2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)期末模擬卷（全解全析）（蘇州）

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考

證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：八下全章+九年級（一元二次方程+相似）。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

1.若代數(shù)式二）有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

x-1

A.B.xwlC.x>0D.x>l

【答案】B

【分析】本題考查了分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式中分母不能為0,

依據(jù)分母不能為0即可解答.

【詳解】解：代數(shù)式二7有意義，

x-1

x—1w0,

解得：xwl,

故選：B.

2.不透明的口袋中裝有10個黃球和若干個白球，它們除顏色外完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸

到白球的頻率穩(wěn)定在0.6附近，估計口袋中白球大約有（）

A.12個B.15個C.18個D.20個

【答案】B

【分析】本題主要考查了利用頻率估計概率.設(shè)口袋中白球大約有尤個，根據(jù)概率公式列出算式，再進(jìn)行計

算即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)口袋中白球大約有x個，

?..摸到白色球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，

X

=0.6,

10+x

解得：x=15,

經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解，

.?.估計口袋中白球大約有15個.

故選:B

A.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.四條邊相等的四邊形是菱形

【答案】D

【分析】此題重點考查尺規(guī)作圖、菱形的判定定理等知識.由作圖得M=AD=CB=CD,即可根據(jù)“四條邊

相等的四邊形是菱形”證明四邊形A3CD是菱形，于是得到問題的答案.

【詳解】解：由作圖得=CB=CD=AD,

：.AB=AD=CB=CD,

V四條邊相等的四邊形是菱形，

四邊形ABCD是菱形，

故選：D.

4.當(dāng)1<”2時，代數(shù)式“I-")?-J(CL2)2的值是()

A.-1B.1C.2a—3D.3—2a

【答案】c

【分析】本題考查的是二次根式的化簡，直接利用行=時，再化簡絕對值即可.

【詳解】解：..TvavZ,

=|1—?|—1?—2|

—a—1+a—2

=2a—3,

故選c

5.如圖，在11ABe中，D、E、尸分別是邊A3、AC、2C的中點，AHLBC于點H,若EF=8,則?！钡?/p>

長為()

A.6B.6A/2C.8D.10

【答案】C

【分析】本題綜合考查了三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線.三角形的中位線平行于第三邊且

等于第三邊的一半.

利用三角形中位線定理知所=；A3；然后在直角三角形中根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半”，即可解答.

【詳解】解：尸分別是AC、BC的中點，

，E尸是ABC的中位線，

/.跖=(三角形中位線定理)；

又：。是線段AB的中點，AHLBC,

：.DH=-AB,

2

，DH=EF=8.

故選：C.

6.已知關(guān)于％的方程a(x+m)2+b=0(a,b,根為常數(shù)，awO)的解是玉=2,x2=-l,那么方程

〃(％+m+2)2+Z?=0的解為()

A.X[=2,X]=-3B.%】=4,x?~1

C.&=0,無2=—]D.-0,X]——3

【答案】D

【分析】此題主要考查了方程解的定義，把后面一個方程中的x+2看作整體，相當(dāng)于前面一個方程中的x求

解，注意由兩個方程的特點進(jìn)行簡便計算.

【詳解】解：?關(guān)于X的方程。++Z?=0（a,b,〃，為常數(shù)，o^O）的解是占=2,x2=-l,

二方程a（x+〃?+2）2+6=0變形為：a［（x+2）+〃?丁+b=0,

即x+2=2或NJ,

解得：々=0或尤2=-3,

故選：D.

7.在20世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，

取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法，所作即將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊A5的

黃金分割點，即BEWAg.M.已知A3為2米，則線段BE的長為（）.

C.與米D.等米

【答案】B

【分析】本題考查了解一元二次方程，黃金分割.設(shè)=則AE=（2-x）,根據(jù)求出x的

值，即可求解.

【詳解】解析：VBE2=AEAB^

設(shè)班1=%,貝lJAE=（2-x）,

AB=2,

x2=2（2-x）,

即尤2+2尤一4=0,

解得：%=—1+6，x2——1—A/5（舍去）,

線段BE的長為（君-1）米.

