2025年山東省泰安市中考數(shù)學模擬試卷（二）

2025年山東省泰安市中考數(shù)學模擬試卷（二）一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）1．（3分）下列各式，運算結(jié)果為負數(shù)的是（）A．﹣（﹣2）﹣（﹣3） B．（﹣2）×（﹣3） C．（﹣2）﹣2 D．（﹣3）﹣32．（3分）光的傳播速度約為300000km/s，太陽光照射到地球上大約需要500s，則太陽到地球的距離用科學記數(shù)法可表示為（）A．15×107km B．1.5×109km C．1.5×108km D．15×108km3．（3分）拋物線y=﹣2x2+8x﹣1的頂點坐標為（）A．（﹣2，7） B．（﹣2，﹣25） C．（2，7） D．（2，﹣9）4．（3分）如圖，⊙O的半徑為1，AB是⊙O的一條弦，且AB=，則弦AB所對圓周角的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°5．（3分）若2x=3，4y=5，則2x﹣2y的值為（）A． B．﹣2 C． D．6．（3分）如圖，是一個工件的三視圖，則此工件的全面積是（）A．85πcm2 B．90πcm2 C．155πcm2 D．165πcm27．（3分）如圖，△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若BC=6，則DF的長是（）A．2 B．3 C． D．48．（3分）某服裝加工廠計劃加工400套運動服，在加工完160套后，采用了新技術(shù)，工作效率比原計劃提高了20%，結(jié)果共用了18天完成全部任務(wù)．設(shè)原計劃每天加工x套運動服，根據(jù)題意可列方程為（）A． B．C． D．9．（3分）在一次夏令營活動中，小亮從位于A點的營地出發(fā)，沿北偏東60°方向走了5km到達B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到達C地，測得A地在C地南偏西30°方向，則A、C兩地的距離為（）A．km B．km C．km D．km10．（3分）某校為了了解七年級學生的身高情況（單位：cm，精確到1cm），抽查了部分學生，將所得數(shù)據(jù)處理后分成七組（每組只含最低值，不含最高值），并制成下列兩個圖表（部分）：分組一二三四五六七104﹣145145﹣150150﹣155155﹣160160﹣165165﹣170170﹣175人數(shù)612264根據(jù)以上信息可知，樣本的中位數(shù)落在（）A．第二組 B．第三組 C．第四組 D．第五組11．（3分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊的中線，∠ADC=30°，將△ADC沿AD折疊，使C點落在C′的位置，若BC=4，則BC′的長為（）A． B． C．4 D．312．（3分）如圖，雙曲線y=（k＞0）經(jīng)過矩形OABC的邊BC的中點E，交AB于點D．若梯形ODBC的面積為3，則雙曲線的解析式為（）A． B． C． D．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）13．（3分）化簡：的結(jié)果為．14．（3分）關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+（2k+1）x+2﹣k2=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是．15．（3分）已知y是x的一次函數(shù)，下表給出了部分對應(yīng)值，則m的值是．x﹣125y5﹣1m16．（3分）如圖1是某公司的圖標，它是由一個扇環(huán)形和圓組成，其設(shè)計方法如圖2所示，ABCD是正方形，⊙O是該正方形的內(nèi)切圓，E為切點，以B為圓心，分別以BA、BE為半徑畫扇形，得到如圖所示的扇環(huán)形，圖1中的圓與扇環(huán)的面積比為．17．（3分）如圖所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是線段BC上一點（P不與B重合），M是DB上一點，且BP=DM，設(shè)BP=x，△MBP的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．18．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中線OC將△COA折疊，使點A落在點D處，若CD恰好與MB垂直，則tanA的值為．19．（3分）如圖所示，△A′B′C′是由△ABC向右平移5個單位長度，然后繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的（其中A′、B′、C′的對應(yīng)點分別是A、B、C），點A′的坐標是（4，4）點B′的坐標是（1，1），則點A的坐標是．