2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系212空間中直線與直線之間的位置關(guān)系課件新人教A版必修2

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1.異面直線(1)定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.(2)畫法:【思考】定義中的“任何”是否多余,能否把“任何”去掉?提示:(1)“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”是指不存在一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條直線,或者說(shuō)找不到一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條直線.(2)定義中“任何”是不可缺少的關(guān)鍵詞,不能誤解為“不同在某一平面內(nèi)”.如圖所示,雖然有a?α,b?β,即a,b分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi),但是因?yàn)閍∩b=O,所以a與b不是異面直線.2.空間兩條直線的位置關(guān)系3.公理4文字語(yǔ)言平行于同一條直線的兩條直線互相平行符號(hào)語(yǔ)言直線a,b,c,a∥b,b∥c?a∥c作用證明兩條直線平行4.等角定理文字語(yǔ)言空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)符號(hào)語(yǔ)言O(shè)A∥O′A′,OB∥O′B′?∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°作用證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)5.異面直線所成的角(或夾角)(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b,則異面直線a與b所成的角就是直線a′與b′所成的銳角(或直角).(2)范圍:0°<θ≤90°.特別地,當(dāng)θ=90°時(shí),a與b互相垂直,記作a⊥b.【思考】(1)在異面直線所成角的定義中,角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)系嗎?提示:根據(jù)等角定理可知,a′與b′所成角的大小與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān).但是為了簡(jiǎn)便,點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上,特別是這一直線上的某些特殊點(diǎn)(如線段的端點(diǎn)、中點(diǎn)等).(2)研究范圍推廣到空間后,直線與直線垂直的含義有變化嗎?有什么變化?提示:有變化.空間中兩條直線垂直包括相交直線垂直和異面直線垂直兩種情況.【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線. (

)(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行. (

)(3)若a與b是異面直線且a與c也是異面直線,則b與c是異面直線. (

)(4)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直,那么另一條直線也與這條直線垂直. (

)提示:(1)×.沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是平行直線或異面直線.(2)×.在空間中垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行,例如在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,AB,AD都與棱AA′垂直,但是這兩條直線相交.(3)×.若a,b是異面直線,a,c是異面直線,那么b,c可以平行,可以相交,可以異面.(4)√.由異面直線所成角的定義或等角定理都可得出,該命題正確.2.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,與AA1異面的是 (

)

A.AB

B.BB1

C.DD1

D.B1C1【解析】選D.AB與AA1相交;BB1與AA1平行;DD1與AA1平行;B1C1與AA1異面.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,則異面直線AE與B1C1所成的角的大小為________.

【解析】因?yàn)锽1C1∥BC,所以異面直線AE與B1C1所成的角是∠AEB=90°-25°=65°.答案:65°類型一空間兩條直線位置關(guān)系的確定【典例】1.(2019·淮南高一檢測(cè))若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列結(jié)論正確的是 (

)A.l

至少與l1,l2中的一條相交B.l

與l1,l2

都不相交C.l

與l1,l2都相交D.l

至多與l1,l2中的一條相交2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,CC1的中點(diǎn),以下四個(gè)結(jié)論:①直線DM與CC1是相交直線;②直線AM與NB是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的為________(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上).

