應用時間序列分析(第6版)課件ch7

條件異方差模型07本章內(nèi)容異方差的問題0102方差齊性變換ARCH模型GARCH模型050403GARCH衍生模型方差齊性假定的重要性我們在前面介紹的模型擬合方法（ARIMA模型，因素分解模型）都屬于對序列均值的擬合方法但均值的估計值只是一個點估計。對于預測而言，只知道一個點估計沒有意義，因為未來真實值恰好等于點估計值的概率近似為０。真正有意義的是預測值的置信區(qū)間。所以序列預測時，我們更在意預測值的置信區(qū)間。之前求的置信區(qū)間都基于一個默認的假定——殘差序列方差齊性。如果殘差序列不滿足方差齊性假定，那么置信區(qū)間的真實置信度將受到影響。案例回顧例５-６中我們對1889-1970年美國GNP平減指數(shù)序列進行擬合和預測，得到的擬合模型是：我們很容易預測出1971年美國GNP平減指數(shù)的點估計為我們用如下方式計算它的95%置信區(qū)間這個95％的置信區(qū)間一定有95％的置信水平嗎？不一定，它的準確性取決于它是否滿足如下假定白噪聲檢驗沒有包含方差齊性檢驗在進行ARIMA模型擬合時，我們最后是通過檢驗殘差序列是否通過白噪聲檢驗，來判斷模型的顯著性。白噪聲序列應該滿足三個條件：零均值純隨機方差齊性實際上，我們構造的白噪聲檢驗統(tǒng)計量（Q統(tǒng)計量）只檢驗了白噪聲序列的第二個條件。第一個條件在建模時，常數(shù)項擬合可以滿足（可以不檢驗）。也就是說，白噪聲檢驗只檢驗了其中兩條假定條件。第三條假定：方差齊性是沒有檢驗的，我們是默認它滿足的。但實際上，這個條件并不總是滿足。異方差屬性如果殘差序列方差齊性的假定不成立，即隨著時間的變化，殘差序列的方差不是常數(shù)，我們稱這種屬性為方差非齊，或簡稱為異方差現(xiàn)象。序列的異方差屬性可以表達為方差為時間ｔ的函數(shù)：如果忽視異方差的存在，就會使得殘差的方差估計不準確。相應地，置信水平為１-α的置信區(qū)間，實際的置信水平就不是1-α了。這會使得估計和預測的精度都受到影響。更糟糕的是，會受到多大的影響，我們都無法測量。所以為了提高擬合模型的估計和預測精度，我們需要對殘差序列進行方差齊性檢驗，并對異方差序列進行深入的分析。異方差的直觀診斷有些序列具有明顯的異方差屬性，通過殘差圖或者殘差平方圖就可以直觀看出來殘差平方圖由于殘差序列的方差實際上就是它平方的期望，即所以殘差序列是否方差齊性，主要是考察殘差平方序列的性質。我們可以借助殘差平方圖對殘差序列的方差齊性進行直觀診斷假設方差齊性滿足，則殘差平方序列應該在某個常數(shù)值附近隨機波動，它不應該具有任何明顯的規(guī)律性，否則就呈現(xiàn)出異方差屬性例7-1直觀考察1963年４月至1971年７月美國短期國庫券的月度收益率序列的方差齊性方差非齊特征1階差分后殘差序列時序圖1階差分后殘差平方序列時序圖異方差處理方法目前主要有兩種異方差的處理方法：方法一：假如已知異方差函數(shù)的具體形式，找到它的轉換函數(shù)，進行方差齊性變換方法二：假如異方差顯示出集群效應，擬合條件異方差模型本章內(nèi)容異方差的問題0102方差齊性變換ARCH模型GARCH模型050403GARCH衍生模型方差齊性變換思想使用場合：假設序列顯示出顯著的異方差性，且方差與均值之間具有某種明確的函數(shù)關系其中，是某個已知函數(shù)。在這種場合下，我們的處理思路是嘗試尋找一個轉換函數(shù)ｇ(·），使得經(jīng)轉換后的變量滿足方差齊性常用的異方差變換在實踐中，許多金融時間序列都呈現(xiàn)出異方差的性質，而且通常序列的標準差與其水平均值之間具有某種正比關系，即序列的水平均值小時，序列的波動范圍小，序列的水平均值大時，序列的波動范圍大。