三、解答題（共7小題，滿分63分）20．（7分）先化簡、再求值：﹣a﹣2），其中a=﹣3．21．（7分）如圖1，A、B兩個轉(zhuǎn)盤分別被分成三個、四個相同的扇形，分別轉(zhuǎn)動A盤、B盤各一次（若指針恰好指在分割線上，則重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個數(shù)字為止）．（1）用列表（或畫樹狀圖）的方法，求兩個指針所指的區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于7的概率；（2）如果將圖1中的轉(zhuǎn)盤改為圖2，其余不變，求兩個指針所指區(qū)域的數(shù)字之和大于7的概率．22．（9分）將一個量角器和一個含30度角的直角三角板如圖（1）放置，圖（2）是由它抽象出的幾何圖形，其中點B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點F，且BC=OD．（1）求證：DB∥CF；（2）當OD=2時，若以O(shè)、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，求OB．23．（10分）某旅游商品經(jīng)銷店欲購進A、B兩種紀念品，若用380元購進A種紀念品7件，B種紀念品8件；也可以用380元購進A種紀念品10件，B種紀念品6件．（1）求A、B兩種紀念品的進價分別為多少？（2）若該商店每銷售1件A種紀念品可獲利5元，每銷售1件B種紀念品可獲利7元，該商店準備用不超過900元購進A、B兩種紀念品40件，且這兩種紀念品全部售出時總獲利不低于216元，問應(yīng)該怎樣進貨，才能使總獲利最大，最大為多少？24．（10分）如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F．（1）求證：FD2=FB?FC；（2）若G是BC的中點，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由．25．（10分）如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，過點A的直線+m與x軸交于點E．（1）求點E的坐標；（2）求過A、O、E三點的拋物線解析式；（3）若點P是（2）中求出的拋物線AE段上一動點（不與A、E重合），設(shè)四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值．26．（10分）如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中點，CE⊥BD．（1）求證：BE=AD；（2）求證：AC是線段ED的垂直平分線；（3）△DBC是等腰三角形嗎？并說明理由．

參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）1．（3分）下列各式，運算結(jié)果為負數(shù)的是（）A．﹣（﹣2）﹣（﹣3） B．（﹣2）×（﹣3） C．（﹣2）﹣2 D．（﹣3）﹣3【分析】先計算各選項，再根據(jù)負數(shù)的定義判斷．【解答】解：∵A、原式=5，B、原式=6，C、原式=，D、原式=．故選：D．【點評】注意負數(shù)的奇次冪仍是負數(shù)．2．（3分）光的傳播速度約為300000km/s，太陽光照射到地球上大約需要500s，則太陽到地球的距離用科學記數(shù)法可表示為（）A．15×107km B．1.5×109km C．1.5×108km D．15×108km【分析】本題考查學生對科學記數(shù)法的掌握和對題意的理解．科學記數(shù)法要求前面的部分是大于或等于1，而小于10，小數(shù)點向左移動8位，應(yīng)該為1.5×108．【解答】解：依題意得：太陽到地球的距離=300000×500=150000000=1.5×108km．故選C．【點評】科學記數(shù)法就是將一個數(shù)字表示成（a×10的n次冪的形式），其中1≤a＜10，n表示整數(shù)，n為整數(shù)位數(shù)減1，即從左邊第一位開始，在首位非零的后面加上小數(shù)點，再乘以10的n次冪．3．（3分）拋物線y=﹣2x2+8x﹣1的頂點坐標為（）A．（﹣2，7） B．（﹣2，﹣25） C．（2，7） D．（2，﹣9）【分析】代入頂點坐標公式，或用配方法將拋物線解析式寫成頂點式，確定頂點坐標．【解答】解：∵y=﹣2x2+8x﹣1=﹣2（x﹣2）2+7，∴頂點坐標為（2，7）．故選C．【點評】要求學生熟記頂點坐標公式或者配方法的解題思路．4．（3分）如圖，⊙O的半徑為1，AB是⊙O的一條弦，且AB=，則弦AB所對圓周角的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【分析】連接OA、OB，過O作AB的垂線，通過解直角三角形，易得出∠AOB的度數(shù)；由于弦AB所對的弧有兩段：一段是優(yōu)弧，一段是劣??