故選：B.

8.如圖，點E為正方形ABCD外一點，連接BE,BE=BA,連接EC并延長，與—WE的角平分線交于點F,

若AB=上叵,CE=7,則CP的長度為（）

2

A.3亞B.4ybC.5D.5.5

【答案】C

【分析】過點8作3GLCE,垂足為點G,連接AF,將△3CF繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)使得BC與AB重合，點

尸落在尸處，根據(jù)正方形ABCD得到==利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出

1717

CG=EG=-CE=~,由勾股定理即可求出BG=5,證明BAF當(dāng)BEF（SAS）,推出尸',A,P三點共線，根

據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)易得/AEE=NBEE=45。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得GF=BG,即

可求出CF的長度.

【詳解】解：過點8作3GLCE,垂足為點G,連接AF,將△3CF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)使得8C與A3重合,

點尸落在P處，

正方形ABCD得到AB=BC=BE=U也

2

是等腰三角形，

17

CG=EG=-CE=-,

22

BG=7BC2-CG2=—,

2

8尸平分NABE,

:.ZABF=NEBF,

AB=BE,BF=BF,

:BAF烏BEb(SAS),

:.ZBAF=/E=ZBCE,

ZBCE+ZBCF=180°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：NBAF'=NBCF,

??.NBAF，+NBCE=NBAF'+NBAF=180。,

???尸,A尸三點共線,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BF=BP,ZABF'=NCBF,

ZABC=ZABF-]-ZCBF=90o,

:.ZFBFf=9Qo,

.?.尸然是等腰直角三角形，

??.NBFA=/BFE=45。,

ZAFE=NBFE=45。,

5Gb是等腰直角三角形，

17

GF=BG=—,

2

177

CF=--------=5.

22

故選：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正方

形的性質(zhì)，作出正確的輔助線，求得/詆=45。是解題的關(guān)鍵.

第n卷

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.計算J記的結(jié)果為.

【答案】20

【分析】本題考查了二次根式的乘法.根據(jù)二次根式的乘法運算法則計算即可求解.

【詳解】解：而x*=《6xg=^=2啦,

故答案為：20.

10.已知根為方程了2_3%一6=0的一個根，貝！I代數(shù)式-“於+3加一6的值是.

【答案】-12

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解等知識點，先根據(jù)方程解的定義，化簡關(guān)于根的方程，然后整

體代入求值，掌握方程解的定義和整體代入的思想方法是解決本題的關(guān)鍵.

【詳解】,?,根為方程12-3%-6=。的一個根，

/.m2—3m—6=0,

m2—3m=6,

—m2+3m—6

=-(m2-3m)-6

=-12,

故答案為：-12.

11.某校學(xué)生“亞運知識”競賽成績的頻數(shù)分布直方圖（每一組含前一個邊界值）如圖所示，期中成績在80分

以上的學(xué)生有人.

某校學(xué)生“亞運知識”競賽成績的頻數(shù)直方圖

頻數(shù)（人）80

80'“60

60-50------

40-

20-?10

\\80901（Jo成舞（分）

【答案】140

【分析】本題考查了頻數(shù)分布直方圖，根據(jù)頻數(shù)分布直方圖即可求解，能從統(tǒng)計圖獲取信息是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由頻數(shù)分布直方圖可得，期中成績在80分以上的學(xué)生有80+60=140人，

故答案為：140.

12.已知反比例函數(shù)片/上1的圖象上有兩點（2,%）,3（幅％）,若%<%,則機的取值范圍為.

【答案】0<〃?<2

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

反比例函數(shù)y=口的圖象上有兩點A（2,%）,3（〃?，%），且％<%，得到關(guān)于機的不等式，即可得到答案.

【詳解】解：

二反比例函數(shù)y=以出的圖象在一、三象限，且在每個象限y隨X的增大而減小，

X

若點4（2,乂）,8（S%）在同一象限，

■%<%，

.,.0<m<2,

若點4（2,乂）,3（帆％）在不同象限，則不成立，

故實數(shù)m的取值范圍是0<相<2.

