中考數(shù)學專題復習《閱讀理解及新定義》測試卷附帶答案

中考數(shù)學專題復習《閱讀理解及新定義》測試卷（附

帶答案）

學校:班級:姓名:考號:

熱點解讀

中考數(shù)學中閱讀理解型問題在近幾年的全國中考試題中頻頻“亮相”，應引起我們特別地重

視，這類問題一般文字敘述較長，信息量較大，各種關(guān)系借綜復雜，考查的知識也靈活多樣，

既考查學生的閱讀能力，又考查學生的解題能力，屬于新穎數(shù)學題。如果對這類題型了解不

清楚的情況下，很多同學直接就選擇了放棄，其實其難度并不是特別大部分，分值拿到手還

是非常輕松的。

解題思路

解決這類問題的關(guān)鍵是要認真仔細地閱讀所給的材料，邊讀邊勾畫出重要的信息，弄清材料

中隱含了什么新的數(shù)學知識、結(jié)論，或揭示了什么數(shù)學規(guī)律，或暗示了什么新的解題方法,

然后展開聯(lián)想，將獲得的新信息、新知識、新方法進行遷移，建模應用，解決題目中提出的

問題。所以這類題型并不是像其他題型一樣定點考察個別明確的知識點，而是通過材料的閱

讀。分析匹配到相對應的基礎(chǔ)知識內(nèi)容，結(jié)合題目當中所給的方法來進行解題。在歷年的考

題當中,以下的三大類閱讀型的題型值得大家在復習當中明確其考查的方式和方法，對于大

家對閱讀型理解題型的了解邁出重要的一步。首先，閱讀試題所提供的新定義，新定理，解

決新問題。這類題型的解決方法以及做題的規(guī)律都從題目當中進行尋找，題目已經(jīng)給出，只

要結(jié)合題目中的方法進行簡單的推理，那么就可以得到我們解決問題的方法，其中計算的方

式是大家比較困難的，所以題目中所給的例子一定要研讀清楚，搞清楚其變化的規(guī)律，就能

掌握其解題的技巧。

針對練習

1、（2024?陜西西安?二模）完成下列各題

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D

cA

B

*

圖1圖3

（1）【問題提出】如圖1,A8為0。的一條弦，點C在弦A8所對的優(yōu)弧上，根據(jù)圓周角性

質(zhì)，我們知道NACB的度數(shù)（填“變”或“不變”）；若ZAOB=100°,則NACB=

度.即：若線段A8的長度已知，/AC4的大小確定，則點C一定在某一個確定的圓上，我

們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型；

（2）【問題探究】如圖2,在凸四邊形A8CD中，48=56，AQ=10x/J,NA=60。，ZC=150°,

試求四邊形ABCZ）面積的最大值；

（3）【問題解決】如圖3是四邊形休閑區(qū)域設計示意圖ABC。，已知N84O=4C￡）=9。。，

CB=CD,休閑區(qū)域內(nèi)原有?條筆直小路4C的長為80米，現(xiàn)為了市民在該區(qū)域內(nèi)散步方

便，準備再修一條長為30米的小路MN,滿足點M在邊上，點N在小路AC上.按設

計要求需要給圖中陰影區(qū)域（即與四邊形MBCN,小路寬度忽略不計）種植花卉，

為了節(jié)約成本且滿足設計需求，陰影部分的面積要盡可能的小.請問，是否存在符合設計要

求的方案?若存在，請直接寫出陰影部分面積的最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴不變，50°,

0、22575G

⑵丁丁

（3）存在，2975-22572

【分析】

（1）根據(jù)圓周角定理進行解答即可I

（2）過點B作F點E,連接80,當△5CO的面積最大時，四邊形A8CD的面積

最大，利用（2）中的結(jié)論計算△BCO的面積最大值即可得出結(jié)論.

（3）根據(jù)題意，要使陰影部分面積最小，只需一AMN的面積最大即可，連接班），作

的外接圓O,連接OW,ON,利用（2）結(jié)論即可求得,的面積的最大值；將，CD4

繞著點C旋轉(zhuǎn)9U。得到4c6〃，通過說明A&〃二點共線，則四邊形A/C。的面積=.AC-

第2頁共118頁

的面積，利用陰影部分面積的最小值=四邊形48CD的面積-..AMN的面積的最大值，即可

得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???48為CO的一條弦，點C在弦所對的優(yōu)弧上，

???根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道NAC8的度數(shù)不變；

????=44，408=100°，

則ZAC8=50°；

(2)解：過點B作3E_LAO于點E,連接8。，如圖，

B

k

VBELAD,ZA=60°,

與15

，BE=ABxsinA=5>/3x--=—，

22

xIO昂3迪.

