2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：相似三角形及其應(yīng)用(含答案)

2021中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：相似三角形及其應(yīng)用

一'選擇題

1.如圖，在中，D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，DE//BC,若AD=2,

AB=3,DE=4,則3c等于（）

A.5B.6D.8

2.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則下列圖形中的三角形（陰影部分）與

△AiBiCi相似的是

3.如圖所示，P是菱形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P垂直于AC的直線交

菱形ABCD的邊于M、N兩點(diǎn)，設(shè)AC=2,BD=1,AP=x,ZkAMN的面積為

y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀是（）

4.如圖①，長(zhǎng)、寬均為3,高為8的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有

水，水面高為6,繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖②

是此時(shí)的示意圖，則圖②中水面高度為（）

容器口邊緣

水面高度

5.如圖，弦CD垂直于。。的直徑AB,垂足為H,.且CD=2^2,BD=43,則

AB的長(zhǎng)為（）

C

0

A.2B.3C.4D.5

6.（2019?賀州）如圖，在ZVIBC中，D,E分別是AC邊上的點(diǎn)，DE//BC,

若AD=2,A8=3,DE=4,則8c等十

BC

A.5B.6

C.7D.8

7.（2019?巴中）如圖，ABCD,尸為89中點(diǎn),延長(zhǎng)AD至E,使DE：AD=1：3,

連接EF交DC于點(diǎn)G,則S"EG:SACFC=

E

-7c

J--lF

A.2：3B.3：2

C.9：4D.4：9

8.（2019?沈陽(yáng)）已知△ABCs△ABC,AD和AD是它們的對(duì)應(yīng)中線，若AD=10,

A'D'=6,則△ABC與△A5。的周長(zhǎng)比是

A.3：5B.9：25

C.5：3D.25：9

9.（2019?貴港）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。，E分別在A3,AC邊上，DE//BC,

ZACD=ZB,若AD=25￡>,BC=6,則線段CD的長(zhǎng)為

B.3行

D.5

10.（2019?重慶）下列命題是真命題的是

A.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為2：3

B.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為4：9

C.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個(gè)三角形的面積比為2：3

D.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個(gè)三角形的面積比為4：9

二、填空題

11.如圖，在AABC中，DE//BC,3歹平分NA3C,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E若

AD=1,BD=2,BC=4,則ER=.

12.（2019?臺(tái)州）如圖,直線A,B,C分別為直線4，6，4上的動(dòng)點(diǎn),

連接AB,BC,AC,線段AC交直線乙于點(diǎn)￡>.設(shè)直線4,4之間的距離為機(jī),

m3

直線4，4之間的距離為"，若NABC=90。，BD=4,且一=大，則加+〃的最

n2

大值為_________

13.（2019?瀘州）如圖，在等腰RtZkABC中，NC=90。，AC=15,點(diǎn)石在邊CB上,

CE=2ES,點(diǎn)。在邊AB上，CDA.AE,垂足為尸，則AD長(zhǎng)為.

14.如圖，在Rt2\A3C中，NA4c=90。，AB=15,AC=20,點(diǎn)。在邊AC上,

AD=5,DELBC于點(diǎn)E,連接AE,則△ABE的面積等于.

15.（2019?伊春）一張直角三角形紙片ABC,ZACB=9Q°,AB=10,AC=6,點(diǎn)

。為BC邊上的任一點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)。的直線折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊上的

點(diǎn)E處，當(dāng)△6DE是直角三角形時(shí)，則CD的長(zhǎng)為.

16.（2019?遼陽(yáng)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊50,C。分別在％軸,

》軸上，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-8,6）,點(diǎn)p在矩形ABOC的內(nèi)部，點(diǎn)E在80邊上，滿

足乙PBEs^CBO,當(dāng)"q。是等腰三角形時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為.

三'解答題

17.(2019?廣東)如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是邊A3上的一點(diǎn).

