經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課件-微分方程與經(jīng)濟(jì)決策

微分方程與經(jīng)濟(jì)決策故事上個(gè)世紀(jì)80年代末和90年代初，日本、“四小龍”及一些東盟國(guó)家和地區(qū)，經(jīng)濟(jì)發(fā)展比我們快，處于高速發(fā)展時(shí)期；而我們一方面圍繞姓“社”姓“資”問(wèn)題爭(zhēng)論不休，另一方面又因強(qiáng)調(diào)治理整頓而放慢了經(jīng)濟(jì)發(fā)展的步伐。1989—1991年3年間，GDP只比上年分別增長(zhǎng)了4％、5％、4％。正在這個(gè)改革開(kāi)放的關(guān)鍵時(shí)刻，鄧小平提出了“發(fā)展才是硬道理”的著名論斷。鄧小平這樣說(shuō)：“對(duì)于我們這樣發(fā)展中的大國(guó)來(lái)說(shuō)，經(jīng)濟(jì)要發(fā)展得快一點(diǎn)，不可能總是那么平平靜靜、穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)。要注意經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定、協(xié)調(diào)地發(fā)展，但穩(wěn)定和協(xié)調(diào)也是相對(duì)的，不是絕對(duì)的，發(fā)展才是硬道理，這個(gè)問(wèn)題要搞清楚?！蹦夸泧?guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案1.使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程2.路線問(wèn)題典型案例3.進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：微分方程4.第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案一、問(wèn)題引入

引例（中國(guó)的GDP真的可以超越美國(guó)嗎？）中國(guó)2010年GDP超過(guò)日本成全球第二大經(jīng)濟(jì)體，中國(guó)GDP何時(shí)超越美國(guó)，這成為很多人討論的話題。2010年我國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）約為5.98萬(wàn)億美元，如果我國(guó)能保持每年10.4%的相對(duì)增長(zhǎng)率；而美國(guó)2010年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為14.6萬(wàn)億美元，如果美國(guó)能保持每年5.8%的相對(duì)增長(zhǎng)率，問(wèn)到2030年我國(guó)的GDP能否超過(guò)美國(guó)？第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案求2030年中美兩國(guó)的GDP這一類的問(wèn)題，其中相關(guān)變量隨時(shí)間的變化都有相似的規(guī)律，都有相同的解決路線，即在一定約束條件下，所研究的量在任一時(shí)刻（減少或增大）的速率與該時(shí)刻量的簡(jiǎn)單函數(shù)，或某一量的函數(shù)成正比，根據(jù)此條路線可直接建立微分方程，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)工具求解微分方程，在此基礎(chǔ)上對(duì)相關(guān)的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題做出更好地決策?！締?wèn)題分析】第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案在許多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程的方法來(lái)研究該問(wèn)題

因此要獲得相關(guān)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的解決，首先要弄清楚什么是微分方程，怎樣求解微分方程，這些是我們接下來(lái)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程．其中未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程．微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階．如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，能使該方程變成恒等式，這樣的函數(shù)稱為微分方程的解．

如第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案如果微分方程的解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解．

在微分方程中，函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)都等于，所以它們都是該微分方程的解。如上例中的解第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案

如果通解中的任意常數(shù)取某定值，或利用附加條件求出任意常數(shù)應(yīng)取的值，所得的解叫做微分方程的特解．

確定通解中任意常數(shù)的附加條件稱為初始條件．

如上例中的解是的特解.

一階常微分方程的初始條件是:其中都是定值.第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案

形如

的一階微分方程，稱為可分離變量的微分方程．分離變量法的具體步驟是：

第一步：分離變量，得：第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案

第二步：兩邊積分，得：第三步：求積分，得：其中分別是的原函數(shù).第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案

例1

已知某曲線通過(guò)點(diǎn)（1，3），且在該曲線上任意點(diǎn)M處的切線的斜率為，求該曲線的方程．解:

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可知所求曲線應(yīng)滿足方程

分離變量，得:兩邊積分，得:求得積分為:

，其中C是任意常數(shù).