/.S..ABD=-ADxBE=-

2222

?'S四邊形38=SABD+SBCD'

???當△BC。的面積最大時，四邊形ABC。的面積最大.

作△8CQ的外接圓O,連接。8OD,如圖，

B...

/「

/—

；O：

1/

、\t9

\、/9

、、/，

、、，

、、Z,

..............

設戶。經(jīng)過圓心O時的線段為￡C1,則過點0作。石J_PC于點E,連接OP,

如圖，

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OE1PC,￡GJ-A8,PC1AB,

???四邊形OGCE是矩形，

OCi=EC,

OP=O憶

：.4G=+()C=OP+CE,

?：OPNPE,

：,OP+EC>PE+EC,

：.OP+EC>PC,

OP{+OG>PC,

即片GNPC,

，當且僅當PC經(jīng)過圓心。時，PC最大；

與上述過程同理，當點C為30的中點時，心或）C的面積最大.

設為30的中點為。'，連接。C'，交BD于點、F,

則Ob_L3DBF=DF,BC=CD,

NBC'D=NBCD=15。。,

：.Z.CBD=NCDB=15°,

；?/BOC=/DOC=300.

VBEA.AD,NA=60。,

AE=/IBxcosA=5G=—

22

AD-AE=^^

/.DE=

2

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?**BD=jB8r+DE2=15

???BF=DF=—

2f

：.BO=2BF=15.

???OF=ylOB2-BF2=—73,

2

;CO=OB=\5,

???C'F=or-OF=15-—75,

2

???△5CQ的面積的最大｛f=gx8OxC，F(xiàn)=：xl5x|5-竽）=爭一馬誓，

???四邊形48co的面積的最大值=逆+變一空走=空一空E.

22424

（3）解：存在符合設計要求的方案，陰影部分面積的最小值2975-225上平方米，理由:

根據(jù)題意，要使陰影部分面積最小，只需的面積最大即可，

連接8。，如圖，

?；/BAD=NBCD=90。,CB=CD,

NCBD=NCDB=45。.

：.NBAD+/BCD=180°,

AAB,C,力四點共圓，

r.ZfiAC=Z.CDB=45c.

作一ANM的外接圓O,連接OM,ON,如圖.

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，/MON=2/MAN=90°,

'：OM=ON,

???_OMN為等腰直角三角形，

OM=ON=—xNM=15>/2.

2

由(2)的結(jié)論可知：當點A為優(yōu)弧“N的中點時，

&AMN的面積的最大值為:x30x(15+15&)=225+225及平方米.

將CDA繞著點C旋轉(zhuǎn)90°得到工8尸，如圖，

貝I」.ADC^jBC,

：.CP=CA,ZACP=90°,NCBP=/D.

,/NBA。+NBCO=180。，

，ZD+ZABC=180°,

???NA8C+NC8P=180。，

AAB,尸三點共線，

???△AC尸為等腰直角三角形，

???AC=CP=8()米，

S西邊形ABCD=SABC+SADC=SABC+S.CPB=SACp

***S四邊形Asm=S.ACP=—x80x80=3200平方米,

??.陰影部分面枳的最小值=3200_(225+225&)=僅975_225&)平方米.

【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理,

四點共圓，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，直角

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三角形的邊角關(guān)系定理，利用已知條件構(gòu)造恰當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

2、（2024九年級?全國?競賽）在正方形A8CO內(nèi)找一點七，連接AE、BE、DE.

BCBC

圖1圖2

⑴將按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。到的位置，如圖I.

①設A8=a,AE=Z?M>〃，求.ABE旋轉(zhuǎn)到的過程中邊BE所掃過的區(qū)域（圖中陰影

部分）的面積；

②若AE=4.3E=2.N4砂=135。，求力行的長度.

（2）如圖2,若2AE2=BE2+DE?,求證：點E在對角線B￡>上.

【答案】（1）6

（2）見解析

【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)

等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到A/WE紀4）產(chǎn)，即可得到弱中陰影部分面積等于1環(huán)形的面

4

積，求解即可.