故答案為：0<m<2.

13.凸透鏡成像的原理如圖所示，AD//HG//BC.若焦點寫到物體的距離與焦點耳到凸透鏡中心線的

距離之比為3:1,則物體被縮小到原來的.

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，從實際問題中找到相似三角形并用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答是

解題的關(guān)鏈；先證出四邊形O5CG為矩形，得到CB=CG,再

根據(jù)VWSVEOK，求出穿，從而得到物體被縮小到原來的幾分之幾；

AH

【詳解】解：由題意知AHLGaBDLGT/CGLGH,霎=:，

rLrx3

AH//BD//CG,/BOG=90°,

HG//BC,

1?四邊形O5CG是矩形，

/.OB=CG,

AH//BD,

A町sBOF、,

.OBOF】

CG1

?,?___—一_，

AH3

二物體被縮小到原來的;,

故答案為：—:

14.元代的《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著.該著有一道“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣

人去買幾株椽、每株椽錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽”.大意是：用6210文錢買一批椽.如果每株椽的運費

是3文,那么少拿一株椽后，剩下椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)6210

元能夠買x珠椽，則列出分式方程為.

【分析】本題考查了從實際問題中抽象出分式方程，正確理解題意找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.設(shè)6210元購

買椽的數(shù)量為x株，根據(jù)單價=總價+數(shù)量，求出一株椽的價錢為幽，再根據(jù)少拿一株椽后剩下的椽的

x

運費恰好等于一株椽的價錢，即可列出分式方程，得到答案.

【詳解】解：設(shè)6210元購買椽的數(shù)量為x株，則一株椽的價錢為名

X

由題意得：3（x-l）=—,

X

故答案為：3（x-l）=?.

15.如圖，AB=9,AD=6,點E、F分別在邊BC、AD上，點G為線段E產(chǎn)上一動點，過點G作EF的

垂線分別交A3、8于點M、N.若線段所恰好平分矩形A5CZ）的面積，且止=1,則的長為.

［分析詵判斷EF過矩形的對稱中心，過點。作口〃即交于點/，過點C作田〃肱V交48于點,

Q

證明VOC/svCBH,從而求出HS=-,在RtBCH中求出CH,進(jìn)而求MN即可.

3

【詳解】如圖，連接AC,交所于O,

???線段石尸恰好平分矩形ABCD的面積，

?e?O是矩形的對稱中心，

：.BE=DF=l,過點D作。/〃EF交BC于點/,過點。作CH〃陰V交A3于點

??,四邊形ABCD是矩形，

DF//IE,

???四邊形DIEF是平行四邊形，

：.EI=DF=1,

；?CI=BC—BE—EI=4,

同理可得，MN=CH,

???EFLGH,

：.DILCH,

：.ZCDI+ZDCH=90°=ZDCH+ZHCB,

:.NCDI=/HCB,

ZICD=ZHBC=90°

：.NDCI^NCBH,

.DC_CB

?.?2_一_L，

4HB

：.HB=-,

故答案為：J^/97.

【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)

用，作出合適的輔助線，確定相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵.

16.Rt^ABC中，AB=AC=3四,=點〃為邊上一動點，將線段繞點。按逆時針方

向旋轉(zhuǎn)90。至OV,連接AN,CN,則△C4N周長的最小值為.

【答案】3應(yīng)+后/后+3友

【分析】如圖，作O"13C于H,NJ1OH交HO延長線于J.證明30HM絲_N/O（AAS），推出=OH=1,

推出點N的運動軌跡是線段，該線段所在的直線刀V與直線平行，在“/的下方，與OH的距離是1,作

點C關(guān)于該直線的對稱點C',連接AC'交該直線于N',連接CN',此時,/CN'的周長最小，作AGLBC于

G,在Rt^ABC中，BC=dAC、AB2=6,則C7=CT=4,求出AG=CG==3,得至i]GT=l,則

GC'=5,在RtAGC中，4C'=W+C&==后，則△C4N的周長的最小值為

AC+AC=3A/2+734.