對于這種異方差性質，最簡單的假定為等價于尋找轉換函數(shù)g()，使得轉換后函數(shù)滿足方差齊性轉換函數(shù)的確定將在附近做1階泰勒展開這時方差齊性的變換函數(shù)為這意味著對于標準差與水平均值成線性正比關系時的異方差序列，對數(shù)變換可以實現(xiàn)方差齊性變換。例5-2續(xù)對1950-1999年北京市民用車輛擁有量序列的異方差性進行考察，并進行方差齊性變換原序列時序圖對數(shù)序列時序圖原序列2階差分后時序圖對數(shù)序列1階差分后時序圖異方差變換的普適性和局限性普適性由于很多經(jīng)濟和金融變量都具有方差隨著均值遞增而遞增的特點，所以在實務領域，經(jīng)濟學家和金融研究人員都會在建模之前先對序列進行對數(shù)變換，希望能消除方差非齊。局限性殘差序列的方差與原序列均值之間的關系非有各種可能，不一定就是線性遞增關系。所以并不是所有序列都能使用對數(shù)變換進行異方差信息提取。沒有辦法確定序列的方差函數(shù)與均值函數(shù)之間的函數(shù)關系。所以異方差變換通常只能是明顯的線性遞增型異方差的預處理手段，并不是一種精準科學的建模方法。異方差變換不是提取波動性信息的主流方法。本章內(nèi)容異方差的問題0102方差齊性變換ARCH模型GARCH模型050403GARCH衍生模型波動性分析產(chǎn)生的背景1982年，Engle根據(jù)1958年2季度至1977年2季度的數(shù)據(jù)，研究英國因工資上漲導致通貨膨脹問題時，對物價指數(shù)序列構建了一個AR(4)自回歸模型其中：P是物價指數(shù)，W是工資水平，在方差齊性的假定下，向前做1期預測，很容易預測出1977年3季度物價指數(shù)的95%的波動范圍為波動性分析產(chǎn)生的背景但是Engle以經(jīng)濟學家的經(jīng)驗，認為這個預測的置信區(qū)間偏小，與實際情況嚴重不符。因為從1974年開始物價指數(shù)的平均波動等于也就是說物價指數(shù)最近4年的方差是過去20年方差的10倍。近期沒有任何宏觀政策公布以壓制物價波動，物價指數(shù)序列也沒有任何波動減緩的趨勢。按照正常的經(jīng)濟運行慣性，下一季度（1977年3季度）的物價指數(shù)波動不可能突然下降10倍。Engle認為，按照方差齊性假定求出的1977年3季度物價指數(shù)波動的95%置信區(qū)間，一定沒有達到95%的置信程度。那真實的波動信息蘊含在哪呢？更準確的置信區(qū)間該怎么求呢？基于Engle的研究，如果殘差序列具有集群效應，我們可以使用ARCH模型得到更準確的置信區(qū)間。集群效應所謂集群效應（volatilitycluster）是指在消除確定性非平穩(wěn)因素的影響后，殘差序列在大部分時段小幅波動，但是會在某些時段出現(xiàn)持續(xù)大幅波動。于是序列的波動就呈現(xiàn)出一段持續(xù)時間的小幅波動和一段持續(xù)時間的大幅波動交替出現(xiàn)的特征。集群效應是很多經(jīng)濟和金融序列都具有的波動特征。1963年，BenoitMandelbrot就指出:在金融市場中數(shù)據(jù)通常比正態(tài)分布存在更多異常值，且具有集群效應。集群效應的產(chǎn)生原因，通常認為是經(jīng)濟市場和金融市場的波動易受謠言、政局變動、政府貨幣與財政政策變化等諸多因素的影響一旦某個影響因素出現(xiàn)，市場會大幅波動，以消化這個影響，這就出現(xiàn)密集的大幅波動。波動到位實現(xiàn)新的穩(wěn)定之后，在下一個影響因素到來之前，序列會維持一段時間的小幅波動例7-2考察2013年１月４日至2017年8月25日上證指數(shù)每日收盤價序列的集群效應特征。