中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專題25 費(fèi)馬點(diǎn)（解析版）

專題25費(fèi)馬點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為費(fèi)馬點(diǎn)。模型：如圖，已知?ABC中所有內(nèi)角都小于120°，且其內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)，求∠APC、∠APB、∠BPC【思路】將PA、PB、PC三條分散的線段轉(zhuǎn)化為連續(xù)的折線，然后借助兩點(diǎn)之間的線段最短找到符合條件的點(diǎn)P。求解過程：將?APB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到?A’P’B則?APB≌?A’P’B∴BP=BP’AP=AP’∠A’P’B=∠APB而∠P’BP=60°則?P’BP為等邊三角形∴∠BPP’=∠P’BP=∠BP’P=60°∵PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC≤A’C∴當(dāng)A’、P’、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的最小值為A’C此時(shí)∠BPC=180°-∠BPP’=120°∠APB=∠A’P’B=180°-∠BP’P=120°∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°【進(jìn)階】已知?ABC，如何作費(fèi)馬點(diǎn)？①已知∠BAC<120°作法：1）如圖，分別以?ABC中的AB、AC為邊，作等邊?ADB、等邊?AEC2）連接CD、BE，則?ADC≌?ABE(手拉手模型)3）記CD、BE交點(diǎn)為P，點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)。4）以BC為邊作等邊?BCF，連接AF，必定經(jīng)過點(diǎn)P，且BE=AF=CD。②已知∠BAC=120°作法：在?ABC外作∠BAD=120°,連接BD、CD此時(shí)點(diǎn)A為?BCD的費(fèi)馬點(diǎn)則AB+AC+AD≤PB+PC+PD即AB+AC≤PB+PC+PD-AD≤PA+PB+PC(只有當(dāng)P、A重合時(shí)取等號(hào))③已知∠BAC>120°作法：在∠BAC內(nèi)部作∠BAE=120°,連接BE、CE則AB+AE≤PA+PB+PE而AC≤AE+EC∴AB+AC≤PA+PB+PE+EC≤PA+PB+PC(只有當(dāng)P、A重合時(shí)取等號(hào))【過關(guān)培優(yōu)練】1．（2023春·湖北十堰·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）【閱讀材料】平面幾何中的費(fèi)馬問題是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)、、，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)的位置，費(fèi)馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，可得為等邊三角形，故，由旋轉(zhuǎn)可得，因，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，的最小值與線段的長度相等．【解決問題】如圖2，在直角三角形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)，，，連接，，，若，求的最小值______．【答案】【分析】將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作交的延長線于點(diǎn)，首先證明，求出的值即可解決問題．【詳解】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作交的延長線于點(diǎn)，在中，∵，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，、是等邊三角形，∴，∴，∵，∴當(dāng)共線時(shí)，的值最小，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，理由旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵．2．（2021·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________；若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________．【答案】5【分析】①作出圖形，過分別作,勾股定理解直角三角形即可②作出圖形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，P為的費(fèi)馬點(diǎn)則四點(diǎn)共線，即，再用勾股定理求得即可【詳解】①如圖,過作，垂足為,過分別作,則,P為的費(fèi)馬點(diǎn)5②如圖：.將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60由旋轉(zhuǎn)可得：是等邊三角形，P為的費(fèi)馬點(diǎn)即四點(diǎn)共線時(shí)候，=故答案為：①5，②【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵．本題旋轉(zhuǎn)也可，但必須繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．3．（2019秋·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最?。藗兎Q這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為費(fèi)馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費(fèi)馬點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費(fèi)馬距離為_____．【答案】7+2【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖：∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB∴即PB2＝12∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定和性質(zhì)．4．（2021·四川成都·九年級專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint），已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，若P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，若點(diǎn)P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF=_____．【答案】．【詳解】如圖：等腰Rt△DEF中，DE=DF=，過點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，過E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°，則EM=DM=1，故cos30°=，解得：PE=PF==，則PM=，故DP=1﹣，則PD+PE+PF=2×+1﹣=．故答案為．5．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧市第十五中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，中，，，，是內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接、、，則的最小值為_____．【答案】【分析】以為邊作等邊三角形，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，可得，，，，，則當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為，由勾股定理可求解．【詳解】解：如圖，以為邊作等邊三角形，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接A，是等邊三角形，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造等邊三角形是本題的關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等邊△ABC中取點(diǎn)P，使得PA，PB，PC的長分別為m，m，，將線段BP以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接CQ，則的大小為______．【答案】【分析】由“”可證，可得，，由勾股定理的逆定理可得，．【詳解】解：將線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，是等邊三角形，，，，，又，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·湖北武漢·九年級武漢一初慧泉中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，中，，，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，連接，則的最小值為__________.【答案】【分析】作輔助線如詳解圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求得，于是所求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得的最小值即為線段的長，然后求出的長即可解決問題.【詳解】解：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，如圖，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即的最小值為的長（當(dāng)點(diǎn)E、D、P、B四點(diǎn)共線時(shí)取最小值），∵中，，，∴，∴，∵，∴，則在直角三角形中，，∴，∴；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法將所求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值是解題的關(guān)鍵.二、單選題8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，P為平面內(nèi)的一點(diǎn)，連接，若，則的最小值是（