②連接律，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得至1J/胡尸=90。,45=人尸=4,ZAFD=ZAEB=135%

DF=BE=2,則44所為等腰直角三角形，得至ljE/=JL4E=4，I/A7^=45。，進一步

得至i」N￡>EE=90。，根據(jù)勾股定理即可求出答案；

⑵將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90。到△AZX7的位置，則由（1）中的②可知AAEG為

等腰直角三角形，DG=BE,ZAGD=ZAEB,證明NEOG=90。,進一步證明

Z4ED+ZAE^=180°,即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：①如圖，

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BC

二將按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。到AADF的位置,

/.ABE^ADF,

???所求面積相當于圖中g(shù)環(huán)形的面積，即為:/r（A爐-月爐）=；"（"一〃）?

②連接EF,

HC

AD

F

圖1

???將一按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°到AADF的位置，NAEB=135°,

AZEAF=90°.AE=AF=4,ZAFD=ZAER=\35°,DF=BE=2,

???^AEF為等腰直角三角形,

EF=y/2AE=46,/AFE=45°,

zLDFE=ZAFD-ZAFE=135°—45°=9(T,

DE=ylDF2+EF2=J2:4-(4@’=6

（2）如圖，將一小繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90。到△ADG的位置，則由中的②可知

△AEG為等腰直角三角形，DG=BE,ZAGD=ZAEB,

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B

Z.EAG=90°,EG2=2AE2,

*.*2AE2=BE2+DE2，

EG2=BE2+DE\

，EG2=DG2+DE2，

「./EOG=90。，

/.NE4G+/EDG=180。，

：.ZAED+ZAGD=\S(r,

???ZAED+ZAEB=180°,

.,?點E在對角線8。上.

3、(2024九年級?全國?競賽)如圖，點。為等腰直角/BC斜邊8c的中點，。與A3、AC

分別相切于點D、E,交。C于點尸，。廠的延長線交AC的延長線于點G,已知人4=8cm.

(I)求OE的長；

(2)求證：ZCFG=ZCGF；

(3)求由比;比和所圍成的圖形(陰影部分)的面積.

【答案】(1)2兀cm

(2)見解析

⑶(8a+4兀-8)cm。

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【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、求弧長、

扇形面積公式、圓周角定理、三角形外角的定義及性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈

活運用是解此題的關(guān)鍵.

(1)連接8、OE,由題意得出OEA.AC,且。。=?！辏?半徑廣，證明四邊形

ADOE為正方形,得出NDC陀=90。，AD=OD=BD=r=^AB=4cm,再由弧長公式計算

即可得出答案；

(2)證明OD〃AG得出N8OD=NAC8,由圓周角定理結(jié)合對頂角相等得出

ZACB=2/CFG,由三角形外角的定義及性質(zhì)得出Z4C3=NCEG+NCGb,即可得證；

(3)由(1)(2)可得CE=OE="=〃=4cm,求出OC=4x&m,CF=CG=4x/2-4(cm),

EG=CE+CG=4&cm，連接。E，再由陰影部分的面積為S〃卬+S阜形慚打用計算即可

得出答案.

【詳解】(1)解：如圖，連接8、OE,

點D、E分別為。與/W、AC的切點，

:.ODLA^OE_LAC,且0力=0石=半徑，，

為等腰直角,48。的斜邊，

.-.ZA=90°,ZB=45°,

四邊形AOOE為正方形，

.?ZZX)E=90°.AD=OD=RD=r=-AR=4cm,

2

9001

DE=----x2nr=-nr=2n(cm)；

360°217

(2)解：-ODLAB,4=90。，

：.OD//AG,

"BOD="CB,

而NBOD=2NB”D,

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:.ZACB=2NBFD,

NBFD=NCFG,

:.ZACB=2Z.CFG,

又Z4C8=ZCFG+ZCGF,

:"CFG=/CGF；

(3)解：由上述結(jié)論可知，CE=OE=OF=r=4cm,

OC=4夜cm，

CF=CG=472-4(cm),

EG=CE+CG=4岳m(xù)，

連接OE，

則SNG=gxEGx=gx4夜x4=8夜(cm),

S222

^DOE=x7CX4=4n(cm),SWE=lx4x4=：8(cm)

2

陰影部分的面積為SDEG+S均形功匹一SRE=8及+4兀-8(cm).

4、(23-24九年級上?陜西渭南?期末)【初步探究】

圖1圖2

(I)如圖1,在“8c中，點力、E、尸分別在A8、AC.BC上，連接。區(qū)EF.己知四邊形

BFED是平行四邊形，BC=4DE.

