《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)講義-第六章-第6講-數(shù)學(xué)歸納法

第6講數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N＋)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N＋)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立．[做一做]1．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為eq\f(1,2)n(n－3)條時，第一步檢驗n等于()A．1 B．2C．3 D．0答案：C1．辨明兩個易誤點(1)數(shù)學(xué)歸納法證題時，誤把第一個值n0認(rèn)為是1，如證明多邊形內(nèi)角和定理(n－2)π時，初始值n0＝3.(2)數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是其次步，證題時應(yīng)留意：①必需利用歸納假設(shè)作基礎(chǔ)；②證明中可利用綜合法、分析法、反證法等方法；③解題時要搞清從n＝k到n＝k＋1增加了哪些項或削減了哪些項．2．明確數(shù)學(xué)歸納法的兩步證明數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法，它們的表述嚴(yán)格而且規(guī)范，兩個步驟缺一不行．第一步是遞推的基礎(chǔ)，其次步是遞推的依據(jù)，其次步中，歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用，在n＝k＋1時確定要運(yùn)用它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．其次步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”．[做一做]2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)時，從n＝k到n＝k＋1，左邊需增加的代數(shù)式是()A．2k＋2 B．2k＋3C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3)答案：D,[同學(xué)用書P116～P117])eq\a\vs4\al(考點一)__用數(shù)學(xué)歸納法證明等式______________用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2n（2n＋2）)＝eq\f(n,4（n＋1）)(n∈N*)．[證明](1)當(dāng)n＝1時，左邊＝eq\f(1,2×1×（2×1＋2）)＝eq\f(1,8)，右邊＝eq\f(1,4×（1＋1）)＝eq\f(1,8).左邊＝右邊，所以等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N*且k≥1)時等式成立，即有eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k（2k＋2）)＝eq\f(k,4（k＋1）)，則當(dāng)n＝k＋1時，eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k（2k＋2）)＋eq\f(1,2（k＋1）[2（k＋1）＋2])＝eq\f(k,4（k＋1）)＋eq\f(1,4（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(k（k＋2）＋1,4（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(（k＋1）2,4（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(k＋1,4（k＋2）)＝eq\f(k＋1,4（k＋1＋1）).所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立，由(1)、(2)可知，對于一切n∈N*等式都成立．[規(guī)律方法]用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)留意：(1)明確初始值n0的取值并驗證n＝n0時命題的真假(必不行少)．(2)“假設(shè)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時命題成立”并寫出命題形式分析“n＝k＋1”時命題是什么，然后找出與“n＝k”時命題形式的差別．(3)弄清左端應(yīng)增加或削減的項，明確等式左端變形目標(biāo)，把握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項、配方等．簡言之：兩個步驟、一個結(jié)論；遞推基礎(chǔ)不行少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉．1.設(shè)f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)．求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝f(1)＝1，右邊＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－1))＝1，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時，結(jié)論成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，當(dāng)n＝k＋1時，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f（k＋1）－\f(1,k＋1)))－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論照舊成立．由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．eq\a\vs4\al(考點二)__用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式____________設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝an＋eq\f(1,an)(n＝1，2，…)．證明：an＞eq\r(2n＋1)對一切正整數(shù)n都成立．[證明]當(dāng)n＝1時，a1＝2＞eq\r(2×1＋1)，不等式成立．假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，ak＞eq\r(2k＋1)成立．那么當(dāng)n＝k＋1時，aeq\o\al(2,k＋1)＝aeq\o\al(2,k)＋eq\f(1,aeq\o\al(2,k))＋2＞2k＋3＋eq\f(1,aeq\o\al(2,k))＞2(k＋1)＋1.∴當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＞eq\r(2（k＋1）＋1)成立．綜上，an＞eq\r(2n＋1)對一切正整數(shù)n都成立．[規(guī)律方法]數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)留意：(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，應(yīng)用其他方法不簡潔證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時也成立，證明時用上歸納假設(shè)后，可接受分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明．2.已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，aeq\o\al(2,n＋1)＋an＋1－1＝aeq\o\al(2,n).求證：當(dāng)n∈N*時，an<an＋1.證明：(1)當(dāng)n＝1時，由于a2是方程aeq\o\al(2,2)＋a2－1＝0的正根，所以a1<a2.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時，0≤ak<ak＋1，則由aeq\o\al(2,k＋1)－aeq\o\al(2,k)＝(aeq\o\al(2,k＋2)＋ak＋2－1)－(aeq\o\al(2,k＋1)＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0，得ak＋1<ak＋2，即當(dāng)n＝k＋1時，an<an＋1也成立．依據(jù)(1)和(2)，可知an<an＋1對任何n∈N*都成立．