2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試模擬卷7

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試模擬07

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.在-A5C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若。=2,A=30°,5=45°,則。=（）

A.2A/2B.叵C.V6D.巫

22

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦定理解三角形.

【詳解】..A3C中，由正弦定理一乙=一2—,

sinAsinB

asinB2sin45°r-

得。=------=--------=2v2.

sinAsin30°

故選：A.

2.sin80sin20+cos80cos20=（)

1i

A.——B.3V,.------------\~).----------

22

【答案】B

【解析】

【分析】逆用差角的余弦公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算作答.

【詳解】sin80sin20+cos80cos20=cos（80-20）=cos60=—.

2

故選：B

3.已知向量a=（l,0））=（2,1）,若總一人與「+3力垂直，則人（）

17171

AA.—B.-----C.一

773

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)總—b與5+3力垂直，由（履—今（。+3b）=0求解.

【詳解】解:初一方=女（1,0）-（2,1）=（02,_1）,&+33=（1,0）+3（2,1）=（7,3）,

Qka-b^a+3右垂直，

.-.(fez-Z?).(a+3Z?)=(Z:-2,-1).(7,3)=0,

故選：A.

4.在.ABC中，角A,瓦C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=5*=4,c=01,則。=（）

A.90B.45C.60D.30

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)余弦定理求出答案.

【詳解】由余弦定理得COSC=.+'2—c2=52+42—（庖）2=工

2ab2x5x42

因?yàn)?<C<180，所以C=60.

故選：C.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式求解即可.

【詳解】sin2a=-cos|2a+—|=-cos2|tz+—|=2sin2|<z+—|-1=--.

故選：A.

6.在,ABC中，角A,3,C的對(duì)邊分別為a,4c,若加inB=csin（A+5）—asinA,貝ij43。為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式及正弦定理將角化邊即可判斷.

【詳解】因?yàn)閆?sinB=csin（A+5）-asinA,又sin（A+5）=sin（兀一C）=sinC,

22

即加inB=csinC-QsinA,由正弦定理可得/=c_a,

即儲(chǔ)+k=/,所以-AB。為直角三角形且為直角.

故選：B

7.若向量a,b的夾角是；，a是單位向量，W=2,e=2a+b，則向量c與b的夾角為（）

7i7c27r3兀

A.—B.—C.—D.—

6334

【答案】A

【解析】

【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出a-b，再求出卜|、c-b>最后根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.

【詳解】:?兩個(gè)向量a,b的夾角是三，a是單位向量，忖=2,

a-b=|a|-|&|cos-j=lx2x；=l.

c—2a+b>|c|=+=y/4a2+4a-b+b2=>4+4+4=2百，

c?沙=（2a+/?Jb=2a?/?+/??=2+4=6.

cc-b6Grin

設(shè)向量c與b的夾角為e,則COS'=TN=￡及3=5-,???同0,可，，。=巳.

故選：A.

8.在_45。中，角A,B,。的對(duì)邊分別為eb,c,若a=2,A=30°,則一A3C面積的最大值為

（）

A.3百B.26C.3+V3D.2+6

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合余弦定理及基本不等式，利用三角形面積公式求解即可.

【詳解】由余弦定理：a~-b2+c2-2bccosA^b2+c7->j3bc-4,

因?yàn)?=〃+°2—J%CN2AC—J%c=（2—C）Ac,當(dāng)且僅當(dāng)〃=°2=8+4退時(shí)，等號(hào)成立，

所以。CV^^=8+4G,故_筋°面積5旬（？=工b05也4=工人0<，><（8+46）=2+6.

2-V3244、）

即_A3C面積的最大值為2+g.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在中，角A,瓦C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列對(duì).ABC的個(gè)數(shù)的判斷正確的是（）

A.當(dāng)a=20,c=4,A=3O時(shí)，有兩解

B.當(dāng)a=5,b=7,A=60時(shí)，有一解

C.當(dāng)a=J5,/?=4,A=30時(shí)，無解

D.當(dāng)a=6,Z?=4,A=60時(shí)，有兩解

【答案】AC

【解析】

【分析】由正弦定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷，得到答案.

