【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：2.1-正弦定理-教學(xué)設(shè)計(jì)

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容支配在《一般高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修5》（北師大版）其次章，正弦定理第一課時(shí)，是在高一同學(xué)學(xué)習(xí)了三角等學(xué)問之后，明顯是對(duì)三角學(xué)問的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)學(xué)校解直角三角形內(nèi)容的直接延長，因而定理本身的應(yīng)用又格外廣泛。依據(jù)實(shí)際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一層次老師通過引導(dǎo)同學(xué)對(duì)實(shí)際問題的探究，并大膽提出猜想；其次層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最終進(jìn)行簡潔的應(yīng)用。同學(xué)通過對(duì)任意三角形中正弦定理的探究、發(fā)覺和證明，感受“觀看——試驗(yàn)——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、擅長思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。二、學(xué)情分析對(duì)于高一的同學(xué)來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等學(xué)問，有確定觀看分析、解決問題的力氣，但對(duì)前后學(xué)問間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有確定難度，因此思維機(jī)敏性受到制約。依據(jù)以上特點(diǎn)，老師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高同學(xué)學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后學(xué)問間的聯(lián)系，帶領(lǐng)同學(xué)直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅。三、設(shè)計(jì)思想：本節(jié)課接受探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以同學(xué)獨(dú)立自主和合作溝通為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)覺和證明”為基本探究內(nèi)容，為同學(xué)供應(yīng)充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、爭辯問題的機(jī)會(huì)，讓同學(xué)通過個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，在學(xué)問的形成、進(jìn)展過程中開放思維，逐步培育同學(xué)發(fā)覺問題、探究問題、解決問題的力氣和制造性思維的力氣。四、教學(xué)目標(biāo)：1．讓同學(xué)從已有的幾何學(xué)問動(dòng)身,通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)同學(xué)通過觀看，試驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，把握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。2．通過對(duì)實(shí)際問題的探究，培育同學(xué)觀看問題、提出問題、分析問題、解決問題的力氣，增加同學(xué)的協(xié)作力氣和溝通力氣，進(jìn)展同學(xué)的創(chuàng)新意識(shí)，培育制造性思維的力氣。3．通過同學(xué)自主探究、合作溝通，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)覺，培育同學(xué)勇于探究、擅長發(fā)覺、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增加學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好。4．培育同學(xué)合情合理探究數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等學(xué)問間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)覺與證明；正弦定理的簡潔應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過程。教學(xué)預(yù)備：制作多媒體課件，同學(xué)預(yù)備計(jì)算器，直尺，量角器。六、教學(xué)過程：（一）結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī) 師生活動(dòng)： 老師：呈現(xiàn)情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后連續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，假如船上有測角儀我們能否計(jì)算出A、B的距離？同學(xué)：思考提出測量角A，C（圖1）老師：若已知測得，，要計(jì)算A、B兩地距離，你有方法解決嗎？ 同學(xué)：思考溝通，畫一個(gè)三角形，使得為6cm，，，量得距離約為4.9cm，利用三角形相像性質(zhì)可知AB約為490m。老師：對(duì)，很好，在學(xué)校，我們學(xué)過相像三角形，也學(xué)過解直角三角形，大家還記得嗎？ 師生：共同回憶解直角三角形，=1\*GB3①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個(gè)角。=2\*GB3②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個(gè)角。。 老師：引導(dǎo)，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計(jì)算AB呢？ 同學(xué)：思考，溝通，得出過作于如圖2，把分為兩個(gè)直角三角形，解題過程，同學(xué)闡述，老師板書。解：過作于（圖2）在中，（圖2），在中，老師：表示對(duì)同學(xué)觀賞，那么剛才解決問題的過程中，若，，能否用、、表示呢？老師：引導(dǎo)同學(xué)再觀看剛才解題過程。同學(xué)：發(fā)覺， 老師：引導(dǎo) ，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)覺什么？同學(xué)：發(fā)覺即然有，那么也有，。老師：引導(dǎo) ，，，我們習(xí)慣寫成對(duì)稱形式，，，因此我們可以發(fā)覺，是否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？設(shè)計(jì)意圖：愛好是最好的老師。假如一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從同學(xué)日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)同學(xué)思維，激發(fā)同學(xué)的求知欲，引導(dǎo)同學(xué)轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對(duì)特殊問題一般化，得出一個(gè)猜想性的結(jié)論——猜想，培育同學(xué)從特殊到一般思想意識(shí)，培育同學(xué)制造性思維力氣。（二）數(shù)學(xué)試驗(yàn)，驗(yàn)證猜想老師：給同學(xué)指明一個(gè)方向，我們先通過特殊例子檢驗(yàn)是否成立，舉出特例。（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對(duì)應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，，，引導(dǎo)同學(xué)考察，，的關(guān)系。（同學(xué)回答它們相等）（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對(duì)應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，，1；（同學(xué)回答它們相等）（3）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對(duì)應(yīng)的邊長a：b：c為1：：2，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，，1。（同學(xué)回答它們相等）（圖3）（圖3） 老師：對(duì)于呢？同學(xué)：思考溝通得出，如圖4，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,BaACcb(圖4)則有BaACcb(圖4)則從而在直角三角形ABC中，老師：那么任意三角形是否有呢？