第4章 動(dòng)量定理

第4章動(dòng)量定理◆本章學(xué)習(xí)目標(biāo)理解動(dòng)量定理是力在時(shí)間上的積累效應(yīng)。能夠利用動(dòng)量守恒定律解決力學(xué)問(wèn)題。理解動(dòng)量守恒定律在碰撞中的應(yīng)用?！舯菊陆虒W(xué)內(nèi)容動(dòng)量定理；動(dòng)量守恒定律；火箭的運(yùn)動(dòng)；碰撞?！舯菊陆虒W(xué)重點(diǎn)動(dòng)量定理的應(yīng)用；動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用；碰撞過(guò)程中的量的關(guān)系?！舯菊陆虒W(xué)難點(diǎn)動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用；彈性碰撞及非彈性碰撞?！舯菊聦W(xué)習(xí)方法建議及參考資料重在加強(qiáng)學(xué)生對(duì)時(shí)間積累效應(yīng)的理解；加強(qiáng)講練結(jié)合，注重學(xué)生對(duì)力學(xué)條件的分析。參考教材：東南大學(xué)等七所工科院校編，《物理學(xué)》，高等教育出版，1999年11月第4版

§4.1動(dòng)量定理一、動(dòng)量為了描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，除了上一章講座的動(dòng)能之外，我們將再引進(jìn)一個(gè)物理量—?jiǎng)恿?。從?shí)際經(jīng)驗(yàn)可知，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量的大小不僅與其運(yùn)動(dòng)速度大小有關(guān)，而且與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量大小有關(guān)。設(shè)一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m,速度為v，我們把質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積定義為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，通常用表示，即(1)動(dòng)量是矢量，其方向與速度方向相同。牛頓第二定律的一般表述形式應(yīng)為(2)上式表明，從動(dòng)力學(xué)角度看，要使質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，亦即要使質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量發(fā)生變化，就必須對(duì)質(zhì)點(diǎn)施以力的作用。在經(jīng)典力學(xué)條件下，質(zhì)量m不隨時(shí)間變化，則上式可以寫(xiě)成(3)實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量隨時(shí)間變化時(shí)，雖然(3)式表示的牛頓定律不再成立，但(2)式依舊成立?？梢?jiàn)，用動(dòng)量形式表示的牛頓第二定律具有更大的普遍性。二、沖量由式說(shuō)明，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量隨時(shí)間的瞬時(shí)變化率與所受力的關(guān)系，如果我們要進(jìn)一步研究質(zhì)點(diǎn)在力的作用下，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間間隔動(dòng)量是如何變化的，將上式改為(4)此式說(shuō)明，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量要發(fā)生變化，不但要有力的作用，而且這個(gè)力還必須持續(xù)作用一段時(shí)間，亦即力必須在時(shí)間上發(fā)生一定的累積作用。在低速運(yùn)動(dòng)的牛頓力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量可視為不改變，故可以寫(xiě)成。此外，由于質(zhì)點(diǎn)的力隨時(shí)間改變，即力是時(shí)間的函數(shù)，則對(duì)上式在定時(shí)間內(nèi)求積分我們將力對(duì)時(shí)間的積累稱(chēng)為力的沖量，用表示。則給定時(shí)間內(nèi)，外務(wù)作用于質(zhì)點(diǎn)上的沖量，等于質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。是個(gè)矢量，它的方向與的方向相同。對(duì)于動(dòng)量定理的分量式如下：三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理在系統(tǒng)S中有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)1和2，它們的質(zhì)量分別為m1和m2，系統(tǒng)外的質(zhì)點(diǎn)對(duì)它們的作用力叫做外力，系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力則叫做內(nèi)力。如圖所示其中，和均為外力，為內(nèi)力，則對(duì)于1和2質(zhì)點(diǎn)，就有將以上兩式相加，則得由于則上式變?yōu)樯鲜奖砻?，作用于兩點(diǎn)組成的系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量之和的增量，即系統(tǒng)的動(dòng)量的增量。如果將其推廣到由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，則由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，且大小相等方向相反，故則或上式表明，作用于系統(tǒng)的合外力的沖量，等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理。舉例一個(gè)質(zhì)量為0.05kg，速率為10m/s的鋼球以與法線(xiàn)呈450角的方向撞擊在鋼板上，并以相同的速率和角度彈回來(lái)，設(shè)球與鋼板的碰撞時(shí)間為0.05要，求鋼板受到的平均撞擊力。解：以鋼球?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理 則其分量式為則根據(jù)牛頓第三定律，鋼球?qū)︿摪宓淖饔昧Υ笮〉扔阡摪鍖?duì)鋼球的作用力，故鋼板所受到的平均作用力為負(fù)號(hào)表示與所規(guī)定的方向相反。

