2020-2024年高考數學試題專項分類匯編：函數與導數

考點2函數與導數

——五年(2020—2024)高考數學真題專項分類匯編

一、選擇題

1[2023年新課標I卷]設函數/(x)=2，(i)在區(qū)間(0,1)單調遞減,則a的取值范圍是()

A.(-oo,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+oo)

2.[2021年新高考H卷]已知a=logs2,&=log83,c=；,則下列判斷正確的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

3.[2024年新課標H卷]設函數/(%)=(%+a)ln(%+b),若則片+從的最小值為()

A.-B.-C.-D.l

842

4.[2020年新高考I卷]基本再生數凡與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再

生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎

疫情初始階段，可以用指數模型：/?)="描述累計感染病例數/⑺隨時間，(單位:天)的變化規(guī)

律，指數增長率「與4,T近似滿足飛=1+",有學者基于已有數據估計出&=3.28,T=6.

據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為Qn2=0.69)()

A.L2天B.L8天C.2.5天D.3.5天

5.[2024年新課標I卷]已知函數/"(xhT-2以-a，x<°在R上單調遞增，則。的取值范

el+ln(x+l),^>0

圍是()

A.(-oo,0]B.[-l,0]C.[-l,l]D.[0,+oo)

6.[2023年新課標n卷]已知函數/(x)=ae=lnx在區(qū)間(1,2)單調遞增，則。的最小值為()

A.e2B.eC.e-1D.e-2

7.[2024年新課標I卷]已知函數/(x)的定義域為R,/(月>/(無-1)+/(%-2),且當％<3時，

于(x)=x,則下列結論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000C./(10)<1000D./(20)<10000

8.[2021年新高考I卷]若過點(a,力可以作曲線y=e，的兩條切線，則()

A.eb<aB.ea<bC.O<a<ehD.O<b<ea

9.[2021年新高考n卷]設函數/(x)的定義域為R,且/(x+2)為偶函數，/(2x+l)為奇函數，

則()

AJ，，=0B./(-D=0CJ(2)=0D"(4)=0

10.[2024年新課標H卷]設函數/(%)=〃(％+1)2一1,g(%)=cos%+2ox,當％」(一1,1)時,曲線

丁=/(x)與y=g(x)恰有一個交點，貝IJ。=()

A.-lB.lC.lD.2

2

二、多項選擇題

11.[2023年新課標I卷]已知函數/(%)的定義域為R,/(盯)=V/(x)+x2/(y),則()

AJ(0)=0B./(l)=0

CJ(x)是偶函數D.x=0為/(x)的極小值點

12.[2023年新課標I卷]噪聲污染問題越來越受到重視用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲

壓級4=20xlg上，其中常數p0(z>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲

壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060-90

混合動力汽車1050-60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為巧，幺，小，則

()

A.px>p2B.p2>10p3C.03=100PoD./?]<100p2

13.[2024年新課標I卷]設函數/(x)=(x-l)2(x-4),則()

A.x=3是/(x)的極小值點B.當0<x<l時，/(%)</(x2)

C.當l<x<2時，-4</(2x-l)<0D.當—1<%<0時，/(2-%)>/(%)

14.[2024年新課標H卷]設函數/(x)=2^—3/+1,則()

A.當。>1時，/(%)有三個零點

B.當。<0時，x=0是/(%)的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點(1,/(1))為曲線y=/(x)的對稱中心

三、填空題

15.[2021年新高考I卷]已知函數/(幻=442-2-*)是偶函數，貝1」。=.

16.[2021年新高考I卷]函數/Xx)=|2x-l|-21nx的最小值為.

17.[2024年新課標I卷]若曲線y=e，+x在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+a的切線，

則a=.

18.[2021年新高考H卷]已知函數/⑺=卜="，藥<0,4>。，函數/⑴的圖象在點

4(%,八％))和點5(々"(X2))處的兩條切線互相垂直，且分別交丁軸于“，N兩點，則券的

取值范圍是.

四、解答題

19.[2024年新課標n卷]已知函數/(x)=e*-ax-a3.

