【優(yōu)化方案】2021屆高中數學人教版高考復習知能演練輕松闖關-選修4-1第2課時

[基礎達標]1．(2021·高考江蘇卷)如圖，AB和BC分別與圓O相切于點D，C，AC經過圓心O，且BC＝2OC．求證：AC＝2AD．證明：連接OD．由于AB和BC分別與圓O相切于點D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又由于∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB．所以eq\f(BC,OD)＝eq\f(AC,AD).又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD．2.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E，F分別在邊AB，CD上，設ED與AF相交于點G，若B，C，F，E四點共圓，求證：AG·GF＝DG·GE.證明：連接EF，∵B，C，F，E四點共圓，∴∠ABC＝∠EFD．∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°.∴∠BAD＋∠EFD＝180°.∴A，D，F，E四點共圓．∵ED交AF于點G，∴AG·GF＝DG·GE.3.(2022·江蘇常州調研)如圖，AB是⊙O的直徑，C，F是⊙O上的兩點，OC⊥AB，過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D．連接CF交AB于點E.求證：DE2＝DB·DA．證明：連接OF(圖略)．∵DF切⊙O于F，∴∠OFD＝90°.∴∠OFC＋∠CFD＝90°.∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC．∵CO⊥AB于O，∴∠OCF＋∠CEO＝90°.∴∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，∴DF＝DE.∵DF是⊙O的切線，∴DF2＝DB·DA．∴DE2＝DB·DA．4.如圖所示，⊙O的直徑為6，AB為⊙O的直徑，C為圓周上一點，BC＝3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于D、E.(1)求∠DAC的度數；(2)求線段AE的長．解：(1)由已知△ABC是直角三角形，易知∠CAB＝30°.由于直線l與⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°.由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.(2)法一：連接BE，如圖(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，則Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.法二：連接EC，OC，如圖(2)所示，則由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°.又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°.又由于∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，從而EC∥AO.由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四邊形AOCE是平行四邊形．又由于OA＝OC，故四邊形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.[力氣提升]1.如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，⊙O的割線AE，CD，CE分別交⊙O于點D，F，G，已知AC＝AB．求證：FG∥AC．證明：∵AB為切線，AE為割線，∴AB2＝AD·AE.∵AC＝AB，∴AD·AE＝AC2.∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AE)，又∠EAC＝∠DAC，∴ADC∽△ACE，∴∠ADC＝∠ACE，又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE，∴FG∥AC．2.(2022·河南鄭州市質檢)如圖，AB是⊙O的直徑，G是AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點G作AG的垂線，交直線AC于點E，交直線AD于點F，過點G作⊙O的切線，切點為H.(1)求證：C，D，E，F四點共圓；(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的長．解：(1)證明：連接DB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.在Rt△ABD與Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，∴C，D，E，F四點共圓．(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(C，D，F，E四點共圓?GE·GF＝GC·GD,GH切⊙O于點H?GH2＝GC·GD))?GH2＝GE·GF.又∵GH＝6，GE＝4，∴GF＝9，EF＝GF－GE＝5.3．(2021·高考遼寧卷)如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC．證明：(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB．由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2).又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π,2).從而∠FEB＝∠EAB．故∠FEB＝∠CEB．(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.類似可證Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC．4．(2022·高考遼寧卷)如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連接DB并延長交⊙O于點E.證明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.證明：(1)由AC與⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB．從而eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,BD)，即AC·BD＝