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文檔簡(jiǎn)介

2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-四邊形解答題1

一.平行四邊形的性質(zhì)(共3小題)

1.(2021*寧夏)如圖,8。是。483的對(duì)角線,的平分線交初于點(diǎn)£NBCD的平

分線交劭于點(diǎn)£求證:AE//CF.

2.(2021?青島)如圖,在口彳8切中,£■為切邊的中點(diǎn),連接班■并延長(zhǎng),交4?的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)尸,延長(zhǎng)。至點(diǎn)G,使DG=DE,分別連接AG,FG.

(1)求證:2BCE@4FDE;

3.(2021?桂林)如圖,在平行四邊形彳8緲中,點(diǎn)0是對(duì)角線劭的中點(diǎn),EF過(guò)點(diǎn)0,交

AB于點(diǎn)、E,交切于點(diǎn)尸.

(1)求證:Z1=Z2:

(2)求證:4DOM4BOE.

二.平行四邊形的判定(共2小題)

4.(2021?內(nèi)江)如圖,點(diǎn)4D、C、8在同一條直線上,AC=BD,AE=BF,AE//BF.

求證:(1)4ADEq叢BCF;

(2)四邊形。吩是平行四邊形.

1/127

p

B

5.(2021?郴州)如圖,四邊形力觥中,AB=DCt將對(duì)角線47向兩端分別延長(zhǎng)至點(diǎn)£F,

使AE=CF.連接BE,DF,若BE=DF.證明:四邊形48山是平行四邊形.

三.平行四邊形的判定與性質(zhì)(共1小題)

6.(2021*丹東)如圖,在平行四邊形48CZ?中,點(diǎn)0是4。的中點(diǎn),連接G0并延長(zhǎng)交朋

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)£連接加、DE.

(1)求證:四邊形4?巫是平行四邊形:

(2)若A8=AC,判斷四邊形AC"的形狀,并說(shuō)明理由.

四.菱形的性質(zhì)(共2小題)

7.(2021*濟(jì)南)已知:如圖,在菱形4仇步中,E,尸分別是邊4。和刃上的點(diǎn),且NME

8.(2021*沈陽(yáng))如圖,在菱形八8co中,點(diǎn)、M,〃分別是邊8C,。。上的點(diǎn),BM=±BC,DN

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=3DC,連接4/,AN,延長(zhǎng)/〃交線段8C延長(zhǎng)線于點(diǎn)£

4

(1)求證:4ABg4ADN:

(2)若47=4,則/■的長(zhǎng)是.

五.菱形的判定(共3小題)

9.(2021-淮安)已知:如圖,在oABCD中,點(diǎn)、E、尸分別在4?、BC上,且緋平分N48C,

EF//AB.求證:四邊形彳8任是菱形.

10.(2021?鎮(zhèn)江)如圖,四邊彩加緲是平行四邊形,延長(zhǎng)。4BC,使得4E=CF,連接8E,

DF.

(1)求證:XAB3XCDF,、

(2)連接8。Z1=30°,N2=20°,當(dāng)£ABE=°時(shí),四邊形877應(yīng)是菱形.

11.(2021?鞍山)如圖,在口ABCD中,G為8c邊上一點(diǎn),DG=DC,延長(zhǎng)。G交48的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)£過(guò)點(diǎn)力作”■〃所交⑺的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.求證:四邊彩/辦是菱形.

12.(2021*濱州)如圖,矩形46緲的對(duì)角線47、劭相交于點(diǎn)0,BE"AC,AE//BD.

(1)求證:四邊形維是菱彬;

(2)若/A08=60°,AC=A,求菱形水片E的面積.

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D

13.(2021*巴中)如圖,四邊形力中,AD//BC,A8=AD=CD=1BC.分別以8、。為圓

2

心,大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)〃畫(huà)射線加交8c于&連接。底.

2

(1)求證:四邊形/眄為菱杉;

(2)連接8a當(dāng)g=5時(shí),求及?的長(zhǎng).

14.(2021?玉林)如圖,在四邊形48勿中,對(duì)角線47與8。交于點(diǎn)0,已知7=OC,OB

=OD,過(guò)點(diǎn)0作日」8。分別交力8、DC于點(diǎn)E,F,連接?!闎F,AF.

(1)求證:四邊形?!戥h(huán)是菱形;

(2)設(shè)4?〃防A[h-AB=n,8。=4?,求力廠的長(zhǎng).

15.(2021?鹽城)如圖,D、E、下分別是△48C各邊的中點(diǎn),連接?!闑F、AE.

(1)求證:四邊形?!〃£下為平行四邊形;

(2)加上條件后,能使得四邊形4?中為菱形,請(qǐng)從①NS4a90°:②/£平分

N8AC:③48=4;這三個(gè)條件中選擇1個(gè)條件填空(寫(xiě)序號(hào)),并加以證明.

七.矩形的性質(zhì)(共4小題)

16.(2021*益陽(yáng))如圖,在矩形彳8緲中,已知48=6,N080=30:求4?的長(zhǎng).

