中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專題24 對(duì)角互補(bǔ)模型（原卷版）

專題24對(duì)角互補(bǔ)模型對(duì)角互補(bǔ)模型的特征：外觀呈現(xiàn)四邊形，且對(duì)角和為180°。主要：含90°對(duì)角互補(bǔ)，含120°的對(duì)角互補(bǔ)兩種類型。解決此類題型常用到的輔助線畫法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法和過(guò)頂點(diǎn)作兩垂線。模型一：90°的對(duì)角互補(bǔ)模型【基礎(chǔ)】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，則①AD=CD②AB+BC=2BD③S△ABD+S△BDC=12BD思路：①方法一(基礎(chǔ))：過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F∵BD平分∠ABC∴DE=DF∵∠ABC=ADC=90°∴∠DAB+∠DCF=∠DAB+∠DAE=180°∴∠DCF=∠DAE∴?DAE≌?DCF∴AD=CD方法二(基礎(chǔ))：作DE⊥BD交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E∴∠BDE=90°∵BD平分∠ABC∴∠4=∠5=∠6=45°∴DE=BD∵∠ABC=ADC=90°∴∠1+∠2=∠2+∠3=180°∴∠1=∠3∴?ABD≌?CED∴AD=CD方法三（進(jìn)階）：∵四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=45°∴AD=CD②③方法一：∵?DAE≌?DCF∴AE=FCS△DAE=S△DCF∵∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC∴∠EBD=∠DBF=45°∴?DEB與?DFB為等腰直角三角形∴AB+BC=AB+BF+FC=AB+BF+AE=BE+BF=22BD+22BD=S△ABD+S△BDC=S△ABD+S△BDF+S△DFC=S△ABD+S△BDF+S△AED=S△DEB+S△DFB=S正方形BFDE=12BD方法二：∵?ABD≌?CED∴AB=CES△ABD=S△CED而∠BDE=90°∠5=∠6=45°∴?BDE為等腰直角三角形則AB+BC=BC+CE=BE=2BDS△ABD+S△BDC=S△DCE+S△BDC=S△BDE=12BD2【進(jìn)階】如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當(dāng)∠DCEAOD時(shí)，有以下結(jié)論：①CD=CE②OE-OD=2OC③S△OCE-S△OCD=12OC思路：①方法一：過(guò)點(diǎn)C分別作CM⊥AO于點(diǎn)M,CN⊥BO于點(diǎn)N∴∠CMD=∠CNE=90°∵∠AOB=90°∴∠MCN=90°則∠MCD=∠ECN而OC平分∠AOB∴CM=CN∴?CMD≌?CNE∴CD=CE方法二：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥CO交OB于點(diǎn)H∴∠OCH=90°∴∠OCD+∠DCH=∠HCE+∠DCH=90°∴∠OCD=∠HCE∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB∴∠AOC=∠COH=∠CHO=45°∴?OCH為等腰直角三角形∴OC=CH∵∠COD=180°-∠AOC，∠CHE=180°-∠CHO∴∠COD=∠CHE∴?COD≌?CHE∴CD=CE方法三：連接DE∵∠AOB=∠DCE=90°∴∠DOE=∠DCE=90°∴O、C、E、D四點(diǎn)共圓∵OC平分∠AOB∴∠CDE=∠COE=∠CED=45°∴CD=CE②③∵?COD≌?CHE∴OD=HES△OCD=S△HCE則OE-OD=OE-EH=OH=2OCS△OCE-S△OCD=S△OCE-S△HCE=S△OCH=12OC模型二：120°的對(duì)角互補(bǔ)模型【基礎(chǔ)】如圖，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，則①CD=CE②OD+OE=OC③S△DCO+S△COE=√3思路：①方法一：過(guò)點(diǎn)C分別作CM⊥AO于點(diǎn)M，CN⊥OB于點(diǎn)N所以∠CMD=∠CNE=90°由OC平分∠AOB可知CM=CN由∠AOB=2∠DCE=120°，可得∠CDO+∠CEN=180°而∠CDO+∠CDM=180°因此∠CDM=∠CEN所以?CMD≌?CNE則CD=CE方法二：作∠OCF=60°交OB于點(diǎn)F由已知條件可知?COF為等邊三角形所以CO=CF∠COD=∠CFE=60°因?yàn)椤螪CE=∠OCF=60°所以∠DCO=∠ECF所以?DCO≌?ECF則CD=CE方法三：∵∠AOB=2∠DCE=120°∴∠DOE+∠DCE=180°∴O、D、C、E四點(diǎn)共圓∵OC平分∠AOB∴∠COD=∠COE=60°∴CD=CE②由于?DCO≌?ECF,?COF為等邊三角形則OD=EFOC=OF所以O(shè)D+OE=EF+OE=OF=OC③過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CO于點(diǎn)H由于?DCO≌?ECF所以S△DCO=S△ECF設(shè)OC=x，則OH=X2FH=√3XS△DCO+S△COE=S△ECF+S△COE=S△OCF=12OC?FH=12?x?【進(jìn)階】，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠DCEBOE①CD=CE②OD-OE=OC③S△DCO-S△COE=√3思路：①方法一：過(guò)點(diǎn)C分別作CM⊥DO于點(diǎn)M，CN⊥EB于點(diǎn)N所以∠CMD=∠CNB=90°由OC平分∠AOB∠AOB=2∠DCE=120°可知CM=CN∠DCE=∠MCN=60°則∠DCM=∠ECN所以?CDM≌?CEN則CD=CE方法二：過(guò)點(diǎn)C作∠OCH=60°根據(jù)已知條件可知∠DCE=∠OCH=∠COH=60°，∴?COH為等邊三角形，∠DCO=∠ECH∴∠COD=∠CHE=60°CO=CH所以?CDO≌?CEH則CD=CEOD=EHS△DCO=S△ECH∴OD－OE=EH－OE=OH=OCS△DCO-S△COE=S△ECH-S△COE=S△COH=√3方法三：連接DE∵∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB∴∠DOE=∠DCE=∠DOC=60°∴O、C、D、E四點(diǎn)共圓∴∠DEC=∠DOC=∠DCE=60°∴△DEC是等邊三角形∴CD=CE模型三：全等型之任意角如圖，∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α，OC平分∠AOB，則：①CD=CE②OD+OE=2OC?COSα③S△DCO+S△COE=OC2?sinαCOSα思路：1）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AO于點(diǎn)M,作CN⊥BO于點(diǎn)N易證?CDM≌?CEN∴CD=CE則OD+OE=2ON=2OC?COSαS△DCO+S△COE=2S△CON=CN?ON=OC2?sinαCOSα2)作∠OCH=180°-2α,與OB交于點(diǎn)H易證?CDO≌?CEH∴CD=CEOD=EHS△DCO=S△ECH則OD+OE=OH=2OC?COSαS△DCO+S△COE=S△COH=OC2?sinαCOSα【進(jìn)階】如圖，除滿足以上條件外，當(dāng)∠DCE的一邊與BO延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E時(shí)，則：①CD=CE②OD-OE=2OC?COSα③S△DCO-S△COE=OC2?sinαCOSα[自行證明]模型四：內(nèi)含90°的相似型如圖，∠AOB=∠DCE=90°，∠COB=α，則CE=CD?tanα[自行證明]【進(jìn)階】如圖，當(dāng)∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D時(shí)，則CE=CD?tanα[自行證明]【過(guò)關(guān)培優(yōu)練】1．（2019春·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點(diǎn)分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點(diǎn)C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若∠BCA=90°，則BC+AC的值為_________．