(1)當a=l時，求曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程；

(2)若/(》)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

20.[2023年新課標I卷]已知函數/(%)=4(/+4—x.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)證明：當a>0時，/(%)>21na+—.

21.[2022年新高考H卷]已知函數/(幻=近融—el

(1)當a=l時,討論了(X)的單調性;

(2)當x>0時，/(x)<-l,求Q的取值范圍；

I11

(3)設〃wN*,證明：/+/++->ln(n+1).

22.［2024年新課標I卷］已知函數/(x)=ln^^+以+b(x-1)3.

2-x

(1)若1=0,且/'(x)20,求a的最小值;

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形；

(3)若/(x)>-2當且僅當1<%<2,求b的取值范圍.

23J2022年新高考I卷］已知函數/(x)=e，-儀和ga)=ar-Inx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=b,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從

左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

★參考答案★

1.答案：D

解析：由題意得y=x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調遞減，所以x=解得a?2.故選D.

2.答案：C

解析：a=log52<log575=^=log82A/2<log83=b,即

故選：C.

3.答案：C

解析：由/(x)20及y=x+a,y=ln(x+b)單調遞增，可得x+a與ln(x+Z?)同正、同負或同為

零，所以當ln(x+Z?)=0時，x+a=。，即1,所以b=〃+1,貝!J

a2+Z72=a2+(a+l)2=2^+|^|+|>|,故選C.

4.答案：B

解析：Q4=l+rT,.-.3.28=l+6r,"=0.38.

/?)=e。眄

若<加2)=6°嗎則e°381，)=2,0.38(r2-r1)=ln2?0.69,t2-t{?1.8,選B.

/&)=2/&)，

5.答案：B

解析：因為函數/(x)在R上單調遞增，且當％<0時，f(x)=-x2-2ax-a,所以

/(x)=-x2-lax-a在(-co,0)上單調遞增，所以-a20,即aV0；當x20時,/(x)-ex+ln(x+1),

所以函數/(x)在［0,+oo)上單調遞增.若函數/(x)在R上單調遞增，則-a</(0)=l,BP?>-1.

綜上，實數a的取值范圍是［-1,0］.故選B.

6.答案：C

解析：法一：f'(x)=aex--,由/(x)在區(qū)間(1,2)單調遞增可知，當xe(1,2)時，/(%)20恒

X

成立.當a<0時，/,(%)<0,不符合題意.當〃>0時，設/z(x)=ae"-L則〃(尤)=ae">0,

xx

則力(%)在(1,2)單調遞增,所以只需八1)=飄1)=泅—120,解得此eL故選C.

法二：由題意可知/'(x)=aex-工20在區(qū)間(1,2)上恒成立，即XG(1,2).設

x

Xxemax

g(x)=貝|Jg，(x)=(X+1)1〉0在(1,2)上恒成立,所以g(x)在(1,2)上單調遞增，e<xer<2e2,

所以1>」->上，即aNe-,故選C.

exex2e2

7.答案：B

解析：因為當x<3時，/(x)=x,所以/⑴=1,/(2)=2.對于/(%)>/(x—l)+/(x—2),令x=3,

得/(3)>/(2)+/(1)=2+1=3；令尤=4,得/(4)>/(3)+/(2)>3+2=5；依次類推，得

/⑸>/(4)+/⑶>5+3=8；/(6)>/⑸+/(4)>8+5=13；/(7)>/(6)+/⑸>13+8=21；

/(8)>/(7)+/(6)>21+13=34；/(9)>/(8)+/(7)>34+21=55；

/(10)>/(9)+/⑻>55+34=89；/(11)>/(10)+/(9)>89+55=144；

/(12)>/(II)4-/(10)>144+89=233；/(13)>/(12)+/(II)>233+144=377；

/(14)>/(13)+/(12)>377+233=610；/(15)>/(14)+/(13)>610+377=987；.…顯然

/(16)>1000,所以/(20)>1000,故選B.

