2020年全國中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：《圓》解答題（含答案解析）

2020年全國中考數(shù)學(xué)真題分類精選匯編：《圓》解答題(一)

含答案解析

1.(2020?大連)四邊形ABCQ內(nèi)接于。0,AB是。0的直徑，AD=CD.

(1)如圖1,求證NABC=2/ACD；

(2)過點(diǎn)力作00的切線，交8c延長線于點(diǎn)P(如圖2).若tan/C4B=巨，BC=1,

求的長.

2.(2020?盤錦)如圖，BC是00的直徑，4。是00的弦，AC交BC于點(diǎn)E,連接A8,

CD,過點(diǎn)E作EF_LAB,垂足為F,NAEF=ND.

(1)求證：ADLBC；

(2)點(diǎn)G在BC的延長線上，連接AG,ZDAG=2ZD.

①求證：AG與。0相切；

②當(dāng)空=2,CE=4時(shí)，直接寫出CG的長.

BF5

3.如圖，IXABC內(nèi)接于。0,AD平分NBAC交BC邊于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作

AFLBC于點(diǎn)尸，設(shè)。。的半徑為R,AF=h.

(1)過點(diǎn)。作直線MN〃8C,求證：MN是。。的切線;

(2)求證：AB-AC=2R*h；

(3)設(shè)/BAC=2a,求維登?的值(用含a的代數(shù)式表示).

AD

4.(2020?陜西)如圖，直線4M與。。相切于點(diǎn)A,弦8C〃AM,連接80并延長，交

于點(diǎn)E,交AM于點(diǎn)凡連接CE并延長，交4W于點(diǎn)￡).

(1)求證：CE//OA,

(2)若。O的半徑R=13,BC=24,求A尸的長.

5.(2020?貴港)如圖，在△A8C中，AB=AC,點(diǎn)。在2C邊上，￡LAD=BD,。0是4

4C。的外接圓，4E是。。的直徑.

(1)求證：AB是。0的切線；

(2)若4B=2捉，4。=3,求直徑4E的長.

6.(2020?廣安)如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)E在A6的延長線上，AC平分/D4E交。。

于點(diǎn)C,ACQE于點(diǎn)D

(1)求證：直線。E是。。的切線.

(2)如果BE=2,CE=4,求線段4。的長.

7.(2020?廣西)如圖，在RtZ\4BC中，/84C=90°,以AB為直徑的。。交BC于點(diǎn)E,

點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，連接DE.

(1)求證：DE是OO的切線.

(2)若CE=1,OA=M，求NAC8的度數(shù).

8.(2020?柳州)如圖，A8為。。的直徑，C為。。上的一點(diǎn)，連接AC、BC,OOLBC于

點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)D,連接CD、AD,AD與BC交于點(diǎn)F,CG與BA的延長線交于點(diǎn)G.

(1)求證：△ACQsaCFZ)；

(2)若/CD4=/GC4,求證：CG為。。的切線；

(3)若sin/C4D=」，求tan/CDA的值.

3

9.(2020?陜西)問題提出

(1)如圖①，等邊4ABC有條對(duì)稱軸.

問題探究

(2)如圖②，在RtAABC中，NA=90°,ZC=30°,BC=\5,等邊△￡■「P的頂點(diǎn)E,

F分別在BA,BC上，且BE=BF=2.連接8P并延長，與AC交于點(diǎn)P',過點(diǎn)尸'作

P'E'〃PE交AB于點(diǎn)E',作P'F'//PF交BC于前F',連接E'F',求S#b

F'.

問題解決

(3)如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，。。的直徑為60〃?，等邊aABP的邊是。。

的弦，頂點(diǎn)P在。0內(nèi)，延長AP交。0于點(diǎn)C,延長8尸交0。于點(diǎn)。，連接CD現(xiàn)

準(zhǔn)備在和區(qū)域內(nèi)種植花卉，圓內(nèi)其余區(qū)域?yàn)椴萜?按照預(yù)算，要求花卉種

植面積盡可能小，求花卉種植面積(SAPAB+SAPCD)的最小值.

D^—^C

A:"

BCBFF'

圖①圖②圖③

10.(2020?蘭州)如圖，在RtAAOB中,乙4。8=90°,。4=08,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，以

OC為半徑作。0.

(1)求證：A3是。。的切線：

(2)若OC=2,求OA的長.

