平面幾何中線段相等的證明幾種方法

PAGE6平面幾何中線段相等的證明幾種方法平面幾何中線段相等的證明看似簡(jiǎn)單，但方法不當(dāng)也會(huì)帶來(lái)麻煩，特別是在有限的兩個(gè)小時(shí)考試中。恰當(dāng)選用正確的方法，可取得事半功倍的效果。一、利用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等這種方法很普遍，如果所證兩條線段分別在不同的三角形中，它們所在三角形看似全等，或者，通過(guò)簡(jiǎn)單處理，它們所在三角形看似全等，可考慮這種方法。［例1］如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，△ACD和△BCE是等邊三角形。求證：AE=BD。證明∵△ACB和△BCE都是等邊三角形∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°∴AC=CD，CE=CB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=DB［例2］如圖，已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且BE=CF，EF與BC交于D，求證：ED=DF。證明：過(guò)點(diǎn)E作EG//AF交BC于點(diǎn)G∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD∵AB=AC∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE∵BE=CF，∴GE=CF在△EGD和△FCD中，∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角對(duì)等邊）證明線段相等如果兩條所證線段在同一三角形中，證全等一時(shí)難以證明，可以考慮用此法。［例1］如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F。求證：AF=EF。證明：延長(zhǎng)AD到G，使DG=AD，連結(jié)BG?！逜D=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD∴△ADC≌△GDB∴AC=GB，∠FAE=∠BGE∵BE=AC∴BE=BG，∠BGE=∠BEG∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF∴AE=EF［例2］如圖，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF與AC交于E，與BA的延長(zhǎng)線交于D，求證：AD=AE。證明：∵DF⊥BC∴∠DFB=∠EFC=90°，∠D=90°－∠B，∠CEF=90°－∠C∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠D=∠CEF∵∠CEF=∠AED∴∠D=∠AED∴AD=AE三、利用平行四邊形的性質(zhì)證明線段相等如果所證兩線段在一直線上或看似平行，用上面的方法不易，可以考慮此法。［例1］如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分別以AB、AC為