2021中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編（含答案）-四邊形解答題1

2021中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編-四邊形解答題1

一.平行四邊形的性質(zhì)（共3小題）

1.（2021*寧夏）如圖，8。是。483的對角線，的平分線交初于點￡NBCD的平

分線交劭于點￡求證：AE//CF.

2.（2021?青島）如圖，在口彳8切中，￡■為切邊的中點，連接班■并延長，交4?的延長線

于點尸，延長。至點G,使DG=DE,分別連接AG,FG.

（1）求證：2BCE@4FDE;

3.（2021?桂林）如圖，在平行四邊形彳8緲中，點0是對角線劭的中點，EF過點0,交

AB于點、E,交切于點尸.

（1）求證：Z1=Z2：

（2）求證：4DOM4BOE.

二.平行四邊形的判定（共2小題）

4.（2021?內(nèi)江）如圖，點4D、C、8在同一條直線上，AC=BD,AE=BF,AE//BF.

求證：（1）4ADEq叢BCF；

（2）四邊形。吩是平行四邊形.

1/127

p

B

5.（2021?郴州）如圖，四邊形力觥中，AB=DCt將對角線47向兩端分別延長至點￡F,

使AE=CF.連接BE,DF,若BE=DF.證明：四邊形48山是平行四邊形.

三.平行四邊形的判定與性質(zhì)（共1小題）

6.（2021*丹東）如圖，在平行四邊形48CZ?中，點0是4。的中點，連接G0并延長交朋

的延長線于點￡連接加、DE.

（1）求證：四邊形4?巫是平行四邊形：

（2）若A8=AC,判斷四邊形AC"的形狀，并說明理由.

四.菱形的性質(zhì)（共2小題）

7.（2021*濟南）已知：如圖，在菱形4仇步中，E,尸分別是邊4。和刃上的點，且NME

8.（2021*沈陽）如圖，在菱形八8co中，點、M,〃分別是邊8C,。。上的點，BM=±BC,DN

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=3DC,連接4/,AN,延長/〃交線段8C延長線于點￡

4

(1)求證：4ABg4ADN：

(2)若47=4,則/■的長是.

五.菱形的判定(共3小題)

9.(2021-淮安)已知：如圖，在oABCD中，點、E、尸分別在4?、BC上,且緋平分N48C,

EF//AB.求證：四邊形彳8任是菱形.

10.(2021?鎮(zhèn)江)如圖，四邊彩加緲是平行四邊形，延長。4BC,使得4E=CF,連接8E,

DF.

(1)求證：XAB3XCDF，、

(2)連接8。Z1=30°,N2=20°,當(dāng)￡ABE=°時，四邊形877應(yīng)是菱形.

11.(2021?鞍山)如圖，在口ABCD中,G為8c邊上一點，DG=DC,延長。G交48的延長線

于點￡過點力作”■〃所交⑺的延長線于點尸.求證：四邊彩/辦是菱形.

12.(2021*濱州)如圖，矩形46緲的對角線47、劭相交于點0,BE"AC,AE//BD.

(1)求證：四邊形維是菱彬；

(2)若/A08=60°,AC=A,求菱形水片E的面積.

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D

13.(2021*巴中)如圖，四邊形力中，AD//BC,A8=AD=CD=1BC.分別以8、。為圓

2

心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點〃畫射線加交8c于&連接。底.

2

(1)求證：四邊形/眄為菱杉；

(2)連接8a當(dāng)g=5時，求及?的長.

14.(2021?玉林)如圖，在四邊形48勿中，對角線47與8。交于點0,已知7=OC,OB

=OD,過點0作日」8。分別交力8、DC于點E,F,連接?！闎F,AF.

(1)求證：四邊形?！戥h(huán)是菱形；

(2)設(shè)4?〃防A[h-AB=n,8。=4?,求力廠的長.

15.(2021?鹽城)如圖，D、E、下分別是△48C各邊的中點，連接?！闑F、AE.

(1)求證：四邊形?!〃￡下為平行四邊形；

(2)加上條件后,能使得四邊形4?中為菱形，請從①NS4a90°：②/￡平分

N8AC：③48=4;這三個條件中選擇1個條件填空(寫序號)，并加以證明.

七.矩形的性質(zhì)(共4小題)

16.(2021*益陽)如圖，在矩形彳8緲中，已知48=6,N080=30：求4?的長.

