電通量 靜電場(chǎng)的高斯定理

電通量靜電場(chǎng)的高斯定理電場(chǎng)線一、為了形象地描述電場(chǎng)分布，引入了電場(chǎng)線.圖8-10所示為兩種電場(chǎng)線實(shí)驗(yàn)圖.其中，圖8-10(a)為一對(duì)等量正電荷的電場(chǎng)線，圖8-10(b)為一對(duì)電偶極子的電場(chǎng)線.通過觀察，發(fā)現(xiàn)利用電場(chǎng)線完全可以對(duì)電場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)分布情況給出一個(gè)比較直觀的圖像.圖8-10兩種靜止電荷的電場(chǎng)線實(shí)驗(yàn)圖電場(chǎng)線為電場(chǎng)中假想的一組有方向的曲線.如圖8-11所示，規(guī)定曲線上每點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)E的方向.曲線的疏密程度表示該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)E的大小，即通過該點(diǎn)附近垂直于場(chǎng)強(qiáng)方向的單位面積的電場(chǎng)線條數(shù)滿足(8-9)式中，dΦe表示通過dS⊥的電場(chǎng)線條數(shù)；dS⊥表示垂直于場(chǎng)強(qiáng)的面元.通過觀察圖8-11所示的電場(chǎng)線圖：（1）電場(chǎng)線起始于正電荷（或無窮遠(yuǎn)），終止于負(fù)電荷（或無窮遠(yuǎn)），電場(chǎng)線是不閉合的.（2）在沒有電荷的空間中，任意兩條電場(chǎng)線不會(huì)相交.圖8-11電場(chǎng)線與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系電場(chǎng)強(qiáng)度通量二、通量是一個(gè)描述場(chǎng)的物質(zhì)性的重要物理量.在任意電場(chǎng)中，取一個(gè)假想的面.即使是在帶電體上，也可以按照需要在電場(chǎng)中的場(chǎng)點(diǎn)上任取一個(gè)曲面.定義電場(chǎng)中通過任意給定曲面的電場(chǎng)線條數(shù)為通過該曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量，簡(jiǎn)稱電通量，用Φe表示.電通量是標(biāo)量.假設(shè)在均勻電場(chǎng)中，有一與場(chǎng)強(qiáng)E垂直的平面S，如圖8-12(a)所示，則由式（8-9）可知，通過該平面的電通量為

Φe=ES圖8-12勻強(qiáng)電場(chǎng)中穿過平面的電通量假設(shè)均勻電場(chǎng)中有一平面S，其法線方向en與場(chǎng)強(qiáng)E的夾角為θ，平面[WTBX]S在垂直于E的方向上的投影為S⊥=Scosθ，如圖8-12(b)所示前面定義電通量是標(biāo)量，這里又定義面元矢量.其實(shí)，這個(gè)有向面元矢量描述該場(chǎng)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)與面元之間的關(guān)系，面元矢量的方向性表現(xiàn)為因此，圖8-13所示面元矢量的電通量dΦe>0.實(shí)際上，也可以規(guī)定圖8-13中法線的反向作為面元矢量的方向.圖8-13非均勻電場(chǎng)中通過圖8-14通過閉合曲面的電通量高斯定理三、高斯定理是一條描述場(chǎng)的物質(zhì)性的非常重要的基本規(guī)律.下面首先討論一種最簡(jiǎn)單的情況，即點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的電通量.包圍點(diǎn)電荷的任意球面1.以點(diǎn)電荷q為中心，以任意長(zhǎng)度r為半徑作一閉合球面S，如圖8-15(a)所示.曲面上電通量的計(jì)算，需要分割面元，并定義圖8-15(a)所示的面元矢量.點(diǎn)電荷的電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性，即半徑r的球面上每點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)E的大小相等，方向沿每點(diǎn)的空間徑向.所以，通過球面上任一面元dS的電通量為

dΦe=E·dS=EdScos0°=EdS圖8-15包圍點(diǎn)電荷的閉合曲面包圍點(diǎn)電荷的任意閉合曲面2.若在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，S′是任意閉合曲面，如圖8-15(b)所示.由于在沒有電荷的空間中，電場(chǎng)線是連續(xù)的，因此通過球面S的電場(chǎng)線也必然通過曲面S′，即它們的電通量相同，于是有

