第09講-立體幾何與空間向量-章節(jié)總結(jié)(精講)(原卷版)

第09講立體幾何與空間向量章節(jié)總結(jié)目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：高考真題回歸 2第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 4高頻考點(diǎn)一：空間位置關(guān)系證明的傳統(tǒng)法與向量法 4角度1：用傳統(tǒng)法證明空間的平行和垂直關(guān)系 4角度2：利用向量證明空間的平行和垂直關(guān)系 6高頻考點(diǎn)二：空間角的向量求法 10角度1：用傳統(tǒng)法求異面直線所成角 10角度2：用向量法求異面直線所成角 10角度3：用向量法解決線面角的問(wèn)題（定值+探索性問(wèn)題（最值，求參數(shù)）） 11角度4：用向量法解決二面角的問(wèn)題（定值+探索性問(wèn)題（最值，求參數(shù)）） 13高頻考點(diǎn)三：距離問(wèn)題 20角度1：點(diǎn)到直線的距離 20角度2：點(diǎn)到平面的距離（等體積法） 21角度3：點(diǎn)到平面的距離（向量法） 22高頻考點(diǎn)四：立體幾何折疊問(wèn)題 24第一部分：高考真題回歸1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（

）

A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)（甲卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大小．5．（2023·全國(guó)（甲卷文）·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．6．（2023·全國(guó)（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：空間位置關(guān)系證明的傳統(tǒng)法與向量法角度1：用傳統(tǒng)法證明空間的平行和垂直關(guān)系典型例題例題1．（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，，，，為中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)設(shè)平面與平面的夾角為，求三棱錐的體積.例題2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形中（如圖一），，，.將沿折起，使（如圖二）.

(1)求證：平面平面；(2)設(shè)為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.例題3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.

(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求四棱錐的體積.例題4．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）在中，分別為的中點(diǎn)，，如圖①，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖②．(1)證明：；(2)若平面，且，求點(diǎn)C到平面的距離例題5．（2023·四川涼山·三模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，，且直線與底面所成的角為．(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．角度2：利用向量證明空間的平行和垂直關(guān)系典型例題例題1．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.

(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.例題2．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.例題3．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在梯形ABCD中，，，，為邊上的點(diǎn)，，，將沿直線翻折到的位置，且，連接，．(1)證明：；(2)Q為線段PA上一點(diǎn)，且，若二面角的大小為，求實(shí)數(shù)的值．考點(diǎn)一練透核心考點(diǎn)1．（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分別為AC、AA1的中點(diǎn)，AC=AA1=2.(1)求證：DE∥平面A1BC；(2)求DE與平面BCC1B1夾角的余弦值.2．（2023·山東·校聯(lián)考二模）如圖，在正三棱臺(tái)ABC—DEF中，M，N分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，.(1)證明：四邊形MNFD為矩形；(2)若四邊形MNFD為正方形，求直線BC與平面ACFD所成角的正弦值.3．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，是棱上的一點(diǎn).(1)是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，則求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求多面體ABCDEF的體積.4．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點(diǎn)，，，.(1)證明：平面；(2)若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.5．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，為的中點(diǎn).(1)證明：.(2)求二面角的平面角的余弦值.6．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）在如圖所示的幾何體中，平面平面；是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.高頻考點(diǎn)二：空間角的向量求法角度1：用傳統(tǒng)法求異面直線所成角典型例題例題1．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，平面，底面是矩形，，，是棱上一點(diǎn)，則當(dāng)截面的周長(zhǎng)最短時(shí)，與所成角的余弦值等于______．

例題3．（2023·河北·校聯(lián)考一模）如圖，在三棱錐中，，，且，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為_(kāi)_________，與所成角的余弦值為_(kāi)_________.角度2：用向量法求異面直線所成角典型例題例題1．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)線段最短時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·山東·煙臺(tái)二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知在正方體中，，平面平面，則直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________．角度3：用向量法解決線面角的問(wèn)題（定值+探索性問(wèn)題（最值，求參數(shù)））典型例題例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體中，分別為棱的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.例題2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求直線與所成角的正弦值．例題3．（2023·山東德州·三模）圖1是直角梯形，，，，，，四邊形為平行四邊形，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2．

(1)求證：平面平面；(2)在線段上存在點(diǎn)使得與平面的正弦值為，求平面與所成角的余弦值．例題4．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中校考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，若已知，，點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則(1)證明：(2)設(shè)，則在線段PC上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的余弦值為，若存在，設(shè)，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.角度4：用向量法解決二面角的問(wèn)題（定值+探索性問(wèn)題（最值，求參數(shù)））典型例題例題1．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在斜三棱柱中，，，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.

