平行線與相交線全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識講解

《平行線與相交線》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】熟練掌對頂角，鄰補角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點到直線的距離與兩平行線間的距離的概念；2.區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運用；3.了解命題的概念及構(gòu)成，并能通過證明或舉反例判定命題的真假；4.了解平移的概念及性質(zhì).【高清課堂：相交線與平行線單元復(fù)習(xí)403105知識結(jié)構(gòu)】【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】知識點一、相交線1.對頂角、鄰補角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角112∠1與∠2有公共頂點∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即∠1=∠2鄰補角有公共頂點∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線.鄰補角互補即∠3+∠4=180°要點詮釋：⑴對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角.對頂角的特征:有公共頂點，角的兩邊互為反向延長線.⑵如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角.⑶如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角.鄰補角的特征:有公共頂點，有一條公共邊，另一邊互為反向延長線．⑶兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個.2.垂線及性質(zhì)、距離（1）垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.如圖1所示，符號語言記作：AB⊥CD，垂足為O.要點詮釋：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個角中，是否有一個角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，如圖2：PO⊥AB，點P到直線AB的距離是垂線段PO的長.要點詮釋：垂線段PO是點P到直線AB所有線段中最短的一條.知識點二、平行線1．平行線判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行．判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．要點詮釋：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行.【思路點撥】這是初學(xué)幾何時較為復(fù)雜的題目，通常是過“拐點”(拐角處的頂點)作平行線為輔助線，把一個大角分成兩個角，分別與兩個已知角建立起了聯(lián)系．【答案與解析】解：過E點作EF∥AB，因為AB∥CD(已知)，所以EF∥CD．所以∠4＝∠D(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)．又因為∠D＝∠2(已知)，所以∠4＝∠2(等量代換)．同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1．因為∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定義)，所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠BED＝90°．故BE⊥DE．【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是如何構(gòu)造平行關(guān)系，即過哪一點作哪條直線的平行線，只有通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)才能逐步達(dá)到熟練解題的目的．舉一反三：【變式1】如圖所示，已知直線AB∥CD，當(dāng)點E在直線AB與CD之間時，有∠BED＝∠ABE+∠CDE成立；而當(dāng)點E在直線AB與CD之外時，下列關(guān)系式成立的是().A．∠BED＝∠ABE+∠CDE或∠BED＝∠ABE-∠CDEB．∠BED＝∠ABE-∠CDEC．∠BED＝∠CDE-∠ABE或∠BED＝∠ABE-∠CDED．∠BED＝∠CDE-∠ABE【答案】C（提示：過點E作EF∥AB）【變式2】已知：如圖，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1＝∠3.求證：AB∥DC.【答案】證明：∵∠ABC＝∠ADC,∴（等式性質(zhì)）.又∵BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC,∴∠1＝，∠2＝（角平分線的定義）.∴∠1＝∠2（等量代換）.又∵∠1＝∠3（已知）,∴∠2＝∠3（等量代換）.∴AB∥DC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行).類型三、命題及平移4.在小學(xué)，學(xué)習(xí)對“幾何的初步認(rèn)識”我們知道：一個三角形的三個內(nèi)角之和等于180°，現(xiàn)在學(xué)習(xí)了平行線性質(zhì)以后，你能說出這是為什么嗎?【答案與解析】已知：三角形ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°．證明：過A點作EF∥BC．則∠EAB=∠B，∠FAC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵∠B+∠BAC+∠C=∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°(平角定義)，∴∠A+∠B+∠C=180°．【總結(jié)升華】準(zhǔn)確寫出題設(shè)和結(jié)論后，再進(jìn)行證明.5.（吉林）如圖所示，把邊長為2的正方形的局部進(jìn)行圖①～④的變換，組成圖⑤，則圖⑤的面積是()A．18B．16C．12D．8【思路點撥】根據(jù)平移的基本性質(zhì)，平移不改變圖形的形狀和大小，即圖形平移后面積不變，則⑤面積可求．【答案】B【解析】圖①到圖②是將一個等腰三角形由下方平移到上方．圖③到圖④是將右邊的小長方形平移到左側(cè)，所以圖④中陰影部分的面積與邊長為2的正方形的面積是相等的，圖⑤是由4個圖④組成的，所以圖⑤的面積是4×4＝16．【總結(jié)升華】平移是由平移的方向和距離決定的．平移的性質(zhì)是平移前后，圖形的形狀、大小不變.類型四、實際應(yīng)用6.手工制作課上，老師先將一張長方形紙片折疊成如圖所示的那樣，若折痕與一條邊BC的夾角∠EFB=30°，你能說出∠EGF的度數(shù)嗎？【思路點撥】長方形的對邊是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF=∠EFG=30°，又因為折后重合部分相等，所以∠GEF=∠DEF=30°，所以∠DEG=2∠DEF=60°，又因為兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，所以∠EGC=180°－∠DEG，問題可解.【答案與解析】解：因為AD∥BC（已知），所以∠DEF=∠EFG=30°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.因為∠GEF=∠DEF=30°（對折后重合部分相等），所以∠DEG=2∠DEF=60°.所以∠EGC=180°－∠DEG=180°－60°=120°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.【總結(jié)升華】本題利用了：（1）折疊的性質(zhì)：折