中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專題28 定弦定角(原卷版)

專題28定弦定角模型的概述：因?yàn)橥瑘A或等圓中等弦所對(duì)的圓周角相等，所以當(dāng)弦的長度保持不變和弦所對(duì)應(yīng)的角度大小固定時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓或者圓弧。如圖，已知AB為定線段，P為動(dòng)點(diǎn)，且∠APB=α，則A、B、P三點(diǎn)必共圓，或稱為點(diǎn)P一定在以AB為弦的某一個(gè)圓上，且這個(gè)圓是固定的，圓心在線段AB的垂直平分線上，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為關(guān)于線段AB對(duì)稱的圓弧上（①∠APB<90°，在線段AB對(duì)稱的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)②∠APB>90°，在線段AB對(duì)稱的劣弧上運(yùn)動(dòng)），但不包括A、B兩點(diǎn)。定弦定角問題常應(yīng)用于求線段的“最值”，問題的關(guān)鍵就在于找到運(yùn)動(dòng)過程中必存在的定線段，及這條線段關(guān)于某一動(dòng)點(diǎn)的張角為定值，由張角的變化，去尋找這三點(diǎn)所構(gòu)成的定圓?！揪毩?xí)】如圖，已知AB=2，點(diǎn)C為動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°、45°、60°，畫點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，求△ABC外接圓半徑?！咎釂枴吭凇鰽BP中,∠P=α,AB=2x.1）求△ABP中AB邊所對(duì)的高的最值。2）求△ABP面積的最值?！咎崾尽窟@個(gè)模型就是我們所謂的定角定弦模型,也就是在一個(gè)三角形中一個(gè)角和它的對(duì)邊保持不變,在AB邊固定的同時(shí),雖然∠P的大小不變,但頂點(diǎn)P的位置可以發(fā)生變化P,由于同弧所對(duì)的圓周角不變,故頂點(diǎn)P可以在△ABP的外接圓的BC這段弦所對(duì)的圓弧上運(yùn)動(dòng)（不包括B,C兩點(diǎn)）。當(dāng)高線PD過圓心時(shí)有最大的高,即h≤OP1+OD.思路：作△ABP的外接圓圓O∵∠AP1B=α∴∠AOB=2α而△AOD≌△BOD∴∠AOD=∠BOD=αAD=BD=x在Rt△AOD中，AO=ADsinα=xsinαDO=AOPC≤P1D=OP1+OD=xsinα+xcosαsinα=xsinS△ABP=12?PC?AB≤12?P1D?AB=12?xsinα(1+cosα【培優(yōu)過關(guān)練】1．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，同一個(gè)圓中的兩條弦AB、CD相交于點(diǎn)E．若∠AEC=120°，AC=4，則AD與BCA． B．2π C．43π D．2．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D在半圓O上，半徑OB=5，AD=4，點(diǎn)C在弧BD上移動(dòng)，連接AC，作DH⊥AC，垂足為，連接BH，點(diǎn)C在移動(dòng)的過程中，BH3．（2021秋·四川成都·九年級(jí)成都嘉祥外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC=6，BC=83，∠ACB=60°，過點(diǎn)A作BC的平行線l，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O為的外接圓，直線BP交⊙O于4．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB=6，將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a0°<a<120°，得到線段AD，連接CD，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，且DE=2CE．連接，則的最小值為__________________．5．（2023·江蘇蘇州·蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，△ABC是邊長為6的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=15°，則∠BAF=______°；現(xiàn)將△．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀緦W(xué)習(xí)心得】小雯同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是ΔABC外一點(diǎn)，且AD=AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作輔助圓⊙A，則C，D兩點(diǎn)必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，(1)【初步運(yùn)用】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠(2)【方法遷移】如圖，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點(diǎn)P，使得∠APB=30°(3)【問題拓展】①如圖，已知矩形ABCD，AB=2，BC=m，M為CD上的點(diǎn)．若滿足∠AMB=45°的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則m②如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC邊上的高，且BD=6，CD=2，求7．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問題提出】我們知道：同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相等，且等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，那么，在一個(gè)圓內(nèi)同一條弦所對(duì)的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系呢？【初步思考】(1)如圖1，AB是⊙O的弦，∠AOB=100°，點(diǎn)P1、P2分別是優(yōu)弧AB和劣弧AB上的點(diǎn)，則(2)如圖2，AB是⊙O的弦，圓心角∠AOB=mm<180°，點(diǎn)P是⊙O上不與A、B重合的一點(diǎn)，求弦AB所對(duì)的圓周角【問題解決】(3)如圖3，已知線段AB，點(diǎn)C在AB所在直線的上方，且∠ACB=135°，用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點(diǎn)C【實(shí)際應(yīng)用】(4)如圖4，在邊長為12的等邊三角形ABC中，點(diǎn)E、F分別是邊AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)P，若始終保持AE=CF，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長是______．8．（2021·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx?3交x軸于點(diǎn)，，D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤3），AE/?/PD交直線l：y=12x+2于點(diǎn)E，AP交DE于點(diǎn)F，交（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)△PDF的面積為S1，△AEF的面積為，當(dāng)S1（3）連接BQ，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且∠BMQ＝45°，在點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t9．