①若A8=8,求線段A。的長；

②若VAOE的面積為1,求平行四邊形林加＞的面積.

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【深入探究】

(2)如圖2,某工廠有一塊形如四邊形A8CQ的鐵皮，其中N4=NA=90。，4D=8dm,

AB=20dm,BC=24dm.為節(jié)約資源，現(xiàn)要從這塊鐵皮上截取矩形鐵皮陽「G(陰影部分)

備用，點E、F、G分別在A4、CD、BC上.設矩形鐵皮的邊尸G=x(dm),矩形的尸G的面

積為S,求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求矩形8EFG面積的最大值.

4)

【答案】(1)①2；②6；(2)5=--(x-15)~+180,最大值為180.

【分析】(1)①證明△ADES/MBC即可求解；②利用相似三角形的性質(zhì)分別求出ABC

和的面積，即可求解；

(2)過點。作O〃_L3C于點，，交EF于點、M,設EF=)dm,證明一,得

到)，=-1工+24,根據(jù)矩形面積公式即可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)

即可求出面積的最K俏.

【詳解】解：(1)①???四邊形即2是平行四邊形，

Z.DE//BC,

???△AOEs/SABC,

.ADDE

??=9

ABBC

,/BC=4DE,

.ADI

??一，

84

解得AQ=2,

工線段4)的長為2；

②:△AOESAABC,

sABC\BC)UJ16

,：VAOE的面積為1,

.i_1

??s—記，

??SVA8c=16，

VAD=2,A8=8,

BD=8-2=6

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,/四邊形切毛。是平行四邊形,

AEF=BD=6,EF〃AB,

產(chǎn)廠63

???△CEF—CAB,相似比為布獲J,

?SCEF9

>?一'

°CAB五'

Sv八BC=16,

q9

?"CEF_7

16-16

*,*SCKF=9,

???平行四邊形處切的面積=s.c-SADE-Sb=16-1-9=6,

/.平行四邊形BFED的面積為6；

(2)過點。作?！盝LBC于點H,交于點M,則MH=FG=x,AD=EM=BH=8dm,

O”=A8=20dm,

???DM=DH-MH=(20-x)dm,CH=BC-BH=24-8=16dm,

圖2

設E/7=ydm,則MF=EF-EM=(y-8)dm,

???矩形8E/P,

:.EF//BC,

」DMFs二DHC,

DMMF

DHHC

衛(wèi)占二

2016

4

:.y=--x+24,

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（44^4

:.S=xy>=x+24=--x'+24x=--（x-15）*7+180,

.??當x=15時,矩形BEFG面積最大,最大值為180.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)

的最值等，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5、（22-23九年級下?河南新鄉(xiāng)?開學考試）定義：有一組對角互補的四邊形叫做對補四邊

形.

⑴觀察猜想如圖①，四邊形是對補四邊形，且對角線4/）平分/A8C,則A0和CD的

數(shù)量關(guān)系是.

⑵深入探究如圖②，在直角三角形AC8中，ZACB=90°,A8=60cm,CD平分NAC8與AB

交于點D,E為邊AC上的一點，連接OE,作DFJ.DE與BC交于點F.

①如果4）=20cm,求四邊形CEDE的面積；

②如圖③，設AO的長為K（cm）,陰影部分的面積為y（cm?）,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

⑶解決問題如圖③，在（2）的條件下，直接寫出陰影部分面積的最大值.

【答案】（1）">=8

⑵①320cm2；②y=-g9+30x

⑶450cm」

【分析】（1）過點。作DF±I3C,通過證明ADC尸會.DAE（AAS）即可求解；

（2）①過點D作。GJ.4c丁點G,DH1BC丁點H,利用全等三角形的判定與性質(zhì)，求

解即可；②過點D作及G_L44,交BC于點G,通過證明△AO￡0Z\GZ）P（ASA）求解即可；

（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：AD=CD,理由如下：

過點。作DF工BC,如下圖：

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則NOEA=NO/C=90。，

由題意可得：ZA+ZBCD=180°,ZDCF+ZBCD=\S(T

：.ZDCr=ZA,

又???8D平分/ABC

DF=DE

，“DCrgZ^AE(AAS)

JDA=DC

(2)解：①如圖②，過點D作Z)G_LAC十點G,DHLBC十點H.

又CD平分/AC8,：,DG=DH.

又,:ZACB=90°

???四邊形力GC"為矩形，

乂YCD平分NAC3,DGrAC,DH1BC

/.DG=DH

???矩形。GCH是正方形.