B

11.（2020?日照）閱讀理解：

如圖1,RtZ\ABC中，a,b,c分別是NA,ZB,NC的對(duì)邊，/C=90°,其外接圓半

徑為R.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：sirt4=且，sinB=電，可得——=_J?——c—2R,

ccsinAsinB

即：—^―=—^―=—S_=2/?,（規(guī)定sin90°=1）.

sinAsinBsinC

探究活動(dòng)：

如圖2,在銳角△ABC中，a,b,c分別是NA,ZB,NC的對(duì)邊，其外接圓半徑為K,

那么：（用＞、=或＜連接），并說明理由.

sinAsinBsinC

事實(shí)上，以上結(jié)論適用于任意三角形.

初步應(yīng)用：

在△ABC中，a,b,c分別是NA,NB,NC的對(duì)邊，NA=60°,ZB=45°,〃=8,

求b.

綜合應(yīng)用：

如圖3,在某次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小鳳同學(xué)測量一古塔CD的高度，在A處用測角儀測得塔頂

C的仰角為15°,又沿古塔的方向前行了100機(jī)到達(dá)8處，此時(shí)A,B,。三點(diǎn)在一條直

線上，在B處測得塔頂C的仰角為45°,求古塔CD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.（我

-1.732,sinl50=近跡）

4

12.（2020?濟(jì)南）如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)，CQ與。。相切于點(diǎn)C,

過點(diǎn)A作A￡?_LOC,連接AC,BC.

（1）求證：AC是/DAB的角平分線;

（2）若4力=2,A8=3,求AC的長.

D

C

13.(2020?西藏)如圖所示，AB是00的直徑，AO和BC分別切。0于A,B兩點(diǎn),CD

與。。有公共點(diǎn)E,且AD=DE.

(1)求證：CQ是。。的切線；

(2)若AB=12,8c=4,求AO的長.

14.(2020?德陽)如圖，在。0中，弦AB與直徑C。垂直，垂足為M,C￡>的延長線上有

一點(diǎn)P,滿足/P8O=/D48.過點(diǎn)P作PN，C￡>,交0A的延長線于點(diǎn)N,連接。N交

AP于點(diǎn)H.

(1)求證：8P是。。的切線；

(2)如果04=5,AM=4,求PN的值;

(3)如果PD=PH,求證：AH?OP=HP，AP.

B

15.(2020?葫蘆島)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,AC是直徑，AB^BC,連接8￡>,過

點(diǎn)。的直線與C4的延長線相交于點(diǎn)E,且/ED4=/ACD

(1)求證：直線。E是。。的切線；

(2)若AO=6,CO=8,求的長.

16.(2020?鞍山)如圖，A8是。O的直徑，點(diǎn)C,點(diǎn)。在00上，AC=CD.AO與BC相

交于點(diǎn)E,A尸與。。相切于點(diǎn)4與BC延長線相交于點(diǎn)E

(1)求證：AE=AF.

(2)若E尸=12,sin/ABF=3,求0。的半徑.

17.(2020?桂林)如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中

/CA8=30°,ZDAB=45Q，點(diǎn)。為斜邊A8的中點(diǎn)，連接C￡>交AB于點(diǎn)E.

(1)求證：A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)。為圓心的同一個(gè)圓上；

(2)求證：CQ平分NACB；

(3)過點(diǎn)。作。F〃BC交AB于點(diǎn)凡求證：BO2+OF2^EF-BF.

18.(2020?赤峰)如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的一條弦，點(diǎn)P是。。上一點(diǎn)，且

PA=PC,PD//AC,與84的延長線交于點(diǎn)。.

(1)求證：是O。的切線；

(2)若tan/B4c=2,AC=12,求直徑A8的長.

3

19.(2020?河池)如圖，AB是。0的直徑，4B=6,OCLAB,OC=5,BC與。。交于點(diǎn)￡?,

點(diǎn)E是俞的中點(diǎn)，EF//BC,交OC的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：E尸是。。的切線；

(2)CG//OD,交AB于點(diǎn)、G,求CG的長.

20.(2020?沈陽)如圖，在△ABC中，NACB=90°,點(diǎn)。為BC邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓

心，OB長為半徑的圓與邊A8相交于點(diǎn)O,連接。C,當(dāng)。C為。。的切線時(shí).

(1)求證：DC=AC；

(2)若DC=DB,。。的半徑為1,請(qǐng)直接寫出的長為.

21.(2020?大慶)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點(diǎn)。，連接

AD,過點(diǎn)。作。M_L4C,垂足為例，AB、M。的延長線交于點(diǎn)N.

(1)求證：MN是。。的切線；

(2)求證：DN2=BN?BN+AC)；

(3)若BC=6,cosC=3,求CW的長.

22.(2020?包頭)如圖，A8是。。的直徑，半徑OCd_A8,垂足為。，直線/為。。的切線，

A是切點(diǎn)，。是OA上一點(diǎn)，CO的延長線交直線/于點(diǎn)E,尸是08上一點(diǎn)，CF的延長

線交。0于點(diǎn)G,連接AC,AG,己知。。的半徑為3,CE=V34，5BF-5AO=4.