）A． B．36 C． D．【答案】A【分析】分別以、為邊在下方構(gòu)造等邊三角形、，分別取、中點(diǎn)，連接，先證得，可得，由中位線可得，由等邊三角形性質(zhì)可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)即可求得的最小值，最終求出的最小值．【詳解】分別以、為邊在下方構(gòu)造等邊三角形、，分別取、中點(diǎn)，連接，如圖所示，∵取、中點(diǎn)，∴，∵等邊三角形，∴，∵等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，∵∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用手拉手模型構(gòu)造輔助線．三、解答題9．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）探究題(1)知識(shí)儲(chǔ)備①如圖1，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC=PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．(2)知識(shí)遷移我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段____的長度即為△ABC的費(fèi)馬距離．(3)知識(shí)應(yīng)用①如圖3所示的△ABC（其中均小于），，現(xiàn)取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到三點(diǎn)的距離之和最小，求最小值；②如圖4，若三個(gè)村莊構(gòu)成Rt△ABC，其中．現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使P點(diǎn)到三個(gè)村莊鋪設(shè)的輸水管總長度最小，畫出點(diǎn)P所對應(yīng)的位置，輸水管總長度的最小值為________．（直接寫結(jié)果）【答案】(1)證明見解析；(2)AD(3)5，．【分析】（1）在PA上截取PD=PC，可證明△ACD≌△BCP，則AD=PB，從而得出PA=PB+PC；（2）利用（1）中結(jié)論得出PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得答案；（3）①在（2）的基礎(chǔ)上先畫出圖形，再利用勾股定理求解；②仿照①的方法可畫出P的位置，利用勾股定理可求出輸水管總長度的最小值，（1）解：①證明：在PA上截取PD=PC，連接CD，∵AB=AC=BC，所以，∴∠APB=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，∴△ACD≌△BCP(SAS)，∴AD=PB，∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；（2）如圖2，根據(jù)（1）的結(jié)論得：PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD，∴當(dāng)A、P、D共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，∴線段AD的長度即為△ABC的費(fèi)馬距離，故答案為：AD；（3）①如圖，以BC為邊長在△ABC的外部作等邊△BCD，連接AD，則線段AD的長即為最短距離，∵△BCD為等邊三角形，BC=4，∴∠CBD=60°，BD=BC=4，∵∠ABC=30°，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，∵AB=3，BD=4，∴；②以BC為邊，在BC下方作等邊△BCK，設(shè)等邊△BCK外接圓為⊙O，連接AK交⊙O于P，則由①知此時(shí)PA+PB+PC最短，且最短距離等于AK的長度，過K作KT⊥AC交AC延長線于T，如圖：∵△BCK是等邊三角形，∴∠BCK=60°，CK=BC=，∵∠CAB=90°，∴．∠TCK=30°，在Rt△CTK中，∴在Rt△AKT中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，也是閱讀理解型問題，主要考查了新定義：三角形費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離，還考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理等知識(shí)，難度很大，理解新定義是本題的關(guān)鍵．10．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對三角形三邊的張角均為120°，此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)，的值最?。?1)如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，連接，此時(shí)，這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出______．(2)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長BP，在射線BP上取點(diǎn)D，E，連接AE，AD．使，，求證：．(3)如圖4，在直角三角形ABC中，，，，點(diǎn)P為直角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，請直接寫出的值．【答案】(1)150°(2)見解析(3)【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，證明△APP′為等邊三角形，△PP′C為直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答；（2）由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)得到，，再證明(ASA)，由全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)解得，最后根據(jù)線段的和差解答；（3）將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處，連接PP′，由勾股定理解得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可證明△BPP′是等邊三角形，再證明C、P、A′、P′四點(diǎn)共線，最后由勾股定理解答．