2．如圖，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四邊形ABCD的面積為4，則AC＝_____．3．（2021春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）感知：如圖①，平分，，．判斷與的大小關(guān)系并證明．探究：如圖②，平分，，，與的大小關(guān)系變嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．應(yīng)用：如圖③，四邊形中，，，，則與差是多少（用含的代數(shù)式表示）4．（2013秋·江蘇鹽城·九年級(jí)階段練習(xí)）已知∠MAN，AC平分∠MAN.（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，我們可得結(jié)論：AB+AD=AC；在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則上面的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；【解】（2）在圖3中：（只要填空，不需要證明）.①若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，則AB+AD=AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，則AB+AD=AC（用含α的三角函數(shù)表示）．5．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：，求證：．6．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，求證：，．7．（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求證：AD＋AB＝AC；【拓展遷移】（2）如圖②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若AC＝10，求四邊形ABCD的面積．8．（2017·四川樂(lè)山·中考真題）在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，對(duì)角線AC平分∠BAD．（1）如圖1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，試探究邊AD、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．（2）如圖2，若將（1）中的條件“∠B=90°”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，若∠DAB=90°，探究邊AD、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．9．（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？计谥校┰谥?，，．將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交邊、于點(diǎn)D、E．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，則的值是________．(2)如圖②，當(dāng)與不垂直時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖③，在內(nèi)作，使得、分別交、于點(diǎn)、，連接．那么的周長(zhǎng)是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2021秋·河南漯河·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在等邊中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在射線上，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系是_________；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)結(jié)合圖2說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．11．（2017·遼寧葫蘆島·中考真題）如圖，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，點(diǎn)B是射線AP上一定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AN上運(yùn)動(dòng)，連接BC，將∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的兩邊射線BC和BA分別繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在射線AN上時(shí)，①請(qǐng)判斷線段BC與BD的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；②請(qǐng)?zhí)骄烤€段AC，AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在射線AN的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，BC交射線AM于點(diǎn)F，若AB=4，AC=，請(qǐng)直接寫出線段AD和DF的長(zhǎng)．12．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）在等邊中，，，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn)，連接EF．（1）將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，連接DG，求線段DG的長(zhǎng)；②如圖2，點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合，GF的延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，求證：；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且，點(diǎn)F從BD中點(diǎn)Q沿射線QD運(yùn)動(dòng)，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的面積．13．（2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）【思維探究】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．(1)小明的思路是：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明ADE≌ABC，從而可證BC+CD＝AC，請(qǐng)你幫助小明寫出完整的證明過(guò)程．(2)【思維延伸】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC與BD相交于點(diǎn)O．若四邊形ABCD中有一個(gè)內(nèi)角是75°，請(qǐng)直接寫出線段OD的長(zhǎng)．14．（2020·湖南湘西·中考真題）問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形中，，，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到G，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形中，，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說(shuō)明理由．探究延伸2：如圖3，在四邊形中，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由．實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西的A處艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東的方向以100