【名師一號(hào)】2022屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)：第三章-三角函數(shù)、解三角形3-6-

第六節(jié)正弦定理和余弦定理時(shí)間：45分鐘分值：100分eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(必)eq\x(做)一、選擇題1．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝eq\r(3)ab，則C＝()A．30° B．45°C．60° D．120°解析由a2－c2＋b2＝eq\r(3)ab，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3)ab,2ab)＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝30°.答案A2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則BC的長(zhǎng)為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)C．2eq\r(3) D．2解析S＝eq\f(1,2)×AB·ACsin60°＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝eq\r(3).答案B3．在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lgeq\f(1,b＋c)，則A＝()A．90° B．60°C．120° D．150°解析由題意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)，∴(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．∴b2＋c2－a2＝－bc.∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2).又A∈(0，π)，∴A＝120°，選C.答案C4．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的外形為()A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．不確定解析由正弦定理及已知條件可得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，而B(niǎo)＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sinA，所以sin2A＝sinA，又0<A<π，sinA>0，∴sinA＝1，即A＝eq\f(π,2).答案A5．(2021·四川模擬)已知△ABC的周長(zhǎng)為eq\r(2)＋1，且sinA＋sinB＝eq\r(2)sinC.若△ABC的面積為eq\f(1,6)sinC，則角C的大小為()A．30° B．60°C．90° D．120°解析由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\r(2)＋1，,a＋b＝\r(2)c，))∴c＝1，a＋b＝eq\r(2).又eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,6)sinC，∴ab＝eq\f(1,3).∵cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a＋b2－2ab－c2,2ab)＝eq\f(1,2).∴C＝60°.答案B6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足csinA＝eq\r(3)acosC，則sinA＋sinB的最大值是()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．3解析由csinA＝eq\r(3)acosC，所以sinCsinA＝eq\r(3)sinAcosC，即sinC＝eq\r(3)cosC.所以tanC＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，A＝eq\f(2π,3)－B.所以sinA＋sinB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＋sinB＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6))).由于0<B<eq\f(2π,3)，所以eq\f(π,6)<B＋eq\f(π,6)<eq\f(5π,6).所以當(dāng)B＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即B＝eq\f(π,3)時(shí)，sinA＋sinB的最大值為eq\r(3).答案C二、填空題7．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，則角A的大小為_(kāi)_______．解析由題意知，sinB＋cosB＝eq\r(2)，所以eq\r(2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝eq\r(2)，所以B＝eq\f(π,4)，依據(jù)正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得eq\f(\r(2),sinA)＝eq\f(2,sin\f(π,4))，所以sinA＝eq\f(1,2)，又a<b，故A＝eq\f(π,6).答案eq\f(π,6)8．(2022·廣東卷)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，則eq\f(a,b)＝________.解析本題考查解三角形中余弦定理．∵bcosC＋ccosB＝2b.有b×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2b，eq\f(a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2,2a)＝2b，∴a＝2b，即eq\f(a,b)＝2.答案29．(2022·山東卷)在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝tanA，當(dāng)A＝eq\f(π,6)時(shí)，△ABC的面積為_(kāi)_______．解析由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝tanA，可得|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝tanA，由于A＝eq\f(π,6)，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，即|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3).所以S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|·sinA＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)三、解答題10．(2022·浙江卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知sin2eq\f(A－B,2)＋4sinAsinB＝2＋eq\r(2).(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面積為6，求邊長(zhǎng)c的值．解(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋eq\r(2)，化簡(jiǎn)得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝eq\r(2)，故cos(A＋B)＝－eq\f(\r(2),2).所以A＋B＝eq\f(3π,4)，從而C＝eq\f(π,4).(2)由于S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，由S△ABC＝6，b＝4，C＝eq\f(π,4)，得a＝3eq\r(2).由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝eq\r(10).11．(2022·湖南卷)如圖，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝eq\r(7).(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－eq\f(\r(7),14)，sin∠CBA＝eq\f(\r(21),6)，求BC的長(zhǎng)．解(1)由余弦定理可得cos∠CAD＝eq\f(AD2＋AC2－DC2,2AD·AC)＝eq\f(1＋7－4,2×1×\r(7))＝eq\f(2\r(7),7)，∴cos∠CAD＝eq\f(2\r(7),7).(2)∵∠BAD為四邊形內(nèi)角，∴sin∠BAD>0且sin∠CAD>0，則由正余弦的關(guān)系可得sin∠BAD＝eq\r(1－cos2∠BAD)＝eq\f(3\r(21),14)，且sin∠CAD＝eq\r(1－cos2∠CAD)＝eq\f(\r(21),7)，由正弦的和差角公式可得sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－sin∠CADcos∠BAD＝eq\f(3\r(21),14)×eq\f(2\r(7),7)－eq\f(\r(21),7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),14)))＝eq\f(3\r(3),7)＋eq\f(\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2)，再由△ABC的正弦定理可得eq\f(AC,sin∠CBA)＝eq\f(BC,sin∠BAC)?BC＝eq\f(\r(7),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(21),6))))×eq\f(\r(3),2)＝3.eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1．在銳角△ABC中，若BC＝2，sinA＝eq\f(2\r(2),3)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最大值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(4,5)C．1 D．3解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc×eq\f(1,3)＝4，由基本不等式可得4≥eq\f(4,3)bc，即bc≤3，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝bccosA＝eq\f(1,3)bc≤1.答案C2．在△ABC中，三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a3＋b3＝c3，那么△ABC的外形為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上均有可能解析由題意可知c>a，c>b，即角C最大，所以a3＋b3＝a·a2＋b·b2<ca2＋cb2，即c3<ca2＋cb2，所以c2<a2＋b2，依據(jù)余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)>0，所以0<C<eq\f(π,2)，即三角形為銳角三角形．答案A3．(2022·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)·(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______．解析由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).∴sinA＝eq\f(\r(3),2).由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.∴S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sinA≤eq\r(3)，即(S△ABC)max＝eq\r(3).答案eq\r(3)4．(2022·遼寧卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a>c.已知eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，cosB＝eq\f(1,3)，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解(1)由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，得c·acosB＝2.又cosB＝eq\f(1,3)，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac＝6，,a2＋c2＝13，))得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.由于a>c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(2\r(2),3)，由正弦