【詳解】對(duì)于A,由正弦定理得一L=^^,即=所以sinC=Y2,

sinAsinCsin30sinC2

又因?yàn)?<C<180,c>a,所以C=45或C=135，有兩解，故A正確；

7昱

/X

對(duì)于B,由正弦定理得.DbsinA^7A/3J無解，故B錯(cuò)誤；

SIILB=-------=-----=---->1

a510

4xl

對(duì)于C,由正弦定理得5m5=里的=—二=正>1'無解，故C正確；

a72

4x^-rr

對(duì)于D,由正弦定理得.bsinA_^2_V3真，

SIH/J-=—<

a632

又所以B為銳角，此三角形只有一解，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.如果若干個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則這些函數(shù)為“互為生成函數(shù)”.下列函數(shù)中，與

/(x)=COSX構(gòu)成“互為生成函數(shù)”的有()

A.fx(x)=sinxB.力(x)=sinx+cosx

C73(x)=2sin2D./；(%)=sin|cos^

【答案】AC

【解析】

【分析】由三角恒等變換，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)律，得出結(jié)論.

【詳解】/(x)=cosx=sinIX+1-I,由/(x)=sinx,

則將工(九)的圖象向左平移!■個(gè)單位長(zhǎng)度后，即可與/(%)的圖象重合;

由力(x)=sinx+cosx=s/2sinx+—=x/2sinx+—

則力(x)圖象無法經(jīng)過平移與/(x)的圖象重合;

由力(x)=2sin2匕=1一cosx=1+sin

則將力(X)的圖象向左平移無個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，

即可與/(%)的圖象重合；

由力(x)=sin|cos|=1sinx,則力(%)的圖象無法經(jīng)過平移與/(%)的圖象重合.

故A,C中的函數(shù)與"尤)"互為生成函數(shù)”.

故選：AC

11.在A3C中，角AB,C的對(duì)邊分別為。，仇c,已知一A3C的周長(zhǎng)為3,5=60。，則()

A.若2b=a+c,則ABC是等邊三角形

B.存在非等邊滿足。2=ac

C.，出C內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為亞

6

D,可以完全覆蓋/A3C的最小圓的半徑為且

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】由余弦定理與正弦定理及三角形的面積公式逐項(xiàng)求解即可.

【詳解】因?yàn)?ABe的周長(zhǎng)為3,且3=60。，可得a+b+c=3,

由余弦定理得步=+c2-2?ccosB=a2+c~—ac-

對(duì)于A,因?yàn)?/?=a+c,所以（a+.="+02_

4

即（a—c）2=0,則a=b=c,所以一ABC為等邊三角形，故A正確；

對(duì)于B,假設(shè)/=死，則ac=42+c2—團(tuán)，即（。一。丫=。，則“:占二。，

此時(shí)ABC為等邊三角形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由Z??=+/-QC=（3一〃一0）2,可得〃。=2（〃+<?）—324^/^—3,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，解得〃c?l或改之9（舍去），

所以的面積S=-acsinB<昱,AABC的內(nèi)切圓半徑為2s<昱,

24a+b+c6

所以一A3C內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為也，故C正確;

6

a+c2

對(duì)于D,設(shè)A3C外接圓的半徑為R,因?yàn)?（a+c）—3=acV

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，所以（a+c）--8（a+c）+1220,解得a+c<2或a+cN6（舍去）,

由〃=(3—a—可得621,

因?yàn)?R=—所以

sin6003

所以可以完全覆蓋AABC的最小圓的半徑為3,故D正確.

3

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.終邊在直線y=%上的角a的集合是.（用弧度制表示）

【答案】\a\a=^+k7r,k&Z

【分析】把直線y=x分成兩條射線，y=Mx?O),y=MxWO)來考慮終邊落到這兩條射線上的角的集

合，然后取兩部分的并集.

【詳解】當(dāng)角&的終邊落到y(tǒng)=x(x?O)上,

I〃n

則a\a=—+2左肛keZa-——b（2k）兀,k￡Z1①

4

當(dāng)角戊的終邊落到y(tǒng)=x(x<O)上,

I5兀

則jHa=—+2k兀,keZa\a=?+（2左+1）〃，左eZ1②

①與②的并集得：\a\a=^+k7r,keZ

故答案為：］a|a=7+左不左ez1

ABAC

13.在ABC中，已知向量45與滿足?~?+|~?BC=0,且AB.AC=0，則角8=

ABAC

TT

【答案】-##45°

4

【解析】

【分析】依題意可得A31AC,設(shè)角A的平分線交3c于。，即可得到AD13C,從而得到一ABC為等

腰直角三角形，即可得解.