???ZACfi=ZEDF=90°,

/.ZDEC+ZDFC=180°,ZDEC+ZDE4=180°.

???4DEA=4DFC.

又NDGE=/DHF,

：.DG哈、DHF.

??S四邊形CFDE=S正方形

?：DG〃BC,AD:AB=｝：3,

???DG:BC=\:3.

設DG=xcm,則BC=3xcm,BH-2.vcm,DH=xcm,BD=40cm,

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A

D

HF

②

在Rt△短"8中，DH~+BH2=BD1?

/.x2+(2x)2_40,

x2=320.

,,S四邊形00cH=320cm.

2

S網(wǎng)邊收FOE=320cm.

???四邊形CFDE的面積為320cm2.

②加圖③，過點D作￡>G_LA3,交8c于點G.

③

由(1)可知OE=DF,，DEA=NDFG.

NEDF=ZADG^90°,

ZADE=ZGDF.

??.ZMDE^AG/9F(ASA).

AD=GD=Arm，S陰影=^^BDG

又40=(60—x)cm,

I2

S^DDC=：BO.GO=：(6°-+3O.rj(cm).

22-

1.y=-^x2+30x.

（3）由（2）可得尸-與+30工=」（一30『+450

22

即當x=30cm時，》最大，為450cm2

陰影部分面積的最大值為450cm2.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，角平分線

第16頁共118頁

的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì).

6、（2023?福建?模擬預測）如圖，在正方形A8CO中，以A為圓心，作半徑為4的圓心

角是90。的弧，且這條弧恰好經(jīng)過B、D兩點.80的一條切線與8、8C分別交于M、N.求

圖中陰影部分面枳的最小值.

【答案】圖中陰影部分面積的最小值為32夜-44-32.

【分析】設。M=BN=EN=b,則CM=4—〃，CN=4-b,求得當a+人取最小

值，Sc有最大值，則圖中陰影部分面積有最小值，當仞V_LAC時，MN有最小值，據(jù)此

求解即可.

【詳解】解：設MN與的切點為E,連接AM,AE,AN,

AD=AE=AB,ZADM=ZAEM=ZAEN=ZABN;期,

/.RtAAD/W^RtAAEA/,RQABN/RtAAEN,

:?DM=EM,BN=EN,

設。M=BN=EN=b,貝lJCM=4—a,CN=4—b,

yMC2+NC2=MN2,

J（4-a『+（4-4=5+5）2,

整理得燦=16-4,+/?）,

=g（4一a）（4一））=16-4（a+〃），

第17頁共118頁

當。+〃取最小值，SCMN有最大值，則圖中陰影部分面積有最小值.

連接AC,當MV_LAC時，MN有最小值，此時，切點為F,

則都是等腰直角三角形，

在正方形同BCO中，AD=CO=4,則AC=4&，

FC=4>/2-4，

=48-32夜，

???圖中陰影部分面積的最小值=42—2^^—(48—320)=32右一4乃一32.

【點睛］本題考杳了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì),

勾股定理，推出當MNJLAC時，圖中陰影部分面積有最小值是解題的關(guān)鍵.

7、(2023?江蘇鹽城?中考真題)課堂上，老師提出了下面的問題：

已知M=￡,汽="，試比較M與N的大小.

b8+3

小華：整式的大小比較可采用“作差法”.

老師：比較f+i與2x-l的大小.

小華：V(x2+l)-(2x-l)=x2+1-2x4-1=(x-l)2+l>0,

x2+1>2x-1.

老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？

⑴請用“作差法”完成老師提出的問題.

(2)比較大小:23=__________胃22.(填”或“<”)

6865

【答案】(1)M>N

Q)<

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【分析】（I）根據(jù)作差法求M-N的值即可得出答案;

（2）根據(jù)作差法求吃23-三22的值即可得出答案.

6865

M—N—二緲3風°辿四+3M=3a-b

【詳解】（I）解:

bb+3分（。+3）力（0+3）。（。+3）

3?>Z?>0,

3a-b

—--------->0,

力他+3），

,八M232214951496I八

6865442044204420

.2322

故答案為：<.

【點睛】本題考查分式運靠的應用，解題關(guān)鍵是理解材料，通過作差法求解，掌握分式運算

的方法.

8、（2023?江蘇鹽城?中考真題）定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個交點,

并且都在坐標軸上，則稱二次函數(shù)為一次函數(shù)的軸點函數(shù).

