平面向量與三角形三心_第1頁
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第第頁向量與三角形內心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心——高線的交點：高線與對應邊垂直；（3）內心——角平分線的交點（內切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結合（1）是的重心.證法1：設是的重心.證法2：如圖三點共線，且分為2：1是的重心（2）為的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，為的垂心（3）設,,是三角形的三條邊長，O是ABC的內心為的內心.證明：分別為方向上的單位向量，平分,)，令（)化簡得（4）為的外心。典型例題分析[例題]已知點G是內任意一點,點M是所在平面內一點.試根據(jù)下列條件判斷G點可能通過的_______心.(填“內心”或“外心”或“重心”或“垂心”).[提出問題](1)若存在常數(shù),滿足,則點G可能通過的__________.(2)若點D是的底邊BC上的中點,滿足,則點G可能通過的__________.(3)若存在常數(shù),滿足,則點G可能通過的__________.(4)若存在常數(shù),滿足,則點G可能通過的__________.[思路分析]以上四個問題的解決要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性質,同時更要熟悉平面向量的性質,對于平面向量與三角函數(shù)的結合也要相當熟悉.[解答過程](1)記,則.由平面向量的平行四邊形或三角形法則知,點G是角平分線上的點,故應填內心.(2)簡單的變形后發(fā)現(xiàn)點G是BC邊中垂線上的點,故應填外心.(3)記,則.由平面向量的平行四邊形或三角形法則知,點G是BC邊的中線上的點,故應填重心.(4)分析后發(fā)現(xiàn),本題學生難以找到解決問題的突破口,主要在于平面向量的數(shù)量7．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))滿足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),則△ABC為()A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形8．已知三個頂點，若，則為（）A．等腰三角形

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