【詳解】解：如圖，作。于此，。歸交”0延長線于3,

VAB^AC,Z￡L4C=90°,

Z.^ABC=45°,

---OHIBC,

是等腰直角三角形，

OH=BH,

,->AB=AC=3^2,BO=^AB,

；?OB=拒,

/.OH=BH^—OB=1,

2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知=ON,ZMON=90°,

ZHOM+Z.HMO=90°=ZHOM+ZNOJ,

二ZNOJ=ZOMH,

又ZOHM=ZNJO=90°,

,OHM沿NJO(AAS),

JN=OH=\,

.?.點N的運動軌跡是線段，該線段所在的直線力V與直線OH平行，在077的下方，與的距離是1,

作點C關(guān)于該直線的對稱點C',連接AC'交該直線于N',連接CN',此時ACN'的周長最小，作AGLBC

于G,

在RtAABC中，BC^^AC2+AB2=6.

C'T=CT=BC-BH-HT=4,

'：AC=AB,AG±BC,

：.AG=CG=-BC=3,

2

GT=l,

：.GC'=5,

在RtAGC中，AG=JAG?+C&=招+5」=后，

△C4N的周長的最小值為AC+AC=3@+扃,

故答案為：3^2+>/§4.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添

加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

三、解答題：本題共11小題，共82分。

【答案】-4+^3

【分析】本題考查了二次根式的混合運算.根據(jù)平方差公式、零次幕、絕對值的性質(zhì)計算即可求解.

【詳解】解：(73-2)(73+2)-(^-5)°-|2-73|

=3-4-l-(2-V3)

=-2-2+73

=—4+^/3?

x-2

18.解方程：土彳-2='3

x—1x—1

【答案】尤=-3

【分析】本題考查解分式方程.根據(jù)題意等式兩邊同時乘以(x-l),將分式方程變成整式方程，移項合并同

類項即可.

x-2

【詳解】解：2=3\

x-1x-1

方程兩邊都乘(xT),得x—2—2(》-1)=3,

x—2—2x+2=3,

經(jīng)檢驗，x=-3是原方程的根.

1。2-42甘ph□

19.先化簡，再求值:----------2--------------------，其中a=3?

Q—2a—2。+1a—1

【答案】宗

【分析】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)分式的乘法法則、

減法法則把原式化簡，把a的值代入計算得到答案.

【詳解】解：原式=上4(Q+2)(Q-2)2

a—2(。一1)2(j—1

。+22

Q—1CL—1

a

ci—1

3

當(dāng)a=3時，原式=彳.

2

20.如圖，已知：。是ABC的邊3C上一點，點E在,ABC外部，^.ZBAE^ZCAD,ZACD=ZADC=ZADE,

DE交AB于點、F.

A

E

BDC

⑴求證：AB^AE；

⑵如果AD=AF,求證：EF2=BFAB.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握

相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

(1)由NACZJu/ADC得到AC=AD,根據(jù)“角邊角”推得AABC二△?￡?,即可證得答案；

(2)先證明ABDaAEF,得到BD=￡F,再證明△或甲,得到處=也，BD2=BF-AB，

BABD

由此即得答案.

【詳解】(1)ZACD=ZADC,

AC=ADf

.?ZBAE=ZCAD,

:.ZBAC=ZEAD,

QZACD=ZADE,

ABC咨AED(ASA),

/.AB=AE；

(2)AD=AF,

.\ZADF=ZAFD,

ZDAF=180°-2ZADF,

ZACD=ZADC,

ZCAD=180°-2ZADC,

ZADC=ZADE,

.\ZCAD=ZDAFf

.ABAE=ACAD,

...ZDAF=Z.BAE,

AB=AE,

ABD^AEF(SAS),

:.BD=EF,ZBAD=ZEAF,

NB=NE,ZAFE=ZDFB,

.\ZBDF=ZBAE,

ZBDF=ZEAF=ZBAD,

NB=NB,

BDF。BAD,

.BDBF

,?初一訪’

:.Blf=BFAB,

:.EF2=BFAB.