一階差分后序列具有顯著的集群效應特征右圖顯示上證指數(shù)1階差分后殘差序列在2015年之前序列持續(xù)小幅波動，2015-2016年序列持續(xù)大幅波動，2016年之后又持續(xù)小幅波動，這就是顯著的集群效應特征。集群效應的存在意味著在序列持續(xù)大幅波動的時期，基于方差齊性假定得到的95%置信區(qū)間會顯著小于序列的真實波動范圍。所謂95%的置信區(qū)間，在2015-2016年根本達不到95%的置信水平。上證指數(shù)1階差分后序列時序圖圖中虛線為方差齊性假定下95%置信區(qū)間ARCH模型的構造思想ARCH模型的構造思想Engle認為集群效應的特征是一段時間小幅波動，再一段時間大幅波動，這意味著序列的波動存在相關性。因為如果序列的波動不存在相關性的話，就不會產(chǎn)生小幅波動和大幅波動集中交替出現(xiàn)，而是呈現(xiàn)出大幅波動和小幅波動完全無規(guī)律?；谶@個思想，Engle構造了自回歸條件異方差模型（autoregressiveconditionalheteroskedasticmodel，簡記為ARCH模型）最早的ARCH模型Engle重新擬合1958年２季度至1997年２季度英國物價指數(shù)序列方差非齊ARCH(4)ARCH模型的結構零均值殘差序列具有異方差屬性條件方差具有短期線性相關性，于是可以將歷史波動信息作為條件，采用線性回歸的方式估計序列的當期波動

具有上面結構的模型稱為q階自回歸條件異方差模型，簡記為ARCH(q)。ARCH模型的參數(shù)約束條件例7-2續(xù)對2013年1月4日至2017年8月25日上證指數(shù)每日收盤價序列擬合ARCH模型，并考察條件異方差和無條件方差的差別。本章內(nèi)容異方差的問題0102方差齊性變換ARCH模型GARCH模型050403GARCH衍生模型GARCH模型的產(chǎn)生背景Engle的學生TimBollerslev（1986）對美國1948年2季度-1983年4季度GNP平減指數(shù)（GNPDeflator)的對數(shù)序列建模，他擬合了如下兩個模型模型一：方差齊性模型模型二：條件異方差模型美國GNP平減指數(shù)誤差平方序列具有長期相關，上述ARCH(8)模型都不能將波動信息提取充分ARCH模型的短期相關屬性ARCH模型的實質是使用殘差平方序列的ｑ階移動平均擬合當期異方差函數(shù)值由于移動平均模型具有自相關系數(shù)q階截尾性，所以ARCH模型實際上只適用于異方差函數(shù)短期自相關過程。但是在實踐中，有些殘差序列的異方差函數(shù)是具有長期自相關性的，這時如果使用ARCH模型擬合異方差函數(shù)，將會產(chǎn)生很高的移動平均階數(shù)。這會增加參數(shù)估計的難度并最終影響ARCH模型的擬合精度。Bollerslev基于這種考慮，提出了廣義自回歸條件異方差模型（generalizedautoregressiveconditionalheteroskedasticmodel），簡記為GARCH（1，1）模型最早的GARCH模型Bollerslev（1986）對ARCH模型進行改進，引入異方差的歷史信息，擬合了如下形式的條件異方差模型為了更清楚地理解GARCH模型的實質，把異方差序列視作為響應序列，把殘差平方序列視作為隨機擾動項序列，那么ARCH模型實際上就是關于的q階移動平均的模型。而GARCH模型實際上就是關于的p階自相關，關于的q階移動平均的模型。顯然ARCH模型是GARCH模型的一個特例。具有條件異方差屬性的單變量序列完整的分析結構均值模型條件異方差模型異方差屬性，分布假定一個完整的條件異方差模型，就是由這三部分：均值模型，條件異方差模型和分布假定構成的。