2022屆【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】數(shù)學(xué)一輪(蘇教版-江蘇專用-第四章-文科)-課時(shí)作業(yè)4-4

第4講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、填空題1．(2021·徐州檢測(cè))函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的單調(diào)遞增區(qū)間是________．解析當(dāng)kπ－eq\f(π,2)＜2x－eq\f(π,3)＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))單調(diào)遞增，解得eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)＜x＜eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，所以函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)2．(2022·新課標(biāo)全國Ⅰ卷改編)在函數(shù)①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，④y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))中，最小正周期為π的全部函數(shù)為________(填序號(hào))．解析①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期為π；②由圖象知y＝|cosx|的最小正周期為π；③y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π；④y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的最小正周期T＝eq\f(π,2).答案①②③3．函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的單調(diào)減區(qū)間為________．解析由y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))得2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)(k∈Z)．所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)4．(2022·蘇北四市模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos23x－eq\f(1,2)，則f(x)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于________．解析由于f(x)＝eq\f(1＋cos6x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)cos6x，所以最小正周期T＝eq\f(2π,6)＝eq\f(π,3)，相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為eq\f(T,2)＝eq\f(π,6).答案eq\f(π,6)5．已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋eq\r(3)cos(x＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))是偶函數(shù)，則θ的值為________．解析據(jù)已知可得f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋θ＋\f(π,3)))，若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有θ＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，又由于θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故有θ＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，解得θ＝eq\f(π,6)，經(jīng)代入檢驗(yàn)符合題意．答案eq\f(π,6)6．函數(shù)y＝lg(sinx)＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定義域?yàn)開_______．解析要使函數(shù)有意義必需有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＞0，,cosx－\f(1,2)≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＞0，,cosx≥\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜x＜π＋2kπk∈Z，,－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(π,3)＋2kπk∈Z，))∴2kπ＜x≤eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，∴函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＜x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，\f(π,3)＋2kπ))(k∈Z)7．(2021·金華十校模擬)已知函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，給出下列說法：①是奇函數(shù)；②在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞減；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))為其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；④最小正周期為π.其中說法正確的是________(填序號(hào))．解析函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))是非奇非偶函數(shù)，①錯(cuò)誤；在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，②錯(cuò)誤；最小正周期為eq\f(π,2)，④錯(cuò)誤．∵當(dāng)x＝eq\f(π,6)時(shí)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)－\f(π,3)))＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))為其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故③正確．答案③8．函數(shù)y＝sin2x＋sinx－1的值域?yàn)開_______．解析y＝sin2x＋sinx－1，令t＝sinx，t∈[－1,1]，則有y＝t2＋t－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(5,4)，畫出函數(shù)圖象如圖所示，從圖象可以看出，當(dāng)t＝－eq\f(1,2)及t＝1時(shí)，函數(shù)取最值，代入y＝t2＋t－1，可得y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1))二、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(6cos4x＋5sin2x－4,cos2x)，求f(x)的定義域，推斷它的奇偶性，并求其值域．解由cos2x≠0得2x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z，所以f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R，且x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z)).由于f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝eq\f(6cos4－x＋5sin2－x－4,cos－2x)＝eq\f(6cos4x＋5sin2x－4,cos2x)＝f(x)．所以f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z時(shí)，f(x)＝eq\f(6cos4x＋5sin2x－4,cos2x)＝eq\f(6cos4x＋5－5cos2x－4,2cos2x－1)＝eq\f(2cos2x－13cos2x－1,2cos2x－1)＝3cos2x－1.所以f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|－1≤y＜\f(1,2)，或\f(1,2)＜y≤2)).10．(2022·北京西城區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)＝cosx(sinx－cosx)＋1.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值．解(1)∵f(x)＝cosxsinx－cos2x＋1＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,4)，－\f(π,4)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，∴f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(2),2)，1))，∴f(x)的最大值和最小值分別為1，eq\f(1－\r(2),2).力氣提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)1．已知函數(shù)f(x)＝2sinωx(ω＞0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值是－2，則ω的最小值等于________．解析∵f(x)＝2sinωx(ω＞0)的最小值是－2，此時(shí)ωx＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，∴x＝eq\f(2kπ,ω)－eq\f(π,2ω)，k∈Z，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(2kπ,ω)－eq\f(π,2ω)≤0，k∈Z，∴ω≥－6k＋eq\f(3,2)且k≤0，k∈Z，∴ωmin＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)2．(2022·南京模擬)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))(x∈R)的圖象為C，以下結(jié)論中：①圖象C關(guān)于直線x＝eq\f(11π,12)對(duì)稱；②圖象C關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))對(duì)稱；③函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))內(nèi)是增函數(shù)；④由y＝3sin2x的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度可以得到圖象C.則正確的是________(寫出全部正確結(jié)論的編號(hào))．解析當(dāng)x＝eq\f(11π,2)時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(11π,12)－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)－\f(π,3)))＝sineq\f(3π,2)＝－1，所以為最小值，所以圖象C關(guān)于直線x＝eq\f(11π,12)對(duì)稱，所以①正確．當(dāng)x＝eq\f(2π,3)時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(2π,3)－\f(π,3)))＝sinπ＝0，所以圖象C關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))對(duì)稱，所以②正確．當(dāng)－eq\f(π,12)≤x≤eq\f(5π,12)時(shí)，－eq\f(π,6)≤2x≤eq\f(5π,6)，所以－eq\f(π,6)－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(5π,6)－eq\f(π,3)，即－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以③正確．y＝3sin2x的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝3sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))，所以④錯(cuò)誤，所以正確的是①②③.答案①②③3．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)sinx≤cosx時(shí)，f(x)＝cosx，當(dāng)sinx＞cosx時(shí)，f(x)＝sinx.給出以下結(jié)論：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的最小值為－1；③當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最小值；④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ－eq\f(π,2)＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)時(shí)，f(x)＞0；⑤f(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離是2π.其中正確的結(jié)論序號(hào)是________．解析易知函數(shù)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)．函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．由圖象可得，f(x)的最小值為－eq\f(\r(2),2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最小值；當(dāng)且僅當(dāng)2kπ－eq\f(π,2)＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)時(shí)，f(x)＞0；f(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離是2π.所以正確的結(jié)論的序號(hào)是①④⑤.答案①④⑤4．(2021·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,2)＋sinx))＋b.(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若x∈[0，π]時(shí)，