21.為落實“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了“書香校園”的讀書活動，活動中，為了解學(xué)生對書籍種類

(A：藝術(shù)類，B：科技類，C：文學(xué)類，D-.體育類)的喜歡情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽取若干名學(xué)生，進(jìn)

行問卷調(diào)查(每個被調(diào)查的學(xué)生必須選擇而且只能在這四種類型中選擇一項)將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理并繪制成兩

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“ZT部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為一度；

(3)補全條形統(tǒng)計圖.

(4)若全校有2000名學(xué)生，請估計喜歡8(科技類)的學(xué)生有多少名？

【答案】(1)200

⑵54

(3)詳見解析

(4)喜歡B(科技類)的學(xué)生約有700人

【分析】此題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的應(yīng)用，正確利用條形統(tǒng)計圖得出正確信息是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)A類的人數(shù)和所占的百分比，即可求出總?cè)藬?shù)；

（2）用整體1減去A、C、。類所占的百分比，即可求出扇形統(tǒng)計圖中所在扇形的圓心角的度數(shù)

（3）先求出8所占的百分比；用總?cè)藬?shù)乘以所占的百分比，求出C的人數(shù)，從而補全圖形；

（4）總?cè)藬?shù)乘以樣本中8所占百分比即可得.

【詳解】（1）40-20%=200（名），

故答案為：200；

（2）。所占百分比為益xl00%=15%,

扇形統(tǒng)計圖中“D”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：360°x15%=54°,

故答案為：54；

（3）8所占的百分比是1—15%—20%—30%=35%,

C的人數(shù)是：200x30%=60（名），

答：估計喜歡8（科技類）的學(xué)生大約有700名.

22.如圖1,AE〃BF,AC平分—54。，且交所于點C,5。平分/ABC,且交AE于點。，連接CD

（2）如圖2,若DM_LBF交BF于點M,且AC=6,OM=4,求菱形的邊長.

【答案】(1)見解析

⑵5

【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

(1)由平行線的性質(zhì)及角平分線的定義證出〃>=3C,得出四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定

定理可得出結(jié)論；

(2)由直角三角形的性質(zhì)OD=4,由勾股定理可得出答案.

【詳解】(1)證明：AC平分N54D,

:.ZBAC=ZDAC,

又AE〃BF,

:.ZDAC=ZACB=ZBAC,

AB=BC,

同理，3D平分/ABC,

:.ZABD=ZCBD,

又1AE/7BF,

ZCBD=ZADB=ZABD,

:.AB=AD,

AB=BC,AB=AD,

AD=BC,

AD\BC,

四邊形A5CD是平行四邊形，

AB=AD,

四邊形A5CD是菱形；

(2)解：/菱形ABCD中，AC=6,OM=4,DM_LBF,

：.OD1OC,0C=3,OB=OD=OM=4,

CD=VOD2+OC2=A/32+42=5.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB：V=x+九與反比例函數(shù)、=工的圖象交于43兩點，與x軸

X

相交于點C,已知點AI的坐標(biāo)分別為(3』)和.

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)請直接寫出不等式x-244的解集；

X

k

⑶點尸為反比例函數(shù)y=%圖象上的任意一點，若S“"=2&AOC，求點尸的坐標(biāo).

X

3

【答案】⑴y=x-2,j=-

X

(2)xW-l或0<x&3

MM或H,-2)

【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式,

一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形面積，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵.

(1)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；

(2)求出點B的坐標(biāo)，根據(jù)圖象求解即可；

(3)根據(jù)圖象求出S，再根據(jù)§pg=2SAOC，求出Spoc，即可求出.

【詳解】(1)解：：直線48:〉=》+%過點4(3,1),3(—1,〃).