(1)求AE的長；

(2)求cos/CAG的值及CG的長.

23.(2020?宿遷)如圖，在△ABC中，力是邊BC上一點(diǎn)，以80為直徑的。0經(jīng)過點(diǎn)A,

且NC4Q=NABC.

(1)請(qǐng)判斷直線AC是否是OO的切線，并說明理由:

(2)若C￡>=2,CA=4,求弦A8的長.

24.(2020?鎮(zhèn)江)如圖，0ABe。中，NABC的平分線80交邊4。于點(diǎn)0,00=4,以點(diǎn)

0為圓心，0D長為半徑作。0,分別交邊DA.DC于點(diǎn)M、N.點(diǎn)、E在邊BC上，0E

交OO于點(diǎn)G,G為誦的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形ABE。為菱形：

(2)已知cosNA8C=2，連接AE,當(dāng)AE與。0相切時(shí)，求48的長.

3

25.(2020?鄂爾多斯)我們知道,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)的拋物線的解析式為y=a(…)2+k

QW0).今后我們還會(huì)學(xué)到，圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r的圓的方程(x-?)2+(y

-b)2=乙如：圓心為P(-2,1),半徑為3的圓的方程為(x+2)2+(y1)2=%

(1)以用(-3,-1)為圓心，遍為半徑的圓的方程為.

(2)如圖，以8(-3,0)為圓心的圓與y軸相切于原點(diǎn)，C是。B上一點(diǎn)，連接。C,

BDA.OC,垂足為O,延長8。交y軸于點(diǎn)E,已知sin/AOC=旦.

5

①連接EC,證明：EC是?B的切線；

②在8E上是否存在一點(diǎn)。，使QB=QC=QE=Q。？若存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo)，并寫出

以。為圓心，以為半徑的。。的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

26.（2020?綿陽）如圖，在矩形A8CC中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O,O"為△BCD的內(nèi)切圓，

切點(diǎn)分別為N,P,Q,DN=4,BN=6.

（1）求8C,CD；

（2）點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段A力向點(diǎn)O以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)”運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)力時(shí)停止，過點(diǎn)，作小〃BO交AC于點(diǎn)/,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

①將△AH/沿AC翻折得△AH'I,是否存在時(shí)刻f,使點(diǎn)H'恰好落在邊BC上？若存

在，求f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

②若點(diǎn)尸為線段C。上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△0萬/為正三角形時(shí)，求，的值.

（備用圖）（備用圖）

27.（2020?雅安）如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于圓，NABC=60°,對(duì)角線BO平分NAOC.

（1）求證：△ABC是等邊三角形；

（2）過點(diǎn)B作8E〃。交D4的延長線于點(diǎn)E,若AQ=2,DC=3,求aBOE的面積.

28.（2020?寧夏）如圖，在aABC中，NB=90°,點(diǎn)。為AC上一點(diǎn)，以C。為直徑的。。

交A8于點(diǎn)E,連接CE,且CE平分NAC&

（1）求證：AE是。。的切線;

29.(2020?云南)如圖，AB為。0的直徑，C為上一點(diǎn)，ADA.CE,垂足為。，AC平

分NDAB.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若40=4,cosZCAB=—,求AB的長.

30.(2020?黃石)如圖，在RtZiABC中，ZC=90°,AO平分NBAC交BC于點(diǎn)。，。為

上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、。的。0分別交AB、AC于點(diǎn)E、F.

(1)求證：BC是的切線；

(2)若BE=8,sinB=W,求。。的半徑；

13

(3)求證：AD2=AB'AF.

31.(2020?廣西)如圖，在aACE中，以AC為直徑的。。交CE于點(diǎn)O,連接A。，且/

DAE^ZACE,連接。。并延長交AE的延長線于點(diǎn)尸，P3與。0相切于點(diǎn)&

(1)求證：AP是00的切線；

(2)連接AB交OP于點(diǎn)F,求證：△放QS/\D4E；

(3)若tan/OAF=2，求處的值.

32.(2020?綿陽)如圖，ZVIBC內(nèi)接于。0,點(diǎn)。在。。外，ZADC=90°,8。交。。于

點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,ZEAC=ZDCE,ZCEB=ZDCA,CD=6,AZ)=8.

(1)求證：AB//CD；

(2)求證：8是。。的切線;

(3)求tan/AC8的值.

33.(2020?十堰)如圖，A8為半圓。的直徑，C為半圓。上一點(diǎn)，A。與過點(diǎn)C的切線垂

直，垂足為。，A。交半圓。于點(diǎn)E.