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案因?yàn)榍€通過(guò)點(diǎn)，將條件代入得故所求曲線方程為

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案

問(wèn)題：國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題解決方案目的：國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題的解決方案：通過(guò)尋找某種函數(shù)關(guān)系，得到量與量之間的變化規(guī)律，建立微分方程例2

中國(guó)的GDP真的可以超越美國(guó)嗎？【問(wèn)題分析】根據(jù)本例的已知條件，我們要把每年GDP的相對(duì)增長(zhǎng)率（每年GDP的相對(duì)增長(zhǎng)率指GDP的增長(zhǎng)率和當(dāng)年GDP的比值）作為突破口，建立微分方程運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解微分方程，從而獲得2030年中美GDP的預(yù)測(cè)值.第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案

(1)建立微分方程解:記代表2010年，并設(shè)第t年的GDP為從2010年起，我國(guó)GDP的相對(duì)增長(zhǎng)率為10.04%，即：.由題意知，得微分方程為：其中為微分方程的初始條件.第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案

(2)求通解方程兩邊同時(shí)積分，得

通解為:

(3)求特解

將代入通解，得，所以從2010年起第年我國(guó)的GDP為:第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案

將代入上式，得2030年我國(guó)的GDP的預(yù)測(cè)值為47.87(萬(wàn)億美元)．

同理，可求得2030年美國(guó)的GDP為:46.57(萬(wàn)億美元).兩國(guó)的GDP值隨時(shí)間變化而變化的規(guī)律如圖所示

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案

從圖中可以看出，交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的年份就是中國(guó)GDP即將超過(guò)美國(guó)的時(shí)候，這為我們判斷兩國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀況，為決策者制訂戰(zhàn)略目標(biāo)提供了一條決策路線。當(dāng)然在實(shí)際操作過(guò)程中，還要配合其他因素綜合考慮。第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案(1)理解表示導(dǎo)數(shù)的常用詞,如在經(jīng)濟(jì)學(xué)中“邊際成本”,“邊際收益”;在生物學(xué)中常用種群的“增長(zhǎng)速率”;在化學(xué)反應(yīng)中常用“擴(kuò)散速率”等.在此類問(wèn)題解決過(guò)程中，建立微分方程是非常關(guān)鍵的一步，怎樣才能做好這一關(guān)鍵步驟呢？【具體步驟】：第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案

(3)根據(jù)已給的實(shí)際問(wèn)題確定條件,這些條件是關(guān)于系統(tǒng)在某一特定時(shí)刻或邊界上的信息,它們獨(dú)立于微分方程而成立,用以確定有關(guān)常數(shù).當(dāng)然給定的條件和已建立的方程能完整地以數(shù)學(xué)形式描述實(shí)際問(wèn)題.

(2)建立瞬時(shí)表達(dá)式,根據(jù)自變量Δt有微小改變時(shí),因變量的增量Δy,建立起在Δt時(shí)段上的增量表達(dá)式,令Δt→0,得到dy/dt的表達(dá)式.

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程一、典型案例

中國(guó)的GDP真的可以超越美國(guó)嗎？選用第一節(jié)引例提出的問(wèn)題作為本案例.二、解決方案我們根據(jù)中美兩國(guó)2010年的GDP以及兩國(guó)每年GDP的相對(duì)增長(zhǎng)率等已知條件，建立微分方程，然后在分離變量法的基礎(chǔ)上兩邊積分求出通解和特解，從而獲得2030年中美兩國(guó)GDP的預(yù)測(cè)值。

將建立的微分方程分離變量，兩邊積分后利用微軟數(shù)學(xué)軟件求出微分方程的通解和特解，從而獲得2030年中美兩國(guó)GDP的預(yù)測(cè)值.第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程三、微軟數(shù)學(xué)演算步驟第一步：在主界面左側(cè)的計(jì)算器鍵盤中依次點(diǎn)擊【微積分】→【∫】改為第二步：在右側(cè)工作表輸入窗口出現(xiàn)“”，將在積分號(hào)后輸入，如圖所示.第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程

第三步：?jiǎn)螕簟据斎搿?，顯示計(jì)算結(jié)果為，如圖.用同樣的方法求得因此有即通解為第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程

得，利用軟件求得：

第四步：在通解的基礎(chǔ)上求特解，將代入通解，從而2030年我國(guó)的GDP的預(yù)測(cè)值約為

47.87(萬(wàn)億美元)同理2030年美國(guó)的GDP的預(yù)測(cè)值約為

46.57(萬(wàn)億美元).第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例案例1：日本家用電器業(yè)界建立的電飯煲銷售模型記時(shí)刻已售出的電飯煲總數(shù)為的電飯煲起著宣傳品的作用，吸引著尚未購(gòu)買的顧客；因此，

刻產(chǎn)品銷量的增長(zhǎng)率與成正比，同時(shí)，考慮到產(chǎn)品銷量存在一，統(tǒng)計(jì)表明與尚未購(gòu)買該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量。由于使用方便，已在使用定的市場(chǎng)容量也成正比,試確定能描述上述規(guī)律的銷售函數(shù)。時(shí)第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例【問(wèn)題分析】：