1=3+機,

m=-2,

???一次函數(shù)的解析式為丁=九-2,

???反比例函數(shù)y=￡的圖象過點4(3,1),

左=3x1=3,

3

???反比例函數(shù)的解析式為>=三；

x

(2)把3(-1,〃)代入y=x-2,得〃=T_2=_3,

.??點B的坐標(biāo)為

k

觀察圖象，不等式尤-24勺的解集為xV—1或0<xV3；

尤

(3)把>=°代入丫=無一2得：x=2,

即點C的坐標(biāo)為:C(2,0),

SAOC=2x1=1,

0,POC_3.AOC，

SP0C=-OC*yp=-x2?=2,

二|力|=3,

33

當(dāng)點尸的縱坐標(biāo)為2時，則2=三，解得無==,

x2

33

當(dāng)點尸的縱坐標(biāo)為-2時，貝U-2=工解得尤=-=,

x2

點尸的坐標(biāo)為(1,2)或

24.如圖是由小正方形組成的8x6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.正方形ABCD四個頂點都是格點,

E是AD上的格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖.

⑴在圖(1)中，先將線段班;繞點8順時針旋轉(zhuǎn)9。。，畫對應(yīng)線段8尸，再在C。上畫點G,并連接BG,

使NG3E=45。；

(2)在圖(2)中，M是BE與網(wǎng)格線的交點，先畫點〃關(guān)于3。的對稱點N,再在30上畫點“，使得四邊形

BNHM為菱形.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析.

【分析】（1）如圖，取格點f，連接BE,則BF為所作圖形，在圖上取格點P,連接PC交ER于點Q,連

接8。并延長，交C。于G,則G點為所作圖形；可證.ICF四應(yīng)1E,從而證得NEBb=90,再證

PEQ^CFQ,從而證得Q9=QE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求得/GBE=45。；

（2）取格點尸，連接族、EF,交格線于N,再取格點p,Q,連接PQ交E尸于。，連接MO并延長交即

于H,連接HN,則點N、H為所作點，四邊形為所作菱形；可證：3CF—.54E,而DF=DE,

證得區(qū)/關(guān)于對稱，又BN=BM,可證得V、N關(guān)于8。對稱；再證POE"-QOF,得到

黑=會=:，再根據(jù)MG〃M，有整=罷=,=:，根據(jù)對應(yīng)線段成比例，可證MEO"BEF,得

OFFQ2MBGB42

到對應(yīng)角相等，證得Q0〃族，再證從而證得初f=證得四邊形氏VHM為平行四邊形,

又根據(jù)=可證四邊形是菱形.

【詳解】（1）解：如圖，線段B/和G點為所求;

理由：VBC=BA9CF=AE,ZBCF=ZBAE=90°,

：.,BCF^BAE(SAS)

：.ZCBF=ZABE,BF=BE

：./FBE=NCBF+NCBE=ZABE+NCBE=/CBA=9Q。,

J線段BE繞點、B順時針旋轉(zhuǎn)90°得BF,

■:PE//FC

：.ZPEQ=ZCFQ,ZEPQ=ZFCQ,

：.PE=FC,

.??.P￡Q空CFQ(ASA)

：,EQ=FQ,

：.NGBE=-ZEBF=45°；

2

(2)解：如圖，點N和點”即為所求,

理由：?;BC=BA,ZBCF=/BAE=90°,CF=AE,

：.^BCF^BAE(SAS),

：.BF=BE,

,:DF=DE,

J5歹與班關(guān)于助對稱，

BN=BM,

：.M,N關(guān)于5。對稱，

,/PE//FC,

:?_POEs-QOF,

.EQPE_1

^~OF~^Q~29

??,MG//AE,

.AG_2_1

'9MB~GB~4~2"

.EMEO1

??EB~EF~3"

,：ZMEO=ZBEF.

：.MEO^BEF,

:?/EMO=/EBF,

J.OM//BF,

：.ZMHB=ZFBH,

由軸對稱可得ZFBH=ZEBH,

:.ZBHM=ZMBD.

JBM=HM,

又：BM=BN,

：.MH=BN

二四邊形B/VHM為平行四邊形,

又「BN=BM,

，四邊形3AEW是菱形.

【點睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，軸對稱變換，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

菱形的判定等知識，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)和軸對稱的性質(zhì).

25.綜合與實踐

數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1,在正方形A3CD中，已知AEL3-，求證：AE=BF.