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17.(2021*雅安)如圖，為等腰直角三角形，延長)至點8使仍=勿，四邊形彳8微

是矩形，其對角線47,劭交于點￡,連接應(yīng)■交4?于點￡

(1)求證：△》足△加8：

(2)求典的值.

AF

18.(2021-呼和浩特)如圖，四邊形力町是平行四邊形，8f〃。廠且分別交對角線4c于點

E,F.

(1)求證：慮△冰；

(2)當(dāng)四邊形48切分別是矩杉和菱形時，請分別說出四邊形陽力的形狀.(無需說明

理由)

19.(2021-貴陽)如圖，在矩形彳8緲中，點〃在。C上，AM=AB,且8也LM,垂足為〃

(1)求證：△453△物0：

(2)若4?-2,AN-A,求四邊形的面積.

八.矩形的判定與性質(zhì)(共1小題)

20.(2021*西寧)如圖，四邊形/仇步是菱形，對角線4C,8。相交于點0,XBOMRCEB.

(1)求證：四邊形08&?是矩杉；

(2)若N4宓=120°,48=6,求矩形的周長.

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D

九.正方形的性質(zhì)(共6小題)

21.(2021*德州)如圖，點￡下分別在正方形4仇步的邊48,力。上，且AE=DF,點G,H

分別在邊48,8c上，且FG上EH,垂足為只

(1)求證：FG=EH\

(2)若正方形483邊長為5,AE=2,tanN4G廠=3,求中的長度.

22.(2021*牡丹江)如圖1,四邊形483是正方形，點￡■是邊宓的中點，Z.AEF=9N,

且配交正方形外角的平分線終于點尸，過點尸做尸GJ_8C于點G,連接4C.易證:AC=迎

(E儕FG.(提示：取48的中點機連接嬴

(1)當(dāng)點￡是8c邊上任意一點時，如圖2：當(dāng)點￡在比延長線上時，如圖3.請直接

寫出47,EC,尸G的數(shù)量關(guān)系，并對圖2進(jìn)行證明：

(2)已知正方形48切的面積是27,連接當(dāng)△彳8￡中有一個內(nèi)角為30°時，W']AF

的長為.

23.(2021*梧州)如圖，在正方形48CD中，點、￡,尸分別為邊8a微上的點，且AE工BF

于點P,G為4?的中點，連接GP,過點P作PHA.GP交48于點H,連接GH.

(1)求證：BE=CF?,

(2)若48=6,BE=^BC,求G/Z的長.

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24.(2021*哈爾濱)已知四邊形微是正方形，點￡在邊%的延長線上，連接綏交力8

于點G,過點8作BMLCE,垂足為點M,儲的延長線交4?于點F,交約的延長線于點H.

(1)如圖1,求證：CE=BH\

(2)如圖2,若力—彳8,連接陰在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的

四個三角形(△/&?除外)，使寫出的每個三角形都與△4EG全等.

25.(2021*福建)如圖，在正方形彳8緲中，E,尸為邊48上的兩個三等分點，點4關(guān)于筵

的對稱點為4,44'的延長線交8c于點6

(1)求證：DE//ArF：

(2)求NQT8的大小;

(3)求證：4C=2A,B.

26.(2021-荊門)如圖，點￡■是正方形彳灰笫的邊打?上的動點，NAEF=90°,且EF=AE,

FH1BH.

(1)求證：BE=CH;

(2)連接DF,若4Q3,BE=x,用含x的代數(shù)式表示。尸的長.

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AD

一十.正方形的判定(共1小題)

27.(2021?興安盟)如圖，4?是△/I8C的角平分線，DELAB,DFA-AC,垂足分別是￡F,

連接M用與4?相交于點"

(1)求證：ADLEF\

(2)△A8C滿足什么條件時，四邊形彳￡/7尸是正方形？說明理由.

一十一.四邊形綜合題(共33小題)

28.(2021?日照)問題背景：

如圖1,在矩形48co中,AB=2氏,N4劭=30°，點￡■是邊的中點，過點f作

工AB燹BD千點、F.

實險探究：

(1)在一次數(shù)學(xué)活動中，小王同學(xué)將圖1中的△婀繞點8按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,如

圖2所示，得到結(jié)論：①延=;②直線/￡?與爐所夾銳角的度數(shù)為.