8.答案：D

解析：設/(xXe)則/'(x)=e1過點5力)可以作曲線的兩條切線，設切點(%,%)，則

r(%)=e4，所以切線方程為丁-6=1。代-0).

將(％,/(%))代入切線方程,得e*-匕-a),即6%(。-M+1)=/2.因為過點(。/)可以作

兩條切線，所以方程砂。(?-/+1)=/?有兩個不相等的實數根.設g(x)=e"(a-x+l),m(x)=b,

則函數g(x)=e*(a-x+l)與m(x)=b的圖象有兩個交點.因為g'(x)=e，(a-x+l)-e*=e*(a-x),

當x<a時，g，(x)>0,函數g(x)單調遞增，當x〉a時，g，(x)<0,函數g(x)單調遞減，所以

g(x)max<g(a)=e"，所以b<e".又當xf—co時，g(x)f0,當時，g(x)f—8,所以

要使兩函數的圖象存在兩個交點，則/?>0.綜上所述，0<Z?<e".故選D.

9.答案：B

解析：因為函數/(x+2)是偶函數，所以/(x+2)=/(r+2),則函數/(%)的圖象關于直線x=2

對稱.因為函數/(2x+l)是奇函數，所以/(—2x+l)=—/(2x+l),則/(-2x+l)+/(2x+l)=0,

即/(x)+/(2-%)=0，所以/⑴=0,且函數/(x)的圖象關于點(1,0)對稱.又

/(尤)=/(4—無)=—〃2—(4—%)]=—/(%-2)，則/(x+2)=—/(%)，所以

/(x+4)=—/(x+2)=f(x),所以/⑴=/(1+4)=7(5)=0.又函數/(x)的圖象關于直線％=2對

稱，所以/(5)=/(4—5)=/(—1)=0,故選B.

10.答案:D

解析：解法一：令y(x)=g(x),BPa(x+1)2-1=cosx+2ax>可得加2+a-l=cosx，

令E(x)=加+。-1，G(x)=cosx>

原題意等價于當Xe(-1,1)時，曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個交點，

注意到b(%),G(x)均為偶函數，可知該交點只能在y軸上，

可得E(0)=G(0)，即a—1=1，解得a=2，

若a=2,令/(犬)=6(尤)，可得2/+i—cosx=0

因為xe(-1,1),則2X220』_COSX20，當且僅當％=0時，等號成立，

可得2d+1-cosxN0，當且僅當％=0時，等號成乂，

則方程2/+i—cosx=0有且僅有一個實根0，即曲線y=為>)與y=G(x)恰有一個交點，

所以a=2符合題意；

綜上所述：a=2.

解法二：/?(%)=/(x)-g(x)=ax2+a-l-cosx,xe(-l,l)>

原題意等價于h(x)有且僅有一個零點，

因為//(一%)=a(—尤)-+a-l-cos(-x)=ax2+a-l—cosx=〃(尤),

則網”為偶函數，

根據偶函數的對稱性可知從力的零點只能為0,

即丸(o)=a-2=0，解得a=2，

若a=2,則/z(x)=2r+1-cos%,；

又因為20，1-cosx?0當且僅當％=0時，等號成立,

可得人(可》0,當且僅當犬=0時，等號成立，

即可可有且僅有一個零點0,所以a=2符合題意；

故選：D.

11.答案：ABC

解析：取x=y=0,貝lJ/(0)=0,故A正確；取x=y=l,則/(1)=/(1)+/(1),所以/(1)=0,

故B正確；取x=y=—l,則/⑴=/(一1)+/(一1),所以/(-1)=0,取y=—1,則

f(-x)=/(x)+f/(-1),所以/(-X)=/(x),所以函數/(%)為偶函數，故C正確；由于/(0)=0,

且函數/(X)為偶函數，所以函數/(X)的圖象關于y軸對稱，所以x=0可能為函數的極小

值點，也可能為函數/(x)的極大值點，也可能不是函數/(x)的極值點，故D不正確.故選ABC.