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17.(2021*雅安)如圖,為等腰直角三角形,延長(zhǎng))至點(diǎn)8使仍=勿,四邊形彳8微

是矩形,其對(duì)角線47,劭交于點(diǎn)£,連接應(yīng)■交4?于點(diǎn)£

(1)求證:△》足△加8:

(2)求典的值.

AF

18.(2021-呼和浩特)如圖,四邊形力町是平行四邊形,8f〃。廠且分別交對(duì)角線4c于點(diǎn)

E,F.

(1)求證:慮△冰;

(2)當(dāng)四邊形48切分別是矩杉和菱形時(shí),請(qǐng)分別說(shuō)出四邊形陽(yáng)力的形狀.(無(wú)需說(shuō)明

理由)

19.(2021-貴陽(yáng))如圖,在矩形彳8緲中,點(diǎn)〃在。C上,AM=AB,且8也LM,垂足為〃

(1)求證:△453△物0:

(2)若4?-2,AN-A,求四邊形的面積.

八.矩形的判定與性質(zhì)(共1小題)

20.(2021*西寧)如圖,四邊形/仇步是菱形,對(duì)角線4C,8。相交于點(diǎn)0,XBOMRCEB.

(1)求證:四邊形08&?是矩杉;

(2)若N4宓=120°,48=6,求矩形的周長(zhǎng).

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D

九.正方形的性質(zhì)(共6小題)

21.(2021*德州)如圖,點(diǎn)£下分別在正方形4仇步的邊48,力。上,且AE=DF,點(diǎn)G,H

分別在邊48,8c上,且FG上EH,垂足為只

(1)求證:FG=EH\

(2)若正方形483邊長(zhǎng)為5,AE=2,tanN4G廠=3,求中的長(zhǎng)度.

22.(2021*牡丹江)如圖1,四邊形483是正方形,點(diǎn)£■是邊宓的中點(diǎn),Z.AEF=9N,

且配交正方形外角的平分線終于點(diǎn)尸,過(guò)點(diǎn)尸做尸GJ_8C于點(diǎn)G,連接4C.易證:AC=迎

(E儕FG.(提示:取48的中點(diǎn)機(jī)連接嬴

(1)當(dāng)點(diǎn)£是8c邊上任意一點(diǎn)時(shí),如圖2:當(dāng)點(diǎn)£在比延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3.請(qǐng)直接

寫(xiě)出47,EC,尸G的數(shù)量關(guān)系,并對(duì)圖2進(jìn)行證明:

(2)已知正方形48切的面積是27,連接當(dāng)△彳8£中有一個(gè)內(nèi)角為30°時(shí),W']AF

的長(zhǎng)為.

23.(2021*梧州)如圖,在正方形48CD中,點(diǎn)、£,尸分別為邊8a微上的點(diǎn),且AE工BF

于點(diǎn)P,G為4?的中點(diǎn),連接GP,過(guò)點(diǎn)P作PHA.GP交48于點(diǎn)H,連接GH.

(1)求證:BE=CF?,

(2)若48=6,BE=^BC,求G/Z的長(zhǎng).

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24.(2021*哈爾濱)已知四邊形微是正方形,點(diǎn)£在邊%的延長(zhǎng)線上,連接綏交力8

于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)8作BMLCE,垂足為點(diǎn)M,儲(chǔ)的延長(zhǎng)線交4?于點(diǎn)F,交約的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

(1)如圖1,求證:CE=BH\

(2)如圖2,若力—彳8,連接陰在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中的

四個(gè)三角形(△/&?除外),使寫(xiě)出的每個(gè)三角形都與△4EG全等.

25.(2021*福建)如圖,在正方形彳8緲中,E,尸為邊48上的兩個(gè)三等分點(diǎn),點(diǎn)4關(guān)于筵

的對(duì)稱點(diǎn)為4,44'的延長(zhǎng)線交8c于點(diǎn)6

(1)求證:DE//ArF:

(2)求NQT8的大小;

(3)求證:4C=2A,B.

26.(2021-荊門(mén))如圖,點(diǎn)£■是正方形彳灰笫的邊打?上的動(dòng)點(diǎn),NAEF=90°,且EF=AE,

FH1BH.

(1)求證:BE=CH;

(2)連接DF,若4Q3,BE=x,用含x的代數(shù)式表示。尸的長(zhǎng).

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AD

一十.正方形的判定(共1小題)

27.(2021?興安盟)如圖,4?是△/I8C的角平分線,DELAB,DFA-AC,垂足分別是£F,

連接M用與4?相交于點(diǎn)"

(1)求證:ADLEF\

(2)△A8C滿足什么條件時(shí),四邊形彳£/7尸是正方形?說(shuō)明理由.

一十一.四邊形綜合題(共33小題)

28.(2021?日照)問(wèn)題背景:

如圖1,在矩形48co中,AB=2氏,N4劭=30°,點(diǎn)£■是邊的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)f作

工AB燹BD千點(diǎn)、F.