同學(xué)按事先支配分組，出示試驗(yàn)報(bào)告單，讓同學(xué)閱讀試驗(yàn)報(bào)告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（假猶如學(xué)沒有問題，老師讓同學(xué)動(dòng)手計(jì)算，附試驗(yàn)報(bào)告單。） 同學(xué)：分組互動(dòng)，每組畫一個(gè)三角形，度量出三邊和三個(gè)角度數(shù)值，通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，比較、、的近似值。 老師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、、值照舊保持相等。 我們猜想：==設(shè)計(jì)意圖：讓同學(xué)體驗(yàn)數(shù)學(xué)試驗(yàn)，激起同學(xué)的奇異???心和求知欲望。同學(xué)自己進(jìn)行試驗(yàn)，體會(huì)到數(shù)學(xué)試驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。（三）證明猜想，得出定理師生活動(dòng)：老師：我們雖然經(jīng)受了數(shù)學(xué)試驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對(duì)任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探究過程對(duì)我們有沒有啟發(fā)？同學(xué)分組爭辯，每組派一個(gè)代表總結(jié)。（以下證明過程，依據(jù)同學(xué)回答狀況進(jìn)行敘述） 同學(xué)：思考得出=1\*GB3①在中，成立，如前面檢驗(yàn)。=2\*GB3②在銳角三角形中，如圖5設(shè)，，作：，垂足為在中，（圖5）在中，（圖5）同理，在中，=3\*GB3③在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，，，作交的延長線于（圖6） 在中，（圖6） 在中， 同銳角三角形證明可知 老師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎？同學(xué)：思考得出，分析圖形（圖7），對(duì)于任意△ABC，由學(xué)校所學(xué)過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，，==等式中均除以后可得，即。老師邊分析邊引導(dǎo)同學(xué)，同時(shí)板書證明過程。(圖7)AB(圖7)ABCDEFbac（圖7）在剛才的證明過程中大家是否發(fā)覺三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式同學(xué)：得到三角形面積公式 老師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、、都等于同一個(gè)比值，那么它們也相等，這個(gè)到底有沒有什么特殊幾何意義呢？（圖8） 同學(xué)：在前面的檢驗(yàn)中，中，，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。（圖8）證明：連續(xù)并延長交圓于，在中，即同理可證：， 老師：從剛才的證明過程中,，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他學(xué)問來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學(xué)過，這與邊的長度和三角函數(shù)值有較為親熱的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？同學(xué)：思考（聯(lián)系作高的思想）得出： 在銳角三角形中，，作單位向量垂直于，（圖9） （圖9） 即 同理： 對(duì)于鈍角三角形，直角三角形的狀況作簡潔交代。 老師：由于時(shí)間有限，對(duì)正弦定理的證明到此為止，有愛好的同學(xué)回家再探究。設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)受證明猜想的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)同學(xué)利用已有的數(shù)學(xué)學(xué)問論證猜想，力圖讓同學(xué)體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。（四）利用定理，解決引例師生活動(dòng)：老師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。同學(xué)：馬上得出 在中， （五）了解解三角形概念設(shè)計(jì)意圖：讓同學(xué)了解解三角形概念，形成學(xué)問的完整性老師：一般地，把三角形的三個(gè)角、、和它們的對(duì)邊、、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過程叫做解三角形。設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓同學(xué)體會(huì)用新的學(xué)問，新的定理，解決問題更便利，更簡潔，激發(fā)同學(xué)不斷探究新學(xué)問的欲望。（六）運(yùn)用定理，解決例題師生活動(dòng)：老師：引導(dǎo)同學(xué)從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。 同學(xué)：爭辯正弦定理可以解決的問題類型： =1\*GB3①假如已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如； =2\*GB3②假如已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩角，如。師生：例1的處理，先讓同學(xué)思考回答解題思路，老師板書，讓同學(xué)思考主要是突出主體，老師板書的目的是規(guī)范解題步驟。 例1：在中，已知，，，解三角形。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個(gè)角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。 例2：在中，已知，，，解三角形。例2的處理，目的是讓同學(xué)把握分類爭辯的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等同學(xué)講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充溝通。 用實(shí)物投影儀呈現(xiàn)同學(xué)中解題步驟規(guī)范的解答。設(shè)計(jì)意圖：自己解決問題，提高同學(xué)學(xué)習(xí)的熱忱和動(dòng)力，使同學(xué)體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要爭辯”的主動(dòng)學(xué)習(xí)。（七）嘗試小結(jié)：老師：提示引導(dǎo)同學(xué)總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。同學(xué)：思考溝通，歸納總結(jié)。師生：讓同學(xué)嘗試小結(jié)，老師準(zhǔn)時(shí)補(bǔ)充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其他元素。（3）分類爭辯的數(shù)學(xué)思想。設(shè)計(jì)意圖：通過同學(xué)的總結(jié)，培育同學(xué)的歸納總結(jié)力氣和語言表達(dá)力氣。（八）作業(yè)設(shè)計(jì)作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]A組第1、2題。思考題：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，觀看解的狀況并解釋毀滅一解，兩解，無解的緣由。課外鏈接：課后通過查閱相關(guān)書籍，上網(wǎng)搜尋，了解關(guān)于正弦定理的進(jìn)展及應(yīng)用（相關(guān)網(wǎng)址：）七、設(shè)計(jì)思路：本節(jié)課，同學(xué)在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在老師預(yù)設(shè)的思路中，同學(xué)樂觀主動(dòng)參與一個(gè)個(gè)相關(guān)聯(lián)的探究活動(dòng)過程，通過“觀看——試驗(yàn)——?dú)w納——猜想——證明”的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)覺并證明定理，讓同學(xué)經(jīng)受了學(xué)問形成的過程，感受到創(chuàng)新的歡快，激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好。其次，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，促使同學(xué)去思考問題，去發(fā)覺問題，讓同學(xué)在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中進(jìn)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，從同學(xué)日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)的愛好，引導(dǎo)啟發(fā)同學(xué)利用已有的學(xué)問解決新的問