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在ZVIBC內(nèi)，求作/4DE,使44DE=ZB,。石交AC于E；

(不要求寫作法，保留作圖痕跡)

AnAp

(2)在(1)的條件下，若蕓=2,求黑的值.

DBEC

18.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,CDLAB于點(diǎn)D點(diǎn)尸

從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段C4向點(diǎn)A運(yùn)

動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都

停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為。秒.

⑴①求線段CD的長(zhǎng)；

②求證：△CBDsAABC；

(2)設(shè)△CPQ的面積為S,求S與/之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

(3)是否存在某一時(shí)刻3使得△CPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條

件的/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.如圖，在中，ZC=90°,ZA=6Q°,AC=2cm.長(zhǎng)為1cm的線段MN

在△ABC的邊A3上沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)”與點(diǎn)A

重合).過(guò)M,N分別作A3的垂線交直角邊于P,Q兩點(diǎn)，線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

為fs.

(1)若4AMP的面積為y,寫出y與/的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量t的取值范圍)，

并求出y的最大值；

⑵在線段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形MAQP有可能成為矩形嗎？若有可能，求出

此時(shí)/的值；若不可能，說(shuō)明理由；

(3?為何值時(shí)，以C,P,。為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似？

20.已知：在等邊△ABC中，D、E分別是AC、3c上的點(diǎn)，且NBAE=/CBD

<60°,DH±AB,垂足為點(diǎn)H.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。、E分別在邊AC、3c上時(shí)，求證：△ABE2ABCD；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。、E分別在AC、C3延長(zhǎng)線上時(shí)，探究線段AC、AH、BE的

數(shù)量關(guān)系；

(3)在(2)的條件下，如圖③，作EK〃3。交射線AC于點(diǎn)K,連接HK,交BC于

點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)P,當(dāng)AC=6,3E=2時(shí)，求線段3P的長(zhǎng).

1,

21.如圖，已知△ABCS^AIBICI,相似比為網(wǎng)上>1),且AABC的三邊長(zhǎng)分別

為a、b、c(a>b>c),AAiBiCi的三邊長(zhǎng)分別為ai、bi、ci.

⑴若c=ai,求證：a=kc；

(2)若c=ai,試給出符合條件的一對(duì)AABC和△A1B1C1,使得a、b、c和ai、bi、

ci都是正整數(shù)，并加以說(shuō)明；

(3)若b=ai,c=bi,是否存在AABC和△A1B1C1使得左=2?請(qǐng)說(shuō)明理由.

2021中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：相似三角形及其應(yīng)用

-答案

一'選擇題

1.【答案】B［^］'：DE//BC,

：./^ADE^AABC,

.?.三=絲，即三士L,解得3c=6,故選B.

ADnr>nr

2.【答案】B［解析］根據(jù)勾股定理分別表示出已知三角形的各邊長(zhǎng)，同理利用勾

股定理表示出四個(gè)選項(xiàng)中陰影三角形的各邊長(zhǎng)，利用三邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三

角形相似可得結(jié)果，△4BC1各邊長(zhǎng)分別為1,遮，Vs-選項(xiàng)A中陰影三角形

三邊長(zhǎng)分別為:近，VS-3,三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形

不相似;選項(xiàng)B中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為2,yfiQ,三邊與已知三角形的

各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形相似;選項(xiàng)C中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為:1,6,

2、日，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似;選項(xiàng)D中陰影

三角形三邊長(zhǎng)分別為:2,石，V13-三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩

三角形不相似，故選B.

3.【答案】C【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、函數(shù)的圖象和

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).解題思路:設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O,由于點(diǎn)P是菱形ABCD

AP

的對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，所以.當(dāng)時(shí)，△

AC0<x<20<x<lAMNs^ABDn—AU=

噤［=：=耳［MN=xny=1x2.此二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是x=0,

D\J11z

此時(shí)y隨x的增大而增大.所以B和D均不符合條件.當(dāng)l〈x<2時(shí)，aCMN

CPMN2-xMN11

A?0~j-今MN=2—?x=y=/(2—x)=1］x92+x.止匕一次

函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸是x=l,止匕時(shí)y隨x的增大而減小.所以A不符

合條件.綜上所述，只有C是符合條件的.