DF

(2)小王同學(xué)繼續(xù)將△阪繞點8按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請問探

究(1)中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，當(dāng)△死尸旋轉(zhuǎn)至。、E、廠三點共線時，則△?!紙的面積為.

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DC

29.(2021-攀枝花)如圖，在直角梯形ABCD中，NA=48=90°,4蛇12,8C=14,AD

=9,線段8c上的點戶從點〃運動到點QN4?P6勺角評分線。0交以“為直徑的圓制于

點。，連接版

(1)當(dāng)點P不與點8重合時，求證：PQ斗分匕BPD：

(2)當(dāng)圓加與直角梯形力8微的邊相切時，請直接寫出此時8戶的長度；

(3)動點P從點8出發(fā)，運動到點C停止，求點。所經(jīng)過的路程.

30.(2021*阿壩州)如圖1,正方形彳8⑺的對角線彳C,劭相交于點。E是邊8c上一點,

連接巫交/I。于點F,連接BF.

(1)求證：△戚口△緲尸；

(2)如圖2,過點尸作好的垂線，交8c的延長線于點G,交OB于點N.

①求證：FB=FG\

②若tanN8〃E=2，ON=1,求GG的長.

2

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31.(2021*蘭州)已知正方形A8CD,E,尸為平面內(nèi)兩點.

【探究建模】

(1)如圖1,當(dāng)點f在邊48上時，DE1DF,且8,C,廠三點共線.求證：AE=CF\

【類比應(yīng)用】

(2)如圖2,當(dāng)點E在正方形48CD外部時，DELDF,AEA.EF,且￡C,尸三點共線.

①(1)中的結(jié)論44次還成立嗎？請說明理由；

②猜想并證明線段〃；CE,比之間的數(shù)量關(guān)系.

32.(2021*蘭州)已知正方形力血力，E,尸為平面內(nèi)兩點.

【探究建?！?/p>

(1)如圖1,當(dāng)點￡■在邊四上時，DELDF，且8,C,廠三點共線.求證：AE=CF\

【類比應(yīng)用】

(2)如圖2,當(dāng)點￡在正方形思緲外部時，DEA.DF,AE1.EF,且￡C,廠三點共線.猜

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想并證明線段力￡CE,8之間的數(shù)量關(guān)系；

【拓展遷移】

(3)如圖3,當(dāng)點￡在正方形力68外部時，AhEC,AE±AF,DEIBE,且。，F(xiàn),E三點、

共線，DE馬AB史干G點.若DF=3,AE=42,求應(yīng)■的長.

33.(2021*青島)已知：如圖，在矩形4仇2和等腰RtZ^/l筵中，*=8皿AD=AE=6cm,

4DAE=90°.點P從點8出發(fā)，沿外方向勻速運動，速皮為IcHs；同時，點。從點0

出發(fā)，沿班方向勻速運動，速度為1cWs.過點。作。仞交4。于點“交優(yōu)于點

M,過點。作QN//BC,交辦于點M分別連接00,PM,設(shè)運動時間為t(s)(0<t<8).解

答下列問題：

(1)當(dāng)PQ1BD時,求t的值:

(2)設(shè)五邊形以例/0的面積為S(“)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)。。=必/時，求七的值；

(4)若/W與47相交于點肥分別連接的和&f在運動過程中，是否存在某一時刻亡，

使N4%=/沏？若存在，求出士的值；若不存在，請說明理由.

34.(2021?濟南)在△48C中，^BAC=9Q°,AB=AC,點、D在邊BC上,BD=、BC,將線

3

段繞點。順時針旋轉(zhuǎn)至DE,記旋轉(zhuǎn)角為a,連接BE,CE,以優(yōu)?為斜邊在其一側(cè)作等

腰直角三角形龐尸，連接力￡

(1)如圖1,當(dāng)Q=180°時，請直接寫出線段彳尸與線段維的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)0°<a<180°時，

①如圖2,(1)中線段彳門與線段維的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；

②如圖3,當(dāng)8,E,廠三點共線,時，連接力￡判斷四邊形尸的招狀，并說明理由.

35.(2021?鎮(zhèn)江)如圖1,Z/1=ZB=ZC=ZD=Z￡=ZF=90°,AB,FE,。。為鉛直方

向的邊，AF,ED,勿為水平方向的邊，點￡■在/18,切之間，且在彳尸，8c之間,我們稱

這樣的圖形為“圖形”，記作“L四形ABCDEF'.若直線將2圖形分成面積相等的兩個圖

形，則稱這樣的直線為該￡圖杉的面積平分線.