擬合GARCH模型的步驟擬合GARCH模型的步驟如下：第一步：構建水平模型，提取序列均值中蘊涵的相關信息。第二步：檢驗殘差序列是否具有條件異方差特征。第三步：對具有條件異方差特征的序列擬合GARCH模型。第四步：檢驗擬合模型的優(yōu)劣，優(yōu)化模型。第五步：使用擬合模型進行預測。PP檢驗建立條件異方差模型，首先需要提取序列的均值（確定性）信息，而最常使用的均值模型是ARIMA模型。要建立ARIMA模型，必須首先對序列的平穩(wěn)性進行判斷。而ADF檢驗是在方差齊性假定下構造的平穩(wěn)性檢驗統(tǒng)計量。它對異方差序列的平穩(wěn)性檢驗可能會有偏差。Phillips和Perron在1988年對ADF檢驗進行了非參數(shù)修正，提出了Phillips-Perron檢驗統(tǒng)計量，簡稱為PP檢驗。該檢驗統(tǒng)計量適用于異方差場合的平穩(wěn)性檢驗。PP統(tǒng)計量的構造修正后的統(tǒng)計量和τ統(tǒng)計量具有相同的極限分布。這就意味著對于異方差序列只需要在原來τ統(tǒng)計量的基礎上進行一定的修正，構造出統(tǒng)計量。統(tǒng)計量不僅考慮到自相關誤差所產(chǎn)生的影響，還可以繼續(xù)使用τ統(tǒng)計量的臨界值表進行檢驗，而不需要擬合新的臨界值表。例7-2續(xù)對2013年１月４日至2017年８月25日上證指數(shù)每日收盤價序列提取均值信息.該序列時序圖呈現(xiàn)出典型的先遞增后遞減的非平穩(wěn)趨勢特征。使用１階差分運算提取該序列的確定性趨勢信息。差分后序列呈現(xiàn)出典型的集群效應。考慮方差非齊的影響，對差分后序列平穩(wěn)性的檢驗，最好使用PP檢驗。上證指數(shù)序列時序圖上證指數(shù)1階差分后序列時序圖差分后序列PP檢驗上證指數(shù)1階差分后序列PP檢驗PP檢驗結果：1階差分后序列平穩(wěn)。異方差序列純隨機性檢驗傳統(tǒng)的純隨機性檢驗都是借助LB檢驗統(tǒng)計量進行的，而LB檢驗統(tǒng)計量是在序列滿足方差齊性的假定下構造的。當序列存在異方差屬性時，LB統(tǒng)計量不再近似服從卡方分布。也就是說，在條件異方差存在的場合，白噪聲檢驗結果可能不再準確。通常出現(xiàn)的問題就是殘差序列之間的相關系數(shù)已經(jīng)很小，近似白噪聲序列，但是白噪聲檢驗結果卻顯示LB檢驗統(tǒng)計量的Ｐ值很小。這時不能單純依據(jù)LB檢驗統(tǒng)計量的結果做出判斷。在異方差可能存在的場合，LB檢驗結果只能作為參考信息之一，同時還要參考自相關系數(shù)的大小，如果自相關系數(shù)都很小（比如都小于０.２），可以認為序列近似白噪聲序列。例7-2續(xù)上證指數(shù)每日收盤價1階差分序列，進行純隨機性檢驗。白噪聲檢驗結果白噪聲檢驗結果：例7-2續(xù)：差分后序列純隨機性檢驗上證指數(shù)1階差分后序列純隨機性檢驗白噪聲檢驗結果：LB檢驗的P值都極小，方差齊性假定下的判斷是該序列為非白噪聲序列。但本例可能方差非齊，且延遲各階的自相關系數(shù)都很小，最大的。所以綜合考慮，可以認為差分后序列近似為白噪聲序列。所以上證指數(shù)的均值模型為ARIMA(0,1,0)模型：條件異方差檢驗提取了均值信息后，需要對殘差序列進行條件異方差檢驗，判斷是否需要進一步擬合條件異方差模型條件異方差檢驗，也稱為ARCH檢驗。ARCH檢驗是一種特殊的異方差檢驗，它不僅要求序列具有異方差性，而且要求這種異方差性是由某種自相關關系造成的，這種自相關關系可以用殘差序列的自回歸模型進行擬合。