第08講-利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(學(xué)生版)

第08講利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)2021年新Ⅱ卷，第21題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根求離散型隨機(jī)查量的均值均值的實(shí)際應(yīng)用2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性2能結(jié)合方程的根的定義用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考?jí)狠S題之一近幾年高考命題的趨勢(shì)，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個(gè)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)方程的根的方法(1)通過(guò)最值(極值)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程的根）的方法借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過(guò)極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程的根）或者通過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程的根）求參數(shù)范圍.(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)（方程的根）對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫(huà)出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）①根據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（方程的根）尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.②解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．考點(diǎn)一、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）1．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)證明：方程有三個(gè)不等實(shí)根．2．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)．(1)求證：；(2)若方程恰有兩個(gè)根，求證：．3．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)請(qǐng)?jiān)谙铝孝佗谥羞x擇一個(gè)作答（注意：若選兩個(gè)分別作答則按選①給分）.①若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2023·安徽阜陽(yáng)·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，為的導(dǎo)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，有且只有兩根，（）.①若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：.5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)和在同一處取得相同的最大值．(1)求實(shí)數(shù)a；(2)設(shè)直線與兩條曲線和共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為（），證明：．【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)若時(shí)，函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若，，方程有幾個(gè)解？2．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，且a、b為函數(shù)的極值點(diǎn)(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)若曲線在處的切線斜率為，且方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為．(1)討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．4．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為，求證：.5．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，其中，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【能力提升】1．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；(2)若關(guān)于x的方1有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)的圖像與的圖像最多有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)證明：；(2)若存在直線，其與兩條曲線和共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)從左到右的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，，證明：．5．（2023·河南·長(zhǎng)葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，證明：.6．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．（2023·山西陽(yáng)泉·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，(1)求的值域；(2)若，且，，證明：①；②.8．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)為實(shí)數(shù)．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值9．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（其中），．(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)判斷方程在R上的實(shí)根個(gè)數(shù)．10．（2023·河北衡水·河北棗強(qiáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【真題感知】1．（·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點(diǎn)；（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).2．（福建·高考真題）已知函數(shù)（1）求在區(qū)間上的最大值