C＋eq\f(π,6))＝1，而eq\f(π,6)≤eq\f(2,3)C＋eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，所以eq\f(2,3)C＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，解得C＝eq\f(π,2).在Rt△ABC中，∵A＋B＝eq\f(π,2)，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，∴2cos2A－sinA－sinA∴sin2A＋sinA－1＝0，解得sinA＝eq\f(－1±\r(5),2).∵0<sinA<1，∴sinA＝eq\f(\r(5)－1,2).一、選擇題11．若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(eq\f(π,8)＋t)＝f(eq\f(π,8)－t)，且f(eq\f(π,8))＝－3，則實(shí)數(shù)m的值等于()A．－1 B．±5C．－5或－1 D．5或1[答案]C[解析]依題意得，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,8)對(duì)稱，于是x＝eq\f(π,8)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最值，因此有±2＋m＝－3，∴m＝－5或m＝－1，選C.12．(2021·浙江文，6)函數(shù)f(x)＝sinxcosx＋eq\f(\r(3),2)cos2x的最小正周期和振幅分別是()A．π，1 B．π，2C．2π，1 D．2π，2[答案]A[解析]本題考查了掛念角公式、倍角公式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)．f(x)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝sin(2x＋eq\f(π,3))，周期T＝π，振幅為1，故選A.13．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，它的最小正周期為π，則函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()A．(eq\f(π,3)，1) B．(eq\f(π,12)，0)C．(eq\f(5π,12)，0) D．(－eq\f(π,12)，0)[答案]B[解析]由題意知T＝π，∴ω＝2，由函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，得2×eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，即φ＝－eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)．又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,6)，∴f(x)＝Asin(2x－eq\f(π,6))，令2x－eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，則x＝eq\f(π,12)＋eq\f(k,2)π(k∈Z)．∴一個(gè)對(duì)稱中心為(eq\f(π,12)，0)，故選B.14.(2021·廣東佛山二模)如圖所示為函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖象，其中A、B兩點(diǎn)之間的距離為5，那么f(－1)等于()A．2 B.eq\r(3)C．－eq\r(3) D．－2[答案]A[解析]設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，由于A，B兩點(diǎn)之間的距離為5，所以eq\r(\f(T,2)2＋42)＝5，解得T＝6.所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,3).又圖象過點(diǎn)(0,1)，代入得2sinφ＝1，所以φ＝2kπ＋eq\f(π,6)或φ＝2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)．又0≤φ≤π，所以φ＝eq\f(π,6)或φ＝eq\f(5π,6).故f(x)＝2sin(eq\f(π,3)x＋eq\f(π,6))或f(x)＝2sin(eq\f(π,3)x＋eq\f(5π,6))．對(duì)于函數(shù)f(x)＝2sin(eq\f(π,3)x＋eq\f(π,6))，當(dāng)x略微大于0時(shí)，有f(x)>2sineq\f(π,6)＝1，與圖象不符，故舍去；綜上，f(x)＝2sin(eq\f(π,3)x＋eq\f(5π,6))．故f(－1)＝2sin(－eq\f(π,3)＋eq\f(5π,6))＝2.故選A.二、填空題15．(2021·新課標(biāo)Ⅱ文，16)函數(shù)y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的圖象向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位后，與函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象重合，則φ＝________.[答案]eq\f(5π,6)[解析]本題考查三角函數(shù)的平移變換y＝cos(2x＋φ)的圖象向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位得，y＝cos[2(x－eq\f(π,2))＋φ]＝cos(2x－π＋φ)＝sin(2x－π＋φ＋eq\f(π,2))＝sin(2x＋φ－eq\f(π,2))，而它與函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象重合，令2x＋φ－eq\f(π,2)＝2x＋eq\f(π,3)得，φ＝eq\f(5π,6)，符合題意．16．(2021·合肥第一次質(zhì)檢)定義一種運(yùn)算：(a1，a2)?(a3，a4)＝a1a4－a2a3，將函數(shù)f(x)＝(eq\r(3)，2sinx)?(cosx，cos2x)的圖象向左平移n(n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為________．[答案]eq\f(5π,12)[解析]f(x)＝eq\r(3)cos2x－2sinxcosx＝eq\r(3)cos2x－sin2x＝2cos(2x＋eq\f(π,6))，將f(x)的圖象向左平移n個(gè)單位長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為f(x)＝2cos[2(x＋n)＋eq\f(π,6)]＝2cos(2x＋2n＋eq\f(π,6))，要使它為偶函數(shù)，則需要2n＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，所以n＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)，由于n>0，所以當(dāng)k＝1時(shí)，n有最小值eq\f(5π,12).三、解答題17．(文)已知向量m＝(sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)，sinx)，n＝(eq\f(1,2)cos2x－eq\f(\r(3),2)sin2x,2sinx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝m·n，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若x∈[0，eq\f(π,2)]，求函數(shù)f(x)的值域．[解析](1)∵cos2x＝2cos2x－1，∴m＝(sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)，sinx)＝(1，sinx)，f(x)＝m·n＝eq\f(1,2)cos2x－eq\f(\r(3),2)sin2x＋2sin2x＝1－eq\f(1,2)cos2x－eq\f(\r(3),2)sin2x＝1－sin(2x＋eq\f(π,6))．∴其最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由(1)知f(x)＝1－sin(2x＋eq\f(π,6))，∵x∈[0，eq\f(π,2)]，∴2x＋eq\f(π,6)∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6)]，∴sin(2x＋eq\f(π,6))∈[－eq\f(1,2)，