；所以弦AB所對的圓周角也有兩個，因此要分類求解．【解答】解：如圖，連接OA、OB，過O作AB的垂線；在Rt△OAC中，OA=1，AC=；∴∠AOC=60°，∠AOB=120°；∴∠D=∠AOB=60°；∵四邊形ADBE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AEB=180°﹣∠D=120°；因此弦AB所對的圓周角有兩個：60°或120°；故選：D．【點評】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；注意：弦AB所對圓周角有兩個，不要漏解．5．（3分）若2x=3，4y=5，則2x﹣2y的值為（）A． B．﹣2 C． D．【分析】利用同底數(shù)冪除法的逆運算法則計算即可．【解答】解：∵2x=3，4y=5，∴2x﹣2y=2x÷22y，=2x÷4y，=3÷5，=0.6．故選：A．【點評】本題主要考查了同底數(shù)的冪的除法運算法則，是把運算法則逆用．6．（3分）如圖，是一個工件的三視圖，則此工件的全面積是（）A．85πcm2 B．90πcm2 C．155πcm2 D．165πcm2【分析】如圖，首先得知這個幾何體為一個圓錐，然后根據(jù)題意得出它的半徑，高以及母線長，繼而球出它的表面積．【解答】解：由圖可知這個幾何體是個圓錐，且它的底面圓的半徑是5cm，高12cm，母線長=13cm，它的表面積=側(cè)面積+底面積=π×5×13+π×5×5=90πcm2．故選：B．【點評】可先根據(jù)三視圖確定這個幾何體的形狀，然后根據(jù)其表面積計算方法進行計算．7．（3分）如圖，△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若BC=6，則DF的長是（）A．2 B．3 C． D．4【分析】利用中位線定理，得到DE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠EDC=∠ABC，再利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角外角的關(guān)系，得到DF=DB，進而求出DF的長．【解答】解：在△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點∴DE∥AB∴∠EDC=∠ABC∵BF平分∠ABC∴∠EDC=2∠FBD在△BDF中，∠EDC=∠FBD+∠BFD∴∠DBF=∠DFB∴FD=BD=BC=×6=3．故選：B．【點評】三角形的中位線平行于第三邊，當出現(xiàn)角平分線，平行線時，一般可構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．8．（3分）某服裝加工廠計劃加工400套運動服，在加工完160套后，采用了新技術(shù)，工作效率比原計劃提高了20%，結(jié)果共用了18天完成全部任務(wù)．設(shè)原計劃每天加工x套運動服，根據(jù)題意可列方程為（）A． B．C． D．【分析】關(guān)鍵描述語為：“共用了18天完成任務(wù)”；等量關(guān)系為：采用新技術(shù)前用的時間+采用新技術(shù)后所用的時間=18．【解答】解：采用新技術(shù)前用的時間可表示為：天，采用新技術(shù)后所用的時間可表示為：天．方程可表示為：．故選：B．【點評】列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟在于找相等關(guān)系．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．本題要注意采用新技術(shù)前后工作量和工作效率的變化．9．（3分）在一次夏令營活動中，小亮從位于A點的營地出發(fā)，沿北偏東60°方向走了5km到達B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到達C地，測得A地在C地南偏西30°方向，則A、C兩地的距離為（）A．km B．km C．km D．km【分析】根據(jù)已知作圖，由已知可得到△ABC是直角三角形，從而根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC的長．【解答】解：如圖．由題意可知，AB=5km，∠2=30°，∠EAB=60°，∠3=30°．∵EF∥PQ，∴∠1=∠EAB=60°又∵∠2=30°，∴∠ABC=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣60°﹣30°=90°．∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4=∠2=30°．∴∠ACB=∠4+∠3=30°+30°=60°．∴AC===（km）．故選：A．【點評】本題是方向角問題在實際生活中的運用，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形利用解直角三角形的相關(guān)知識解答．