【詳解】（1）解：∵，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP′C為直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°；故答案為：150°；（2）證明：∵點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴APD為等邊三角形∴，，∴，∴，在△APC和△ADE中，∴(ASA)；∴，∵，∴BE＝PA＋PB＋PC；（3）解：如圖，將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處，連接PP′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴，把△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′B，∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′P′B，∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，∴△BPP′是等邊三角形，∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°，∴C、P、A′、P′四點(diǎn)共線，在Rt△A′BC中，，∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、費(fèi)馬點(diǎn)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)，正確做出輔助線是解題關(guān)鍵．11．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，線段的長為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是______；②當(dāng)，，時(shí)，求的大?。?2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．【答案】(1)①3；②150°；(2)【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求出的值；②先證△ABP≌，利用全等的性子求出對應(yīng)的邊長，通過勾股定理的逆定理得到，即可求出的大?。唬?）將△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，先求出，然后證明為等邊三角形，當(dāng)B、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，和最小，用勾股定理求出的值即可．【詳解】（1）①如圖，將繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則，，∴為等邊三角形，；②∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，又∵是等邊三角形，∴∠PAC+=60°，∴∠BAP=，在△ABP與中，，∴△ABP≌（SAS），∴∴，，，又∵旋轉(zhuǎn)，∴；（2）如圖，將△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，則，在中，，，，又∵，，，過作⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，則，，（30°所對的直角邊等于斜邊的一半），，，為等邊三角形，當(dāng)B、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，和最小，在中，，，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．12．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)M為銳角三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連接．以為一邊向外作等邊三角形，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）求證：；（2）若的值最小，則稱點(diǎn)M為的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為的費(fèi)馬點(diǎn)，求此時(shí)的度數(shù)；（3）受以上啟發(fā)，你能想出作銳角三角形的費(fèi)馬點(diǎn)的一個(gè)方法嗎？請利用圖2畫出草圖，并說明作法以及理由．【答案】（1）見解析；（2）：；；（3）見解析【分析】（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB（2）連接MN，由（1）的結(jié)論證明ΔBMN為等邊三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時(shí)∠AMB、∠BMC、ΔCMA的度數(shù)；（3）根據(jù)（2）中費(fèi)馬點(diǎn)的定義，又△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上，因此線段EC和BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【詳解】解：（1）證明：∵為等邊三角形，∴．而，∴．在與中，∴．（2）連接．由（1）知，．∵，∴為等邊三角形．∴．∴．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小．此時(shí)，：；．（3）如圖2，分別以的，為一邊向外作等邊和等邊，連接，相交于M，則點(diǎn)M即為的費(fèi)馬點(diǎn)，由（2）知，的費(fèi)馬點(diǎn)在線段上，同理也在線段上．因此線段與的交點(diǎn)即為的費(fèi)馬點(diǎn)．（方法不唯一，正確即可）【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì),掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接、、．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）【分析】（1）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，可以推出為等邊三角形，得到，則，即可得到A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，然后證明，由此利用勾股定理求解即可；（2）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，從而得到，則當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為，過點(diǎn)A再作的垂線，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（3）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，則，故當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為，過點(diǎn)A再作的垂線，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（4）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，得到，連接，先證明，則可以得到，故當(dāng)，，，共線時(shí)最小，最小為，然后證明，即可利用勾股定理求解；（5）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線時(shí)最小，最小為，然后證明，由此求解即可；（6）由可由（5）得：的最小值為26；（7）由可由（4）得的最小值為；（8）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線時(shí)的值最?。谥?，，，過點(diǎn)作交BC延長線于E，然后求出，的長，由此即可求解．