2020年北京市中考數(shù)學(xué)試題與答案

2020年北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1.下圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A.圓柱 B.圓錐 C.三棱柱 D.長方體2.2020年6月23日，北斗三號(hào)最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星從西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，6月30日成功定點(diǎn)于距離地球36000公里的地球同步軌道，將36000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A. B. C. D.3.如圖，和相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.4.下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.5.正五邊形的外角和為（）A. B. C. D.6.實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示.若實(shí)數(shù)滿足，則的值可以是（）A.2 B. C. D.7.不透明的袋子中有兩個(gè)小球，上面分別寫著數(shù)字“1”，“2”，除數(shù)字外兩個(gè)小球無其他差別.從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄其數(shù)字，放回并搖勻，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄其數(shù)字，那么兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率是（）A. B. C. D.8.有一個(gè)裝有水的容器，如圖所示.容器內(nèi)的水面高度是，現(xiàn)向容器內(nèi)注水，并同時(shí)開始計(jì)時(shí).在注水過程中，水面高度以每秒的速度勻速增加，則容器注滿水之前，容器內(nèi)的水面高度與對(duì)應(yīng)的注水時(shí)間滿足的函數(shù)關(guān)系是（）A.正比例函數(shù)關(guān)系 B.一次函數(shù)關(guān)系C.二次函數(shù)關(guān)系 D.反比例函數(shù)關(guān)系二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.10.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是___________.11.寫出一個(gè)比大且比小的整數(shù)___________.12.方程組的解為_________.13.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).若點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，，則的值為__________.14.如圖，在中，，點(diǎn)在上（不與點(diǎn)重合）.只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）.15.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則的面積與的面積的大小關(guān)系為：___________（填“”，“”或“”）.16.下圖是某劇場第一排座位分布圖.甲、乙、丙、丁四人購票，所購票數(shù)分別為2，3，4，5.每人選座購票時(shí)，只購買第一排的座位相鄰的票，同時(shí)使自己所選的座位號(hào)之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后順序購票，那么甲購買1，2號(hào)座位的票，乙購買3，5，7號(hào)座位的票，丙選座購票后，丁無法購買到第一排座位的票.若丙第一個(gè)購票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，寫出一種滿足條件的購票的先后順序___________.三、解答題（本題共68分，第17-20題，每小題5分，第21題6分，第22題5分，第23-24題，每小題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每小題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.計(jì)算：.18.解不等式組：19.已知，求代數(shù)式的值.20.已知：如圖，為銳角三角形，，.求作：線段，使得點(diǎn)在直線上，且.作法：①以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫圓，交直線于兩點(diǎn)；②連接.線段就是所求作的線段.（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明.證明：∵，∴___________.∵，∴點(diǎn)在上.又∵點(diǎn)都在上，∴（____________）（填推理的依據(jù)）.∴.21.如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，.（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求和的長.22.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象平移得到，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍.23.如圖，為的直徑，為延長線上一點(diǎn)，是的切線，為切點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：；（2）若，，求的長.24.小云在學(xué)習(xí)過程中遇到一個(gè)函數(shù).下面是小云對(duì)其探究的過程，請補(bǔ)充完整：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，即，當(dāng)時(shí)，隨的增大而_______，且；對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而__________，且；結(jié)合上述分析，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而__________.（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，與的幾組對(duì)應(yīng)值如下表：0123…01…結(jié)合上表，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大.在平面直角坐標(biāo)系中，畫出當(dāng)時(shí)的函數(shù)的圖象.