【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：1.4-數(shù)列求和的若干常用方法

數(shù)列求和的若干常用方法數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查對(duì)象。除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要確定的技巧.如某些特殊數(shù)列的求和可接受分部求和法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的和或用裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法、逆序相加法、組合化歸法，遞推法等。本文就此總結(jié)如下，供參考。一、分組求和法所謂分組法求和就是：對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。例1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{bn}滿.（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。解析：（Ⅰ）由，兩式相減得：， 同定義知是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.（Ⅱ） 等式左、右兩邊分別相加得： =已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前10項(xiàng)的和為145，求：解析：首先由則：二、裂項(xiàng)求和法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）（2）（3）等。例3.在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.解析：∵∴∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和＝＝例4．設(shè)｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)全部自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).(1)寫出數(shù)列｛an｝的前三項(xiàng)；(2)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式(寫出推證過程)；(3)令bn=(n∈N)，求：b1+b2+…+bn-n.解析：(1)略；(2)an=4n-2.；(3)令cn=bn-1,則cn===b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn=評(píng)析：一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，則求和：首先考慮則=。下列求和：也可用裂項(xiàng)求和法。錯(cuò)位相減法設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和求解，均可用錯(cuò)位相減法。例5.已知，數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解析：①-②得：。例6．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且（Ⅰ）略；（Ⅱ）令求數(shù)列前n項(xiàng)和的公式.解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）解：由得①②將①式減去②式，得所以四、組合化歸法例7.求和：。解析：而連續(xù)自然數(shù)可表示為組合數(shù)的形式，于是，數(shù)列的求和便轉(zhuǎn)化為組合數(shù)的求和問題了。評(píng)析：可轉(zhuǎn)化為連續(xù)自然數(shù)乘積的數(shù)列求和問題，均可考慮組合化歸法。逆序相加法例8.設(shè)數(shù)列是公差為，且首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求和：解析：由于評(píng)析：此類問題還可變換為探究題形：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在等差數(shù)列使得對(duì)一切自然數(shù)n都成立。遞推法例6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和與滿足：成等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解析：由題意：