平方差公式與完全平方公式試題(含答案)1

乘法公式的復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí):(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式：①位置變化，xyyxx2y2②符號(hào)變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項(xiàng)變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦連用公式變化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式變化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz例1．已知，，求的值。解：∵∴=∵，∴=例2．已知，，求的值。解：∵∴∴= ∵，∴例3：計(jì)算19992-2000×1998〖解析〗此題中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992-2000×1998=19992-（1999+1）×（1999-1）=19992-（19992-12）=19992-19992+1=1例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。n23nn23n21n23n12∵n是整數(shù)，n2，3n都是整數(shù)n23n1一定是整數(shù)n23n1是一個(gè)平方數(shù)四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積與1的和必是一個(gè)完全平方數(shù)。例11．計(jì)算（1）x2x12（2）3mnp解：（1）x2x12x22x2122x2x2x212x1x4x212x32x22xx42x33x22x1（2）3mnp23m2n2p223mn23mp2np9m2n2p26mn分析：兩數(shù)和的平方的推廣abc2abc2ab22abcc2a22abb22aca2b2c22ab2bc2ac即abc2a2b2c22ab幾個(gè)數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每?jī)蓚€(gè)數(shù)的積的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用:這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時(shí)能提高學(xué)生的觀察能力。例1.計(jì)算：解：原式(二)、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例2.計(jì)算：解：原式例3.計(jì)算：解：原式三、逆用:學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)正向運(yùn)用，有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運(yùn)用其解決問題。例4.計(jì)算：解：原式四、變用:題目變形后運(yùn)用公式解題。例5.計(jì)算：解：原式五、活用:把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例6.已知，求的值。解：例7.計(jì)算：解：原式例8.已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足，那么（）解：由兩個(gè)完全平方公式得：從而三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題（一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”．例1計(jì)算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本題兩個(gè)因式中“-5”相同，“2x2”符號(hào)相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”則是公式中的b．解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4．例2計(jì)算(-a2+4b)2分析：運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時(shí)，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若將題目變形為(4b-a2)2時(shí)，則“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3計(jì)算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算，但注意觀察，兩個(gè)因式中的“2x”、“5”兩項(xiàng)同號(hào)，“y”、“z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y+2yz-z2．例4計(jì)算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公式展開，運(yùn)算十分繁冗，但注意逆用冪的運(yùn)算法則，則可利用乘法公式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便．解：原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2=[(a3-1)(a6+a3+1)]2=(a9-1)2=a18-2a9例5計(jì)算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(xiàng)（2-1），則可運(yùn)用公式，使問題化繁為簡(jiǎn)．解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1（三）、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每?jī)身?xiàng)乘積的2倍．例6計(jì)算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．（四）、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式例7(1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的下列變形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，問題則十分簡(jiǎn)單．解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，將已知條件代入得100=103-3xy·10，∴xy=30故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．例8計(jì)算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．分析：直接展開，運(yùn)算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而問題容易解決．解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c=4a2+4b2+4（五）、注意乘法公式的逆運(yùn)用例9計(jì)算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)分析：若按完全平方公式展開，再相減，運(yùn)算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運(yùn)算簡(jiǎn)便得多．解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2=2a(-4b+6c)=-8ab+例10計(jì)算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a分析：此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開后計(jì)算，但逆用完全平方公式，則運(yùn)算更為簡(jiǎn)便．解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a=[(2a+3b)+(4a-5b=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b四、怎樣熟練運(yùn)用公式：（一）、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運(yùn)用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且在這四項(xiàng)中有兩項(xiàng)完全相同，另兩項(xiàng)是互為相反數(shù)；等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，且是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式．（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公式．如計(jì)算（x+2y－3z）2，若視x+2y為公式中的a，3z為b，則就可用（a－b）2=a2－2ab+b2來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn)．常見的幾種變化是：1、位置變化如（3x+5y）（5y－3x）交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計(jì)算了．2、符號(hào)變化如（－2m－7n）（2m－7n）變?yōu)椋?m+7n）（23、數(shù)字變化如后就能夠用乘法公式加以解答了．4、系數(shù)變化如（4m+）（2m－）變?yōu)?（2m+）（2m－）后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了．5、項(xiàng)數(shù)變化如（x+3y+2z）（x－3y+6z）變?yōu)椋▁+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來解了．（四）、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來解，此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡(jiǎn)便．如計(jì)算（a2+1）2·（a2－1）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡(jiǎn)便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向（從左到右）運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向（從右到左）運(yùn)用．如計(jì)算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計(jì)算繁難，而且容易出錯(cuò)．若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題．即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）×…×（1－）（1+）=××××…××=×=．