實(shí)險(xiǎn)探究:

(1)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中,小王同學(xué)將圖1中的△婀繞點(diǎn)8按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,如

圖2所示,得到結(jié)論:①延=;②直線/£?與爐所夾銳角的度數(shù)為.

DF

(2)小王同學(xué)繼續(xù)將△阪繞點(diǎn)8按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請(qǐng)問(wèn)探

究(1)中的結(jié)論是否仍然成立?并說(shuō)明理由.

拓展延伸:

在以上探究中,當(dāng)△死尸旋轉(zhuǎn)至。、E、廠三點(diǎn)共線時(shí),則△?!紙的面積為.

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DC

29.(2021-攀枝花)如圖,在直角梯形ABCD中,NA=48=90°,4蛇12,8C=14,AD

=9,線段8c上的點(diǎn)戶從點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)QN4?P6勺角評(píng)分線。0交以“為直徑的圓制于

點(diǎn)。,連接版

(1)當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)8重合時(shí),求證:PQ斗分匕BPD:

(2)當(dāng)圓加與直角梯形力8微的邊相切時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)8戶的長(zhǎng)度;

(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,求點(diǎn)。所經(jīng)過(guò)的路程.

30.(2021*阿壩州)如圖1,正方形彳8⑺的對(duì)角線彳C,劭相交于點(diǎn)。E是邊8c上一點(diǎn),

連接巫交/I。于點(diǎn)F,連接BF.

(1)求證:△戚口△緲尸;

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作好的垂線,交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交OB于點(diǎn)N.

①求證:FB=FG\

②若tanN8〃E=2,ON=1,求GG的長(zhǎng).

2

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31.(2021*蘭州)已知正方形A8CD,E,尸為平面內(nèi)兩點(diǎn).

【探究建?!?/p>

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)f在邊48上時(shí),DE1DF,且8,C,廠三點(diǎn)共線.求證:AE=CF\

【類比應(yīng)用】

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在正方形48CD外部時(shí),DELDF,AEA.EF,且£C,尸三點(diǎn)共線.

①(1)中的結(jié)論44次還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;

②猜想并證明線段〃;CE,比之間的數(shù)量關(guān)系.

32.(2021*蘭州)已知正方形力血力,E,尸為平面內(nèi)兩點(diǎn).

【探究建?!?/p>

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)£■在邊四上時(shí),DELDF,且8,C,廠三點(diǎn)共線.求證:AE=CF\

【類比應(yīng)用】

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)£在正方形思緲外部時(shí),DEA.DF,AE1.EF,且£C,廠三點(diǎn)共線.猜

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想并證明線段力£CE,8之間的數(shù)量關(guān)系;

【拓展遷移】

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)£在正方形力68外部時(shí),AhEC,AE±AF,DEIBE,且。,F(xiàn),E三點(diǎn)、

共線,DE馬AB史干G點(diǎn).若DF=3,AE=42,求應(yīng)■的長(zhǎng).

33.(2021*青島)已知:如圖,在矩形4仇2和等腰RtZ^/l筵中,*=8皿AD=AE=6cm,

4DAE=90°.點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā),沿外方向勻速運(yùn)動(dòng),速皮為IcHs;同時(shí),點(diǎn)。從點(diǎn)0

出發(fā),沿班方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cWs.過(guò)點(diǎn)。作。仞交4。于點(diǎn)“交優(yōu)于點(diǎn)

M,過(guò)點(diǎn)。作QN//BC,交辦于點(diǎn)M分別連接00,PM,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<8).解

答下列問(wèn)題:

(1)當(dāng)PQ1BD時(shí),求t的值:

(2)設(shè)五邊形以例/0的面積為S(“),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)。。=必/時(shí),求七的值;

(4)若/W與47相交于點(diǎn)肥分別連接的和&f在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻亡,

使N4%=/沏?若存在,求出士的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

34.(2021?濟(jì)南)在△48C中,^BAC=9Q°,AB=AC,點(diǎn)、D在邊BC上,BD=、BC,將線

3

段繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DE,記旋轉(zhuǎn)角為a,連接BE,CE,以優(yōu)?為斜邊在其一側(cè)作等

腰直角三角形龐尸,連接力£

(1)如圖1,當(dāng)Q=180°時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出線段彳尸與線段維的數(shù)量關(guān)系;

(2)當(dāng)0°<a<180°時(shí),

①如圖2,(1)中線段彳門(mén)與線段維的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由;

②如圖3,當(dāng)8,E,廠三點(diǎn)共線,時(shí),連接力£判斷四邊形尸的招狀,并說(shuō)明理由.

35.(2021?鎮(zhèn)江)如圖1,Z/1=ZB=ZC=ZD=Z£=ZF=90°,AB,FE,。。為鉛直方

向的邊,AF,ED,勿為水平方向的邊,點(diǎn)£■在/18,切之間,且在彳尸,8c之間,我們稱

這樣的圖形為“圖形”,記作“L四形ABCDEF'.若直線將2圖形分成面積相等的兩個(gè)圖

形,則稱這樣的直線為該£圖杉的面積平分線.