【初步理解】

（1）現(xiàn)有以下兩個函數(shù)：?y=x2-\；②產(chǎn)丁-x,其中，為函數(shù)，=x-l的軸

點函數(shù).（填序號）

【嘗試應用】

（2）函數(shù)）=x+C（。為常數(shù)，c>0）的圖象與x軸交于點A,其軸點函數(shù)y=#+4.i+c

與x軸的另一交點為點3.若=求〃的值.

4

【拓展延伸】

（3）如圖，函數(shù)y=gx+f（，為常數(shù)，r>0）的圖象與％軸、》軸分別交于“，C兩點,

在“軸的正半軸上取一點N，使得QV=OC.以線段MN的長度為長、線段MO的長度為寬，

在x軸的上方作矩形MNDE.若函數(shù)y=+r（f為常數(shù)，f〉0）的軸點函數(shù)y=+以+,

的頂點產(chǎn)在矩形的邊上，求〃的值.

第19頁共118頁

【答案】（1）①；（2）〃=5或-3；⑶〃=1或〃=-1-應或〃=：

【分析】（1）求出函數(shù)）=入-1與坐標軸的交點，再判斷這兩個點在不在二次函數(shù)圖象I.即

可；

（2）求出函數(shù)），二犬+。與坐標軸的交點，再由。8=!。兒求出點8坐標，代入二次函數(shù)解析

4

式計算即可；

（3）先求出M,C的坐標，再根據(jù)y=+d+，的頂點P在矩形的邊上分類討論

即可.

【詳解】（1）函數(shù)），=x-l交4軸于（L0）,交）'軸于

???點（1,0）、（0,—1）都在y=/_1函數(shù)圖象上

二①y=1?T為函數(shù)y=x-\的軸點函數(shù)；

???點（0,-1）不在y=函數(shù)圖象上

工②產(chǎn)/7不是函數(shù)尸X-1的軸點函數(shù)；

故答案為：①；

（2）函數(shù)）HX+C交工軸于A（-c,0）,交了軸于（0,c）,

???函數(shù)y=x+c的軸點函數(shù)丁=〃2+心；+。

:.A（-c,0）和（0,c）都在y=or2+〃.r+c上，

Vc>0

AOA=c

OB=-OA,

4

/.OB=-c

4

,何十時或唱c,0）

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當8（—；卻0）時，把人（一加0）8（—；。,0）代入），=〃爐+歷+。得

L101.

0=—ac~——bc+ci-

,164,解得〃=5,

0=ac2-bc+c

當叫c,。）時，把A（-C,0）哈可代入y=ar2+bx+c得

L12Q

0=—ac~+—bc+c…「

<164,解得力=-3,

0=ac2-bc+c

綜上，Z?=5或-3；

（3）函數(shù)y=Jx+f交x軸于M（—2八0）,交丁軸于C（0j）,

2

?：ON=OC,以線段MN的長度為長、線段MO的長度為寬，在x軸的上方作矩形MNDE

??.N（/,0）,。（/2）,E（-2Q）,

二?函數(shù)y=+/（，為常數(shù)，r>0）的軸點函數(shù)），=〃/+〃（+/

:.M（-2/,0）和C（O,r）在），=mx2+*+1上

???0=+n(-2r)+1,整理得4〃〃一2〃+1=0

:.n=2mt+—

2

/.y=nvc2+幾r+1的頂點〃坐標為

函數(shù)y=楣爐+以+/的頂點〃在矩形MNDE的邊上

???可以分三種情況討論：當P與M重合時；當〃在EO上時；當P在。N上時;

當戶與“重合時,解得〃=1；

CI

n=2mt+—

2

-2z<------<t

2m

4mt-/t2.

當?在E。上時，?—；——=2t，整理得1+2〃-1=（）,解得〃=—1士近

c1

n=2m!+—

2

此時二次函數(shù)開口向下，則〃7VU

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-2t<--<t整理得：4"?<n<-2/77/,

2m

由〃=+'整理得2mt=/?--,

22

???2〃《<n<

解得〃T

n

------=t

2m

<2t整理得2〃"=一〃=〃一:，解得〃=：

當P在。N上時,t

4/7z24

n-2mt+—

2

2mt=--

4

此時對稱軸左邊y隨x的增大而增大,

m<0

...0￡4rrU?2/整理得：<4nit-n2<0

4”？

工代入2mt=一!、〃=I后Smt<4mt-n2<0成立

44

?丁1

4

綜上所述，"1或〃=*應或";

【點睛】本題綜合考查一次函數(shù)與二次函數(shù)，解題的關(guān)健是理解軸點函數(shù)的定義.