7T

【詳解】設(shè)角A的平分線交3c于。，因?yàn)锳B-AC=0,故AB1AC，即NC鉆=耳,

ABAC

又mi表示與AB同向的單位向量，T7二［表示與AC同向的單位向量，

\ABAd

=AF

設(shè)=\AC\（如圖所示），AE+AF=AG>因?yàn)閨例=|，臼=1,

故四邊形AEGF為正方形，所以AG為角A的平分線，故G在A。上.

ABAC

因?yàn)?—j+1—j,BC=0,故AD.LBC,故AB=AC-

7171

綜上，ABC等腰直角三角形且NC4B=—,所以8=—.

24

14.如圖，在等腰中，點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，且3D=3,當(dāng)面積最大時(shí)，AC=

【答案】26

【解析】

【分析】利用余弦定理和面積公式可得5=3//(36-g/1,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.

【詳解】在A3C中，設(shè)鈣=。,5。=。,人。=人，

由余弦定理得cosA="+°2、2=2b2-J,

2bc2b2

在中，BD2=b2+(^]-2xbx-x2b2,整理得到2a2+/=36，

[222b2

:.S^a.\b2-a36-％136—%］，

2

1-9（a2-8V+82x9,

4

故當(dāng)儲(chǔ)=8時(shí)，S有最大值，此時(shí)/=36-2/=20,."=2右，EPAC=275

故答案為：2石

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知a為鈍角，sina=|,￡為第一象限角，Cos/?=^

(1)求sin(e—力)的值;

(2)求tan2a的值.

【答案】(1)正

5

24

(2)——

7

【解析】

分析】(1)由平方關(guān)系求得cosa=-士、sin”旦,再應(yīng)用差角正弦公式求值即可;

55

3

(2)先求出tana=——,再應(yīng)用二倍角正切公式求值即可.

4

小問1詳解】

3/---；----4

因?yàn)閍為鈍角，sin?=j,所以cosa=-，l-sin?。=一g

因?yàn)橄榈谝幌笙藿牵琧os￡=孚，所以sin￡=Jl—cos?6：手,

所以sin（1一萬）=sinacos/?-cosasin/?=gx4

55

【小問2詳解】

343

由（1）知sin。=一，coscif=——,所以tana=——，

554

3

所以tan2a-

1-tan2a97

~16

16.在ABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,4c,已知Z?=J5,c=2,cosC=-

（1）求sinB和。的值；

（2）求一ABC的面積.

【答案】（1）sinB=,a=；

⑵交

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求出sinC,結(jié)合正、余弦定理計(jì)算即可求解;

（2）由（1）,結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可求解.

【小問1詳解】

在.ABC中，由cosC=——，可得sinC=Jl-cos2c=■

33

由余弦定理得/=謬+)2—2abcosC，得3/+2y/6a—6=0，

由a>0,ma=—.

所以sinB=,a=-

33

【小問2詳解】

由（1）知，a=,sinC=>

33

所以，的面積。加inC=』x立義0義西=也.

△022333

17.已知函數(shù)〃￡）=7^11（0%+9）+1—20）521美吆，0〉0,[9|<曰為奇函數(shù)，且了⑴圖象的相

TT

鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為一.

2

(1)求了(X)的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)將函數(shù)的圖象向右平移四個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的J(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

y=g(x)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程2g(%)=石的所有根的和.

兀3兀

【答案】(1)/(x)=2sin2x,—+—+^7i,keZ

⑵變

12

【解析】

【分析】(1)利用恒等變換化簡(jiǎn)后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；

(2)利用圖象變換法，求得y=g(x)的函數(shù)表達(dá)式，解方程求得g(x)的值，利用換元思想，結(jié)合三角函

數(shù)的圖象和性質(zhì)分析求出即可.

【小問1詳解】

由題意可得：

/(x)=V3sin^cox+(p^+\-2cos2=A/§sin(0x+0)-cos(0x+°)=2sin^?x+^>--1-^,

因?yàn)?(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為3，

所以/(九)的最小正周期為丁=兀，即可得口=2,

又了(九)為奇函數(shù),則9一四=配左eZ,又|d<g,所以°=巴,故/(x)=2sin2x.