常用的兩種ARCH檢驗統(tǒng)計量1983年Mcleod和Li提出了PortmanteauQ統(tǒng)計量1982年Engle提出的拉格朗日乘子檢驗，簡記為LM統(tǒng)計量PortmanteauQ檢驗構造思想如果殘差序列方差非齊，且具有集群效應，那么殘差平方序列通常具有自相關性。所以方差非齊檢驗可以轉化為殘差平方序列的自相關性檢驗。假設條件：檢驗統(tǒng)計量LM檢驗構造思想假如殘差序列方差非齊，且具有集群效應，殘差平方序列通常具有自相關性。那么我們就可以嘗試使用自回歸模型擬合殘差平方序列，于是方差齊性檢驗就可以轉化為這個方程是否顯著成立的檢驗假設條件檢驗統(tǒng)計量例7-2續(xù)對2013年１月４日至2017年８月25日上證指數(shù)每日收盤價序列進行ARCH檢驗。Ｑ檢驗和LM檢驗12階延遲都顯示該序列顯著方差非齊，這說明殘差平方序列中存在長期的相關關系。這種情況下，通?？梢杂酶唠AARCH模型或者低階GARCH模型提取殘差平方序列中蘊涵的相關關系。GARCH模型的參數(shù)估計條件最小二乘估計方法GARCH(p,q)模型的誤差平方和為使得Q達到最小的參數(shù)值即該GARCH模型的條件最小二乘估計值極大似然估計方法GARCH(p,q)模型的對數(shù)似然函數(shù)為使得似然函數(shù)最大的參數(shù)值即為該GARCH模型的極大似然估計值例7-2續(xù)對2013年1月4日至2017年8月25日上證指數(shù)每日收盤價序列擬合GARCH模型，并估計模型的未知參數(shù)。要擬合GARCH模型首先需要對模型定階。Q檢驗和LM檢驗結果顯示殘差平方序列具有長期相關。這種情況下，通常是嘗試擬合高階ARCH模型或低階GARCH模型。擬合模型一：ARCH（4）模型?；跇O大似然估計得到的擬合模型為擬合模型二：GARCH(1,1)模型?；跅l件最小二乘估計得到的擬合模型為擬合檢驗GARCH模型擬合出來之后，我們需要對它進行擬合檢驗。檢驗內(nèi)容主要包括如下三個方面參數(shù)顯著性檢驗參數(shù)顯著性檢驗和ARIMA模型的參數(shù)顯著性檢驗一樣，構造t分布檢驗統(tǒng)計量在顯著性水平取為時，如果t統(tǒng)計量的P值小于，認為該參數(shù)顯著非零。反之，參數(shù)不顯著非零，可以刪除該參數(shù)。模型顯著性檢驗分布檢驗模型顯著性檢驗殘差序列標準化，殘差平方序列標準化模型顯著成立的要求：均值模型中相關信息提取充分——標準化殘差序列為白噪聲序列方差模型中相關信息提取充分——標準化殘差平方序列為白噪聲序列分布檢驗圖檢驗方法殘差序列的QQ圖殘差序列的直方圖統(tǒng)計檢驗方法正態(tài)分布假定下，可以使用JB檢驗統(tǒng)計量該統(tǒng)計量的構造思想是，借助正態(tài)分布的偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)構造出一個服從自由度為2的卡方分布統(tǒng)計量例7-2續(xù)對2013年1月4日至2017年8月25日上證指數(shù)每日收盤價序列進行擬合檢驗和模型優(yōu)化。模型比較：GARCH(1,1)模型的AIC和BIC信息量都比ARCH(4)模型小，所以這兩個擬合模型進行比較，GARCH(1,1)模型相對更優(yōu)GARCH(1,1)模型擬合檢驗（1）參數(shù)顯著性檢驗：所有參數(shù)均顯著非零例7-2續(xù)模型顯著性檢驗標準化殘差序列白噪聲檢驗標準化殘差平方序列白噪聲檢驗條件異方差信息提取充分均值模型對水平信息提取不充分需要進一步考慮是水平定階不準確造成的，還是分布假定不合適造成的正態(tài)分布檢驗圖檢驗JB檢驗圖檢驗和JB檢驗結果都顯示：上證指數(shù)序列不服從正態(tài)分布。