(1)證明：平面；(2)若，，，求平面與平面所成角的大小.例題2．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，平面.

(1)證明：平面平面；(2)過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)在何處時(shí)，平面與平面夾角的正弦值最小，并求出該最小正弦值.例題3．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例題4．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)二練透核心考點(diǎn)1．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，側(cè)面為正方形，設(shè)點(diǎn)O為四棱錐外接球的球心，E為上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與所成的最小角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記?面直線與所成的角為，則的取值范圍是______.3．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為底面的中心，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是________.4．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線AD與BC所成的角的大小為_(kāi)_____．5．（2023·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)校考三模）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，，分別是棱，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面．(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．6．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，上底面與下底面平行，且都是正方形，該多面體各條側(cè)棱相等，且每條側(cè)棱與底面所成角都相等．已知，垂足為點(diǎn)，三棱錐的體積為．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．

7．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)已知上是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，，，，，為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且.(1)若為的中點(diǎn)，求四面體的體積；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的余弦值是？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.9．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱臺(tái)中，，，，，．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)是的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．10．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在五邊形中，四邊形是矩形，，將沿著折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面，點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

(1)當(dāng)時(shí)，證明：平面；(2)設(shè)平面與平面的夾角為，求的最大值及此時(shí)的值.11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面平面PBC；(2)求平面AEF與平面PDC夾角的最小值.12．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱中，，側(cè)面為矩形，，二面角的正切值為.

(1)求側(cè)棱的長(zhǎng)；(2)側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為？若存在，判斷點(diǎn)的位置并證明；若不存在，說(shuō)明理由.13．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)，N分別為側(cè)棱PD，PC，PB的中點(diǎn)，M為PD（不包含端點(diǎn)）上的點(diǎn)，，．

(1)若，求證：平面；(2)若平面，求與平面所成角的最大值．高頻考點(diǎn)三：距離問(wèn)題角度1：點(diǎn)到直線的距離典型例題例題1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是,且，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）

A． B． C． D．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的中點(diǎn)到直線的距離是______．角度2：點(diǎn)到平面的距離（等體積法）典型例題例題1．（2023春·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知在矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，將，分別沿著直線，翻折，使得，兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____．

例題2．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，將邊長(zhǎng)的正方形沿對(duì)角線折起，連接，構(gòu)成一四面體，使得，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)____________．

例題3．（2023春·天津?qū)氎妗じ咭惶旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)到平面距離是______．

角度3：點(diǎn)到平面的距離（向量法）典型例題例題1．（2023秋·河南省直轄縣級(jí)單位·高二濟(jì)源市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)________．

例題2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知直四棱柱中，底面為正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則直線與之間的距離為_(kāi)_______.例題3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，，依次為的中點(diǎn)．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離．考點(diǎn)三練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線BE的距離為（

）A．3 B． C． D．2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為_(kāi)_________．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知AB，CM分別為圓柱上、下底面的直徑，且AB＝2，圓柱的高為，，則點(diǎn)M到平面ABC的距離為_(kāi)_____.4．（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，已知，，，則P到平面ABE的距離為_(kāi)__________．

5．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，C1到平面B1BD的距離為_(kāi)____．6．（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）在直三棱柱中，，，，分別為的中點(diǎn).則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_________.7．（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中校考期中）在三棱錐中，平面平面，若棱長(zhǎng)，且，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_______．8．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到平面的距離為_(kāi)_____．9．（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知平面，底面為矩形，，，、分別為、的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．