(1)求證：AC平分ND4B；

(2)若AE=2DE,試判斷以。，A,E,C為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說明理由.

34.(2020?畢節(jié)市)如圖，已知AB是的直徑，。。經(jīng)過的直角邊0c上的點(diǎn)

F,交AC邊于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是弧EB的中點(diǎn)，ZC=90°,連接AE

(1)求證：直線CQ是0。切線.

(2)若B￡>=2,OB=4,求tan/AFC的值.

35.(2020?邵陽)如圖，在等腰AABC中，AB=AC,點(diǎn)。是BC上一點(diǎn)，以BQ為直徑的

OO過點(diǎn)A,連接A。，ZCAD^ZC.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)若AC=4,求。0的半徑.

36.(2020?呼和浩特)某同學(xué)在學(xué)習(xí)了正多邊形和圓之后，對(duì)正五邊形的邊及相關(guān)線段進(jìn)行

研究，發(fā)現(xiàn)多處出現(xiàn)著名的黃金分割比叵1七0.618.如圖，圓內(nèi)接正五邊形ABCOE,

2

圓心為O,OA與BE交于點(diǎn)H,AC、與BE分別交于點(diǎn)M、N.根據(jù)圓與正五邊形的

對(duì)稱性，只對(duì)部分圖形進(jìn)行研究.(其它可同理得出)

(1)求證：是等腰三角形且底角等于36°,并直接說出△BAN的形狀；

(2)求證：現(xiàn)屈，且其比值左=1二1；

BNBE2

(3)由對(duì)稱性知AOLBE,由(1)(2)可知迪也是一個(gè)黃金分割數(shù)，據(jù)此求sinl8°

BM

的值.

37.(2020?玉林)如圖，AB是00的直徑，點(diǎn)。在直徑AB上(。與A,8不重合)，CD

±AB,且C￡>=A8,連接CB,與。。交于點(diǎn)F,在CO上取一點(diǎn)E,使EF=EC.

(1)求證：EF是的切線；

(2)若力是的中點(diǎn)，AB=4,求CF的長.

38.(2020?東營)如圖，在△48C中，以AB為直徑的。。交4c于點(diǎn)M,弦MN〃BC交

AB于點(diǎn)E,且ME=3,AE=4,AM=S.

(1)求證：8C是。。的切線；

(2)求。。的直徑AB的長度.

39.(2020?益陽)如圖，OM是。0的半徑，過M點(diǎn)作的切線AB,且M4=M8,OA,

0B分別交。。于C,D.求證：AC=BD.

40.(2020?丹東)如圖，已知△A8C,以AB為直徑的00交AC于點(diǎn)Q,連接B￡),ZCBD

的平分線交OO于點(diǎn)E，交4c于點(diǎn)F,且AF=A&

(1)判斷BC所在直線與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若tanNFBC=」，DF=2,求。。的半徑.

3

2020年全國中考數(shù)學(xué)真題分類精選匯編：《圓》解答題（一）

參考答案與試題解析

一.解答題（共40小題）

1.（2020?大連）四邊形內(nèi)接于OO,AB是。。的直徑，AD^CD.

(1)如圖1,求證/ABC=2/AC￡)；

（2）過點(diǎn)。作。。的切線，交BC延長線于點(diǎn)P（如圖2）.若tanNCAB=_",BC=1,

12

求PD的長.

圖1

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出NOAC=NAC。，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出N

ABC+ZADC=\S00,則可得出答案；

（2）由切線的性質(zhì)得出NO￡>P=90°,由垂徑定理得出/。EC=90°,由圓周角定理N

ACB=90°,可得出四邊形。ECP為矩形，則。P=EC,求出EC的長，則可得出答案.

【解答】（1）證明：?.?4D=C。，

:.NDAC=NACD,

：.ZADC+2ZACD=\S0°,

又；四邊形ABC。內(nèi)接于。0,

.?./4BC+/AOC=180°,

：.ZABC=2ZACD；

（2）解：連接。。交AC于點(diǎn)E,

B

圖2

是。。的切線，

：.OD±DP,

：.ZODP=90a,

XVAD=CD,

A0D1AC,AE=EC,

N￡)EC=90°,

是。。的直徑，

AZACB=90°,

：.ZECP=90a,

...四邊形。EC尸為矩形，

：.DP=EC,

：tan/C4B=-L,BC=1,

12

?CB15

"AC=AC=12,

：.AC=^,

5

.?.EC=LC=2,

25

：.DP=^-.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理,

解直角三角形等知識(shí)，熟練切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2020?盤錦)如圖，BC是。。的直徑，AO是。0的弦，AD交BC于點(diǎn)E,連接AB,

CD,過點(diǎn)E作垂足為F,ZAEF=ZD.