12.答案：ACD

解析：因為4=20xlg二隨著"的增大而增大，且4,€[60,90],Lp,e[50,60],所以與上心八，

Po

Lp40

所以0—,,故A正確；由4=20xlg上■，得p=PolO現因為4=40,所以小=。010.=10。。0,

Po3

%L"3%”

20

故C正確；假設P2>1OP3,則P0102°>10/2010,所以102。20〉10,所以4「4〉20,不

舞4LP

可能成立，故B不正確；因為竺皿=l°°Po?2。=因+得+22],所以乩<100',故D正確.

p,①

1死1。2。

13.答案：ACD

解析：因為/(x)=(x—1)2(X—4),所以f\x)=2(x-l)(x_4)+(x—1)2=3(x-l)(x—3),令/'(x)=0,

解得x=l或x=3,當x<l或x>3時，/'(x)>0,當l<x<3時，f\x)<0,所以函數/(x)的

單調遞增區(qū)間為(-oo,l),(3,+00),單調遞減區(qū)間為(1,3),故x=l是函數/(x)的極大值點，x=3

是函數/(幻的極小值點，所以A正確.

當0<x<l時，x-x2=x(l-%)>0,即0<%2<%<1,又函數/(x)在(0,1)上單調遞增，所以

/(x2)</(%),所以B錯誤.

當l<x<2時，1<2]—1<3,函數/(x)在(1,3)上單調遞減，所以T=/(3)</(2x—l)〈/⑴=0,

所以C正確.

當時，/(2-X)-/(X)=(2-X-1)2(2-X-4)-(X-1)2(X-4)

=(x—I)2(-x-2)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(-2x+2)=-2(%-l)3>0,所以/(2—x)>/(x)，所以D

正確.

綜上，選ACD.

14.答案：AD

解析：由題可知，f'(x)^6x(x-a).

對于A,當a>l時，由―(左)<0得0<x<a,由尸(x)>0得x<0或x〉。，貝|在(―oo,0)上

單調遞增，在(0,。)上單調遞減，在(a,+8)上單調遞增，且當xf-%時，/(%)--8,/(0)=1,

/(a)=-?3+1<0,當時，/(x)f+8,故/(x)有三個零點，A正確；對于B,當a<0

時，由尸(x)<0得a<%<0,由尸(x)>0得％>0或x<a,則/(x)在(—8,a)上單調遞增，在(a,0)

上單調遞減，在(0,+oo)上單調遞增，故％=0是/(x)的極小值點，B錯誤；

對于C,當xf”時，f(x)+00,當Xf—00時，f(x)-00,故曲線y=/(x)必不存在對

稱軸，C錯誤；

對于D,解法一：/(x)=2x3—3加+1=2(x—--1a2+?令/'=x—會則/(x)可

轉化為g⑺=2/一|。2/+1—[，由y=2/—|//為奇函數，且其圖象關于原點對稱，可知g⑺

(3、(3、

的圖象關于點0,1-—對稱，則/(X)的圖象關于點對稱，故存在a=2,使得點

I2J2)

(1,/⑴)為曲線y=/CO的對稱中心，D正確.故選AD.

解法二:任意三次函數/(x)=?%3+6x2+cx+d(aw0)的圖象均關于點一_Lyf一_上］成中心對

(3al3a))

稱，D正確.故選AD.

15.答案：1

解析：本題考查函數的奇偶性.因為為偶函數，所以〃T)=/(X),所以(1-皿2"+2-，)=0,

由2*+2f*0得a=l.

16.答案：1

2x-l-21nx

解析:本題考查分段函數的概念與單調性.因為〃x)=.所以當時,

l-2x-21nx…4

/(X)單調遞減，/Wmi?=/Q^=21n2；當xe］；,+co)時，尸⑴=2一：=之,］),所以/(x)在［g』)

上單調遞減，在(1收)上單調遞增，所以/(尤焉=/⑴=1.又因為/(1)<,所以當x=l時，/(%)

取得最小值L

17.答案：In2

解析：由題,令/(x)=e，+x,則八x)=e，+l,所以尸(0)=2,所以曲線y=^+兀在點(0,1)處

的切線方程為y=2x+l.令g(x)=ln(x+l)+a,則g，(x)=」一，設直線y=2x+l與曲線y=g(x)

x+1

相切于點(％,%),則一片=2,得/=—；則%=2x0+1=0,所以0=In1―5+1]+“，所以

a=ln2.