9、(2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)【發(fā)現(xiàn)】如圖1,有一張三角形紙片ABC,小宏做如下操

圖1圖2圖3

(1)取48,AC的中點D,E,在邊8c上作MN=OE；

(2)連接分別過點D,N作￡)G_L￡M,NH±EM,垂足為G,H；

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（3）將四邊形BDGM剪下，繞點D旋轉(zhuǎn)180。至四邊形ADPQ的位置，將四邊形C&W剪下，

繞點E旋轉(zhuǎn)180。至四邊形人EST的位置；

（4）延長PQ,ST交于點F.

小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個結(jié)論是正確的：

①點Q,A,T在一條直線上；

②四邊形"PGS是矩形；

③dFQTMHMN、

④四邊形FPGS與一/WC的面積相等.

【任務I】請你對結(jié)論①進行證明.

【任務2］如圖2,在四邊形A8CO中，P,Q分別是AB,8的中點，連接做.求

證：PQ+人。+叱）.

【任務3］如圖3,有一張四邊形紙A8C。，AD//BC,AO=2,8C=8,C￡>=9,sin/。。"5

小麗分別取48,C。的中點P,Q,在邊8C上作MN=PQ,連接MQ,她仿照小宏的操作，

將四邊形A8CQ分割、拼成了矩形.若她拼成的矩形恰好是正方形，求8W的長.

【答案】［任務1］見解析；［任務2］見解析；［任務引

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得對應角相等，即ZABC=/QA。，ZACB=ZTAE,由三角形內(nèi)角

和定理得N48C+NH4C+"CH-180。，從而得N0HNR4r+NT4E=180°,即Q,A,T三點

共線；

（2）梯形中位線的證明問題常轉(zhuǎn)化為三角形的中位線問題解決，連接AQ并延長，交BC的

延長線于點E,證明ADQ^ECQ,可得AQ=EQ,AD=CE,由三角形中位線定理得

PQ=；BE=；（AD+BC）；

436

（3）過點D作。R_L8C于點R,由￡>C=9,sin/QCB:不得。R=丁，從而得

I飛不

x

^^KABCD=-（2+8）x—=36,由【發(fā)現(xiàn)】得S正方形GEST=S梯形ABCO，則GE=6,PE=3,由

9

【任務2］的結(jié)論得PQ=5,由勾股定理得EQ=4.過點Q作Q"_L8C,垂足為H.由CQ=^

4189724

及5皿/。8=三得。〃=7，從而得C”=而，證明PEQS&HM,得HM=y,從而得

JJ1UJ

BM=BC-HM-CH

2

【詳解】［任務H

第23頁共118頁

證法1：由旋轉(zhuǎn)得，ZQAD=ZABCtZTAE=^\CB.

在ABC中,ZABC+ZBAC+ZACB=180°,

...ZQAf>^-ZBAC+ZTAE=180°,

???點Q,A,T在一條直線上.

證法2：由旋轉(zhuǎn)得，ZQAD=ZABC,ZTAE=ZACB.

：,AQ//BC,AT//BC.

???點Q,A,T在一條直線上.

[任務2]

證明：如圖I,連接AQ尹延長，交BC的延長線于點E.

■:AD//BC,

ZDAQ=NE.

?；Q是CD的中點,

???DQ=CQ.

在△A。。和ECQ中,

ZDAQ=ZE,

<NAQD=NEQC,

DQ=CQ,

ADQ^,EC^(AAS).

AQ=EQ,AD=CE.

又TP是A4的中點，

/.AP=BP,

:.PQ是..AB石的中位線，

???PQ=LBE=；(CE+BC),

.?.PQ=i(AD+BC).

圖1

［任務3］的方法畫出示意圖如圖2所示.

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T

圖2

由【任務2】可得PQ〃友:，尸Q=；（AQ+8C）=gx（2+8）=5.

過點D作。R，“C,垂足為R.

DR

在Rl_DCR中，sinZDCfi=—,

V--I—/

436

???DR=CDsinZDCB=9x-=—.

55

?36

?*,S正方形GEST==-x(2+8)x—=36,

:.GE=6,PE=3.

在Rtz\P￡Q中，由勾股定理得EQ=JP。?一PE1=后4=4.