3.已知a,b,c是三條直線,且a與b異面,b與c異面,試判斷a與c的位置關(guān)系,并畫圖說(shuō)明.【思維·引】1.一方面注意l和l1,l2都平行,可推出和l1,l2平行,另一方面注意畫圖舉反例說(shuō)明有關(guān)結(jié)論不正確.2.利用平行直線、相交直線、異面直線的定義判斷.3.選擇恰當(dāng)?shù)钠矫孀鳛橐r托,畫出可能出現(xiàn)的情況.【解析】1.選A.假如l和l1,l2都不相交.因?yàn)閘和l1,l2都共面,所以l和l1,l2都平行,所以l1∥l2,l1和l2共面,這樣便不符合已知的l1和l2異面,所以A選項(xiàng)正確,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C錯(cuò)誤.如圖1所示,l與l2相交,l∥l1.D錯(cuò)誤.如圖2所示,l與l1和l2都相交.2.①中直線DM與直線CC1在同一平面內(nèi),它們不平行,必相交.故結(jié)論正確.③④中的兩條直線既不相交也不平行,即均為異面直線,故結(jié)論正確.②中AM與BN是異面直線,故②不正確.故填①③④.答案:①③④3.直線a與c的位置關(guān)系有三種,如圖所示.直線a與c可能平行(如圖①所示),也可能相交(如圖②所示),還可能異面(如圖③所示).【內(nèi)化·悟】研究范圍由平面推廣到空間后,能否只根據(jù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷兩條直線的位置關(guān)系?提示:不能.因?yàn)閮蓷l平行直線和兩條異面直線都是沒(méi)有公共點(diǎn)的,無(wú)法從公共點(diǎn)個(gè)數(shù)上進(jìn)行區(qū)別.【類題·通】1.判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念,全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系.特別關(guān)注異面直線.(2)重視正方體等常見(jiàn)幾何體模型的應(yīng)用,會(huì)舉例說(shuō)明兩條直線的位置關(guān)系.2.判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交.(2)重要結(jié)論:連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線.用符號(hào)語(yǔ)言可表示為A?α,B∈α,B?l,l?α,則AB與l是異面直線(如圖).【發(fā)散·拓】異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的直線,它的反面情況是兩條直線共面.從這一角度考慮,證明異面直線還有沒(méi)有其他方法?提示:可以利用反證法,其基本思路是:先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即肯定結(jié)論的反面成立;由此假設(shè)出發(fā),經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理,步步為營(yíng),最后得出矛盾;由正確推理導(dǎo)出的矛盾,說(shuō)明“假設(shè)結(jié)論不成立”是錯(cuò)誤的,從而肯定欲證的結(jié)論成立.【延伸·練】如圖,a,b是異面直線,A,B∈a,C,D∈b,E,F分別是線段AC和BD的中點(diǎn),判斷EF和a,EF和b的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【解析】假設(shè)EF和a共面,設(shè)這個(gè)平面為α,則EF?α,a?α.所以A,B,E,F∈α,所以BF?α,AE?α.又因?yàn)镃∈AE,D∈BF,所以C,D∈α.于是b?α.從而a,b共面于α,這與題設(shè)條件a,b是異面直線相矛盾.所以EF和a共面的假設(shè)不成立,所以EF和a是異面直線.同理可得EF和b也是異面直線.【習(xí)練·破】1.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中的八條棱所在的直線中,異面直線共有________對(duì).

【解析】每條側(cè)棱與底面四邊形中不共點(diǎn)的兩邊均為異面直線,故共有8對(duì).答案:82.如圖,在這個(gè)正方體中:

①BM與ED平行;②CN與BM是異面直線;③CN與BE是異面直線;④DN與BM是異面直線.以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是________.

【解析】根據(jù)正方體的特征可得:①BM與ED是異面直線,①錯(cuò)誤;②CN與BM是異面直線,②正確;③由已知可證四邊形BCNE是平行四邊形,所以CN與BE是平行直線,③錯(cuò)誤;④DN與BM是異面直線,④正確.答案:②④【加練·固】在正方體AC1中,E,F分別是線段BC,CD1的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是 (

)A.相交B.異面C.平行D.垂直【解析】選A.如圖,在正方體AC1中,因?yàn)锳1B∥D1C,所以A1B與D1C可以確定平面A1BCD1,又因?yàn)镋F?平面A1BCD1,且兩直線不平行,所以直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是相交.類型二公理4及等角定理的應(yīng)用【典例】1.若∠AOB=120°,直線a∥OA,a與OB為異面直線,則a和OB所成的角的大小為____.

2.如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC

AD,BE

FA,G,H分別為FA,FD的中點(diǎn).(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形.(2)判斷C,D,F,E四點(diǎn)是否共面?為什么?【思維·引】1.依據(jù)兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行的兩個(gè)角的大小關(guān)系直接計(jì)算.2.(1)證明四邊形BCHG的一組對(duì)邊平行且相等.(2)只需證明C,H,F,E四點(diǎn)共面,即可推出C,D,F,E四點(diǎn)共面.【解析】1.因?yàn)閍∥OA,根據(jù)等角定理,又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角,所以a與OB所成的角為60°.答案:60°2.(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得GH