AFD

/甲小組同學(xué)的證明思路如下：

8圖］C

由同角的余角相等可得NABF=ND4E.再由==ZD=90°,證得_AB尸空D4E（依據(jù)：

）,從而得A￡=3尸.

乙小組的同學(xué)猜想，其他條件不變，若已知=同樣可證得證明思路如下：

由AB=￡H,=可證得RtABF^RtD4E（HL）,可得ZABF=NDAE,再根據(jù)角的等量代換即可證

得AELBF.

完成任務(wù)：

（1）填空：上述材料中的依據(jù)是（填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”）

【發(fā)現(xiàn)問題】

同學(xué)們通過交流后發(fā)現(xiàn)，己知AE_LBF可證得=已知AE=BF同樣可證得,為了驗證這

個結(jié)論是否具有一般性，又進(jìn)行了如下探究.

【遷移探究】

（2）在正方形ABC。中，點E在C￡＞上，點、M,N分別在上，連接腑交于點P.甲小組同學(xué)根

據(jù)MN_LAE畫出圖形如圖2所示，乙小組同學(xué)根據(jù)MN=AE畫出圖形如圖3所示.甲小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知

MN，AE仍能證明MN=AE,乙小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)己知MN=AE無法證明MN，AE一定成立.

AMDAMD

②在圖3中，若/D4E=a,則N4pM的度數(shù)為多少？

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖4,在正方形ABCD中，AB=3,點E在邊上，點M在邊AD上，S.AE=AM=1,F,N

分別在直線CD,BC上，若EF=MN,當(dāng)直線E尸與直線MN所夾較小角的度數(shù)為30。時，請直接寫出CF的

【答案】(1)ASA；(2)①見解析；?ZAPM=90°-2a；(3)2-月或2+g

【分析】(1)先證明=結(jié)合AB=D4,/I以F=NO=90?？芍鶕?jù)ASA即可證明

一ABF-DAE；

(2)①作MH,3c于點人先證明NHMV=ND4E,然后根據(jù)ASA即可證明1aHMV，D鉆即可證明結(jié)

論成立；

②NLLAD于點3同理可證LNM-DAEg),從而NMNL=NDAE=a,然后利用直角三角形兩銳角

互余和三角形外角的性質(zhì)即可求解；

(3)①當(dāng)N、F在BC、CD邊上時，作尸G人AB于點G,作MH_LBC于點H,則四邊形ABHM和四邊形BCFG

都是矩形，同理可證aEGb絲ANHM(HL),求出/HMN=NEFG=30。，設(shè)EG=無，則EF=2x,利用勾股

定理求出x的值，進(jìn)而可求出CP的長.當(dāng)N、F在CB、CD的延長線上時，同理可求出CF的長

【詳解】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形，

/.AB=AD,ZBAD=90°,

：.ZBAP+ZDAE=90°.

?.*AE±BFf

：.ZBAP^ZABF=9Q0,

ZABF=ZDAE,

9：ZBAF=ZD=90°,

：.ABF^DAE(ASA).

故答案為：ASA；

(2)①作于點H,

???四邊形ABC。是正方形，

ACD=AD,ZC=ZD=90°,

???四邊形CDMH是矩形，

：.CD=MH=AD,ZAMH=ZDMH=90°,

：?ZAMP+/HMN=9U.

?；AE1MN,

：.ZAMP+ZDAE=90°,

：.ZHMN=ZDAE,

：.HM1吟DAE(ASA),

：.MN=AE；

②作NLLAD于點L,

圖3

同理可證四邊形CDLN是矩形,

：.CD=LN=AD.

?.?AD=LN,AE=MN,

：.ZMNL=ZDAE=a,

：.ZLMN=9Q0-a,

：.ZAPM=ZLMN-ZDAE=9Q0-2a.

(3)解：①當(dāng)N、F在BC、CD邊上時，如圖，ZMPE=30。,作尸于點G,作MW,3c于點”,

則四邊形ABHM和四邊形BCFG都是矩形，

AMD

同理可證LEGFm,

：.ZHMN=ZEFG,

,:GF〃BC,

：?MHtGF,

:./FKH+/EFG=90。.

