2021屆天津市楊村一中、寶坻一中等四校高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題

2020-2021學年天津市楊村一中、寶坻一中等四校高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題（本題共8小題，共32分）1．設復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．一支田徑隊有男、女運動員98人，其中男運動員有56人．按男、女比例用分層隨機抽樣的方法，從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本，那么應抽取女運動員的人數(shù)是（）A．12 B．15 C．18 D．213．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A． B．C． D．4．已知向量，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C．向量的夾角為 D．在方向上的投影是5．在△中，角所對的邊分別為，已知，則（）A． B．或 C． D．或6．一組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為1，2，2，，5，10，其中，已知該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的標準差為（）A．2 B．3 C．4 D．97．四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面，異面直線與所成的角的余弦值為，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．在直角梯形中，，，，為BC邊上一點，，為直線上一點，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題（本題共5小題，共25分）9．若復數(shù)滿足：(為虛數(shù)單位)，則復數(shù)的虛部是__________.10．如果生男孩和生女孩的概率相等,則有3個小孩的家庭中恰有1個女孩的概率是_______．11．已知一個圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，則圓錐的側(cè)面積等于_________.12．如圖所示，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為所在棱的中點，則下列結(jié)論中正確的序號是___________.①三棱錐的體積為 ； ②平面EFG③ ④13．在△ABC中，在邊上，延長到，使得，若（為常數(shù)，且），且，則實數(shù)的值為_______；則的長度是________.三、解答題（本大題共5小題，共63分）14．（本題滿分12分）在△中，角所對的邊分別為，已知（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若，△的面積為，求△的周長.15．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中,底面是矩形，,是棱的中點.(Ⅰ)求證：平面平面；(Ⅱ)設，求點到平面的距離.16．（本題滿分13分）某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數(shù)學成績(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（Ⅰ）求分數(shù)在[70，80)內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（Ⅱ）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據(jù)此估計本次考試的平均分和中位數(shù)；（Ⅲ）用分層抽樣的方法在分數(shù)在[60，80)內(nèi)學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人的分數(shù)在[70，80)內(nèi)的概率.17．（本題滿分13分）某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎問答比賽》活動，某場比賽中，甲?乙?丙三個家庭同時回答一道有關(guān)環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲?丙兩個家庭都回答錯誤的概率是，乙?丙兩個家庭都回答正確的概率是.若各家庭回答是否正確互不影響.（Ⅰ）求乙?丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；（Ⅱ）求甲?乙?丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率.18．（本題滿分13分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中點．（Ⅰ）證明：直線平面PAB；（Ⅱ）求直線與平面所成角;（Ⅲ）點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為，求二面角的余弦值．天津市2020～2021學年度第二學期期末四校聯(lián)考高一數(shù)學參考答案1—8：DABDCBDC9．； 10．； 11．； 12．①②④； 13．14．解：（Ⅰ）∵由正弦定理得 ………………2分∴ ………………3分∵∴ ………………5分又∴ ………………6分（Ⅱ）由題意： ………………7分∴ ………………8分由余弦定理得： ………………10分∴∴ ………………11分∴周長為 ………………12分15．【解析】（Ⅰ）在矩形中，. …………1分又∵ ………………3分∴ ………………4分QUOTE又， ………………5分QUOTE（Ⅱ）在中，，是棱的中點，∴由（1）知平面，∴.又∵，∴平面……………7分∵，∴,∵QUOTE,QUOTE∴面…8分∵面，∴所以，在中，，. ……………9分設點到平面的距離為，則.………………10分∴，即，解得.……………16．解：（Ⅰ）1－(0.05＋0.1＋0.15＋0.15＋0.25)=0.30（補全直方圖略）……3分………5分設中位數(shù)為，則， ………7分（Ⅲ）由題意知[60,70)中抽2人，設為A1A2，[70,80)中抽取4人，設為B1B2B3B4則任取兩人共有15種取法（A1,A2）,（A1,B1）,（A1,B2）,（A1,B3），（A1,B4）,（A2,B1）,……………10分至多有一人在[70,80）總有9種情況 ……13分17．解：（Ⅰ）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、，則，且有， ………3分即， ……………5分解得，． ……………6分（Ⅱ）有0個家庭回答正確的概率為 …………8分有1個家庭回答正確的概率為 …………11分所以不少于2個家庭回答正確這道題的概率為 …………13分18．解：（Ⅰ）取PA的中點為F，連接EF，BF∵E為PD的中點，∴EF//AD,且EF=又AB=BC=，∴BC//，∴∴四邊形BCEF為平行四邊形， ……2分∴CE//BF又BF平面PAB，CE平面PAB，∴直線CE∥平面PAB，…4分（Ⅱ）取AD的中點O連接PO，CO，∵面PAD為等邊三角形，∴PO⊥AD，又∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，∴為直線與平面所成角， ………………6分設AD=2，則，易得四邊形ABCO為矩形，∴CO=AB=1，