【活動】

小華同學(xué)給出了圖1的面積平分線的一個作圖方案：如圖2,將這個1圖形分成矩形4G仄

矩形G8CD,這兩個矩形的對稱中心如小所在直線是該Z■圖形的面積平分線.

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請用無刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線.(作出一種即可，不寫作法，保留作

圖痕跡)

圖1

【思考】

如圖3,直線a2是小華作的面積平分線，它與邊8a力廠分別交于點肌N,過郴的中

點0的直線分別交邊BC,/尸亍點P,0,直線PQ(填“是”或“不是")L圖形

ABCOEF的面積平分級.

【應(yīng)用】

在/.圖形48戊土尸形中，已知形=4,BC=6.

(1)如圖4,CD=AF=}.

①該/.圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點只Q,求加長的最大值；

②該Z.圖般的面積平分線與邊48,緲分別相交于點G,H,當(dāng)劭的長取最小值時，BG的

長為.

(2)設(shè)型=下(七>0),在所有的與鋅直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有

AF

與邊力民”相交的面積平分線，直接寫出亡的取值范圍.

36.(2021*盤錦)如圖，四邊形切是正方形，△呼為等腰直角三角形，N&?尸=90°,

點、E在BC上，點、F在CD上，N為EF的中點,連接陰，以NA、柝為鄰邊作。日G,連

接。G,DN,將RtZifC廠繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°WQW360°).

(1)如圖1,當(dāng)a=0°時，0G與ZW的關(guān)系為.

(2)如圖2,當(dāng)0°Va<45°時，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；

若不成立，請說明理由.

(3)在Rt△呼的旋轉(zhuǎn)過程中.當(dāng)。41日G的頂點G落在正方形四夕?的邊上，且48=12,

1=5加時，連接請直接寫出G/V的長.

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37.（2021?阜新）在圖1中似乎包含了一些曲線，其實它們是由多條線段構(gòu)成的.它不但

漂亮，還蘊含著很多美妙的數(shù)學(xué)結(jié)論.如圖，在正方形48微中，E,尸分別是直線48,

8c上的點（￡尸在直線47的兩側(cè)），且人E=CF.

（1）如圖2,求證：DE=DF；

（2）若直線4?與戶相交于點G,

①如圖3,求證：DG工EF；

②設(shè)正方形48CZ7的中心為0,乙CFE=Q,用含a的式子表示NZ?G0的度數(shù)（不必證明）.

38.（2021*南通）如圖，正方形48切中，點E在邊4。上（不與端點4。重合），點/關(guān)

于直線比■的對稱點為點尸，連接CF,設(shè)N48E=a.

備用圖

（1）求N/產(chǎn)的大小（用含a的式子表示）；

（2）過點C作CGJ■直線〃；垂足為G,連接。G.判斷分與次的位置關(guān)系，并說明理

由；

（3）將△/!能繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△明/，點￡的對應(yīng)點為點//,連接8廠，HF.當(dāng)

△8/7/為等腰三角形葉，求sina的值.

39.（2021*廣州）如圖，在菱形四緲中，ZDAB=6Q°,48=2,點￡為邊48上一個動點，

延長班到點尸，使"■=〃，且CF、如相交于點G.

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備用圖

(1)當(dāng)點￡運動到48中點時，證明：四邊形。田?是平行四邊形；

(2)當(dāng)?shù)?2時，求的長：

(3)當(dāng)點￡■從點彳開始向右運動到點8時，求點G運動路徑的長度.

40.(2021*丹東)已知，在正方形483中，點依”為對角線47上的兩個動點，且/砌/

=45°,過點“、"分別作＞18、8C的垂線相交于點￡垂足分別為F、G,設(shè)的面積

圖1圖2

(1)如圖(1),當(dāng)四邊形日NG為正方形時，

①求證：XAF磔

②求證：$=$+$.

(2)如圖(2),當(dāng)四邊形曰諛?為矩形時，寫出S,￡,S三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由；

(3)在(2)的條件下，若BG:GC=m:n(加＞〃)，請直接寫出"：FB的值.