【活動(dòng)】

小華同學(xué)給出了圖1的面積平分線的一個(gè)作圖方案:如圖2,將這個(gè)1圖形分成矩形4G仄

矩形G8CD,這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心如小所在直線是該Z■圖形的面積平分線.

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請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線.(作出一種即可,不寫(xiě)作法,保留作

圖痕跡)

圖1

【思考】

如圖3,直線a2是小華作的面積平分線,它與邊8a力廠分別交于點(diǎn)肌N,過(guò)郴的中

點(diǎn)0的直線分別交邊BC,/尸亍點(diǎn)P,0,直線PQ(填“是”或“不是")L圖形

ABCOEF的面積平分級(jí).

【應(yīng)用】

在/.圖形48戊土尸形中,已知形=4,BC=6.

(1)如圖4,CD=AF=}.

①該/.圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點(diǎn)只Q,求加長(zhǎng)的最大值;

②該Z.圖般的面積平分線與邊48,緲?lè)謩e相交于點(diǎn)G,H,當(dāng)劭的長(zhǎng)取最小值時(shí),BG的

長(zhǎng)為.

(2)設(shè)型=下(七>0),在所有的與鋅直方向的兩條邊相交的面積平分線中,如果只有

AF

與邊力民”相交的面積平分線,直接寫(xiě)出亡的取值范圍.

36.(2021*盤(pán)錦)如圖,四邊形切是正方形,△呼為等腰直角三角形,N&?尸=90°,

點(diǎn)、E在BC上,點(diǎn)、F在CD上,N為EF的中點(diǎn),連接陰,以NA、柝為鄰邊作。日G,連

接。G,DN,將RtZifC廠繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為a(0°WQW360°).

(1)如圖1,當(dāng)a=0°時(shí),0G與ZW的關(guān)系為.

(2)如圖2,當(dāng)0°Va<45°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程;

若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在Rt△呼的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中.當(dāng)。41日G的頂點(diǎn)G落在正方形四夕?的邊上,且48=12,

1=5加時(shí),連接請(qǐng)直接寫(xiě)出G/V的長(zhǎng).

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37.(2021?阜新)在圖1中似乎包含了一些曲線,其實(shí)它們是由多條線段構(gòu)成的.它不但

漂亮,還蘊(yùn)含著很多美妙的數(shù)學(xué)結(jié)論.如圖,在正方形48微中,E,尸分別是直線48,

8c上的點(diǎn)(£尸在直線47的兩側(cè)),且人E=CF.

(1)如圖2,求證:DE=DF;

(2)若直線4?與戶相交于點(diǎn)G,

①如圖3,求證:DG工EF;

②設(shè)正方形48CZ7的中心為0,乙CFE=Q,用含a的式子表示NZ?G0的度數(shù)(不必證明).

38.(2021*南通)如圖,正方形48切中,點(diǎn)E在邊4。上(不與端點(diǎn)4。重合),點(diǎn)/關(guān)

于直線比■的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)尸,連接CF,設(shè)N48E=a.

備用圖

(1)求N/產(chǎn)的大小(用含a的式子表示);

(2)過(guò)點(diǎn)C作CGJ■直線〃;垂足為G,連接。G.判斷分與次的位置關(guān)系,并說(shuō)明理

由;

(3)將△/!能繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△明/,點(diǎn)£的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)//,連接8廠,HF.當(dāng)

△8/7/為等腰三角形葉,求sina的值.

39.(2021*廣州)如圖,在菱形四緲中,ZDAB=6Q°,48=2,點(diǎn)£為邊48上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

延長(zhǎng)班到點(diǎn)尸,使"■=〃,且CF、如相交于點(diǎn)G.

13/127

備用圖

(1)當(dāng)點(diǎn)£運(yùn)動(dòng)到48中點(diǎn)時(shí),證明:四邊形。田?是平行四邊形;

(2)當(dāng)?shù)?2時(shí),求的長(zhǎng):

(3)當(dāng)點(diǎn)£■從點(diǎn)彳開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí),求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

40.(2021*丹東)已知,在正方形483中,點(diǎn)依”為對(duì)角線47上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且/砌/

=45°,過(guò)點(diǎn)“、"分別作>18、8C的垂線相交于點(diǎn)£垂足分別為F、G,設(shè)的面積

圖1圖2

(1)如圖(1),當(dāng)四邊形日NG為正方形時(shí),

①求證:XAF磔

②求證:$=$+$.

(2)如圖(2),當(dāng)四邊形曰諛?為矩形時(shí),寫(xiě)出S,£,S三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明

理由;

(3)在(2)的條件下,若BG:GC=m:n(加>〃),請(qǐng)直接寫(xiě)出":FB的值.