(1)求證：AD±BC；

(2)點(diǎn)G在8C的延長線上，連接AG,ZDAG=2ZD.

①求證：AG與。0相切；

②當(dāng)空上，CE=4時(shí)，直接寫出CG的長.

BF5

【分析】(1)想辦法證明N8+N84E=90°即可解決問題.

(2)①連接0A,想辦法證明04LAG即可解決問題.

②過點(diǎn)C作C〃J_AG于".設(shè)CG=尤，GH=y,利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程組解決

問題即可.

【解答】(1)證明：???M_LA8,

AZAFE=90°,

???NAE尸+NE4b=90°,

■:/AEF=/D,NABE=ND,

，乙48E+NE4尸=90°,

AZAEB=90°,

：.AD1.BC.

(2)①證明：連接04,AC.

'：AD-LBCt

：.AE=ED,

：.CA=CD,

：.ZD=ZCAD,

NGAE=2ND,

JZCAG=ZCAD=ND,

,:OC=OAf

：.ZOCA=ZOACf

?；/CEA=90°,

.\ZCAE+ZACE=90°,

：.ZCAG+ZOAC=90°,

???0A_L4G,

JAG是。。的切線.

②解：過點(diǎn)C作CH_LAG于設(shè)CG=JGGH=y.

???C4平分/GAE,C”J_AG,CE±AE9

:?CH=CE,

VZAEC=ZAHC=90°,AC=ACfEC=CH,

Z.RtAACE^RtAAC//(HL),

???AE=AH,

9：EFLAB.BC是直徑，

；?NBFE=NBAC,

：.EF//AC,

ECAF_2,

*A*BE=BF=T

VCE=4,

：.BE=IO,

?；BCLAD,

/.AC=CD.

：.ZCAE^ZABC,

；NAEC=NAEB=90°,

XAEBsXCEk,

.AE=EB

"CEEA)

."￡12=4X10,

'：AE>0,

.\AE=2^/10.

：.AH=AE^2^10,

：ZG=ZG,ZCHG=ZAEG=90°,

:.△GHCs^GEA,

?絲=班=竺

"GEEA蕊，

...y_4_x

x+42V102V104y

解得了=毀.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定，垂徑定理，解直角三角形，相似三角

形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題，屬于中考常

考題型.

3.如圖，ZiABC內(nèi)接于。。，AQ平分/BAC交BC邊于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)Q,過點(diǎn)A作

AFJ_BC于點(diǎn)F,設(shè)OO的半徑為R,AF=h.

(1)過點(diǎn)。作直線MN〃BC,求證：MN是。。的切線；

(2)求證：AB?AC=2R?h；

(3)設(shè)NBAC=2a,求維螫?的值(用含a的代數(shù)式表示).

【分析】(1)連接0。，由角平分線的性質(zhì)可得/BAO=/C4。，可得標(biāo)=而，由垂徑

定理可得OOJ_BC,可證?？傻媒Y(jié)論；

(2)連接A。并延長交。。于H,通過證明△ACFs/\AHB,可得空■望，可得結(jié)論；

AHAB

(3)由“HL”可證RtADQB^RtADPC,Rt^DQA^Rt/XDPA,可得BQ=CP,AQ=

AP,可得A8+AC=2AQ,由銳角三角函數(shù)可得A￡>=—^―即可求解.

cosa

【解答】解：(1)如圖1,連接OQ,

MDN

圖1

平分/BAC,

：.ZBAD=ZCAD,

?**BD=CD>

又：。。是半徑，

OD±BC,

■:MN//BC,

：.ODLMN,

...MN是。。的切線；

(2)如圖2,連接AO并延長交00于H,連接8H,

MDN

圖2

:AH是直徑，

:.NABH=90°=AAFC,

XVNAHB=NACF,

△ACUXAHB,

.ACAF

?------------，

AHAB

：.AB'AC=AF'AH=2R'h；

(3)如圖3,過點(diǎn)。作OQ_LAB于Q,DP±AC,交AC延長線于P,連接CQ,

圖3

'：ZBAC=2a,AO平分/8AC,

ZBAD—ZCAD—a,

?,?前=而,

:?BD=CD,

a

：ZBAD=ZCADfDQl.ABfDP1.AC,

：.DQ=DPf

：.Rt/\DQB^Rt/\DPC(HL),

:,BQ=CP,

t：DQ=DP,AD=AD,

：.Rt/\DQA^Rt/\DPA(HL),

：.AQ=AP,

：.AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ,

*.*cosZBAD=-^-,

AD

：.AD=AQ,

cosa

.AB+AC2AQ

==2cosa.