18.答案：(0,1)

Ae

解析：/(^)=|e--l|=J-當》>0時，/'(x)=1,r(%)=e*；當x<0時，/(x)=—e"

1—e,x<0.

/'(%)=-爐.因為函數/(X)的圖象在點A,3處的兩條切線互相垂直，所以-e』e*=-l,即

爐+&=1,所以西+々=0.因為A(x，l—e"),3(%,e花—1),所以函數/(幻的圖象在點A,3處

的切線方程分別為=西)，y一心電-l)=e巧(x-x2),分別令1=。，得

〃(0,西爐+1—e甌)，NlO.-x^+e^-1),所以A/后=元;十(卒為『，呂儲=君%芍)之，所以

BN后+(%e*)(-玉)+(-萃-』)1+e11+e

2e2xf1+e2*)+2e2xf1+e2x

g'(x)=---------------------J-------->0,所以函數g(x)在(-8,0)上單調遞增，所以g(x)<l.又

(1+e-2，)

當x-—00時，1+e2A1,l+e-2*f+oo,所以當xf-co時，g(x)-O,所以g(x)e(0,1),

所以黑的取值范圍是(0,1).

BN

19.答案：(1)(e-l)x-y-l=O

(2)(l,^o)

解析：(1)當a=l時,f(x)=ex-x-l,則/(x)=e-1,

則/⑴=e—1.

/(l)=e-2,所以切點坐標為(l,e-2),

所以切線方程為y—(e—2)=(e—l)(x—1),即(e—l)x—y—1=0.

(2)易知函數/(x)的定義域為R,f'(x)=ex-a.

當aW0時，/'(x)>0,函數/(x)在R上單調遞增，無極值；

當a>0時，由f'(x)>0,得x>lna,由f'(x)<0,得x<lna,

所以函數/(x)在區(qū)間(-8,Ina)上單調遞減，在區(qū)間(Ina,+8)上單調遞增，

所以/(x)的極小值為f(lna)^a-a\na-a3.

由題意知a-alna-/<0(a>0),等價于1一Ina-a?<0(a>0).

法一：令g(a)=l-lna-a2(a〉0),

貝！Jg'(a)=------2a<0,

a

所以函數g(a)在(0,+oo)上單調遞減,

又g(l)=0,故當0<a<l時，g(a)>0；當a>l時，g(a)<0.

故實數。的取值范圍為(1,內).

7去—.：由1-Inci-a?<0(a〉0),彳號Ina〉-a~+l(a〉0).

如圖為函數y=lna與y=-Y+i在區(qū)間Q+OO)上的大致圖象,

由圖易知當a>l時，lna>-a2+i,gpl-ln?-?2<0.

所以實數a的取值范圍為(1,y).

20.答案：(1)當aWO時，函數/(x)在(—,+?))上單調遞減；

當a>0時，函數/(x)在(T?,-Ina)上單調遞減，在(-lna,+oo)上單調遞增

(2)證明見解析

解析：⑴/(x)=ae'-l,

當aWO時，f'(x)<0,

所以函數在(—,+?))上單調遞減；

當a>0時，令/(左)>0,得x>-lna,令尸(x)<0,得x<-lna,

所以函數/(%)在(―,-Ina)上單調遞減，在(-Ina,+?))上單調遞增.

綜上可得：當aWO時，函數/(x)在(-8,+oo)上單調遞減；

當a>0時，函數/(x)在(-co,-Ina)上單調遞減，在(-Ina,+oo)上單調遞增.