如果對現(xiàn)有擬合精度不滿意，應該選擇比正態(tài)分布更尖峰的假定分布。模型預測序列預測值方差等于條件異方差場合，序列預測方差等于正態(tài)分布假定下，預測值95%置信區(qū)間例7-2續(xù)基于2013年1月4日至2017年8月25日上證指數(shù)每日收盤價序列，分別在方差齊性假定和條件異方差假定下，求該序列未來5期的95%置信區(qū)間方差齊性假定下的預測值與95%置信區(qū)間方差非齊假定下的預測值與95%置信區(qū)間可以查到未來五個工作日上證指數(shù)的真實收盤價為3362.653365.233363.633360.813367.12兩種假定下得到的置信區(qū)間都包含了序列真實值。但條件異方差假定下得到的置信區(qū)間范圍更窄，說明它的精度更高。例7-2續(xù)從圖中我們可以清楚地看到，當序列大幅波動時條件異方差置信區(qū)間更寬，序列小幅波動時條件異方差置信區(qū)間更窄。這說明條件異方差模型對序列波動風險的擬合和預測通常更準確。兩種方差假定下置信區(qū)間比較圖本章內(nèi)容異方差的問題0102方差齊性變換ARCH模型GARCH模型050403GARCH衍生模型GARCH模型的不足（1）它對參數(shù)的約束條件非常嚴格，參數(shù)的約束條件一定程度上限制了GARCH模型的適用面方差非負的要求，導致了參數(shù)非負的約束條件無條件方差存在且方差非負的要求，導致了參數(shù)和小于1的約束條件GARCH模型的不足（2）它對正負擾動的反應是對稱的，這與實際情況不符。擾動項是真實值與預測值之差。如果擾動項為正，說明真實值比預測值大，對于投資者而言就是獲得超預期收益。如果擾動項為負，說明真實值比預測值小，對于投資者而言就是出現(xiàn)了超預期的虧損。以模型ARCH（1）為例，

，理論上無論

是正是負，它對下一期的影響系數(shù)都是

。這意味著無論上一期的投資是收益還是虧損，對投資人下一期的投資行為的影響是一樣的，這與實際情況不符。大量的實踐經(jīng)驗顯示，投資人在面對收益和虧損時的反應不是對稱的。出現(xiàn)收益時，通常反應比較慢；出現(xiàn)虧損時，通常反應比較快。忽視這種信息的不對稱性，有時會影響預測的精度。GARCH衍生模型基于GARCH模型的這些不完善的地方，產(chǎn)生了很多GARCH衍生模型我們在此介紹使用最多、發(fā)展最為成熟的三個衍生模型：EGARCHIGARCHGARCH-MEGARCH模型Nelson于1991年提出Exponential

GARCH模型，我們稱之為指數(shù)GARCH模型，簡記為EGARCH。EGARCH(p,q)模型完整結構如下EGARCH模型的改進第一個改進：響應變量由條件方差變成了條件方差的對數(shù)?？梢允钦龜?shù)，也可以是負數(shù)。這導致參數(shù)不需要滿足方差非負假定。因此，EGARCH模型的第一個改進是放松了對GARCH模型的參數(shù)約束。第二個改進：自變量由誤差平方變成了加權擾動函數(shù)。通過特殊的函數(shù)構造，能對正負擾動進行非對稱處理。例7-3擬合1961年５月17日至1962年11月２日IBM股票每日收盤價序列。序列差分平穩(wěn)對IBM收盤價序列進行1階差分，檢驗結果顯示，該序列1階差分后平穩(wěn)1階差分后殘差圖1階差分后殘差序列PP檢驗結果白噪聲檢驗差分后序列為白噪聲序列差分后序列的自相關圖和偏自相關圖也顯示出白噪聲屬性條件異方差檢驗Q統(tǒng)計量和LM檢驗都顯示，殘差序列具有長期相關的條件異方差屬性。條件異方差模型擬合一擬合模型一：GARCH(1,1)該擬合模型的AIC=2504.15，BIC=2508.06條件異方差模型擬合二擬合模型二：EGARCH(1,1)擬合理由：