41.(2021?淄博)已知:在正方形彳員簿的邊8c上任取一點(diǎn)尸,連接";一條與?!打垂直的

直線/(垂足為點(diǎn)0沿4廠方向,從點(diǎn)彳開(kāi)始向下平移,交邊48于點(diǎn)£

(1)當(dāng)直線/經(jīng)過(guò)正方形力巡的頂點(diǎn)。時(shí),如圖1所示.求證:AE=BF\

14/127

(2)當(dāng)直線/經(jīng)過(guò)4尸的中點(diǎn)時(shí),與對(duì)角線8,交于點(diǎn)0,連接如圖2所示.求N4r0

的度數(shù):

(3)直線/繼續(xù)向下平移,當(dāng)點(diǎn)戶恰好落在對(duì)角線6。上時(shí),交邊加于點(diǎn)G,如圖3所

示.設(shè)48=2,BF=x,DG=y,求y與4之間的關(guān)系式.

42.(2021*徐州)如圖1,正方彩48C。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)"在邊力。上(P不與4、。重合),

連接PB、PC.將線段外繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PE,將線段外繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°得到PF,連接EF、EA.FD.

(1)求證:

①△見(jiàn)尸的面積S=LPF;

2

②EA=FD;

43.(2021-鄂爾多斯)旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換,當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)往往可以

通過(guò)旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題.

圖③

(1)嘗試解決:如圖①,在等腰RtZU8C中,/外餐90°,48=AC,點(diǎn)附是8c上的一

點(diǎn),BM=\cm,CM=2cm,將△/!幽繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)后得到△?!紐連接勵(lì)V.則4/=cm.

(2)類比探究:如圖②,在“箏形”四邊形彳成步中,AB=AD=a,CB=CD,AB上8c于點(diǎn)、

B,AD工CD于點(diǎn)D,點(diǎn)P、0分別是彳8、4?上的點(diǎn),且,PC濟(jì)ZQCD=4PCQ,求圖的

周長(zhǎng).(結(jié)果用a表示)

(3)拓展應(yīng)用:如圖③,已知四邊形ABCD,AD=CDtNADC=6Q°,NABC=75°,AB

=2近,BC=2,求四邊形力8辦的面積.

15/127

44.(2021*黔東南州)在四邊形力8緲中,對(duì)角線47平分N840.

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖①,若N64P=120。,/ABC=/ADC=qqc.求證:A(^AB=AC\

【拓展遷移】

(2)如圖②,若N夕步=120°,NA8O/ADC=180°.

①猜想48、AD./C三條線段的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

②若47=10,求四邊形483的面積.

DD

圖①圖②

45.(2021*煙臺(tái))有公共頂點(diǎn)4的正方形48必與正方形廠按如圖1所示放置,點(diǎn)£F

分別在邊48和4?上,連接防DE,〃是8廠的中點(diǎn),連接4照交應(yīng)■于點(diǎn)M

【觀察猜想】

(1)線段]應(yīng)與力"之間的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是:

【探究證明】

(2)將圖1中的正方形4EG廠繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)G恰好落在邊48上,如圖2,

其他條件不變,線段然與力制之間的關(guān)系是否仍然成立?并說(shuō)明理由.

48于點(diǎn)E,將線段E8繞點(diǎn)、£■順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2Q得線段EP.

2

(1)如圖1,當(dāng)a=120。時(shí),連接力只請(qǐng)直接寫(xiě)出線段4P和線段4C的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖2,當(dāng)a=90°時(shí),過(guò)點(diǎn)、8作8F工EP于點(diǎn)、F,連接彳尸,請(qǐng)寫(xiě)出線段“:AB,

4?之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由:

(3)當(dāng)a=120°時(shí),連接4只若BE=±AB,請(qǐng)直接寫(xiě)出△?!隹與△緲弓面積的比值.

2

16/127

47.(2021?棗莊)如圖1,對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概,念理解:如圖2,在四邊形中,AB=AD,CB=CD,問(wèn)四邊形483是垂美四

邊形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)性質(zhì)探究:如圖1,垂美四邊形四。,的對(duì)角線4C,8。交于點(diǎn)0.猜想:44+勿!與

4A8d有什么關(guān)系?并證明你的猜想.

(3)解決問(wèn)題:如圖3,分別以RtZU第的直角邊4;和斜邊48為邊向外作正方形4;廠G

和正方形43次;連結(jié)勿,BG,GJ巳知/4A4,AA5,求GZ7的k.

48.(2021*吉林)如圖①,在RtZUBC中,NACB=90°,N/l=60°,微是斜邊48上的

(1)若48=a.直接寫(xiě)出紗的長(zhǎng)(用含a的代數(shù)式表示):

(2)若DEL8a垂足為G,點(diǎn)尸與點(diǎn)。在直線龍的異側(cè),連接近如②,判斷四邊形

ADFC的形狀,并說(shuō)明理由;

(3)若DF工AB,直接寫(xiě)出N文的度數(shù).

49.(2021*吉林)如圖,在矩形48C0中,AB=3cm,AD=^3cm.動(dòng)點(diǎn)"從點(diǎn)力出發(fā)沿折

線48-8c向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),在邊絲上以1c/s的速度運(yùn)動(dòng);在邊比上以正cWs的速度

運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)"作線段內(nèi)與射線%相交于點(diǎn)。,且NPQD=60°,連接外,BD.設(shè)點(diǎn)"的

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),△80與△,宓重合部分圖形的面積為y(cM).