過點Q作Q〃，3C,垂足為H.

???Q是CO的中點,

I19

AC(2=-CD=-x9=-.

在Rl二Q”C中，sinNOC8=誓，

gA\2

C^=CCsinZDCT=-^x-=y

(18丫

又由勾股定理得?！?^CQ2-QH2=J|27

5To

由PQ〃3C,得/PQE=NQMH.

又/PEQ=NQHM=90°,

:cPEQsgHM.

34

.PEEQ

，即"HM，

y

94

HM=——

5

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24271

BM=BC-HM—CH=8------------=-.

5102

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三點共線問題的證明、全等三角形

的判定與性質(zhì)、三角形的口位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、

梯形的面積計算.

10、（2023?江蘇?中考真題）綜合與實踐

定義：將寬與長的比值為＞“+（〃為正整數(shù)）的矩形稱為〃階奇妙矩形.

T

（1）概念理解：

當〃=1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學習過的黃金矩形，它的寬

（A。）與長（8）的比值是.

（2）操作驗證：

用正方形紙片人8CZ）進行如下操作（如圖（2））：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF,連接CE；

第二步：折疊紙片使C力落在CE上，點。的對應點為點”，展開，折痕為CG;

第三步：過點G折疊紙片，使得點A8分別落在邊A。、8c上，展開，折痕為GK.

試說明：矩形GQCK是1階奇妙矩形.

用正方形紙片A6C。折疊出一個2階奇妙矩形.要求：在圖（3）中畫出折疊示怠圖并作簡

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要標注.

（4）探究發(fā)現(xiàn)：

小明操作發(fā)現(xiàn)任一個〃階奇妙矩形都可以通過折紙得到.他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4）,點石為正方

形A8CD邊上（不與端點重合）任意一點，連接CE,繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三

步，四邊形AG”E的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值.請寫出這個定值，并說明理

由.

【答案】（1）或二1：（2）見解析；（3）理由見解析

【分析】（1）將〃=1代入婦上?，即可求解.

2"

（2）設正方形的邊長為2,根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得==^.DG=x,則AG=2-.j

在RtA￡G,Rt中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；

（3）仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形.

（4）根據(jù)（2）的方法，分別求得四邊形AGUE的周長與矩形GOCK的周長，即可求解.

【詳解】解：（1）當〃=1時，也;土1=2^二1,

故答案為：叵【

（2）如圖

EB

HI

圖（2）

設正方形的邊長為2,根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得隹=的=1

設￡>G=x,則AG=2-x

根據(jù)折售，可得G〃=GQ=x,CH=CD=2,

在RtZ\BEC中，EC=V￡B2+BC2=Vl2+22=>/5?

/.EH=4S-2,

在Rl4EG,Rl_GHE中,

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AG2+AE2=GE\GH2+EH2=GE2

/.（2-X）2+12=（N/5-2）2+X2

解得：x=x/5-l

.GD75-1

??---=------

DC2

???矩形GDCK是1階奇妙矩形.

（3）用正方形紙片A8C。進行如卜操作（如圖）：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為MN,再對折，折痕為EF,連接CE；

第二步：折疊紙片使落在8上，點。的對應點為點〃，展開，折痕為CG；

第三步：過點G折疊紙片，使得點分別落在邊A/）、BC上,展開，折痕為GK.

矩形GQCK是2階奇妙矩形，

理由如下，連接GE,設正方形的邊長為4,根據(jù)折疊可得E8=l,則A￡=4-1=3,

設DG=a,貝i]AG=4一人

根據(jù)折疊，可得G〃=G￡)=x,CH=CD=4,

在Rt4AEC中，EC=>lEB2+BC2=Vl2+42=>/17，

，EH=y/n-4,

在RtAEG,Rt_G〃石中,

AG2iAE2=GE\GH2iEH?=GE?

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:.(4-x)2+3:=即-4)2+x2

解得：x=y/V7-\

.GDx/17-l

??---=-------

DC4

當〃=2時，1三1二！=叵二！

r4

???矩形GDCK是2階奇妙矩形.

(4)如圖(4),連接讀GE,設正方形的邊長為1,設E8=〃?，則AE=1—

圖(4)

設。6=%，則AG=l-x

根據(jù)折疊，可得GH=GQ=x,CH=CD=\,

在中，EC=y/E^+BC-=>J\+m2?

?*,EH=Jl+江—1，

在RtA￡G,Rt中，

AG2+A