經(jīng)濟數(shù)學課件：邊際成本和收益的計算

邊際成本和收益的計算名言恩格斯在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了。故事有一個人，他的名字叫杰米揚，他特別會做湯，所以他也以此為榮，每當客人到他家做客的時候，杰米揚必然要給客人做湯。這一天，他的一個朋友來他家做客，他給朋友調(diào)制了一盆味道非常好的湯。朋友很快就喝完了盛上來的第一碗湯。還沒等朋友說話呢，杰米揚馬上大聲說，真是美味的湯，再來一碗，說著立刻為朋友盛上了第二碗湯，朋友和杰米揚一邊聊天一邊喝湯，一會這碗湯也被喝了下去。杰米揚馬上為朋友盛來了第三碗湯，朋友說喝不下去了，杰米揚卻說，我的湯很好喝，喝吧！朋友勉強又喝下了這第三碗湯。杰米揚沒等朋友說話呢，就說再喝一碗吧，多么好喝的湯??！結(jié)果朋友連飯也沒吃，酒也沒喝，被杰米揚的湯嚇得落荒而逃……目錄邊際成本問題及解決方案1.微軟數(shù)學使用初步率2.邊際分析典型案例3.進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)4.第一節(jié)邊際成本問題及解決方案一、問題引入從杭州開往南京的長途車即將出發(fā)。無論哪個公司的車，票價均為50元。一個匆匆趕來的乘客見一家國營公司的車上尚有空位，要求以30元上車，被拒絕了。他又找到一家也有空位的私人公司的車，售票員二話沒說，收了30元允許他上車了。哪家公司的行為更理性呢？第一節(jié)邊際成本問題及解決方案二、典型問題解決方案成本函數(shù)(costfunction)：是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需要的全部經(jīng)濟資源投入（包括勞動力、原材料、設備等）的價格或費用的總額。它由固定成本和可變成本組成。一般情況下，成本用表示，產(chǎn)品產(chǎn)量用表示，則成本是產(chǎn)量的函數(shù)，用表示。第一節(jié)邊際成本問題及解決方案案例1：我們以成本函數(shù)為例，考查產(chǎn)量

（1）在處的變化率；（2）在處的變化率。第一步：求：

第一節(jié)邊際成本問題及解決方案第二步：求平均變化率第三步：求極限，當無限趨近0時，函數(shù)的值無限趨近

，即第一節(jié)邊際成本問題及解決方案所以，成本函數(shù)在處的變化率為同理，成本函數(shù)在處的變化率為定義1：設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，且存在，則稱此極限值為函數(shù)在點處的導數(shù)，記作，，或并稱函數(shù)在點處可導。第一節(jié)邊際成本問題及解決方案定義2：設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點都可導，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導。這時對于區(qū)間內(nèi)的每一個值，都有惟一確定的導數(shù)值與之對應，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，稱為函數(shù)對的導函數(shù)，記作，，或即在不至于引起混淆的情況下,導函數(shù)也簡稱為導數(shù)。第一節(jié)邊際成本問題及解決方案

概念2：邊際函數(shù)(marginalfunction)

設函數(shù)在處存在導數(shù)，則稱導數(shù)為函數(shù)的邊際函數(shù)。稱在處的值為邊際函數(shù)值。用邊際函數(shù)來分析經(jīng)濟量的變化，就稱為邊際分析。

概念3：邊際成本(marginalcost)

設生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)為，當總成本函數(shù)可導時，其導數(shù)叫做產(chǎn)量為時的邊際成本。第一節(jié)邊際成本問題及解決方案邊際成本