4.【答案】A［解析］如圖所示.設(shè)則CM=8-x,

根據(jù)題意得:;(8-x+8)x3x3=3x3x6,解得x=4,：.DM=4.

D

水面高度

ZD=90°.AH

??.由勾股定理得：

BM=XBD--DM-=\4--3-=5.

過(guò)點(diǎn)B作水平桌面于H,"：ZHBA+ZABM=ZABM+ZDBM=90°,

：.ZHBA=ZDBM,

'：ZAHB=ZD=90°,

.MABHsAMBD,：網(wǎng)匹,即也衛(wèi)，解得BH=三,即水面高度為勁.

AM■CC￡

5.【答案】B【解析】由垂徑定理可得DH=g,所以BH=NBD2—DH2=1,

又可得△DHBS^ADB,所以有BD2=BHBA,（?。?=1XBA,AB=3.

6.【答案】B

【解析】,：DE//BC,：.AADE^AABC,

**?-=――>即解得：BC=6,故選B.

ADnC3nC

7.【答案】D

【解析】設(shè)。E=X,VDE：AD=1：3,/.AD=3x,

???四邊形A3CD是平行四邊形，/.AD//BC,BC^AD^3x,

13

:點(diǎn)口是3C的中點(diǎn)，：.CF=-BC=-x,

22

*.*AD//BC,：.ADEG^ACFG,

.?.^^=（"）2=（二）2=±,故選D.

SMFGCF39

2

8.【答案】C

【解析】VAABC^AA'B'C,AD和A。是它們的對(duì)應(yīng)中線，AD=10,A'D'=6,

.?.△ABC與△A5c的周長(zhǎng)比=公。：A'D'=1Q：6=5：3.故選C.

9.【答案】C

【解析】設(shè)AD=2x,BD=x,AB=3x,

DE//BC,：.AADE^AABC,

.DEAD_AE.DE_2x

"BC~AB~AC''*6―3x

AE_2

DE=4

AC-3

VZACD^ZB,ZADE=ZB,：.ZADE=ZACD,

'：ZA=ZA,：.AADE^AACD,

.ADAEDE

''~AC~^D~~CD，

設(shè)AE=2y,AC=3y,——=—,

3yAD

l2y4「

AD=76y,CD=2A/6,

故選C.

10.【答案】B

【解析】A、如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比

為4：9,是假命題；

B、如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為4：9,

是真命題；

C、如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個(gè)三角形的面積比為16：81,

是假命題；

D、如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4：9,那么這兩個(gè)三角形的面積比為16：81,

是假命題，

故選B.

二'填空題

11.【答案】三[i？tff]VDE//BC,AD=1,BD=2,BC=4,A-=即乙=竺，解

s否or工▲

得:DE=±

■:BF平分NABC,ZABF=ZFBC,

又,：DE//B3：.ZFBC=ZF,

：.ZABF=ZF,：.BD=DF=2,

,:DF=DE+EF,：.EF=2--=^.

2a

故答案為：L

25

12.【答案】—

3

【解析】如圖，過(guò)3作于E,延長(zhǎng)EB交4于P，過(guò)A作⑷V，/2于N,過(guò)

。作CM，/?于V，

設(shè)AE=x,CF=y,BN=x,BM=y,

VBD=4,：.DM^y-4,DN=4-x,

,：ZABC=ZAEB=ZBFC^ZCMD=ZAND=90°,

：.ZEAB+ZABE=ZABE+ZCBF=90°,

ZEAB=ZCBF,AABEsABFC,

AEBExm

..——=——，即nn—=—,/.xy=mn,

BFCFny

ZADN=ZCDM,：.△CMDAAND,

.AN_DNm_4-x_2

"'~CM~~DMf艮n~y-4^3)