和與尚未購(gòu)買該產(chǎn)品的潛在顧客數(shù)量

⑴前提：

已知條件為

時(shí)刻已售出的電飯煲總數(shù)為刻產(chǎn)品銷量的增長(zhǎng)率與;時(shí)成正比；約束條件為:⑵目的：找出電飯煲銷售規(guī)律。該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量

成正比，建立微分方程。⑶方案：通過(guò)

時(shí)刻產(chǎn)品銷量的增長(zhǎng)率與和與尚未購(gòu)買第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例2.解決方案在問(wèn)題分析的基礎(chǔ)上，我們可以建立如下微分方程其中為比例系數(shù)。對(duì)上述微分方程分離變量并積分，得：第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例

結(jié)果如圖所示.要研究產(chǎn)品銷售量的變化情況，

利用微軟數(shù)學(xué)求出和，整理之后，即為第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例顯然，，即單調(diào)增加。由，可得存在滿足上式的一個(gè)時(shí)刻，此時(shí)

，即時(shí)刻界點(diǎn)是一個(gè)分，當(dāng)

時(shí)，，

單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減小。銷售增長(zhǎng)曲線圖如圖所示。

根據(jù)產(chǎn)品銷售增長(zhǎng)曲線這條路線分析表明：在銷售量小于最大銷量(需求量)的一半時(shí)，銷售速度是不斷增大的；銷售量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷，其后銷售速度開(kāi)始下降。第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例以上銷售增長(zhǎng)曲線與實(shí)際調(diào)查結(jié)果比較吻合，推廣速率的增長(zhǎng)過(guò)程一般在達(dá)到最大需求量的一半時(shí)結(jié)束。國(guó)外研究普遍認(rèn)為：從20％用戶到80％用戶采用某一新產(chǎn)品這段時(shí)期，應(yīng)為該產(chǎn)品正式大批量生產(chǎn)的較合適的時(shí)期，初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳，后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效益。

第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例案例2：價(jià)格調(diào)整模型變化率可以認(rèn)為與該商品在同一時(shí)刻的超額需求量正比，試確定這種商品的價(jià)格隨時(shí)間

某商品在t時(shí)刻的售價(jià)為P，市場(chǎng)對(duì)該商品的需求量和供給量，。則在t時(shí)刻的價(jià)格的變化規(guī)律。分別為的P函數(shù)對(duì)于時(shí)間t的成【問(wèn)題分析】：根據(jù)已知條件，即有微分方程

在確定的情況下，可解出價(jià)格與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例【解決方案】：一般地，商品的價(jià)格變化主要服從市場(chǎng)供求關(guān)系,通常情況下，商品供給量S是價(jià)格P的單調(diào)遞增函數(shù)，商品需求量Q是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù),不妨設(shè)該商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為其中均為常數(shù)，且.當(dāng)供給量等于需求量時(shí)，得供求平衡時(shí)的價(jià)格為

稱為均衡價(jià)格.（1）第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例通常情況下（1）時(shí)，商品供不應(yīng)求，該商品價(jià)格要上升；

（2）時(shí)，商品供大于求，該商品價(jià)格要下降.

因此，假定t時(shí)刻的價(jià)格

的變化率與超額需求量成正比，則有方程其中，用來(lái)反映價(jià)格的調(diào)整速度.將(1)代入方程得，其中常數(shù)第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例上述方程為一階線性微分方程，可用下一節(jié)介紹的微分方程知識(shí)求其通解為

假設(shè)初始價(jià)格，代入上式，得上述價(jià)格的調(diào)整模型的解為

由得時(shí)，.說(shuō)明隨時(shí)間的延續(xù)，實(shí)際價(jià)格將逐漸趨近均衡價(jià)格，與經(jīng)濟(jì)學(xué)價(jià)格原理相一致.第四節(jié)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：微分方程一階線性微分方程

定義１方程

稱為一階線性微分方程，

其中和都是的連續(xù)函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，

方程稱為一階線性齊次微分方程；

稱為一階線性非齊次微分方程．

當(dāng)時(shí)，方程接下來(lái)，我們討論一階線性齊次微分方程的通解。第四節(jié)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：微分方程

（1）分離變量后，得（2）兩邊積分，得即

這就是一階線性齊次微分方程的通解公式

.解:第四節(jié)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：微分方程下面再討論一階線性非齊次方程的解法．一階線性非齊次方程可用常數(shù)變易法來(lái)解，就是將其相應(yīng)的齊次方程的通解中任意常數(shù)

用一個(gè)待定的函數(shù)來(lái)代替，即解上述方程可得一階線性非齊次方程的通解公式為：

其中各個(gè)不定積分都只表示了對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)．

一階線性非齊次方程的通解等于它的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解之和．

(2)第四節(jié)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)