10．（3分）某校為了了解七年級學生的身高情況（單位：cm，精確到1cm），抽查了部分學生，將所得數(shù)據(jù)處理后分成七組（每組只含最低值，不含最高值），并制成下列兩個圖表（部分）：分組一二三四五六七104﹣145145﹣150150﹣155155﹣160160﹣165165﹣170170﹣175人數(shù)612264根據(jù)以上信息可知，樣本的中位數(shù)落在（）A．第二組 B．第三組 C．第四組 D．第五組【分析】從表格和扇形圖上可知第二組的12人占了總數(shù)的12%，從而求出第三組人數(shù)；第五組為24人，第六組為10人，中位數(shù)應(yīng)該是第50和51個數(shù)的平均數(shù)，從表格可知第50和51個數(shù)落在第四組中．【解答】解：總數(shù)為12÷12%=100人，第三組人數(shù)為100×18%=18人，中位數(shù)應(yīng)該是第50和51個數(shù)的平均數(shù)，從表格可知第50和51個數(shù)落在第四組中．故選：C．【點評】本題考查的是表格和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂表格和統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。酥?，本題也考查了對中位數(shù)的認識．11．（3分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊的中線，∠ADC=30°，將△ADC沿AD折疊，使C點落在C′的位置，若BC=4，則BC′的長為（）A． B． C．4 D．3【分析】根據(jù)已知條件和圖形折疊的性質(zhì)可得：∠BDC=180°﹣2×30°=120°，BD=DC=DC'=2．解三角形BC′D求解．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC=BC=2，∠ADC=30°，∴∠C′DA=∠ADC=30°∴∠BDC′=120°，BD=DC'=2，∴∠DBC′=∠BC′D=30°，過點D作DE⊥BC′于E，∴DE=BD=1，∴BE==∴BC′=2BE=2．故選：A．【點評】主要考查了圖形的翻折變換和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)．12．（3分）如圖，雙曲線y=（k＞0）經(jīng)過矩形OABC的邊BC的中點E，交AB于點D．若梯形ODBC的面積為3，則雙曲線的解析式為（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)圖形之間的關(guān)系可知S△OAD=S△OEC=S矩形OABC，則可求得△OCE的面積，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可求解．【解答】解：∵雙曲線y=（k＞0）經(jīng)過矩形OABC的邊BC的中點E，∴S△OAD=S△OEC=S矩形OABC=S梯形ODBC=1，∴k=2，則雙曲線的解析式為．故選：B．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）13．（3分）化簡：的結(jié)果為．【分析】運用二次根式的加減法運算的順序，先將二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【解答】解：原式=﹣20=﹣14．【點評】合并同類二次根式實際是把同類二次根式的系數(shù)相加，而根指數(shù)與被開方數(shù)都不變．14．（3分）關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+（2k+1）x+2﹣k2=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是k≥．【分析】由于已知方程有實數(shù)根，則△≥0，由此可以建立關(guān)于k的不等式，解不等式就可以求出k的取值范圍．【解答】解：由題意知△=（2k+1）2+4（2﹣k2）=4k+9≥0，∴k≥．【點評】總結(jié)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．15．（3分）已知y是x的一次函數(shù)，下表給出了部分對應(yīng)值，則m的值是﹣7．x﹣125y5﹣1m【分析】一次函數(shù)的一般形式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解．【解答】解：設(shè)該一次函數(shù)的解析式為y=kx+b．由題意得，解得，故m的值是﹣7．【點評】本題要注意利用一次函數(shù)的特點，列出方程組，求出未知數(shù)．16．