3

y=—x+10,

2

..〃z_2._3

?———,??〃=-777,

n32

?.。"+")最大=-m,

..當(dāng)加最大時(shí)，(加+〃)最大=5機(jī)，

333

mn-xy=%(--%+10)+10x=—m2,

.止—10_10,503

..當(dāng)x=_]-----可時(shí)，nnm最大

._12

??m最大—，

???加+〃的最大值為5:x1g0=q25.故答案為：25

13.【答案】9&

【解析】如圖，過(guò)。作￡發(fā)，47于〃，則NAHD=90。,

：在等腰Rt/XABC中，ZC=90°,AC=15,

/.AC=BC=15,ZC4Z)=45°,

/.ZADH=9Q°-ZCAD=45°=ZCAD,

：.AH=DH,

：.CH=AC-AH=15-DH,

VCF±AE,：.ZDHA=ZDFA=90°,

又,?ZANH=ZDNF,：.ZHAF=NHDF,

.人.DHCH

..AACE^AADHC,..——=——，

ACCE

?；CE=2EB,CE+BE=BC=15,：.CE=10,

.DH15-DH

??二,

1510

/.DH=9,

AD=y/AH2+DH^=9A/2?故答案為：9A/2?

14.【答案】78【解析】如解圖，過(guò)A作AHLBC,：AB=15,AC=20,ZBAC

=90°,.?.由勾股定理得，Be-/，+勾2=25,VAD=5,/.DC=20-5=15,

VDE±BC,ZBAC=90°,ACDE^ACBA,，方7=工，/.CE=7^x20=12.

CACr>ZJ

法一：BCAH=ABAC,AH="瀘=豆轡=12,SAABE=1X12X13=78.

DCZDZ

法二：DE=.152—122=9,由△CDEs^CAH可得，/.AH=^|^=

12,ABE=1X12X13=78.

15.【答案】3或一

7

【解析】分兩種情況：

①若ZDEB=90。，則ZAED=90o=NC,CD=ED,

連接AD,則Rt-CD/RtZkEAD,

/.AE=AC=6,BE=10-6=4,

設(shè)CD=DE=x,則50=8—x,

,.?RtZkBDE中，DE2+BE2=BD\Ax2+42=(8-x)2,

解得x=3,ACD=3；

②若ZBDE=90。,則NCDE=ZDEF=NC=90°,CD=DE,

??.四邊形COM是正方形，：.ZAFE=NEDB=90°,ZAEF=ZB,

..AFEF

..AAAEF^AAEBD,??-=—

EDBD

設(shè)C￡)=x,則==AF=6-x,5￡>=8—x,

.6-x_x,_2424

,.---=----,解得g-V=T_-,??CD=—

x8-x77

2424

綜上所述，。的長(zhǎng)為3或〒故答案為：3或亍

16.【答案】(—或(―4,3)

【解析】???點(diǎn)P在矩形ABOC的內(nèi)部，且"PC是等腰三角形，

/.尸點(diǎn)在AC的垂直平分線上或在以點(diǎn)C為圓心AC為半徑的圓弧上；

①當(dāng)尸點(diǎn)在AC的垂直平分線上時(shí)，點(diǎn)尸同時(shí)在上，AC的垂直平分線與80

的交點(diǎn)即是E,如圖1所示，

VPELBO,COA.BO,

：.PE//CO,

：.APBEs△CBO,

：四邊形AB0C是矩形，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-8,6),

??.點(diǎn)尸橫坐標(biāo)為-4,。。=6,50=8,BE=4,

APBEsACBO,

??一,日|」一,

COB068

解得：PE=3,

.?.點(diǎn)P(-4,3).