41.(2021?淄博)已知：在正方形彳員簿的邊8c上任取一點尸，連接"；一條與?!打垂直的

直線/(垂足為點0沿4廠方向，從點彳開始向下平移，交邊48于點￡

(1)當(dāng)直線/經(jīng)過正方形力巡的頂點。時，如圖1所示.求證：AE=BF\

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(2)當(dāng)直線/經(jīng)過4尸的中點時，與對角線8,交于點0,連接如圖2所示.求N4r0

的度數(shù)：

(3)直線/繼續(xù)向下平移，當(dāng)點戶恰好落在對角線6。上時，交邊加于點G,如圖3所

示.設(shè)48=2,BF=x,DG=y,求y與4之間的關(guān)系式.

42.(2021*徐州)如圖1,正方彩48C。的邊長為4,點"在邊力。上(P不與4、。重合)，

連接PB、PC.將線段外繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PE,將線段外繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)

90°得到PF,連接EF、EA.FD.

(1)求證：

①△見尸的面積S=LPF；

2

②EA=FD；

43.(2021-鄂爾多斯)旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時往往可以

通過旋轉(zhuǎn)解決問題.

圖③

(1)嘗試解決：如圖①，在等腰RtZU8C中，/外餐90°,48=AC,點附是8c上的一

點，BM=\cm,CM=2cm,將△/!幽繞點4旋轉(zhuǎn)后得到△?!紐連接勵V.則4/=cm.

(2)類比探究：如圖②，在“箏形”四邊形彳成步中，AB=AD=a,CB=CD,AB上8c于點、

B,AD工CD于點D,點P、0分別是彳8、4?上的點，且，PC濟ZQCD=4PCQ,求圖的

周長.(結(jié)果用a表示)

(3)拓展應(yīng)用：如圖③，已知四邊形ABCD,AD=CDtNADC=6Q°,NABC=75°,AB

=2近，BC=2,求四邊形力8辦的面積.

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44.(2021*黔東南州)在四邊形力8緲中，對角線47平分N840.

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖①，若N64P=120。，/ABC=/ADC=qqc.求證：A(^AB=AC\

【拓展遷移】

(2)如圖②，若N夕步=120°,NA8O/ADC=180°.

①猜想48、AD./C三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若47=10,求四邊形483的面積.

DD

圖①圖②

45.(2021*煙臺)有公共頂點4的正方形48必與正方形廠按如圖1所示放置，點￡F

分別在邊48和4?上，連接防DE,〃是8廠的中點，連接4照交應(yīng)■于點M

【觀察猜想】

(1)線段］應(yīng)與力"之間的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是:

【探究證明】

(2)將圖1中的正方形4EG廠繞點力順時針旋轉(zhuǎn)45°,點G恰好落在邊48上，如圖2,

其他條件不變，線段然與力制之間的關(guān)系是否仍然成立？并說明理由.

48于點E,將線段E8繞點、￡■順時針旋轉(zhuǎn)2Q得線段EP.

2

(1)如圖1,當(dāng)a=120。時，連接力只請直接寫出線段4P和線段4C的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)a=90°時，過點、8作8F工EP于點、F,連接彳尸，請寫出線段“：AB,

4?之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

(3)當(dāng)a=120°時，連接4只若BE=±AB,請直接寫出△?!隹與△緲弓面積的比值.

2

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47.(2021?棗莊)如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概,念理解：如圖2,在四邊形中，AB=AD,CB=CD,問四邊形483是垂美四

邊形嗎？請說明理由；

(2)性質(zhì)探究：如圖1,垂美四邊形四。，的對角線4C,8。交于點0.猜想：44+勿!與

4A8d有什么關(guān)系？并證明你的猜想.

(3)解決問題：如圖3,分別以RtZU第的直角邊4;和斜邊48為邊向外作正方形4;廠G

和正方形43次；連結(jié)勿，BG,GJ巳知/4A4,AA5,求GZ7的k.

48.(2021*吉林)如圖①，在RtZUBC中，NACB=90°,N/l=60°,微是斜邊48上的

(1)若48=a.直接寫出紗的長(用含a的代數(shù)式表示)：

(2)若DEL8a垂足為G,點尸與點。在直線龍的異側(cè)，連接近如②，判斷四邊形

ADFC的形狀,并說明理由；

(3)若DF工AB,直接寫出N文的度數(shù).