§4.2動(dòng)量定理一、動(dòng)量守恒定律根據(jù)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成系統(tǒng)的動(dòng)量定理當(dāng)系統(tǒng)的合外力為零時(shí)，即 時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量的增量亦為零，即這時(shí)的總動(dòng)量保持不變，即這就是動(dòng)量守恒定律，它有如下表述：當(dāng)系統(tǒng)的合外力為零時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量將保持不變。分量式如下這里的C1、C2、C3均為常量。二、注意問(wèn)題1．系統(tǒng)的總動(dòng)量不變是指系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)量的矢量和不變，而不是指其中的某一個(gè)物體的動(dòng)量不變。2．各物體的動(dòng)量都應(yīng)相對(duì)于同一慣性系。3．系統(tǒng)的動(dòng)量守恒是有條件的，這個(gè)條件就是系統(tǒng)所受的合外力必須為0，以下情況要注意：(1)如果外力＜＜內(nèi)力，則可以忽略外力對(duì)系統(tǒng)的作用，可以認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)量是守恒的。(2)如一般的外力可以忽略，則碰撞過(guò)程前后，可以認(rèn)為參與碰撞的物體系統(tǒng)的總動(dòng)量是守恒的。4．如果系統(tǒng)所受到的外力的矢量和并不為0，但是合外力在某個(gè)坐標(biāo)軸的分矢量為零，此時(shí)，該坐標(biāo)軸的分動(dòng)量是守恒的。5．動(dòng)量守恒定律比牛頓運(yùn)動(dòng)定律更加基本，它與能量守恒定律一樣，是自然界最普遍的最基本的定律之一。6．動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律只在慣性系中才成立，因此，運(yùn)用它來(lái)求解，要選定一慣性系作為參考系。舉例一原先靜止的裝置炸裂為質(zhì)量相等的三塊，已知其中兩塊在水平面內(nèi)各以80m/s和60m/s的速率沿互相垂直的兩個(gè)方向飛開(kāi)，求第三塊的飛行速度。解：以整個(gè)裝置為研究對(duì)象，由于炸裂過(guò)程中內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，故可認(rèn)為動(dòng)量守恒，則必有因?yàn)樵瓉?lái)靜止，故=0，且，則必有題意表表，兩個(gè)碎塊的動(dòng)量都處于xy平面內(nèi)，第三個(gè)碎塊的動(dòng)量也必定處于xy平面內(nèi)，設(shè)其方向與x軸成θ角，于是可將上式寫(xiě)成如下分量式兩式聯(lián)立，可解得

§4.3火箭的運(yùn)動(dòng)一、火箭的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)述作為動(dòng)量守恒定律的一個(gè)應(yīng)用，我們?cè)诒竟?jié)中講座一下火箭的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，火箭是一種利用燃料燃燒后噴出氣體產(chǎn)生反沖推力的發(fā)動(dòng)機(jī)。它自帶燃料與助燃劑，因而可以在空間任何地方發(fā)動(dòng)。設(shè)火箭在自由空間飛行，即它不受引力或空氣阻力的作用。在t時(shí)刻，火箭體的總質(zhì)量為M，速度為v，總動(dòng)量為Mv，經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后，火箭噴出質(zhì)量為dm的氣體，相對(duì)于箭體的速度為u，火箭體速度增加到v+dv，則此時(shí)系統(tǒng)沿x方向的總動(dòng)量為由于噴出氣體的dm等于火箭質(zhì)量的減小，即-dM，所以上式可以寫(xiě)成由于內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，可認(rèn)為動(dòng)量守恒，故將上式展開(kāi)，則得或者設(shè)火箭點(diǎn)火時(shí)質(zhì)量為M0，初速度為v0，燃燒完后火箭的質(zhì)量為Mt，達(dá)到末速度vt，則可以對(duì)上式積分由此得此式表明，火箭在燃料燃燒后所增加的速度和噴氣速度成正比，出現(xiàn)的始末質(zhì)量比的自然對(duì)數(shù)成正比。如果只以火箭本身作為研究的系統(tǒng)，以F表示噴出氣體對(duì)火箭體的推力，則根據(jù)牛頓第二定律，應(yīng)有將代入上式，可得此式表明，火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的推力與燃料燃燒速率以及噴出氣體的相對(duì)速度u成正比。為了提高火箭的末速度以滿(mǎn)足發(fā)射地球人造衛(wèi)星或其他航天器的要求，就得提高噴射速度和質(zhì)量比，但噴射速度和質(zhì)量比由于實(shí)際條件的限制，并不能無(wú)限制地提高。一般火箭的噴射速度最大只能達(dá)到2.5km/s左右，質(zhì)量比只能達(dá)到6左右，相應(yīng)地火箭能達(dá)到的速度是4.5km/s，我們知道，要使人造地球衛(wèi)星到達(dá)地球軌道，必須達(dá)到的第一宇宙速度是7.9km/s，因此，我們往往利用多級(jí)火箭來(lái)完成發(fā)射任務(wù)。