有時(shí)有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效．如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+n2的值．面對(duì)這樣的問題就可用上述變式來解，即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，m2－mn+n2=（m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．下列各題，難不倒你吧？！1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a－）2的值．2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數(shù)字．（答案：1.（1）23；（2）21．2.6）五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(a±b)=a2±2ab＋b2，(a±b)(a2±ab＋b2)=a3±b3．第一層次──正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡(jiǎn)單的套用．例1計(jì)算(2)(－2x－y)(2x－y)．(2)原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y2－4x2．第二層次──逆用，即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用．例2計(jì)算(1)19982－1998·3994＋19972；解(1)原式=19982－2·1998·1997＋19972=(1998－1997)2=1第三層次──活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式．例3化簡(jiǎn)：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò)，注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律，如果再增添一個(gè)因式“2－1”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解．解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．例4計(jì)算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)分析仔細(xì)觀察，易見兩個(gè)因式的字母部分與平方差公式相近，但常數(shù)不符．于是可創(chuàng)造條件─“拆”數(shù)：－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解．解原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]=(2－3y)2－(2x－3)2=9y2－4x2＋12x－12y－5．第四層次──變用：解某些問題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，則求解十分簡(jiǎn)單、明快．例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．解：∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－2·14)=106，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)=93－3·14·9=351第五層次──綜合后用：將(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2綜合，可得(a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡(jiǎn)捷．例6計(jì)算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．解：原式=[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2六、正確認(rèn)識(shí)和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)乘法公式：對(duì)于學(xué)習(xí)的兩種（三個(gè)）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè)a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認(rèn)識(shí)乘法公式。如圖1，兩個(gè)矩形的面積之和（即陰影部分的面積）為(a+b)(a-b)，通過左右兩圖的對(duì)照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；圖2中的兩個(gè)圖陰影部分面積分別為(a+b)2與(a-b)2，通過面積的計(jì)算方法，即可得到兩個(gè)完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2與(a-b)2=a2-2ab+b2。2、乘法公式的使用技巧：①提出負(fù)號(hào)：對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式，通常先提出負(fù)號(hào)，以避免負(fù)號(hào)多帶來的麻煩。運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2.（2）(-2m-1)2=[-(2m+1)]2=(2m+1)2=4m2+4m②改變順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排列順序，可以使公式的特征更加明顯.運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）(eq\f(1,3)a-\f(1,4)b)(eq-\f(1,4)b-\f(a,3));（2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)解：（1）(eq\f(1,3)a-\f(1,4)b)(eq-\f(1,4)b-\f(a,3))=(eq-\f(1,4)b+\f(1,3)a)(eq-\f(1,4)b-\f(1,3)a)=(eq\f(1,4)b-\f(1,3)a)(eq\f(1,4)b+\f(1,3)a)=eq(\f(1,4)b)2-(\f(1,3)a)2=eq\f(1,16)b2-\f(1,9)a2(2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)=(x-1/2))(x+1/2)(x2+1/4)=(x2-1/4)(x2+1/4)=x2-1/16.③逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2=(a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解題時(shí)常會(huì)收到事半功倍的效果。計(jì)算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2;（2）(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2解：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2=[(x/2+5)+(x/2-5)][(x/2+5)-(x/2-5)]=(x/2+5+x/2-5)(x/2+5-x/2+5)=x·10=10x.（2）(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2=[(a-1/2)(a2+1/4)(a+1/2)]2=[(a-1/2)(a+1/2)(a2+1/4)]2=[(a2-1/4)(a2+1/4)]2=(a4-1/16)2=a8-a4/8+1/256.④合理分組：對(duì)于只有符號(hào)不同的兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，一般先將完全相同的項(xiàng)調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號(hào)相反的項(xiàng)放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).解：（1）(x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)=[1+(x+y)][1-(x+y)]=12-(x+y)2=1-(x2+2xy+y2)=1-x2-2xy-y2.（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=[(2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]=(2x+5)2-(y-z)2=(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2)=4x2+20x+25-y2+2yz-z2=4x2-y2-z2+2yz+20x+25.七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，運(yùn)算過程復(fù)雜，在解答中，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析題目中各多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運(yùn)算就顯得簡(jiǎn)便易行。一.先分組，再用公式例1.計(jì)算：簡(jiǎn)析：本題若以多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律變形為；將另一個(gè)整式變形為，則從其中找出了特點(diǎn)，從而利用平方差公式即可將其展開。解：原式二.先提公因式，再用公式例2.計(jì)算：簡(jiǎn)析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù)2出來，變?yōu)?，則可利用乘法公式。解：原式三.先分項(xiàng)，再用公式例3.計(jì)算：簡(jiǎn)析：兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將2分解成4與的和，將6分解成4與2的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。解：原式=四.先整體展開，再用公式例4.計(jì)算：簡(jiǎn)析：乍看兩個(gè)多項(xiàng)式無聯(lián)系，但把第二個(gè)整式分成兩部分，即，再將第一個(gè)整式與之相乘，利用平方差公式即可展開。解：原式五.先補(bǔ)項(xiàng)，再用公式例5.計(jì)算：簡(jiǎn)析：由觀察整式，不難發(fā)現(xiàn)，若先補(bǔ)上一項(xiàng)，則可滿足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展開，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)便易行。解：原式六.先用公式，再展開例6.計(jì)算：簡(jiǎn)析：第一個(gè)整式可表示為，由簡(jiǎn)單的變化，可看出整式符合平方差公式，其它因式類似變化，進(jìn)一步變換成分?jǐn)?shù)的積，化簡(jiǎn)即可。