49.(2021*吉林)如圖，在矩形48C0中,AB=3cm,AD=^3cm.動點"從點力出發(fā)沿折

線48-8c向終點C運動，在邊絲上以1c/s的速度運動；在邊比上以正cWs的速度

運動，過點"作線段內(nèi)與射線%相交于點。，且NPQD=60°,連接外，BD.設(shè)點"的

運動時間為x(s),△80與△，宓重合部分圖形的面積為y(cM).

17/127

(1)當(dāng)點P與點4重合時，直接寫出。0的長；

(2)當(dāng)點P在邊8c上運動時，直接寫出8P的長(用含x的代數(shù)式表示)；

(3)求v關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范

50.(2021?長春)實踐與探究

操作一：如圖①，已知正方形激片48緲，將正方形紙片沿過點力的直線折僉，使點8落

在正方形48C0的內(nèi)部，點、8的對應(yīng)點為點M,折痕為AE,再將紙片沿過點/的直線折疊，

使4?與彳"重合，折痕為“；則/￡4尸=度.

操作二：如圖②，將正方形紙片沿爐繼續(xù)折疊，點。的對應(yīng)點為點〃我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點

E的位置不同時，點力的位置也不同.當(dāng)點￡在8c邊的某一位置時，點“恰好落在折痕

47上，則N〃7~=度.

在圖②中，運用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：

(1)設(shè)4"與傷的交點為點只求證：匕AN2XFNE：

(2)若48=e，則線段4P的長為.

51.(2021*綏化)如圖所示，四邊形48緲為正方形，在/中，Z￡Z^=90°,CE=CH,

傕的延長線與少的延長線交于點E點以B、/?在同一條直線上.

(1)求證：△睦且△渤：

(2)當(dāng)里，時，求里的值；

HD5FC

(3)當(dāng)HB=3,//44時，求sinN/E的值.

52.(2021*貴陽)(1)閱讀理解

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我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.漢

代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽

弦圖

根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；

(2)問題解決

勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形力好的中心0,

施■FG1HP,將它分成4份，所分成的四部分和以8c為邊的正方形恰好能拼成以48為邊

的正方形.若芥=12,BC=5,求)的值；

(3)拓展探究

如圖③，以正方形一邊為斜邊句外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向

外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形.設(shè)大正方形力的邊長為

定值,，小正方形4B,Q。的邊長分別為a,b,c,d.

已知N1=N2=N3=a,當(dāng)角a(0°<a<90°)變化時，探究6與c的關(guān)系式，并

寫出該關(guān)系式及解答過程(6與c的關(guān)系式用含〃的式子表示).

53.(2021*齊齊哈爾)綜合與實踐

教學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高

動手動腦能力，拓展思維空間,豐富數(shù)學(xué)體臉，讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪

一剪，體會活動帶給我們的樂趣.

折一折：將正方形紙片彳燈力折疊，使邊48、4。都落在對角線4c上，展開得折痕AE.AF,

連接EF,如圖1.

(1)乙EAF=°,寫出圖中兩個等腰三角形：(不需要添加字母)；

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的N以尸繞點4旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、◎于點P、Q,連接PO,

如圖2.

(2)線段80、PO、加之間的數(shù)量關(guān)系為;

(3)連接正方形對角線劭，若圖2中的N2I0的邊力只分別交對角線8Z?于點席、點

N,如圖3,則型=;

BM

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線8。剪開，如圖4.

(4)求證:B而+Dft=Mfi.

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圖4

54.(2021*廣西)如圖①，在△48。中，AD工BC于點、D,宓=14,A0=8fBD=6,點、E是

4?上一動點(不與點4,0重合)，在AADC內(nèi)作矩形EFGH,點F在DC上，點G,H在AC

上，設(shè)DE=x,連接8E

(1)當(dāng)矩形次W是正方形時，直接寫出爐的長；

Si

(2)設(shè)△/!能的面積為￡,矩形EFGH的面積為&,令y=」_,求y關(guān)于x的函數(shù)解析

s2

式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；

(3)如圖②，點P(a,b)是(2)中得到的函數(shù)圖象上的任意一點，過點P的直線/

圖①圖②

55.(2021*海南)如圖1,在正方形48CD中，點￡是邊8c上一點，且點、￡不與點、8、C重

合，點尸是縱的延長線上一點，且AF=CE.