,:ZFKH=ZHMN+ZMPE,

???ZHMN+ZMPE+ZEFG=90°

,：ZMPE=3Q°,

：./HMN=/EFG=3U,

EG=-EF.

2

設(shè)EG=x,則跳=2x,

EG2+FG2=EF2,

X2+32=（2X）2,

x=A/3（負(fù)值舍去），

二CF=BG=AB-AE-EG=3-1-y/3=2-^3.

②當(dāng)N、F在CB、CD的延長線上時，如圖，

同理可得：NHMN=ZEFG=34。,EG=^）,

：.CF=BG=AB-AE+EG=3-l+y/3=2+y/3.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角

形的性質(zhì)，勾股定理，以及三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

26.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在ABC中，O、E、E分另U為A&AG3c上的點，ZADE=ZB,BF=CF,AF

交DE于點G,求證：DG=EG；

DF

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在（1）的條件下，連接CD、CG.若CGLDE,CD=6,AE=3,求”的值;

BC

【拓展提高】（3）如圖3,在平行四邊形ABCD中，ZADC=45°,AC與交于點O,E為AO上一點，EG//BD

交AD于點G,EF_LEG交BC于點、F.^ZEGF=40°,FG平分NEFC,FG=10,求正的長.

【答案】（1）詳見解析

(3)5+5出

【分析】⑴證明..AZXJsABEAGEs人星，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到坐=絲，進(jìn)而證明結(jié)論;

BFFC

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出C￡,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算，得到答案；

(3)延長CE交于點連接FN,過點M作3c于點H,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出,

求出/說/=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可.

【詳解】解：(1)?：ZADE=ZB,

：.DE//BC.

???，ADGs,ABF,AGEAFC.

.DGAGGEAG

BF~AF1FC-AF,

.DGGE

**BF-FC*

又?：BF=CF,

：.DG=EG.

(2)?:DG=EG,CGIDE,CD=6,

CE=CD=6.

XVAE=3,

：.AC=AE+EC=3+6=9.

DE//BC,

：.AADE^AABC.

.DE_AE_1

**BC-AC-9-3,

(3)如答圖，延長CE交AB于點M,連接月欣，過點M作必于點H.由(1)知Affi=GE,

又丁￡F_L￡G,

FM=FG=10.

?：EFYEG,NEGb=40。，

???ZEFG=90°-ZEGF=50°.

,?FG平分/EFC,

：./EFC=2ZEFG=100°.

ZEFB=8O°.

易知ZMFE=NEFG=50。,

：.ZMFH=ZEFB-ZEFM=30°.

MH=-MF=5.

2

HF=6MH=56.

:平行四邊形ABC。中，/4X7=45。,

^ABC=45°.

：.BH=HM=5.

：.BF=BH+HF=5+5^/3.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、等腰三角形的性質(zhì)及判定、解特殊的直角三角形等知識,

遵循第（1）、（2）小問的思路，構(gòu)造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.

27.概念引入

定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點“8y）滿足：可+3=4,則點尸叫做“復(fù)興點”.例如：圖①中的「（1,3）是“復(fù)

興點

⑴在點A（2,2）,C（-l,5）中，是“復(fù)興點”的點為」

初步探究

（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出所有“復(fù)興點”的集合.

5-

4

深入探究

k

(3)若反比例函數(shù)y=；(%*0)的圖像上存在4個“復(fù)興點”，則k的取值范圍是一.

(4)若一次函數(shù)＞=履-2左+3(左/0)的圖像上存在“復(fù)興點”，直接寫出“復(fù)興點”的個數(shù)及對應(yīng)的左的取值范

圍.

【答案】(1)4B；

(2)見解析

(3)~4＜左＜0或0＜%＜4

(4)當(dāng)-]＜左＜-!時，復(fù)興點的個數(shù)為0；當(dāng)左=-：或左=-1時，復(fù)興點的個數(shù)為1；當(dāng)(人＜