AD.又BC

AD,所以GH

BC,所以四邊形BCHG為平行四邊形.(2)共面.理由:由BE

AF,G為FA的中點(diǎn)知,BE

FG,所以四邊形BEFG為平行四邊形,所以EF∥BG.由(1)知BG

CH,所以EF∥CH,所以EF與CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四點(diǎn)共面.【內(nèi)化·悟】與等角定理和公理4類似,平面幾何中的一些結(jié)論在空間中仍然成立:如果兩條平行線中的一條垂直于第三條直線,那么另一條也垂直于第三條直線.想一想平面幾何中的結(jié)論在空間中是否都成立呢?成立的標(biāo)準(zhǔn)是什么?提示:平面幾何中的結(jié)論在空間中不一定成立.平面幾何中的結(jié)論在空間中成立的標(biāo)準(zhǔn)是已知條件能確定在同一個(gè)平面內(nèi),在空間中就成立,否則不成立.【類題·通】1.證明空間兩條直線平行的方法(1)平面幾何法.三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等.(2)定義法.用定義證明兩條直線平行,要證明兩個(gè)方面:一是兩條直線在同一平面內(nèi);二是兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn).(3)公理4.用公理4證明兩條直線平行,只需找到直線b,使得a∥b,同時(shí)b∥c,由公理4即可得到a∥c.2.證明兩個(gè)角相等的方法(1)利用等角定理.(2)利用三角形全等或相似.【習(xí)練·破】1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是平面AA1D1D,平面CC1D1D的中心,G,H分別是棱AB,BC的中點(diǎn),則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是 (

)A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直【解析】選C.如圖,連接AD1,CD1,AC,則E,F分別為AD1,CD1的中點(diǎn).

由三角形的中位線定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH.2.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是棱CC1,BB1,DD1中點(diǎn).

求證:∠BGC=∠FD1E.【證明】因?yàn)镋,F,G分別是正方體的棱CC1,BB1,DD1的中點(diǎn),所以CE平行且等于GD1,BF平行且等于GD1.所以四邊形CED1G與四邊形BFD1G均為平行四邊形.所以GC∥D1E,GB∥D1F.因?yàn)椤螧GC與∠FD1E的方向相同,所以∠BGC=∠FD1E.【加練·固】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分別是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中點(diǎn).求證:(1)EF

E1F1.(2)∠EA1F=∠E1CF1.【證明】(1)如圖,連接BD,B1D1,在△ABD中,因?yàn)镋,F分別為AB,AD的中點(diǎn),所以EF

BD.同理,E1F1

B1D1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1

DD1,所以四邊形BB1D1D為平行四邊形,所以BD

B1D1.又EF

BD,E1F1

B1D1,所以EF

E1F1.(2)取A1B1的中點(diǎn)M,連接F1M,BM,則MF1

B1C1.又B1C1

BC,所以MF1

BC,所以四邊形BMF1C為平行四邊形,所以BM∥CF1.因?yàn)锳1M=A1B1,BE=AB,且A1B1

AB,所以A1M

BE,所以四邊形BMA1E為平行四邊形,所以BM∥A1E,所以CF1∥A1E.同理可證A1F∥CE1.因?yàn)椤螮A1F與∠E1CF1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,且方向都相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.類型三異面直線所成的角【典例】已知三棱錐A-BCD中,AB=CD,且直線AB與CD成60°角,點(diǎn)M,N分別是BC,AD的中點(diǎn),求直線AB和MN所成的角.【思維·引】選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)分別作AB和CD的平行線,同時(shí)找到直線AB與CD所成的角、直線AB和MN所成的角.【解析】如圖,取AC的中點(diǎn)P,連接PM,PN,因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別是BC,AD的中點(diǎn),所以PM∥AB,且PM=AB;PN∥CD,且PN=CD,所以∠MPN(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角.所以∠PMN(或其補(bǔ)角)為AB與MN所成的角.因?yàn)橹本€AB與CD成60°角,所以∠MPN=60°或∠MPN=120°.又因?yàn)锳B=CD,所以PM=PN,①若∠MPN=60°,則△PMN是等邊三角形,所以∠PMN=60°,即AB與MN所成的角為60°.②若∠MPN=120°,則易知△PMN是等腰三角形.所以∠PMN=30°,即AB與MN所成的角為30°.綜上可知:AB與MN所成角為60°或30°.【素養(yǎng)·探】在與異面直線所成的角有關(guān)的問(wèn)題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理,通過(guò)直線與直線平行和異面直線所成角的定義作出所求角,并在三角形中求出角的大小.將本例的條件改為“E,F分別為AC,BD的中點(diǎn),若CD=2AB,EF⊥AB”,求EF與CD所成的角.【解析】取AD的中點(diǎn)H,連接FH,EH.則在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,從而∠FEH=30°.【類題·通】1.求兩異面直線所成的角的一般步驟:(1)作:根據(jù)所成角的定義,用平移法作出異面直線所成的角.(2)證:證明作出的角就是要求的角.(3)計(jì)算:求角的值,常利用解直角三角形.可用“一作二證