（3）過點(diǎn)作平行于軸的直線，結(jié)合（1）（2）的分析，解決問題：若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則的最大值是____________.25.小云統(tǒng)計(jì)了自己所住小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量（單位：千克），相關(guān)信息如下：.小云所住小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量統(tǒng)計(jì)圖：.小云所住小區(qū)5月1日至30日分時(shí)段的廚余垃圾分出量的平均數(shù)如下：時(shí)段1日至10日11日至20日21日至30日平均數(shù)100170250（1）該小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量的平均數(shù)約為___________（結(jié)果取整數(shù)）；（2）已知該小區(qū)4月的廚余垃圾分出量的平均數(shù)為60，則該小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量的平均數(shù)約為4月的__________倍（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（3）記該小區(qū)5月1日至10日的廚余垃圾分出量的方差為，5月11日至20日的廚余垃圾分出量的方差為，5月21日至30日的廚余垃圾分出量的方差為.直接寫出，，的大小關(guān)系.26.在平面直角坐標(biāo)系中，，為拋物線上任意兩點(diǎn)，其中.（1）若拋物線的對(duì)稱軸為，當(dāng)，為何值時(shí)，；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為.若對(duì)于，都有，求的取值范圍.27.在中，，，是的中點(diǎn).為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接.（1）如圖1，當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，求的長（用含的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.28.在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，為外兩點(diǎn)，.給出如下定義：平移線段，得到的弦（，分別為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段長度的最小值稱為線段到的“平移距離”.（1）如圖，平移線段得到的長度為1的弦和，則這兩條弦的位置關(guān)系是__________；在點(diǎn)，，，中，連接點(diǎn)與點(diǎn)________的線段的長度等于線段到的“平移距離”；（2）若點(diǎn)都在直線上，記線段到的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，記線段到的“平移距離”為，直接寫出的取值范圍.參考答案一、選擇題12345678DCADBBCB1.【解析】：長方體的三視圖都是長方形.故選：D2.【解析】：將36000用科學(xué)記數(shù)法表示為.故選：C3.【解析】：由兩直線相交，對(duì)頂角相等可知A正確；由三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可知B選項(xiàng)的，C選項(xiàng)，D選項(xiàng)的.故選：A4.【解析】：正方形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形.故選：D5.【解析】：任意多邊形的外角和都為，與邊數(shù)無關(guān).故選：B6.【解析】：由于，且在與區(qū)間范圍內(nèi)，所以到原點(diǎn)的距離一定小于2.故選：B7.【解析】：由題意，共4種情況：；；；，其中滿足題意的有兩種.故選：C8.【解析】：因?yàn)樗娓叨取皠蛩佟痹黾樱页跏妓娓叨炔粸?.故選：B二、填空題9.10.111.312.13.014.為中點(diǎn)15.16.丙，丁，甲，乙9.【解析】：分母不能為0.10.【解析】：由題意：.所以.11.【解析】：答案不唯一，2或3都對(duì)12.【解析】：略.13.【解析】：根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以.14.【解析】：答案不唯一：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，.所以.15.【解析】：由網(wǎng)格可求，.所以面積相等.16.【解析】：答案不唯一；丙先選擇：1，2，3，4.丁選：5，7，9，11，13.甲選：6，8.乙選：10，12，14.所以順序?yàn)楸?，甲，?三、解答題17.【解析】：解：原式18.【解析】：解：解①式得：，解②式得：∴此不等式組的解集為19.【解析】：解：原式∵∴∴∴原式20.【解析】：（1）如圖所示（2）；在同圓或等圓中同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半.21【解析】：（1）∵四邊形為菱形∴點(diǎn)為中點(diǎn)∵點(diǎn)為中點(diǎn)∴為的中位線∴∵∴四邊形為平行四邊形∵∴平行四邊形為矩形（2）∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴∵，∴在中，∵四邊形為菱形∴∴∵四邊形為矩形∴∴22.【解析】（1）∵一次函數(shù)且由平移得到∴將點(diǎn)代入可得∴一次函數(shù)的解析式為（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值都大于，即圖像在上方，由下圖可知：臨界值為當(dāng)時(shí)，兩條直線都過點(diǎn)，∴當(dāng)，時(shí)，的函數(shù)值都大于.又因?yàn)椋钥扇≈?，即，所以的取值范圍為.23.【解析】：（1）連接∵是的切線∴∴∵∴∵故（2）設(shè)半徑為，在中，∴∴，∵∴∵為的直徑∴∴∴∴∵∴∴24.【解析】：（1）減小，減小，減?。?）根據(jù)表格描點(diǎn)，連成平滑的曲線即可（3）當(dāng)時(shí)，25.【解析】：（1）平均數(shù)為：（千克）（2）倍（3）方差反應(yīng)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度，即從點(diǎn)狀圖中表現(xiàn)數(shù)據(jù)的離散程度，所以從圖中可知：26.【解析】：（1）拋物線必過，因?yàn)椋渣c(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，又∵∴，（2）情況1：當(dāng)，恒成立情況2：當(dāng)，，恒不成立情況3：當(dāng)，，要，必有，∴，∴27.【解析】：（1）∵是的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)∴為的中位線∴∵∴∵∴∴四邊形為矩形.∴，∴，∴∴（2）過點(diǎn)作的平行線交延長線于點(diǎn)，連接∵∴，∵是的中點(diǎn)∴∴∴，