平面向量與三角形三心

第第頁向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)的交匯一、四心的概念介紹（1）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）是的重心.證法1：設(shè)是的重心.證法2：如圖三點(diǎn)共線，且分為2：1是的重心（2）為的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，為的垂心（3）設(shè),,是三角形的三條邊長，O是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心.證明：分別為方向上的單位向量，平分,)，令（)化簡得（4）為的外心。典型例題分析[例題]已知點(diǎn)G是內(nèi)任意一點(diǎn),點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn).試根據(jù)下列條件判斷G點(diǎn)可能通過的_______心.(填“內(nèi)心”或“外心”或“重心”或“垂心”).[提出問題](1)若存在常數(shù),滿足,則點(diǎn)G可能通過的__________.(2)若點(diǎn)D是的底邊BC上的中點(diǎn),滿足,則點(diǎn)G可能通過的__________.(3)若存在常數(shù),滿足,則點(diǎn)G可能通過的__________.(4)若存在常數(shù),滿足,則點(diǎn)G可能通過的__________.[思路分析]以上四個(gè)問題的解決要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性質(zhì),同時(shí)更要熟悉平面向量的性質(zhì),對于平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合也要相當(dāng)熟悉.[解答過程](1)記,則.由平面向量的平行四邊形或三角形法則知,點(diǎn)G是角平分線上的點(diǎn),故應(yīng)填內(nèi)心.(2)簡單的變形后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G是BC邊中垂線上的點(diǎn),故應(yīng)填外心.(3)記,則.由平面向量的平行四邊形或三角形法則知,點(diǎn)G是BC邊的中線上的點(diǎn),故應(yīng)填重心.(4)分析后發(fā)現(xiàn),本題學(xué)生難以找到解決問題的突破口,主要在于平面向量的數(shù)量7．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))滿足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),則△ABC為()A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形8．已知三個(gè)頂點(diǎn)，若，則為（）A．等腰三角形