（3分）如圖1是某公司的圖標，它是由一個扇環(huán)形和圓組成，其設(shè)計方法如圖2所示，ABCD是正方形，⊙O是該正方形的內(nèi)切圓，E為切點，以B為圓心，分別以BA、BE為半徑畫扇形，得到如圖所示的扇環(huán)形，圖1中的圓與扇環(huán)的面積比為4：9．【分析】要求圖1中的圓與扇環(huán)的面積比，就要先根據(jù)面積公式先計算出面積．再計算比．【解答】解：設(shè)正方形的邊長為2，則圓的面積為π，扇環(huán)的面積為（4π﹣π）=π，所以圖1中的圓與扇環(huán)的面積比為4：9．【點評】此題主要考查扇環(huán)面積的求法．求不規(guī)則的圖形的面積，可以轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積的和或差來求．17．（3分）如圖所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是線段BC上一點（P不與B重合），M是DB上一點，且BP=DM，設(shè)BP=x，△MBP的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=x2+4x（0＜x≤6）．【分析】根據(jù)勾股定理可得BD=10，因為DM=x，所以BM=10﹣x，過點M作ME⊥BC于點E，可得到△BME∽△BDC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，由此即可用x表示ME，最后根據(jù)三角形的面積公式即可確定函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：∵AB=8，BC=6，∴CD=8，∴BD=10，∵DM=x，∴BM=10﹣x，如圖，過點M作ME⊥BC于點E，∴ME∥DC，∴△BME∽△BDC，∴=，∴ME=8﹣x，而S△MBP=×BP×ME，∴y=x2+4x，P不與B重合，那么x＞0，可與點C重合，那么x≤6．故填空答案：y=x2+4x（0＜x≤6）．【點評】本題的難點是利用相似得到△MBP中BP邊上的高ME的代數(shù)式，此題主要考查了利用相似三角形的性質(zhì)確定函數(shù)關(guān)系式．18．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中線OC將△COA折疊，使點A落在點D處，若CD恰好與MB垂直，則tanA的值為．【分析】根據(jù)題意有：沿△ABC的中線CM將△CMA折疊，使點A落在點D處，若CD恰好與MB垂直，可得：∠B=2∠A，且∠ACB=90°，故∠A=30°，則tanA的值為．【解答】解：在直角△ABC中，∴∠ACM+∠MCB=90°，CM垂直于斜邊AB，∴∠ABC+∠MCB=90°，∴∠B=∠ACM，OC=OA（直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半）．∴∠A=∠1．又∵∠1=∠2，∴∠A=30°．∴tanA=tan30°=．【點評】本題考查折疊的性質(zhì)和特殊角度的三角函數(shù)值．19．（3分）如圖所示，△A′B′C′是由△ABC向右平移5個單位長度，然后繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的（其中A′、B′、C′的對應(yīng)點分別是A、B、C），點A′的坐標是（4，4）點B′的坐標是（1，1），則點A的坐標是（﹣1，﹣2）．【分析】△A′B′C′是由△ABC向右平移5個單位長度，然后繞B′點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，則△ABC可以看成由△A′B′C′繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，然后向左平移5個單位長度而得到點A的坐標．【解答】解：把點（4，4）繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，然后向左平移5個單位長度而得到點的坐標是（﹣1，﹣2）．【點評】運用逆向思維的方法，解題更方便且易于理解．三、解答題（共7小題，滿分63分）20．（7分）先化簡、再求值：﹣a﹣2），其中a=﹣3．【分析】這道求代數(shù)式值的題目，通常做法是先把代數(shù)式化簡，然后再代入求值．【解答】解：原式=，=，=，=；（5分）當a=﹣3時，原式=﹣．【點評】本題的關(guān)鍵是化簡，然后把給定的值代入求值．21．（7分）如圖1，A、B兩個轉(zhuǎn)盤分別被分成三個、四個相同的扇形，分別轉(zhuǎn)動A盤、B盤各一次（若指針恰好指在分割線上，則重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個數(shù)字為止）．（1）用列表（或畫樹狀圖）的方法，求兩個指針所指的區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于7的概率；（2）如果將圖1中的轉(zhuǎn)盤改為圖2，其余不變，求兩個指針所指區(qū)域的數(shù)字之和大于7的概率．