【詳解】解：（1）如圖3-2，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為同理可證為等邊三角形，∴，，∴，∴；∴的最小值為；（2）如圖3-4，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過點(diǎn)A再作的垂線，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴∴，，∴，∴的最小值為；（3）如圖3-6，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，過點(diǎn)C作于E，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過點(diǎn)A再作的垂線，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，∴∴，∴∴，∴的最小值為；（4）如圖3-8，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，得到，連接由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，∴，，，是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)，，，共線時(shí)最小，最小為，∵，∴，∴的最小值為；（5）如圖3-10，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線時(shí)最小，最小為，∵，在中，，，最小為；（6）∵∴由（5）得：的最小值為26；（7）∵∴由（4）得的最小值為；（8）如圖3-12，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線時(shí)的值最?。谥校?，，過點(diǎn)作交BC延長線于E，∴，∴，∴，∴，，∴，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠作出輔助線，找到P點(diǎn)在什么位置時(shí)，線段的和最小．14．（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）如圖（1），P為ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．（2）如果點(diǎn)P為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．求證：ABP∽BCP；（3）已知銳角ABC，分別以AB、AC為邊向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖（2）①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【答案】（1）是；（2）見解析；（3）①60°，②見解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明可得同法可得：從而可得結(jié)論；（2）由為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°，證明∠PAB＝∠PBC，∠APB＝∠BPC＝120°，從而可得△ABP∽△BCP；（3）①如圖2所示：由△ABE與△ACD都為等邊三角形，證明△ACE≌△ADB（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)可得∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②先證明△ADF∽△PCF，可得再證明△AFP∽△DFC．可得∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，再證明∠BPC＝120°，從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1所示：∵AB＝BC，BM是AC的中線，∴MB平分∠ABC．同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．∴∠APB＝120°．同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．∴P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．故答案為：是．（2）為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．∠APB＝∠BPC＝120°，∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，∴△ABP∽△BCP．（3）如圖2所示：①∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ADB（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②證明：△ADF∽△PCF，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△DFC．∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，確定圖中隱含的全等三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2021·山西·九年級專題練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：費(fèi)馬，17世紀(jì)德國的業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，他獨(dú)立于笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理.費(fèi)馬得到過這樣的結(jié)論：如圖①，當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)，使得，且該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，這個(gè)點(diǎn)被稱為費(fèi)馬點(diǎn).證明：如圖②，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，________，為等邊三角形.，，點(diǎn)可看成是線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得的定點(diǎn)，為定長，當(dāng)四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，最小，這時(shí)，，.任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是__________；（2）已知正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長.【答案】（1）；（2）2.【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到;(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到,都是等邊三角形,再利用正方形性質(zhì)和勾股定理表示出,根據(jù)題意得到求出a的值即可.【詳解】解：（1）；