AD-AQ

cosa

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形是

本題的關(guān)鍵.

4.(2020?陜西)如圖，直線AM與。。相切于點(diǎn)A,弦BC〃AM,連接B。并延長，交。。

于點(diǎn)E,交AM于點(diǎn)F,連接CE并延長，交AM于點(diǎn)D

(1)求證：CE//OA；

(2)若的半徑R=13,BC=24,求AF的長.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：是。。的直徑,

C.CELBC,

"JBC//AM,

J.CDVAM,

是。0的切線,

：.OA±AM,

：.CE//OA；

(2)解：:。。的半徑R=13,

：.OA=\3,BE=26,

,.?BC=24,

--.CE=^BE2_BC2=10,

"JBC//AM,

二NB=NAFO,

'：ZC=ZA=90",

:.叢BCEsXFAO,

.BCCE

??二,,

AF0A

?2410

?-------二,,

AF13

156

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，

圓周角定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

5.(2020?貴港)如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。在BC邊上，±LAD=BD,。。是4

AC。的外接圓，AE是00的直徑.

(1)求證：A3是。。的切線：

(2)若AB=2娓,A￡>=3,求直徑AE的長.

【分析】(1)連接。E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NB=NC,等量代換

得到根據(jù)圓周角定理得到/AOE=90°,得到/B4E=90°,于是得到結(jié)

論；

(2)作AHLBC,垂足為點(diǎn)H,證明△ABCSADBA,由相似三角形的性質(zhì)得出笆_里，

BDAB

求出8c的長，證明△AEDS^ABH,得出嶇M,則可求出答案.

ABAH

■：AB=AC,AD=BD,

AZB=ABAD,NB=NC,

:./C=NE,

：.ZE^ZBAD,

是OO的直徑，

/.ZAD￡=90°,

/.ZE+Z￡>A￡=90°,

：.ZBAD+ZDAE^90°,

即NBAE=90°,

：.AE1.AB,

直線AB是。。的切線；

(2)解：如圖2,作A”_LBC,垂足為點(diǎn)H,

"：AB=AC,

：.BH=CH,

；NB=NC=NBAD,

二AABCS^DBA,

?ABBC

"BD"AB"

即AB2=BD-BC,

又48=2遙，8O=AC=3,

:.BC=8,

在RtZVIB//中，BH=CH=4,

/MW=VAB2-BH2=7(2V6)2-42=2^2,

,:NE=NB,NADE=NAHB,

:.△AEDs^ABH,

?.--A-E-=-.-AD->

ABAH_

.AB?AD=2西孕=3T

AH2A/2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角

定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.(2020?廣安)如圖，A8是。0的直徑，點(diǎn)E在A2的延長線上，AC平分/D4E交。。

于點(diǎn)C,AD_LDE于點(diǎn)。.

(1)求證：直線QE是。。的切線.

(2)如果B￡=2,CE=4,求線段AC的長.

D

【分析】(1)連接OC，由角平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)得出NZMC=/ACO,則

AD//OC,證得NOCE=90°,則可得出結(jié)論；

(2)連接BC,證明△CBES/SAEC,由相似三角形的性質(zhì)得出《殳叵皿工」，

ACCEAE42

由勾股定理求出AC的長，證明4cs△C4B,得出處工2,則可求出答案.

ACAB

【解答】證明：(1)如圖1,連接OC,

D

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

平分ND4E,

：.ZDAC^ZOAC,

：./￡>AC=ZACO,

：.AD//OC,

VAD±DE,

???NA￡>C=90°,

ZOCE=乙ADC,

：.ZOCE=90°,

???OE是。。的切線；

(2)解：如圖2,連接BC,

VZOCE=90°,

：.ZOCB+ZBCE=90°,

???45是。。的直徑，

ZACB=90°,

???NCAB+NOBC=90°,

■:OB=OC,

：.ZOCB=ZOBCf

：.ZBCE=ZCAB,

?；NCEB=NAEC,

:ACBESAAEC,

?CB二第二—1

**AC'CE=AE=T=??

?"E=8,

.\AB=6,

設(shè)C8=x,則AC=2x,

?：AC2+BC2=AB2,

(2x)2=62,

"：ZDAC=ZCAB,ND=NACB=90°,

：./\DAC^/\CAB,

???DA=AC>

：.AD=^.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、勾股定

理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)作常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常

考題型.

7.(2020?廣西)如圖，在RtZ\48C中，N8AC=90°,以AB為直徑的。0交BC于點(diǎn)E,

點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，連接。E.

(1)求證：OE是。O的切線.

(2)若CE=1,OA=M，求NAC8的度數(shù).