【分析】列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可．【解答】解：（1）樹狀圖如下：兩個指針所指的區(qū)域的數(shù)字之和共有12種情況，其中和大于7的6種，因此兩個指針所知區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于7的概率為；（2）將標有“6”的半圓等分成兩個扇形，相當于將（1）中樹狀圖的“7”處改為“6”，則兩個指針所指的區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于7的概率為．【點評】如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．22．（9分）將一個量角器和一個含30度角的直角三角板如圖（1）放置，圖（2）是由它抽象出的幾何圖形，其中點B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點F，且BC=OD．（1）求證：DB∥CF；（2）當OD=2時，若以O(shè)、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，求OB．【分析】（1）連接OF．判斷OBCF是平行四邊形；（2）首先分析相似三角形的對應(yīng)頂點，從而得到角對應(yīng)相等，再運用解直角三角形的知識求解．【解答】（1）證明：連接OF，如圖．∵AB切半圓O于F，∴OF⊥AB．∵CB⊥AB，∴BC∥OF．∵BC=OD，OD=OF，∴BC=OF．∴四邊形OBCF是平行四邊形，∴DB∥CF．（2）解：以O(shè)、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，∠OFB=∠ABC=90°．∵∠OBF=∠BFC，∠BFC＞∠A，∴∠OBF＞∠A，∵△OFB與△ABC相似，∴∠A與∠BOF是對應(yīng)角．∴∠BOF=30°．∴OB==；故OB的長為．【點評】此題綜合運用了平行四邊形的性質(zhì)和判定．能夠正確分析相似三角形的對應(yīng)頂點，從而得到有關(guān)的角對應(yīng)相等．23．（10分）某旅游商品經(jīng)銷店欲購進A、B兩種紀念品，若用380元購進A種紀念品7件，B種紀念品8件；也可以用380元購進A種紀念品10件，B種紀念品6件．（1）求A、B兩種紀念品的進價分別為多少？（2）若該商店每銷售1件A種紀念品可獲利5元，每銷售1件B種紀念品可獲利7元，該商店準備用不超過900元購進A、B兩種紀念品40件，且這兩種紀念品全部售出時總獲利不低于216元，問應(yīng)該怎樣進貨，才能使總獲利最大，最大為多少？【分析】（1）設(shè)A和B的進價分別為x和y，件數(shù)×進價=付款，可得到一個二元一次方程組，解即可．（2）獲利=利潤×件數(shù)，設(shè)購買A商品a件，則購買B商品（40﹣a）件，由題意可得到兩個不等式，解不等式組即可．【解答】解：（1）設(shè)A、B兩種紀念品的進價分別為x元、y元．由題意，得（2分）解之，得（4分）答：A、B兩種紀念品的進價分別為20元、30元．（5分）（2）設(shè)商店準備購進A種紀念品a件，則購進B種紀念品（40﹣a）件．由題意，得，（7分）解之，得：30≤a≤32．（8分）設(shè)總利潤為w，∵總獲利w=5a+7（40﹣a）=﹣2a+280是a的一次函數(shù)，且w隨a的增大而減小，∴當a=30時，w最大，最大值w=﹣2×30+280=220．∴40﹣a=10．∴當購進A種紀念品30件，B種紀念品10件時，總獲利不低于216元，且獲得利潤最大，最大值是220元．（10分）【點評】利用了總獲利=A利潤×A件數(shù)+B利潤×B件數(shù)，件數(shù)×進價=付款，還用到了解二元一次方程組以及二元一次不等式組的知識．24．（10分）如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F．（1）求證：FD2=FB?FC；（2）若G是BC的中點，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由．【分析】（1）要求證：FD2=FB?FC，只要證明△FBD∽△FDC，從而轉(zhuǎn)化為證明∠FDC=∠FBD；（2）GD與EF垂直，要證DG⊥EF，只要證明∠5+∠1=90°，即轉(zhuǎn)化為證明∠3=∠4即可．【解答】證明：（1）∵E是Rt△ACD斜邊中點．∴DE=EA．∴∠A=∠2．∵∠1=∠2．∴∠1=∠A．∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A．∴∠FDC=∠FBD．∵∠F是公共角．∴△FBD∽△FDC．∴．∴FD2=FB?FC；（2）GD⊥EF，理由如下：∵DG是Rt△CDB斜邊上的中線，∴DG=GC，∴∠3=∠4