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(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)4重合時(shí),直接寫(xiě)出。0的長(zhǎng);

(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊8c上運(yùn)動(dòng)時(shí),直接寫(xiě)出8P的長(zhǎng)(用含x的代數(shù)式表示);

(3)求v關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量x的取值范

50.(2021?長(zhǎng)春)實(shí)踐與探究

操作一:如圖①,已知正方形激片48緲,將正方形紙片沿過(guò)點(diǎn)力的直線折僉,使點(diǎn)8落

在正方形48C0的內(nèi)部,點(diǎn)、8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,折痕為AE,再將紙片沿過(guò)點(diǎn)/的直線折疊,

使4?與彳"重合,折痕為“;則/£4尸=度.

操作二:如圖②,將正方形紙片沿爐繼續(xù)折疊,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)〃我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)

E的位置不同時(shí),點(diǎn)力的位置也不同.當(dāng)點(diǎn)£在8c邊的某一位置時(shí),點(diǎn)“恰好落在折痕

47上,則N〃7~=度.

在圖②中,運(yùn)用以上操作所得結(jié)論,解答下列問(wèn)題:

(1)設(shè)4"與傷的交點(diǎn)為點(diǎn)只求證:匕AN2XFNE:

(2)若48=e,則線段4P的長(zhǎng)為.

51.(2021*綏化)如圖所示,四邊形48緲為正方形,在/中,Z£Z^=90°,CE=CH,

傕的延長(zhǎng)線與少的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E點(diǎn)以B、/?在同一條直線上.

(1)求證:△睦且△渤:

(2)當(dāng)里,時(shí),求里的值;

HD5FC

(3)當(dāng)HB=3,//44時(shí),求sinN/E的值.

52.(2021*貴陽(yáng))(1)閱讀理解

18/127

我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一,它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.漢

代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”,后人稱之為“趙爽

弦圖

根據(jù)“趙爽弦圖”寫(xiě)出勾股定理和推理過(guò)程;

(2)問(wèn)題解決

勾股定理的證明方法有很多,如圖②是古代的一種證明方法:過(guò)正方形力好的中心0,

施■FG1HP,將它分成4份,所分成的四部分和以8c為邊的正方形恰好能拼成以48為邊

的正方形.若芥=12,BC=5,求)的值;

(3)拓展探究

如圖③,以正方形一邊為斜邊句外作直角三角形,再以該直角三角形的兩直角邊分別向

外作正方形,重復(fù)這一過(guò)程就可以得到“勾股樹(shù)”的部分圖形.設(shè)大正方形力的邊長(zhǎng)為

定值,,小正方形4B,Q。的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,d.

已知N1=N2=N3=a,當(dāng)角a(0°<a<90°)變化時(shí),探究6與c的關(guān)系式,并

寫(xiě)出該關(guān)系式及解答過(guò)程(6與c的關(guān)系式用含〃的式子表示).

53.(2021*齊齊哈爾)綜合與實(shí)踐

教學(xué)實(shí)踐活動(dòng),是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式,通過(guò)活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣,提高

動(dòng)手動(dòng)腦能力,拓展思維空間,豐富數(shù)學(xué)體臉,讓我們一起動(dòng)手來(lái)折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪

一剪,體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣.

折一折:將正方形紙片彳燈力折疊,使邊48、4。都落在對(duì)角線4c上,展開(kāi)得折痕AE.AF,

連接EF,如圖1.

(1)乙EAF=°,寫(xiě)出圖中兩個(gè)等腰三角形:(不需要添加字母);

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn):將圖1中的N以尸繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn),使它的兩邊分別交邊BC、◎于點(diǎn)P、Q,連接PO,

如圖2.

(2)線段80、PO、加之間的數(shù)量關(guān)系為;

(3)連接正方形對(duì)角線劭,若圖2中的N2I0的邊力只分別交對(duì)角線8Z?于點(diǎn)席、點(diǎn)

N,如圖3,則型=;

BM

剪一剪:將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線8。剪開(kāi),如圖4.

(4)求證:B而+Dft=Mfi.

19/127

圖4

54.(2021*廣西)如圖①,在△48。中,AD工BC于點(diǎn)、D,宓=14,A0=8fBD=6,點(diǎn)、E是

4?上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)4,0重合),在AADC內(nèi)作矩形EFGH,點(diǎn)F在DC上,點(diǎn)G,H在AC

上,設(shè)DE=x,連接8E

(1)當(dāng)矩形次W是正方形時(shí),直接寫(xiě)出爐的長(zhǎng);

Si

(2)設(shè)△/!能的面積為£,矩形EFGH的面積為&,令y=」_,求y關(guān)于x的函數(shù)解析

s2

式(不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍);

(3)如圖②,點(diǎn)P(a,b)是(2)中得到的函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的直線/

圖①圖②

55.(2021*海南)如圖1,在正方形48CD中,點(diǎn)£是邊8c上一點(diǎn),且點(diǎn)、£不與點(diǎn)、8、C重

合,點(diǎn)尸是縱的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且AF=CE.