【分析】(1)連接0。，OE,根據(jù)點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，。是AB的中點(diǎn)，可得OD〃BC,

證明△AOO絲△E。。，可得NOEQ=/O4O=90°,

A￡=2

(2)連接AE,設(shè)AD=CD=x,可得VAC-CE2=74x2-V證明△AECs4

BEA,可得生=22,可得關(guān)于x的方程，求出AC的長，進(jìn)而可得N4CB的度數(shù).

AEAB

【解答】(1)證明：如圖，連接。。，OE,

"：OB=OE,

：.ZOBE=ZOEB,

?.?點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，。是A8的中點(diǎn),

OD//BC,

：.ZOBE=ZAOD,ZOEB=ZDOE,

：.ZAOD=ZEOD,

在△AO。和△￡?力中，

'OD=OD

<ZA0D=ZE0D>

0A=0E

A(SAS),

：.ZOED^ZOAD=9Q°,

，OELDE,

是(DO的切線；

(2)解：如圖，連接AE,

'：AB為OO直徑，

AZAEB=ZAEC=90°,

；點(diǎn)。為4c的中點(diǎn)，

.?.設(shè)AO=CQ=x,

/M￡=VAC2-CE2=V4x2-r

VZC+ZCA￡=90°,ZBA￡+ZCAE=90°,

:.NC=NBAE,

：./\AEC^/\BEA,

ACE=ACJ

"AEAB"

.12x

4乂2-產(chǎn)遍,

兩邊平方，得

(4X2-1)xz=3,

整理，得4?-J-3=0,

(/-I)(4?+3)=0,

(x2-1)=0或(4x2+3)—0,

解得，x=±l(負(fù)值舍去)，(4?+3)=0無解,

/?X=1,

：.AC=2x=2f

?\cos/C=%=2，

AC2

AZC=60°.

答：/4C8的度數(shù)為60°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，切線的判定，圓心角定理，

正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

8.(2020?柳州)如圖，AB為。。的直徑，C為O。上的一點(diǎn)，連接AC、BC,0￡>J_3c于

點(diǎn)E,交。0于點(diǎn)D,連接CD、AD,AD與BC交于點(diǎn)F,CG與BA的延長線交于點(diǎn)G.

(1)求證：MACDs[XCFD；

(2)若/CD4=NGC4,求證：CG為。。的切線；

【分析】(1)由垂徑定理得合=俞，由圓周角定理得再由公共角乙4OC

=ZCDF,即可得出△ACQsaCFQ；

(2)連接0C,由圓周角定理得NAC8=90°,則NA8C+/CAB=90°,由等腰三角形

的性質(zhì)得/OBC=NOC8,證出/OCB=NGC4,得出NOCG=90°,即可得出結(jié)論；

(3)連接BD,由圓周角定理得NCAD=/CB。，則sinNC44=sinNCBO=些=工，

BD3

設(shè)。E=x,OD=OB=r,則OE=r-x,8O=3x,由勾股定理得BE=2圾X,則BC=

2BE=4>/2X,在RtZ\OBE中，由勾股定理得(r-x)?+(2A/5X)2=解得廠=9方

2

則AB=2r=9x,由勾股定理求出AC=7x,由三角函數(shù)定義即可得出答案.

【解答】(1)證明：???ODLBC,

.?.CD=BD.

；.NCAD=/FCD,

又?:NADC=NCDF,

：.AACD^ACFD；

(2)證明：連接OC,如圖1所示：

；AB是。0的直徑，

...NACB=90°,

...NABC+NC4B=90°,

?：OB=OC,

：.ZOBC^ZOCB,

'：ZCDA=ZOBC,ZCDA=ZGCA,

：.ZOCB=ZGCA,

：.ZOCG=ZGCA+ZOCA=ZOCB+ZOCA=90°,

：.CG±OC,

；oc是。。的半徑，

，CG是。。的切線；

(3)解：連接BQ,如圖2所示：

,：ZCAD^ZCBD,

'JOD1.BC,

.,.sinNC4￡>=sinNCBQ=^^=2，BE=CE,

BD3

設(shè)￡>E=x,OD=OB=r,則。E=r-x,BD=3x

在Rt^BDE中，BE=2圾X，

A/B[)2_DE2=^9X2,X2=

：.BC=2BE=4>/2X,

在Rt^OBE中，OE2+B爛=OB2,

即(r-x)2+(2A/^X)2=凡

解得：r=9x,

2

，A3=2/*=9x,

在RtzMBC中，AC2+BC2=AB2,

：.AC2+(4A/2X)2=(9x)2,

：.AC=7x^AC=-lx(舍去),

7近

AtanZCDA=tanZCBA=^-='2

BC啦x8

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、圓周角定理、垂徑定理、相似三角

形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)定義等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練

掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

9.(2020?陜西)問題提出

(1)如圖①，等邊△ABC有3條對(duì)稱軸.