②P點(diǎn)在以點(diǎn)C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與的交點(diǎn)為P,

過(guò)點(diǎn)尸作尸50于E,如圖2所示，

圖2

■:CO工BO,：.PE//CO,

：.APBEsACBO,

???四邊形ABOC是矩形，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-8,6),

AAC=BO=8,CP=8,AB=OC=6,

?*,BC=BO2+OC~=Vs2+62=10)**,BP=2,

,/△尸BEs叢CBO,

PEBEBPPEBE2

..布二法=法’即Hn：V=T=w)

解得：PE=g,BE=*,

.S8-里必，

55

???點(diǎn)尸(一三1)，

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(-H)或(-4,3),

故答案為：或(-4,3).

三'解答題

17.【答案】

(1)如圖所示:

(2)ZADE=ZB,

DE//BC.

AEADc

--------=............-/

ECDB,

18.【答案】

(1)①解：VZACB=90°,AC=8,BC=6,

：.AB=10,

'：CD±AB,

SAABC=^BCAC=^AB-CD,

.BCAC6x824

??3—AB-10一了，

???線段CD的長(zhǎng)為2日4；

②證明：；NB=NB,ZCDB=ZBCA=90°,

/.△CBD^AABC；

(2)解：如解圖②，過(guò)點(diǎn)尸作尸HLAC,垂足為H,

由題可知CQ=t,

則CP==^-t,

,：ZACB=ZCDB=90°,

：.ZHCP=9Q°~ZDCB=ZB,

'JPHLAC,

：.ZCHP=90°,

：.ZCHP=ZACB,

.?.△CHPsdBCA,

.PHPC

""AC=BA,

24

.ST-'

810

11964

S=]CQ-PH=亍.一亨)=

288

125,

--<0,

5

???當(dāng)/=年時(shí)，s最大=卷;

八、七公12-14.4—24

（3）存在，。=弓~或與-或五?

【解法提示】①若CQ=CP,如解圖①，則片三一力解得：仁羊；②若尸Q=

5。

PC,如解圖②所示.,:PQ=PC,PHLQC,：.QH=CH=^QC=

L24_

f「HCP2t144

2.VACHP-ABCA.-*?6=-解得-骨；③若QC=QP,如

2424

解圖③，過(guò)點(diǎn)。作QELCP,垂足為E,同理可得：/=曾.綜上所述：當(dāng)/為三

秒或行■秒或1T秒時(shí)'△CPQ為等腰三角形.

19.【答案】

⑴當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，

\"AM=t,PM=AM-tan600=\[3t,

1、八

?*.y=于?5t=￥?（0（二1）,

,也

當(dāng)t=1時(shí)，y最大=2；

當(dāng)點(diǎn)尸在3C上時(shí)，PM=BM-

tan30。=掌4—。，

.??y=%￥（4—/）=一乎尸+羋片一乎?！?）2+辛（1<<3）,

當(dāng)t=2s時(shí)，y最大=,

綜上所述，

M，o</<i

|V3,2^3'

—91<?<3

?*?當(dāng)t=2s時(shí)，y最大=g；

(2)'：AC=2,：.AB=4,：.BN=AB-AM-MN=4-t~l=3-t.

J3

QN=BN-tan30°=掌3—t),

由題知，若要四邊形MNQP為矩形，需PM=QN,且P,Q分別在AC,BC上,

即小/=乎(3—7),??"=/

3

??.當(dāng)/=取時(shí)，四邊形MNQP為矩形.

3

(3)由(2)知，當(dāng)/=^s時(shí)，

四邊形MAQ尸為矩形，止匕時(shí)尸?！ˋ3,

.".APQC^AABC,

除此之外，當(dāng)NCPQ=NB=30。時(shí)，

△QPC^AABC,此時(shí)晉=tan3(r=坐，

*/^^=cos60。=],.\AP=2AM=2t,

：.CP=2-2t,

..BN_ac?！?—BN2.

?BQ—cos30—2，??BQ——(3-0，

2

又BC=2小,，CQ=24-卒(3-尸邛^,

2y[3t

??,^^二卓解得出，

.,.當(dāng)f=；s或右時(shí)，以C,P,。為頂點(diǎn)的三角