的經(jīng)濟意義為：在產(chǎn)量為時再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，總成本的“近似”改變量為。第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步一、微軟數(shù)學軟件簡介微軟數(shù)學(MicrosoftMathematics)是一款適合于學生和教師的計算軟件，從微軟官方網(wǎng)站可以免費下載該軟件。它的強大功能主要體現(xiàn)在7個方面：①強大的多種解方程、不等式或方程組的功能；②常用數(shù)學與科學公式和方程庫；③向?qū)浇獯鸺疤峁┫嚓P計算；④直觀形象的圖形計算器；⑤三角形計算器；⑥單位轉(zhuǎn)換器；⑦手寫輸入。第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步圖3-1MicrosoftMath的主界面第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步二、利用微軟數(shù)學求導數(shù)案例1：求的導數(shù)第一步：在主界面左側(cè)的計算器鍵盤中依次點擊【微積分】→

【】第二步：在右側(cè)工作表輸入窗口的括號“()”中輸入函數(shù)

圖3-2輸入函數(shù)第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步第三步：單擊工作表右下角的【輸入】，顯示求導結(jié)果為圖3-3輸出結(jié)果第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步三、利用微軟數(shù)學進行二維繪圖案例2：作一次函數(shù)的圖像。第一步：單擊主界面的【繪圖】按鈕。第二步：在展開的【方程和函數(shù)】下拉菜單中選擇“二維”

及“笛卡爾坐標”。

第三步：單擊第一個輸入框。第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步第四步：輸入框以放大的形式出現(xiàn)，在這個放大的輸入框內(nèi)輸入函數(shù)表達式單擊【輸入】圖3-4輸入函數(shù)第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步第五步：單擊【圖形】按鈕，出現(xiàn)如圖3-5所示的函數(shù)圖像。圖3-5一次函數(shù)圖像第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步案例3：作二次函數(shù)的圖像圖3-6二次函數(shù)圖像第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步四、綜合應用案例案例4：生產(chǎn)某產(chǎn)品件時的總成本函數(shù)為（百元），求產(chǎn)量為100件時的邊際成本。解求函數(shù)的導數(shù)第一步：在工作表中輸入圖3-7輸入函數(shù)第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步第二步：點擊【輸入】按鈕得(百元／件)，所以，產(chǎn)量為100件時的邊際成本為(百元/件)(元／件)

由邊際成本可知，生產(chǎn)第101件產(chǎn)品所花費的成本為800元，這與實際成本804元已很接近。第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步案例5：求成本函數(shù)為的邊際成本函數(shù)，以及產(chǎn)量分別為50、100、200時的邊際成本，并指出它們的經(jīng)濟意義。解第一步：在工作表中輸入圖3-9輸入函數(shù)第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步第二步：點擊【輸入】按鈕得，即于是，產(chǎn)量為50、100、200時的邊際成本分別為第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步它們的經(jīng)濟意義是:在產(chǎn)量分別為50、100、200時的基礎上再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，總成本的增加分別為17.5、10、40。第二節(jié)微軟數(shù)學使用初步邊際成本函數(shù)是二次函數(shù)，圖形為開口向上的拋物線注意：微軟數(shù)學二維繪圖的方程必須包含變量或，因此邊際成本函數(shù)輸入時變成。第三節(jié)邊際分析典型案例一、問題引入有一個房地產(chǎn)老板投資5000萬元去建一棟30層的房子，預期投資回報率為25%，但建到第29層的時候就沒錢了，于是他就到民間放貸人那里去借500萬元，月息為5%（如果折算成年息就是60%，這樣的利率絕不是危言聳聽，而是現(xiàn)實存在的），這樣的利率看起來很高，但實際上是沒有關系的。為什么投資回報率只有25%的房地產(chǎn)投資項目可以承擔起年息60%的高利貸呢？有了邊際分析法，算算邊際收益，你就會理解投資者即使投資回報率很低的項目有時也可以承擔起高利息的。第三節(jié)邊際分析典型案例二、典型案例概念1：邊際收益(marginalbenefit)：設銷售某種產(chǎn)品個單位時的總收益函數(shù)為。當總收益函數(shù)可導時，其導數(shù)叫做銷量為時的邊際收益。邊際收益