問題探究

(2)如圖②，在RtZ!\A8C中，ZA=90°,NC=30°,8c=15,等邊△￡：下「的頂點(diǎn)E,

F分別在84,8c上，且BE=BF=2.連接BP并延長，與4C交于點(diǎn)P',過點(diǎn)尸'作

P'E1//PE交AB于點(diǎn)E',作P'F'//PF交BC于點(diǎn)F',連接E'F',求弘「E，

F.

問題解決

(3)如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，OO的直徑為60m，等邊△AB尸的邊AB是。。

的弦，頂點(diǎn)P在。。內(nèi)，延長AP交。。于點(diǎn)C,延長BP交。。于點(diǎn)。，連接CD現(xiàn)

準(zhǔn)備在△辦8和△PCC區(qū)域內(nèi)種植花卉，圓內(nèi)其余區(qū)域?yàn)椴萜?按照預(yù)算，要求花卉種

植面積盡可能小，求花卉種植面積(SNAB+S"CD)的最小值.

圖①圖②圖③

【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)可求解；

(2)通過證明四邊形BFPE是菱形，可得2P平分NABC,由銳角三角函數(shù)可求ET=

P'E=5,同理可求。產(chǎn)的長，由三角形的面積公式可求解；

(3)通過等邊三角形的面積公式可求S△用8+5a8=返/+返CAC-x)2=返(Zx2

444

-2cA?x+C42),由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x=2G時(shí)，S△以B+SMC。有最小值，即可求解.

2

【解答】解：(1)等邊三角形有三條對(duì)稱軸，是它的三邊的垂直平分線，

故答案為:3；

(2)在中，ZA=90°,ZC=30°,

???NA8C=60°,

?:BE=BF,

???△3"是等邊三角形,

：.ZBFE=6O0,

:△PE尸是等邊三角形,

AZPEF=60°=NBFE,

：.PE//BC,

同理，PF//AB,

...四邊形BFP￡是平行四邊形，

又,：BE=BF,

.“BFPE是菱形,

，B/平分/4BC,

AZABP'=^ZABC=30°,

2

在RtZXABC中，ZC=30°,BC=15,

."8=』3。=工，

22

在RtZXABP'中，/A8P'=30°,tan300=^L_

_AB

.,.4P'=A8tan30°

6

'：P'E//BC,

.'.NAP'E=30°,

在RtZ\4PE中，cos30°=_^—,

P，E，

cos300

同理可證，尸是等邊三角形，

：.EF=P'E'=5,

如圖②，EF與的交點(diǎn)記作點(diǎn)0,

圖②

同理得，四邊形BFPE1是菱形，

：.BP'A.EF,NOP'E=JLNEPF=30°,

2

AOP'=P'Ecos-iQQ

2_

:.SwEF=」E『OP'=25宜.；

24

(3)設(shè)AB的長為x,則CP=AC-x,

「△APB是等邊三角形，

：.AB=PB=APfN4=NB=60°,

.*.ZC=ZB=60°,ZD=ZA=60Q,

???△PCD是等邊三角形，

；.s△以B+S"CD=?/+返(AC-X)2=返(2?-2CA?x+CA2),

444

.?.當(dāng)x=.兒上-=生■時(shí),SAPAB+S&PCD，

2X22

：.AB=AP=PC,

：.DP=BP,

此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，則AC是直徑，

???。0的直徑為60m

：.FA=PB=AB=30Cm),

.”△以《+1戶8最小值=45(h/^(m2).

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的

判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值是本

題的關(guān)鍵.

10.(2020?蘭州)如圖，在RtZXAOB中，NAOB=90°,0A=08,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，以

OC為半徑作OO.

(1)求證：AB是。。的切線；

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OCLAB,根據(jù)切線的判定定理即可證得結(jié)論;

(2)根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得48,然后根據(jù)三角形面積公式即可求得.

【解答】(1)證明：；。4=08,點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，

OCA.AB,

???OC為。。的半徑,

...A8是。。的切線；

（2）:△AOB是等腰直角三角形，點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，

OC1AB,AB=2OC=4,

7-|O/l2：=yAB-0C-

：.OA=72X4=2?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，直角三角形的性

質(zhì)，三角形面積等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

11.（2020?日照）閱讀理解：

如圖1,Rt/XABC中，a,b,c分別是/A,NB,/C的對(duì)邊，/C=90°,其外接圓半

徑為R.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：sinA=旦，sinB=2可得一7a