（2023·陜西西安·?？级＃發(fā)現(xiàn)]如圖（1），AB為⊙O的一條弦，點(diǎn)C在弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道∠ACB的度數(shù)（填“變”或“不變”）；若∠AOB=150°，則∠ACB=°．愛動(dòng)腦筋的小明猜想，如果平面內(nèi)線段AB的長度已知，∠[研究]為了解決這個(gè)問題，小明先從一個(gè)特殊的例子開始研究．如圖（2），若AB=22，直線AB上方一點(diǎn)C滿足∠ACB=45°，為了畫出點(diǎn)C所在的圓，小明以AB為底邊構(gòu)造了一個(gè)等腰Rt△AOB，再以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，則點(diǎn)C在⊙O上．請(qǐng)根據(jù)小明的思路在圖中完成作圖（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并用2B鉛筆或黑色水筆加黑加粗）．后來，小明通過逆向思維及合情推理，得出一個(gè)一般性的結(jié)論，即：若線段AB的長度已知，[應(yīng)用]（1）如圖（3），AB=23，平面內(nèi)一點(diǎn)C滿足∠ACB=60°，則△ABC（2）如圖（4），已知正方形ABCD，以AB為腰向正方形內(nèi)部作等腰△BAE，其中BE=BA，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)P①∠BPE=°②連接CP，若正方形ABCD的邊長為2，求CP的最小值．10．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)?？家荒＃締栴}提出】如圖1，AB為⊙O的一條弦，點(diǎn)C在弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道∠ACB的度數(shù)不變．愛動(dòng)腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線段AB的長度已知，∠ACB的大小確定，那么點(diǎn)【問題探究】為了解決這個(gè)問題，小芳先從一個(gè)特殊的例子開始研究．如圖2，若AB=4，線段AB上方一點(diǎn)C滿足∠ACB=45°，為了畫出點(diǎn)C所在的圓，小芳以AB為底邊構(gòu)造了一個(gè)Rt△AOB，再以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫圓，則點(diǎn)C在⊙O上．后來小芳通過逆向思維及合情推理，得出一個(gè)一般性的結(jié)論．即：若線段AB的長度已知，∠【模型應(yīng)用】(1)若AB=6，平面內(nèi)一點(diǎn)C滿足∠ACB=60°，若點(diǎn)C所在圓的圓心為O，則∠AOB=__________，劣弧AB(2)如圖3，已知正方形ABCD以AB為腰向正方形內(nèi)部作等腰△ABE，其中，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，若點(diǎn)P是△AEF的內(nèi)心．①求∠BPE②連接CP，若正方形ABCD的邊長為4，求CP的最小值．11．（2023春·廣西南寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問題提出】如圖1，AB為⊙O的一條弦，點(diǎn)C在弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道∠ACB的度數(shù)不變．愛動(dòng)腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線段AB的長度已知，∠ACB的大小確定，那么點(diǎn)C是不是在某個(gè)確定的圓上運(yùn)動(dòng)呢？【問題探究】為了解決這個(gè)問題，小芳先從一個(gè)特殊的例子開始研究．如圖2，若AB=4，線段AB上方一點(diǎn)C滿足∠ACB=45°，為了畫出點(diǎn)C所在的圓，小芳以AB為底邊構(gòu)造了一個(gè)Rt△AOB，再以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫圓，則點(diǎn)C在⊙O上．后來小芳通過逆向思維及合情推理，得出一個(gè)一般性的結(jié)論．即：若線段AB的長度已知，∠ACB的大小確定，則點(diǎn)【模型應(yīng)用】（1）若AB=63，平面內(nèi)一點(diǎn)C滿足∠ACB=60°，若點(diǎn)C所在圓的圓心為O，則∠AOB=________，半徑OA（2）如圖3，已知正方形ABCD以AB為腰向正方形內(nèi)部作等腰△ABE，其中，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，若點(diǎn)P是△AEF的內(nèi)心．①求∠BPA②連接CP，若正方形ABCD的邊長為6，求CP的最小值．12．（2023·吉林長春·?？级＃┤鐖D，在△ABC中，∠ABC=90°，，AC=5，點(diǎn)P在邊AC上（點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合），連結(jié)PB，過點(diǎn)C作CQ⊥射線BP于點(diǎn)Q．(1)當(dāng)點(diǎn)Q在△ABC內(nèi)部時(shí)，求AP長的取值范圍．(2)連結(jié)AQ，則AQ長的最小值為．(3)當(dāng)△BCP是等腰三角形時(shí)，求△BCQ(4)當(dāng)tan∠PCQ=213．（2023春·重慶江津·九年級(jí)校聯(lián)考期中）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為BC上一點(diǎn)．(1)如圖1，過C作CE⊥AB于E，連接AD,DE．若AD平分∠BAC，CD=6，求DE的長；(2)如圖2，以CD為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，向右作等腰直角三角形△DCM，將△DCM繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<α<45)，連接AM,BD，取線段AM的中點(diǎn)N，連接CN．猜想BD、CN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)如圖3，連接AD，將△ACD沿AD翻折至△ADF處，在BC上取點(diǎn)，連接AH，過點(diǎn)F作FQ⊥AH交AC于點(diǎn)Q，F(xiàn)Q交AH于點(diǎn)G，連接，若FQ∶AH=3∶2，AB=4，當(dāng)取得最小值時(shí)，求△ACG的面積．14．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）在邊長為8的等邊三角形ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC、AD上任意一點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG交AC于點(diǎn)N，連接(1)如圖1，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且GF的延長線過點(diǎn)B，證明：四邊形是菱形；(2)如圖2，EF的延長線交AB于點(diǎn)M，當(dāng)AM+MF=AE時(shí)，求∠EAG(3)如圖3，E為AC的中點(diǎn)，連接BE，H為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B'EH，連接B15．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）在正方形ABCD中，邊長為2．點(diǎn)E是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為直角邊在直線BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90o，其中EF交CD于點(diǎn)P，AF交CD于點(diǎn)Q(1)如圖1，①若BE=12時(shí)，求線段②當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：∠QEF=(2)如圖2，過點(diǎn)B