eq\a\vs4\al(考點三)__歸納—猜想—證明____________________已知數(shù)列{xn}滿足x1＝eq\f(1,2)，xn＋1＝eq\f(1,1＋xn)，n∈N*.猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。[解]由x1＝eq\f(1,2)及xn＋1＝eq\f(1,1＋xn)，得x2＝eq\f(2,3)，x4＝eq\f(5,8)，x6＝eq\f(13,21).由x2>x4>x6，猜想：數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時，已證命題成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時命題成立，即x2k>x2k＋2，易知xk>0，那么x2k＋2－x2k＋4＝eq\f(1,1＋x2k＋1)－eq\f(1,1＋x2k＋3)＝eq\f(x2k＋3－x2k＋1,（1＋x2k＋1）（1＋x2k＋3）)＝eq\f(\f(1,1＋x2k＋2)－\f(1,1＋x2k),（1＋x2k＋1）（1＋x2k＋3）)＝eq\f(x2k－x2k＋2,（1＋x2k）（1＋x2k＋1）（1＋x2k＋2）（1＋x2k＋3）)>0，即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.也就是說，當(dāng)n＝k＋1時命題也成立．結(jié)合①和②知命題成立．[規(guī)律方法]“歸納——猜想——證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式．其一般思路是：通過觀看有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．這種方法在解決探究性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用．其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式．3.(2021·江蘇南京模擬)已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1.(1)寫出a1，a2，a3，并推想an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．解：(1)將n＝1，2，3分別代入可得a1＝eq\f(3,2)，a2＝eq\f(7,4)，a3＝eq\f(15,8)，猜想an＝2－eq\f(1,2n).(2)證明：①由(1)得n＝1時，命題成立．②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時，命題成立，即ak＝2－eq\f(1,2k)，那么當(dāng)n＝k＋1時，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，∴2ak＋1＝2＋2－eq\f(1,2k)，ak＋1＝2－eq\f(1,2k＋1)，即當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立．依據(jù)①、②得，對一切n∈N*，an＝2－eq\f(1,2n)都成立．

1．假如命題p(n)對n＝k(k∈N*)成立，則它對n＝k＋2也成立．若p(n)對n＝2成立，則下列結(jié)論正確的是()A．p(n)對全部正整數(shù)n都成立B．p(n)對全部正偶數(shù)n都成立C．p(n)對全部正奇數(shù)n都成立D．p(n)對全部自然數(shù)n都成立解析：選B.由題意n＝k成立，則n＝k＋2也成立，又n＝2時成立，則p(n)對全部正偶數(shù)都成立．2．凸n多邊形有f(n)條對角線，則凸(n＋1)邊形的對角線的條數(shù)f(n＋1)為()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2解析：選C.邊數(shù)增加1，頂點也相應(yīng)增加1個，它與和它不相鄰的n－2個頂點連接成對角線，原來的一條邊也成為對角線，因此，對角線增加n－1條．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的其次步是()A．假設(shè)n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3時正確(其中k∈N*)B．假設(shè)n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1時正確(其中k∈N*)C．假設(shè)n＝k時正確，再推n＝k＋1時正確(其中k∈N*)D．假設(shè)n＝k時正確，再推n＝k＋2時正確(其中k∈N*)解析：選B.∵n為正奇數(shù)，∴n＝2k－1(k∈N*)．4．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為()A.eq\f(1,（n－1）（n＋1）) B.eq\f(1,2n（2n＋1）)C.eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）) D.eq\f(1,（2n＋1）（2n＋2）)解析：選C.由a1＝eq\f(1,3)，Sn＝n(2n－1)an，求得a2＝eq\f(1,15)＝eq\f(1,3×5)，a3＝eq\f(1,35)＝eq\f(1,5×7)，a4＝eq\f(1,63)＝eq\f(1,7×9).猜想an＝eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）).5．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則當(dāng)n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上增加的代數(shù)式是________．解析：∵當(dāng)n＝k時，左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2，當(dāng)n＝k＋1時，左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，∴當(dāng)n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上增加(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)26．(2021·皖南三校聯(lián)考)設(shè)平面上n個圓周最多把平面分成f(n)片(平面區(qū)域)，則f(2)＝________，f(n)＝________．(n≥1，n是自然數(shù))解析：易知2個圓周最多把平面分成4片；n個圓周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1個圓周，為使得到盡可能多的平面區(qū)域，第n＋1個應(yīng)與前面n個都相交且交點均不同，有n條公共弦，其端點把第n＋1個圓周分成2n段，每段都把已知的某一片劃分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，從而f(n)＝n2－n＋2.答案：4n2－n＋27．(2022·高考廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．解：(1)由題意知S2＝4a3－20，∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.綜上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)n＝1時，結(jié)論明顯成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，ak＝2k＋1，則Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝eq\f(k[3＋（2k＋1）],2)＝k(k＋2)．又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，解得2ak＋1＝4k＋6，∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論成立．由①②知，對于?n∈N*，an＝2n＋1.8．設(shè)實數(shù)c>0,整數(shù)p>1，證明：當(dāng)x>－1且x≠0時，(1＋x)p>1＋px.證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)p＝2時，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假設(shè)當(dāng)p＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．則當(dāng)p＝k＋1時，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以當(dāng)p＝k＋