（2）如解圖①，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接EF,BG,AG，可知,都是等邊三角形，則.又，.

點(diǎn)、點(diǎn)為定點(diǎn)（點(diǎn)為點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得），線段即為點(diǎn)到A,B,C三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時(shí)E,F兩點(diǎn)都在上（如解圖②）.設(shè)正方形的邊長為，，在中，，，

點(diǎn)到A,B,C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，，解得，此正方形的邊長為2.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,中等難度,掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,主要失分原因是:（1）未掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；（2）不能夠?qū)㈩}目探究過程中的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行推廣應(yīng)用.16．（2019秋·浙江臺(tái)州·九年級?？计谥校?1)知識(shí)儲(chǔ)備①如圖1，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC=PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．(2)知識(shí)遷移①我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段____的長度即為△ABC的費(fèi)馬距離.②在圖3中，用不同于圖2的方法作出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P(要求尺規(guī)作圖).(3)知識(shí)應(yīng)用①判斷題（正確的打√，錯(cuò)誤的打×）：ⅰ.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè)（

）；ⅱ.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部（

）.②已知正方形ABCD，P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且PA+PB+PC的最小值為，求正方形ABCD的邊長．

【答案】（1）見解析；（2）①AD,②見解析；（3）①?。骸?，ⅱ：×；②2【分析】（1）根據(jù)已知首先能得到△PCE為等邊三角形，進(jìn)而得出△ACE≌△BPC，即可得證；（2）①仔細(xì)閱讀新知的概念，結(jié)合圖形特點(diǎn)，直接有結(jié)論判斷即可；②根據(jù)尺規(guī)作圖，作等邊三角形即可求得費(fèi)馬點(diǎn)；（3）①ⅰ.根據(jù)作圖可知費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè)，ⅱ.由圖1和圖2，可知任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)不一定都在三角形的內(nèi)部；②將△ABP沿點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△A1BP1，過A1作A1H⊥BC，交CB的延長線于H，連接P1P，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)，得到△P1PB是正三角形，進(jìn)而得出∠A1BH=30°，然后由正方形的性質(zhì)和30°角直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出正方形的邊長.【詳解】（1）①證明：在PA上取一點(diǎn)E，使PE=PC，連接CE，∵正三角形ABC∴∠APC=∠ABC=60°又∵PE=PC，∴△PEC是正三角形∴CE=CP，∠ACB=∠ECP=60°∴∠1=∠2又∵∠3=∠4，BC=AC∴△ACE≌△BCP(ASA)∴AE=BP即：BP+CP=AP.（2）①線段AD的長度即為△ABC的費(fèi)馬距離．

②過AB和AC分別向外作等邊三角形，連接CD，BE，交點(diǎn)即為P0．（3）①ⅰ.根據(jù)作圖可知費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè)；ⅱ.由圖1和圖2，可知任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)不一定都在三角形的內(nèi)部；②解：將△ABP沿點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△A1BP1，過A1作A1H⊥BC，交CB的延長線于H，連接P1P，易得：A1B=AB，PB=P1B，PA=P1A1，∠P1BP=∠A1BA=60°∵PB=P1B∠P1BP=60°∴△P1PB是正三角形∴PP1=PB∵PA+PB+PC的最小值為∴P1A1+PP1+PC的最小值為∴A1，P1，P，C在同一直線上，即A1C=

設(shè)正方形的邊長為2x∵∠A1BA=60°∠CBA=90°∴∠1=30°在Rt△A1HB中，A1B=AB=2x，∠1=30°得：A1H=x，BH=在Rt△A1HC中，由勾股定理得：，解得：x1=1，x2=?1（舍去）∴正方形ABCD的邊長為2．【點(diǎn)睛】此題是一個(gè)閱讀理解形的題目，關(guān)鍵是認(rèn)真讀題，確定題目中新概念的意義，利用新概念求解進(jìn)行解題，注意方程思想在解題中的應(yīng)用，有一定的難度，是新型中考題.17．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，則PB的值為；(2)如圖，在銳角△ABC外側(cè)作等邊連結(jié)