(1)求證：△OG之△勿尸；

(2)如圖2,連接防交4?于點過點、D作所上EF,垂足為//,延長力/交8尸于點G,

連接做HC.

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①求證：HD=HB\

②若MHC=近,錄HE的長.

圖1圖2

56.(2021?無錫)已知四邊形/仇力是邊長為1的正方形，點￡■是射淺8C上的動點，以/￡

為直角邊在直線8c的上方作等腰直角三角形4MN4￡F=90°,設(shè)BE=m.

備用圖

(1)如圖，若點E在線段8c上運動，EF史CD干點、P,AF支CD干懸0,連接華

①當(dāng)桁工時，求線段少?的長；

3

②在△HE中，設(shè)邊如上的高為九請用含綱的代數(shù)式表示九并求力的最大值：

(2)設(shè)過箔的中點且垂直于8c的直線被等腰直角三角形〃F截得的線段長為匕請直

接寫出y與m的關(guān)系式.

57.(2021*廣西)如圖，四邊形彳8緲中，AB//CD,NB=4D,連接4C.

(1)求證：必△砌；

(2)尺規(guī)作圖：過點。作的垂線，垂足為￡(不要求寫作法，保留作圖痕跡)；

(3)在(2)的條件下，已知四邊彩48微的面積為20,43=5,求如的長.

58.(2021?廣西)【閱讀理解】如圖①，k"h,△48C的面積與△，8c的面積相等嗎？為

什么？

解：相等.在△48C和△08C中，分別作4RL/2,DFX./2,垂足分別為￡F.

:?/AEF=/DFC=9G,

：.AE//DF.

工四邊形4&Z?是平行四邊形，

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：.AE=DF.

又S△皿=2"8OAE,S^,D8C=—BC*DF.

22

:.題血=S^DBC.

【類比探究】如圖②，在正方形48CZ?的右側(cè)作等腰CE=DE,加=4,連接〃；求

的面積.

解：過點E作EFA.緲于點F,連接AF.

請將余下的求解步驟補充完整.

【拓展應(yīng)用】如圖③，在正方影四切的右側(cè)作正方形座FG,點8,C,￡■在同一直線上,

40=4,連接BD,BF,DF,直接寫出△8。尸的面積.

59.(2021*黑龍江)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△478的邊。1在*軸上，OA=AB,且線

段外的長是方程f-4x-5=0的根，過點8作8￡_Lx軸，垂足為￡tanZ^￡=-l,動

3

點眼以每秒1個單位長度的速度，從點4出發(fā)，沿線段48向點8運動，到達(dá)點8停止.過

點及作*軸的垂線，垂足為。，以物為邊作正方形加G廠，點C在線段"上，設(shè)正方形

加C廠與△478重疊部分的面積為S,點非的運動時間為t(t>0)抄.

(1)求點8的坐標(biāo)；

(2)求S關(guān)于e的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量亡的取值范圍；

(3)當(dāng)點尸落在線段08上時，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點只使以欣40、P為頂點的

四邊彩是平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

60.(2021*衢州)【推理】

如圖1,在正方形488中，點、E是CO上一動點,將正方形沿著把折疊，點。落在點尸

處，連結(jié)BE,CF,延長CF爻加于點G.

(1)求證：ABCEQACDG.

【運用】

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(2)如圖2,在【推理】條件下，延長8尸交4?于點〃若地=1,優(yōu)=9,求線段如

HF5

的長.

【拓展】

(3)將正方形改成矩形，同樣沿著鴕折疊，連結(jié)CF,延長CF,8廠交直線AD干G,H

兩點，若嶇=〃，里=2,求典的值(用含〃的代數(shù)式表示).

BCHF5EC

備用圖

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參考答案與試題解析

一.平行四邊形的性質(zhì)（共3小題）

1.（2021*寧夏）如圖，8。是=片仇坊的對角線，N外。的平分線交6。于點￡N6。?的干

分線交8Z?于點尸.求證：AE//CF.

【解答】證明：:四邊形48必是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,/BAD=々BCD.

：,Z.ADB=Z.CBD.

?:/BAD、N83的平分線分別交對角線8,于點&F,

：.4EAD=工NBAD,，F(xiàn)CB=A，BCD,

22

：,Z.EAD=Z.FCB.