626

jr3IT713元

令一+2kn<2x<------1-2kit,keZ,得一?\-kn<x<----&kit,keZ,

2244

jr37r

所以函數(shù)/(尤)的遞減區(qū)間為-+kn,—+kTi,keZ.

【小問2詳解】

將函數(shù)/(%)的圖象向右平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度，可得>=2sin[2x-的圖象，

再把橫坐標(biāo)縮小為原來的g,得到函數(shù)＞=g(x)=2sin14x-的圖象,

又2g(%)=百，貝i］g(x)=半，則sin(4x—三］=手.

々人z=4,x一耳71，當(dāng)/八兀)時(shí)?，z=4x一§71ef］一71了5了兀1

畫出y=sinz的圖象如圖所示:

.67T

sinz=—的兩個(gè)根4/2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1,關(guān)于直線Z二萬對(duì)稱，即Z［+Z2=7l,

4

則sin14x—mf在［ogj上有兩個(gè)不同的根和々,4萬—三+4%—三=兀,

所以％+々喑，所以方程2g(x)=G在x《0身內(nèi)所有根的和為患.

18.如圖、某港口。要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口

。北偏西30°方向且與該港口相距30nmile的A處，并以20nmile/h的航行速度沿正東方向勻速行駛，假

設(shè)該小艇沿直線方向以vnmile/h的航行速度勻速行駛，經(jīng)過由與輪船相遇.(假設(shè)水面平靜)

(1)要使相遇時(shí)小艇的航行距離最短，小艇的航行速度應(yīng)為多少？

(2)假設(shè)小艇的速度最快只能達(dá)到20nmile/h,要使小艇最快與輪船相遇，應(yīng)向哪個(gè)方向航行?

【答案】(1)20百nmile/h

(2)航行方向?yàn)楸逼珫|30。

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理和二次函數(shù)的最值求解；

（2）要用時(shí)最小，則首先速度最高，然后是距離最短，則由（1）利用余弦定理得到方程解得對(duì)應(yīng)的時(shí)間

t,再解得相應(yīng)角，即可求解.

【小問1詳解】

如圖設(shè)小艇的速度為V,時(shí)間為“目遇，相遇點(diǎn)為C,

則由余弦定理得：OC2=AC2+OA2-2xACxOAxcosZOAC，

3

即v2r2=400/+900—1200/cos60°=400/_900=400（。——）2+675,

600t+4

3

當(dāng)t=I時(shí)，0c取得最小值，此時(shí)速度2oQnmile/h，

此時(shí)小艇的航行方向?yàn)檎狈较颍叫兴俣葹?0j^nmile/h.

【小問2詳解】

要用時(shí)最小，則首先速度最高，即為20nmile/h,

則由（1）可得：OC2=AC2+OA2-2xACxOAxcosZOAC-

即（20。-=900+400r2-1200/cos60°,解得f=：,此時(shí)相遇點(diǎn)為B,

此時(shí)，在，。IB中，OA=OB=AB^3Q，則N3OZ）=30°，

故可設(shè)計(jì)航行方案如下：

航行方向?yàn)楸逼珫|30°,航行速度為20nmile/h,小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.

ein/}0

19.在一A3。中，角A,瓦C的對(duì)邊分別為a,b,c,且-----------=1--------.

sinA+sinCb+c

（1）求角。的大?。?/p>

（2）若A3C為銳角三角形，且6=4,求一A3C周長(zhǎng)的取值范圍.

JT

【答案】（1）c=-

3

(2)6+2

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行角化邊，然后根據(jù)余弦定理求解出cosC的值，即可求出角C；

a+b+cb

（2）法一：根據(jù)正弦定理可得—,根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)可得

sinA+sinB+sinCsinB

,26

a+D+c-b+--再根據(jù)B的范圍求解即可；法二：過點(diǎn)A作4用，。用，垂足為⑸，根據(jù)直角三角

tan—

2

形性質(zhì)結(jié)合圖形分析求解.

【小問1詳解】

hn

由正弦定理得——=1-;一,

a+cb+c

Z72_1_A2_Z>21

整理得/+。2一。2=必，所以cosC=J±^_-=

2ab2

又Ce(O,7i),所以C=1

【小問2詳解】

法一：由（1）知A+3="，即4=0—8.

33

0<--B<-,

因?yàn)闉殇J角三角形，所以〈32解得巴<B〈巴.