(1)求證:△OG之△勿尸;

(2)如圖2,連接防交4?于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)、D作所上EF,垂足為//,延長(zhǎng)力/交8尸于點(diǎn)G,

連接做HC.

20/127

①求證:HD=HB\

②若MHC=近,錄HE的長(zhǎng).

圖1圖2

56.(2021?無(wú)錫)已知四邊形/仇力是邊長(zhǎng)為1的正方形,點(diǎn)£■是射淺8C上的動(dòng)點(diǎn),以/£

為直角邊在直線8c的上方作等腰直角三角形4MN4£F=90°,設(shè)BE=m.

備用圖

(1)如圖,若點(diǎn)E在線段8c上運(yùn)動(dòng),EF史CD干點(diǎn)、P,AF支CD干懸0,連接華

①當(dāng)桁工時(shí),求線段少?的長(zhǎng);

3

②在△HE中,設(shè)邊如上的高為九請(qǐng)用含綱的代數(shù)式表示九并求力的最大值:

(2)設(shè)過(guò)箔的中點(diǎn)且垂直于8c的直線被等腰直角三角形〃F截得的線段長(zhǎng)為匕請(qǐng)直

接寫(xiě)出y與m的關(guān)系式.

57.(2021*廣西)如圖,四邊形彳8緲中,AB//CD,NB=4D,連接4C.

(1)求證:必△砌;

(2)尺規(guī)作圖:過(guò)點(diǎn)。作的垂線,垂足為£(不要求寫(xiě)作法,保留作圖痕跡);

(3)在(2)的條件下,已知四邊彩48微的面積為20,43=5,求如的長(zhǎng).

58.(2021?廣西)【閱讀理解】如圖①,k"h,△48C的面積與△,8c的面積相等嗎?為

什么?

解:相等.在△48C和△08C中,分別作4RL/2,DFX./2,垂足分別為£F.

:?/AEF=/DFC=9G,

:.AE//DF.

工四邊形4&Z?是平行四邊形,

21/127

:.AE=DF.

又S△皿=2"8OAE,S^,D8C=—BC*DF.

22

:.題血=S^DBC.

【類比探究】如圖②,在正方形48CZ?的右側(cè)作等腰CE=DE,加=4,連接〃;求

的面積.

解:過(guò)點(diǎn)E作EFA.緲于點(diǎn)F,連接AF.

請(qǐng)將余下的求解步驟補(bǔ)充完整.

【拓展應(yīng)用】如圖③,在正方影四切的右側(cè)作正方形座FG,點(diǎn)8,C,£■在同一直線上,

40=4,連接BD,BF,DF,直接寫(xiě)出△8。尸的面積.

59.(2021*黑龍江)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△478的邊。1在*軸上,OA=AB,且線

段外的長(zhǎng)是方程f-4x-5=0的根,過(guò)點(diǎn)8作8£_Lx軸,垂足為£tanZ^£=-l,動(dòng)

3

點(diǎn)眼以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,從點(diǎn)4出發(fā),沿線段48向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)8停止.過(guò)

點(diǎn)及作*軸的垂線,垂足為。,以物為邊作正方形加G廠,點(diǎn)C在線段"上,設(shè)正方形

加C廠與△478重疊部分的面積為S,點(diǎn)非的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)抄.

(1)求點(diǎn)8的坐標(biāo);

(2)求S關(guān)于e的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量亡的取值范圍;

(3)當(dāng)點(diǎn)尸落在線段08上時(shí),坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)只使以欣40、P為頂點(diǎn)的

四邊彩是平行四邊形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

60.(2021*衢州)【推理】

如圖1,在正方形488中,點(diǎn)、E是CO上一動(dòng)點(diǎn),將正方形沿著把折疊,點(diǎn)。落在點(diǎn)尸

處,連結(jié)BE,CF,延長(zhǎng)CF爻加于點(diǎn)G.

(1)求證:ABCEQACDG.

【運(yùn)用】

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(2)如圖2,在【推理】條件下,延長(zhǎng)8尸交4?于點(diǎn)〃若地=1,優(yōu)=9,求線段如

HF5

的長(zhǎng).

【拓展】

(3)將正方形改成矩形,同樣沿著鴕折疊,連結(jié)CF,延長(zhǎng)CF,8廠交直線AD干G,H

兩點(diǎn),若嶇=〃,里=2,求典的值(用含〃的代數(shù)式表示).

BCHF5EC

備用圖

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參考答案與試題解析

一.平行四邊形的性質(zhì)(共3小題)

1.(2021*寧夏)如圖,8。是=片仇坊的對(duì)角線,N外。的平分線交6。于點(diǎn)£N6。?的干

分線交8Z?于點(diǎn)尸.求證:AE//CF.

【解答】證明::四邊形48必是平行四邊形,

:.AD=BC,AD//BC,/BAD=々BCD.