在和△Ob中，

'NADE=NCBF

<AD=CB,

ZEAD=ZFCB

:.MAE咯XCFB（AS4）,

???Z.AED=NCFB,

：.AE//CF.

2.（2021*青島）如圖，在口48必中，￡為3邊的中點，連接維并延長，交的延長線

于點尸，延長燈?至點G,使DG=DE,分別連接低AG,FG.

（1）求證：厲；

（2）當(dāng)游平分N48。時，四邊形/￡人?是什么特殊四邊形？請說明理由.

【解答】（1）證明：???四邊形/仇沙是平行四邊形,

：.AD//BC,

/DFE=4CBE,

???￡為緲邊的中點,

:?DE=CE,

花4BCE知2FDE中,

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rZBEC=ZFED

<ZCBE=ZDFE,

CE=DE

:.XBCE9XFDE(A4S);

(2)解：四邊形4曰守是矩形，理由如下：

???四邊彩力腦是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

???乙AFB=/FBC,

由(1)得：XBCE在RFDE,

：.BC=FD,BE=FE,

:.FD=AD,

?：GD=DE,

???西邊形/4￡FG是平行四邊形，

YBF*分乙ABC,

：,4FBC=ZA3F,

：.4AFB=Z.ABF,

：.AF=AD,

。：BE=FE,

:.AE工FE,

：.ZAEF=9QQ,

.?.平行四邊形4EFG是矩形.

3.(2021?桂林)如圖，在平行四邊形彳仇切中，點0是對角線8。的中點，爐過點0,交

48于點￡交緲于點尸.

(1)求證：Z1=Z2；

(2)求證：△DOF^XBOE.

【解答】證明：(1)???四邊形力仇力是平行四邊形，

:.AB//CD,

：.Z1=Z2;

(2)???點0是8。的中點，

：.OD=OB,

在△00片和△臺"中，

rZl=Z2

<ZD0F=ZB0E,

0D=0B

：.^DOF^^BOE(/MS).

二.平行四邊形的判定(共2小題)

4.(2021*內(nèi)江)如圖，點4D、C、8在同一條直線上，AC=BD,AE=BF,AE//BF.

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求證：（1）4ADE98BCF:

（2）四邊形獷是平行四邊形.

【解答】證明：（1）,：AC=BD,

：.AC-CD=BD-CD,

即AD=BC,

YAE〃BF,

：.RA=NB,

在△/!國與△8C尸中，

rAD=BC

<ZA=ZB,

AE=BF

:、4ADE在XBCF（SAS'）；

（2）由（1）得：AADEQABCF,

:.DE=CF,NADE=NBCF,

：.4EDC=￡FCD,

:.DE//CF,

???四邊形。呼是平行四邊形.

5.（2021?郴州）如圖，四邊形4BC0中,AB=DC,將對角線47向兩篇分別延長至點￡F,

使AE=CF.連接DF,若BE=DF.證明：四邊形48微是平行四邊形.

E

【解答】證明：在△8E4和△8C中,

rAB=DC

?AE=CF

BE=DF

：,t^BEA^l\DFC(SSS),

???ZEAB="CD,

-BAC=/DCA,

：.AB//DC,

26/127

?:AB=DC,

，四邊形48CZ?是平行四邊形.

三.平行四邊形的判定與性質(zhì)(共1小題)

6.(2021?丹東)如圖，在平行四邊形彳8緲中，點0是47的中點，連接C0并延長交朋

的延長線于點￡連接/C、DE.

(1)求證：四邊彩“Z近是平行四邊彩；

(2)若AB=AC,判斷四邊形加如的形狀，并說明理由.

【解答】(1)證明：(1)???四邊彩49勿是可行四邊形，

:.AB〃CD,

：.匕BEC=NDCE,

???點0是邊47的中點，

：,AO=DO,

在△彳血和△AGO中，

rZAE0=ZDC0

<ZA0E=ZD0C,

AO=DO

:.△AEgRDCO(/MS),

:.AE=CD,

YAE〃DC,

工四邊腦4?”是平行四邊形；

(2)解：四邊形4;冰是菱形，理由如下：

???四邊形是平行四邊形，

:?AB=CD,

?：AB=AC,

：,CD=ACf

.,?四邊形ACDE是爰形.

四.菱形的性質(zhì)(共2小題)

7.(2021*濟南)已知：如圖，在菱形4仇?。中，E,尸分別是