電通量與閉合曲面的形狀無關(guān)，只與包圍的電荷有關(guān).這個(gè)電荷就是電場(chǎng)的源.當(dāng)q為正電荷時(shí)，Φe>0，電荷q就是電場(chǎng)線的源頭；當(dāng)q為負(fù)電荷時(shí)，Φe<0，電荷q就是電場(chǎng)線的尾.不包圍點(diǎn)電荷的任意閉合曲面3.若在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，有任一閉合曲面S″不包圍點(diǎn)電荷，如圖8-16所示，由電場(chǎng)線的連續(xù)性可知，穿入曲面的電場(chǎng)線條數(shù)等于穿出曲面的電場(chǎng)線條數(shù)，電場(chǎng)線穿入時(shí)電通量為負(fù)，電場(chǎng)線穿出時(shí)電通量為正，正負(fù)恰好抵消，則通過該曲面的電通量為

閉合曲面不包圍電荷，也就是說不包圍電場(chǎng)的源，因此該閉合曲面的電通量為零.圖8-16不包圍點(diǎn)電荷的任意閉合曲面點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)4.在點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)中，有任一閉合曲面S，其內(nèi)包含電荷q內(nèi)1，q內(nèi)2，…，q內(nèi)n，其外包含電荷q外1，q外2，…，q外m，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可得通過閉合曲面S的電通量為式中，閉合曲面S稱為高斯面，閉合曲面的電通量只與面內(nèi)所包圍的電荷有關(guān).當(dāng)閉合曲面內(nèi)q為正時(shí)，Φe>0，表示電場(chǎng)線以正電荷為起點(diǎn)穿出閉合曲面；當(dāng)q為負(fù)時(shí)，Φe<0，表示電場(chǎng)線穿入閉合曲面終止于負(fù)電荷.因此，高斯定理說明了電場(chǎng)線起于正電荷，止于負(fù)電荷，即靜電場(chǎng)是有源場(chǎng).借助于電場(chǎng)線的圖像，高斯定理揭示了靜電場(chǎng)的有源性.對(duì)于高斯定理的理解有以下兩點(diǎn)需要說明：（1）式(8-14)中的場(chǎng)強(qiáng)[WTHX]E[WTBX]是指曲面上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，它是由空間所有電荷共同產(chǎn)生的，并非只由閉合曲面內(nèi)的電荷激發(fā).（2）高斯定理揭示了靜電場(chǎng)的有源性.因此，通過閉合曲面的電通量只決定于它所包圍的電荷，閉合曲面外的電荷對(duì)電通量無貢獻(xiàn).高斯定理的應(yīng)用四、如果僅已知帶電體的電荷分布，根據(jù)高斯定理只能很容易地求出通過任一閉合曲面的電通量，而不能確定電場(chǎng)的具體分布.但是，如果知道電荷的分布具有高度的對(duì)稱性(軸對(duì)稱、球?qū)ΨQ、面對(duì)稱)，就能夠直接運(yùn)用高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng).用高斯定理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)分布，關(guān)鍵在于對(duì)稱性的分析和高斯面的選取.在應(yīng)用高斯定理求解場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，帶電體的場(chǎng)強(qiáng)分布必須具有一定的對(duì)稱性，以便能夠找到合適的高斯面.下面列出利用高斯定理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的步驟：（1）對(duì)稱性分析.（2）高斯面的選取是應(yīng)用高斯定理求解場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)鍵.第一，高斯面應(yīng)通過所研究的場(chǎng)點(diǎn)；第二，高斯面可以由若干面組合而成；第三，至少有一個(gè)面應(yīng)滿足在該面上場(chǎng)強(qiáng)大小處處相等，方向與該面處處垂直的條件；第四，對(duì)無法滿足第三條要求的面，應(yīng)滿足場(chǎng)強(qiáng)方向與該面處處平行的條件，從而通過該面的電通量為零.（3）計(jì)算電通量.（4）根據(jù)高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng).需要指出的是，若帶電體不具有高度對(duì)稱性，一般不能用高斯定理求解場(chǎng)強(qiáng)分布，但高斯定理卻是普遍成立的.下面舉例說明利用高斯定理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的過程.求無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)分布.已知帶電圓柱體單位長(zhǎng)度上的帶電量為λ.解：前面討論過無限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)，式（8-8）告訴人們?cè)搸щ婓w的電場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性，其場(chǎng)強(qiáng)大小都相等，直線外每點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)均沿與帶電直線相垂直的方向.①對(duì)稱性分析.無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體的電荷分布與無限長(zhǎng)均勻帶電直線有區(qū)別，具有軸對(duì)稱性，即在與圓柱軸線距離相等的同軸圓柱面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方