(2)由(1)得當a＞。時，函數/(%)=+〃)-％的最小值為

f(-]na)=a(^e~ina+tz)+lntz=l+6z2+lntz,

31

g(a)=1+a"+Ina-2Ina—=ct—Intz—,ae(0,+oo),

_1J?

所以g'(a)=2a—,令g'(a)>0,^a>――；令g'(a)<0,得0<a<-

a22

(0

所以函數g(a)在0,半上單調遞減，在,+oo上單調遞增,

I2))

所以函數g(a)的最小值為g-In-—=InV2>0,

22

3

所以當。＞0時，/(x)〉21na+,成立.

21.答案：(1)當xe(7,0)時，/(x)單調遞減;

當xe(0,+8)時，/(%)單調遞增

1

(2)—oo—

2

(3)證明見解析

解析：(1)當a=l時，/(x)=xex-e"1=(x-l)er,所以/'(x)=xe1

當xe(-8,0)時，/'(幻＜0,/(幻單調遞減;

當xe(0,+8)時，/。)＞0,/(幻單調遞增.

(2)4*g(x)=/(x)+1=xeax-ex+l(x>0),則/(x)<-l對Vx>0恒成立等價于g(x)<g(0)=0

對Vx>0恒成立.

因為8'0)=/+以y-e"，所以g，(0)=0.

令h(x)=g'(x),貝I]h'(x)=aem+a(ex+axeca)-er=?(2eOT+axeca)-e\貝U〃(0)=2a—1.

①若〃(0)=2a—1>0,即a〉L,貝U"(0)=limg(」)一g(0)=lim>0,

2x-0%f0+x

所以m%〉0,使得當工?0,須)時，有固地>0,即g'(x)>0,

X

所以g(x)單調遞增,所以g(%)>g(O)=O,矛盾.

②若〃(0)=2a—1<0,BPa<-,

2

[■、-x+ln(l+ix)-x+-x

則/(%)=*+。疣"—^=產+叭1+岡—^?622-ex<e22—e'=0,

所以g(x)在(0,+8)上單調遞減，所以g(x)<g(O)=O,符合題意.

綜上所述，實數。的取值范圍是卜陶;

(3)證明：令s(x)=x-工一21nx,x>l,貝1Js.x)=]+士一2=°,)〉0.

XXXX

所以s(x)在(1,+O0)上單調遞增.所以s(x)>5(1)=0,BPx-->21nx.

X

令x=—，則-----1—，

VnVn/+￡Vn

Vn

即/1>In〃+1

Jn2+nn

rr-Kj111]23〃+l

所以/i/>In—+In—++ln-----

#+1^22+2而+n12n

=ln+|x*號卜….

故一/H—/+H—/>ln(〃+1).

4+i722+2y/n2+n

22.答案：(1)-2

(2)證明見解析

2

(3)----,+00

3

解析：(1)/(%)的定義域為(0,2),

若〃=0,貝>J/(x)=ln=^-+奴，f'(x)=—~工)：^+a=——----\-a,

2-xx(2-x)2x(2—x)

當％￡(0,2)時,x(2-x)e(0,l],/'(%).=2+〃20,貝！1〃之一2,

故a的最小值為-2.

2—v

(2)/(2-x)=ln------+Q(2-犬)+僅1一%)3

x

Xa

——In--------ax—b(x—1)+2a

2-x

=-/(x)+2a,

故曲線y=/(%)關于點(1,?)中心對稱.

(3)由題知f(l)—a——2,

止匕時/(x)=ln^----2x+b(x-I)3,

2-x

r(x)==?-2+3b(x-I)2

x(2-x)

2

------------2+36(1)29

x(2-x)

=d)2---+3b.

x(2-x)

2

記g(x)=---------+3b,xe(0,2),易知g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,2)上單調遞增,

x(2-x)

g⑴=2+36,

7

當62—4時,g(x)>0,f'(x)>0,/(x)在(0,2)上單調遞增,

3

又/⑴=一2,故符合題意.

72。7-3bx2+6bx+2

當6<—4時,g⑴<0，g(x)=-----+38=-------------------

3x(2-x)x(2-x)

得I土卜本