§4.4碰撞一、碰撞及其分類(lèi)1．碰撞的定義在力學(xué)中，具有相對(duì)接近速度的兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體，在短時(shí)間內(nèi)宏觀(guān)上直接接觸并且發(fā)生形變的現(xiàn)象叫做碰撞。碰撞會(huì)使這些物體或其中的某個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生明顯的變化。由于我們通常只需要了解物體在碰撞前后運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，而對(duì)發(fā)生碰撞的物體系來(lái)說(shuō)，外力的作用又往往可以忽略，所以碰撞系統(tǒng)的總動(dòng)量是守恒的。即=常矢量2．碰撞的分類(lèi)(1)從有無(wú)能量損失上分類(lèi)彈性碰撞如果碰撞過(guò)程中物體的動(dòng)能完全沒(méi)有損失，則這樣的碰撞叫做彈性碰撞。非彈性碰撞如果在碰撞過(guò)程中物體的動(dòng)能有損失，這樣的碰撞叫做非彈性碰撞。如果碰撞后兩物體以相同的速度運(yùn)動(dòng)，這種碰撞稱(chēng)為完全非彈性碰撞。(2)從運(yùn)動(dòng)方向與質(zhì)心連線(xiàn)的關(guān)系上分類(lèi)正碰如果兩物體碰撞前速度在兩物體的連心線(xiàn)上，那么碰撞后的速度也都在這一連線(xiàn)上，這種碰撞稱(chēng)為對(duì)心碰撞或正碰。斜碰如果兩物體碰撞前的速度與兩物體的連心線(xiàn)有一定的角度，則碰撞后兩物體的速度也將有一定的角度，即速度的方向不在連心線(xiàn)上，這種碰撞稱(chēng)為斜碰。二、幾種特殊形式的碰撞1．彈性碰撞兩個(gè)小球的質(zhì)量分別為m1和m2，沿一直線(xiàn)分別以速度和運(yùn)動(dòng)，兩球發(fā)生彈性對(duì)心碰撞，設(shè)碰撞后的速度分別為和，由于是彈性碰撞，故總動(dòng)量和總動(dòng)能保持不變，即(1)(2)將以上式兩聯(lián)立，可得從上兩式中即對(duì)心碰撞中，兩球碰撞后相互分離的速度等于碰撞前相互趨近的速度。討論：(1)若則，即碰撞后，兩小球交換速度。(2)其且則，即碰撞后，大球幾乎不動(dòng)而小球以原來(lái)的速率返回。2．完全非彈性碰撞如果兩小球的質(zhì)量分別分m1和m2，發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞前兩小球的速度分別為和，設(shè)碰撞后合在一起的速度為v，則由動(dòng)量守恒定律可得由此速度值為兩小球碰撞前的動(dòng)能為碰撞后的動(dòng)能為其能量損失為這些損失的能量變?yōu)橛谰眯污E中耗散的能量。3．非彈性碰撞一般的碰撞，即不是彈性的，也不是完全非彈性的，碰撞后形跡部分恢復(fù)，兩物體具有不同的速度，但系統(tǒng)動(dòng)能不再守恒。牛頓總結(jié)了各種碰撞實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，引進(jìn)了恢復(fù)系數(shù)的概念，在對(duì)心碰撞中被定義為可以看出，在彈性碰撞中，=1；在完全非彈性碰撞中，=0，在一般的非