:,Z.ADB=Z.CBD.

?:/BAD、N83的平分線分別交對(duì)角線8,于點(diǎn)&F,

:.4EAD=工NBAD,,F(xiàn)CB=A,BCD,

22

:,Z.EAD=Z.FCB.

在和△Ob中,

'NADE=NCBF

<AD=CB,

ZEAD=ZFCB

:.MAE咯XCFB(AS4),

???Z.AED=NCFB,

:.AE//CF.

2.(2021*青島)如圖,在口48必中,£為3邊的中點(diǎn),連接維并延長(zhǎng),交的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)尸,延長(zhǎng)燈?至點(diǎn)G,使DG=DE,分別連接低AG,FG.

(1)求證:厲;

(2)當(dāng)游平分N48。時(shí),四邊形/£人?是什么特殊四邊形?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】(1)證明:???四邊形/仇沙是平行四邊形,

:.AD//BC,

/DFE=4CBE,

???£為緲邊的中點(diǎn),

:?DE=CE,

花4BCE知2FDE中,

24/127

rZBEC=ZFED

<ZCBE=ZDFE,

CE=DE

:.XBCE9XFDE(A4S);

(2)解:四邊形4曰守是矩形,理由如下:

???四邊彩力腦是平行四邊形,

:.AD=BC,AD//BC,

???乙AFB=/FBC,

由(1)得:XBCE在RFDE,

:.BC=FD,BE=FE,

:.FD=AD,

?:GD=DE,

???西邊形/4£FG是平行四邊形,

YBF*分乙ABC,

:,4FBC=ZA3F,

:.4AFB=Z.ABF,

:.AF=AD,

。:BE=FE,

:.AE工FE,

:.ZAEF=9QQ,

.?.平行四邊形4EFG是矩形.

3.(2021?桂林)如圖,在平行四邊形彳仇切中,點(diǎn)0是對(duì)角線8。的中點(diǎn),爐過(guò)點(diǎn)0,交

48于點(diǎn)£交緲于點(diǎn)尸.

(1)求證:Z1=Z2;

(2)求證:△DOF^XBOE.

【解答】證明:(1)???四邊形力仇力是平行四邊形,

:.AB//CD,

:.Z1=Z2;

(2)???點(diǎn)0是8。的中點(diǎn),

:.OD=OB,

在△00片和△臺(tái)"中,

rZl=Z2

<ZD0F=ZB0E,

0D=0B

:.^DOF^^BOE(/MS).

二.平行四邊形的判定(共2小題)

4.(2021*內(nèi)江)如圖,點(diǎn)4D、C、8在同一條直線上,AC=BD,AE=BF,AE//BF.

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求證:(1)4ADE98BCF:

(2)四邊形獷是平行四邊形.

【解答】證明:(1),:AC=BD,

:.AC-CD=BD-CD,

即AD=BC,

YAE〃BF,

:.RA=NB,

在△/!國(guó)與△8C尸中,

rAD=BC

<ZA=ZB,

AE=BF

:、4ADE在XBCF(SAS');

(2)由(1)得:AADEQABCF,

:.DE=CF,NADE=NBCF,

:.4EDC=£FCD,

:.DE//CF,

???四邊形。呼是平行四邊形.

5.(2021?郴州)如圖,四邊形4BC0中,AB=DC,將對(duì)角線47向兩篇分別延長(zhǎng)至點(diǎn)£F,

使AE=CF.連接DF,若BE=DF.證明:四邊形48微是平行四邊形.

E

【解答】證明:在△8E4和△8C中,

rAB=DC

?AE=CF

BE=DF

:,t^BEA^l\DFC(SSS),

???ZEAB="CD,

-BAC=/DCA,

:.AB//DC,

26/127

?:AB=DC,

,四邊形48CZ?是平行四邊形.

三.平行四邊形的判定與性質(zhì)(共1小題)

6.(2021?丹東)如圖,在平行四邊形彳8緲中,點(diǎn)0是47的中點(diǎn),連接C0并延長(zhǎng)交朋

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)£連接/C、DE.

(1)求證:四邊彩“Z近是平行四邊彩;

(2)若AB=AC,判斷四邊形加如的形狀,并說(shuō)明理由.

【解答】(1)證明:(1)???四邊彩49勿是可行四邊形,

:.AB〃CD,

:.匕BEC=NDCE,

???點(diǎn)0是邊47的中點(diǎn),

:,AO=DO,

在△彳血和△AGO中,

rZAE0=ZDC0

<ZA0E=ZD0C,

AO=DO

:.△AEgRDCO(/MS),

:.AE=CD,

YAE〃DC,

工四邊腦4?”是平行四邊形;

(2)解:四邊形4;冰是菱形,理由如下:

???四邊形是平行四邊形,

:?AB=CD,

?:AB=AC,

:,CD=ACf

.,?四邊形ACDE是爰形.

四.菱形的性質(zhì)(共2小題)

7.(2021*濟(jì)南)已知:如圖,在菱形4仇?。中,E,尸分別是

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