的經(jīng)濟意義為：當銷量為個單位產(chǎn)品時，再銷售一個單位產(chǎn)品，總收益的增量為。第三節(jié)邊際分析典型案例案例1：銷售某商品臺的收益函數(shù)為（元），試求：（1）邊際收益函數(shù)；（2）銷量為200臺時的邊際收益。解（1）邊際收益函數(shù)為（元／臺）（2）銷量為200臺時的邊際收益為（元／臺）第三節(jié)邊際分析典型案例案例2：設某產(chǎn)品的收益函數(shù)為（元），試求：（1）邊際收益函數(shù)；（2）產(chǎn)量分別為9000、10000、11000臺時的邊際收益，并說明其經(jīng)濟意義。解（1）邊際收益函數(shù)為（元／臺）（2）（元）（元）（元）第三節(jié)邊際分析典型案例經(jīng)濟意義為：當產(chǎn)量為9000個單位時，若再增加一個單位產(chǎn)品，收益增加20元；當產(chǎn)量為10000個單位時，若再增加一個單位產(chǎn)品，收益沒有增加；當產(chǎn)量為11000個單位時，若再增加一個單位產(chǎn)品，收益減少20元。第三節(jié)邊際分析典型案例概念2：邊際利潤(marginalprofit)：設銷售某種商品個單位時的利潤函數(shù)為。當可導時，稱為銷售量為時的邊際利潤。因于是可得即邊際利潤等于邊際收入與邊際成本之差。邊際利潤

的經(jīng)濟意義為：當銷量為個單位產(chǎn)品時，再銷售一個單位產(chǎn)品，總利潤的增量為。案例3：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每天的總利潤（元）與產(chǎn)量（噸）之間的關系為：求時的邊際利潤，并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟意義。解邊際利潤函數(shù)為當，（元）。它表示在每天生產(chǎn)10噸的基礎上，再多生產(chǎn)1噸，總利潤將增加150元。當，（元）。它表示在每天生產(chǎn)25噸的基礎上，再多生產(chǎn)1噸，總利潤沒有變化，這一噸產(chǎn)量并沒有產(chǎn)生利潤。第三節(jié)邊際分析典型案例當，（元）。它表示在每天生產(chǎn)30噸的基礎上，再多生產(chǎn)1噸，總利潤就要減少50元。第三節(jié)邊際分析典型案例從上例可以看出，生產(chǎn)決策者不能只盲目地追求產(chǎn)量，還需根據(jù)利潤的變化情況，確定適當?shù)漠a(chǎn)量指標。第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)一、導數(shù)概念定義1：設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，且存在，則稱此極限值為函數(shù)在點處的導數(shù)，記作，，或并稱函數(shù)在點處可導。第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)定義2：設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點都可導，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導。這時對于區(qū)間內(nèi)的每一個值，都有惟一確定的導數(shù)值與之對應，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，稱為函數(shù)對的導函數(shù)，記作，，或即在不至于引起混淆的情況下,導函數(shù)也簡稱為導數(shù)。第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)求函數(shù)的導數(shù),可分為三步:（1）求出對應于自變量增量的函數(shù)增量：（2）算比值：（3）求極限：第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)例1：求常數(shù)函數(shù)的導數(shù)（為常數(shù)）解（1）求增量：（2）算比值：（3）取極限：第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)例2：求函數(shù)的導數(shù)及在點處的導數(shù).解（1）求增量：（2）算比值：（3）取極限：即從而得第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)如：一般地,對于冪函數(shù)（為實常數(shù)）;;類似地，可得下列導數(shù)公式：第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)定理1設函數(shù)在點處可導,則函數(shù)、

、在點處也可導,且二、導數(shù)的四則運算法則

推論1當（常數(shù)）,則第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)推論2例1設，求解例2設，求解第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)例3設，求解例4設，求解

第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)即類似可得例5解設，求即類似可得第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)例6解設，求

第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：導數(shù)定理2如果函數(shù)在點處可導,而